资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 直线与圆位置关系判定
常考题型·精准突破
题型1直线与圆位置关系判定
题型2直线与圆交点求解
题型3由直线与圆位置关系求参数
题型4弦长问题
题型5切线长
题型6切线方程求解
题型7坐标法应用
题型8直线与圆中最值问题
题型9圆内接三角形问题
题型10切点弦问题
题型11直线与圆实际应用
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1直线与圆位置关系判定
(
解题贴士
：
判断直线与圆的位置关系的方法
（
1
）
几何法
：
由圆心到直线的距离
d
与圆的半径
r
的大小关系判断
；
（
2
）
代数法
：
根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断
.
)
【例1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
【变式1】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的
【变式2】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【变式3】（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关
【变式4】（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（ ）
A．R B． C． D．
【变式5】（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ）
A． B． C． D．
◆题型2直线与圆交点求解
【例2】（2026·江苏苏州·模拟预测）过点作直线l交圆于点M，N，若，则点N的横坐标是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式1】（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【变式2】（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4】（25-26高二上·重庆南岸·期中）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
◆题型3由直线与圆位置关系求参数
【例3】（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（ ）
A． B．0 C． D．0或
【变式1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（ ）
A．或 B．
C． D．或
◆题型4弦长问题
(
解题贴士
：
求弦长常用的
3
种方法
（
1
）
利用圆的半径
r
，
圆心到直线的距离
d
，
弦长
l
之间的关系
＋
d
2
＝
r
2
解题
；
（
2
）
利用交点坐标
，
若直线与圆的交点坐标易求出
，
求出交点坐标后
，
直接用两点间距离公式计算弦长
；
（
3
）
利用弦长公式
，
设直线
l
：
y
＝
kx
＋
b
与圆的两交点
（
x
1
，
y
1
），（
x
2
，
y
2
），
将直线方程代入圆的方程
，
消元后利用根与系数的关系得弦长
l
＝
｜
x
1
－
x
2
｜＝
)
【例4】（26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式3】（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________．
【变式4】（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______．
◆题型5切线长
(
解题贴士
：
求切线长
（
最值
）
的两种方法
（
1
）
代数法
：
直接利用勾股定理求出切线长
，
把切线长中的变量统一成一个
，
转化成函数求最值
；
（
2
）
几何法
：
把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题
)
【例5】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式2】（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）由点向圆引切线，则切线长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
◆题型6切线方程求解
(
解题贴士
：
1
.
求过圆上一点
（
x
0
，
y
0
）
的圆的切线方程
先求切点与圆心连线的斜率
k
，
再由垂直关系得切线的斜率为
－
，
由点斜式可得切线方程
.
如果切线斜率为零或不存在
，
则由图形可直接得切线方程
y
＝
y
0
或
x
＝
x
0
.
2
.
求过圆外一点
（
x
0
，
y
0
）
的圆的切线方程
设切线方程为
y
－
y
0
＝
k
（
x
－
x
0
），
由圆心到直线的距离等于半径建立方程
，
可求得
k
，
也就得切线方程
.
当用此法只求出一个方程时
，
另一个方程应为
x
＝
x
0
，
因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况
，
而过圆外一点的切线有两条
.
)
【例6】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【变式2】（24-25高二上·河南许昌·期中）直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【变式3】（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（模块三较难第1套模拟卷（高二期中备考模拟））过点引圆的切线，则切线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
◆题型7坐标法应用
(
解题贴士
：
解决与圆有关的方法步骤
（
1
）
建坐标系
：
充分利用线段及其垂直平分线
，
建立平面直角坐标系
；
（
2
）
求出方程
：
根据几何性质
，
确定圆心与半径
，
求圆的标准方程
；
（
3
）
计算求值
：
利用圆的方程
，
确定点的坐标
，
转化为实际问题的解
.
)
【例7】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）直线截圆所得劣弧所对圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若直线，与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．5
【变式2】（2026·陕西渭南·二模）已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能
【变式3】（2026·河北·模拟预测）单位圆中，为一条直径，为圆上两点且弦长为，则的取值范围是___________.
【变式4】（2026·高二·四川·期中）已知三点，点在圆上运动．
(1)若直线与圆有唯一公共点，求；
(2)求的最小值．
◆题型8直线与圆中最值问题
【例8】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【变式1】（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（25-26高二上·浙江·阶段检测）过点作直线与曲线交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式4】（基础点31弦长、距离相关问题的求解）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式5】（25-26高二上·北京·阶段检测）圆上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
◆题型9圆内接三角形问题
【例9】（2026·高二·辽宁铁岭·阶段检测）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（ ）
A． B． C．8 D．13
【变式1】（2026·高一·湖南·期末）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　　)
A． B． C． D．
【变式2】（2026·高二·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式3】（2026·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【变式4】（2026·高二·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
◆题型10切点弦问题
【例10】过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______．
【变式1】（2026·高二·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______.
【变式2】（2026·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________．
【变式3】（2026·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________.
【变式4】如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______．
◆题型11直线与圆实际应用
(
解题贴士
：
直线与圆的方程实际应用的步骤
)
【例11】（25-26高二下·广东·阶段检测）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（　　）
A．2.4米 B．3.5米
C．3.6米 D．2.0米
【变式2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时．
【变式3】（25-26高二上·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________.

综合攻坚·知能拔高
1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（ ）
A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile
9．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
10．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（ ）
A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点
C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为
11．（广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，直线与圆相切
C．当时，直线与圆相交
D．当时，直线与圆相离
12．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆心坐标为
B．对，直线与圆一定相交
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为
13．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______.
14．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______.
15．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______．
16．（25-26高一下·全国·课后作业）若直线是圆的一条对称轴．
(1)求圆的圆心坐标与半径；
(2)求与直线平行的圆的切线方程．
17．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)求直线被曲线E截得的弦长．
18．（2026高三·全国·专题练习）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：为定值；
(3)若O为坐标原点，且，求k的值．
19．（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由．
20．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知圆经过点，圆心在直线：上，圆被直线：截得的弦长为，
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆关于直线：对称，过原点的直线交圆于，两点，求弦中点的轨迹方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 直线与圆位置关系判定
常考题型·精准突破
题型1直线与圆位置关系判定
题型2直线与圆交点求解
题型3由直线与圆位置关系求参数
题型4弦长问题
题型5切线长
题型6切线方程求解
题型7坐标法应用
题型8直线与圆中最值问题
题型9圆内接三角形问题
题型10切点弦问题
题型11直线与圆实际应用
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1直线与圆位置关系判定
(
解题贴士
：
判断直线与圆的位置关系的方法
（
1
）
几何法
：
由圆心到直线的距离
d
与圆的半径
r
的大小关系判断
；
（
2
）
代数法
：
根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断
.
)
【例1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
【答案】C
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
即，所以直线l与圆C的位置关系是相离.
【变式1】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的
【答案】A
【详解】因为圆心到直线的距离为，
又圆的半径.
由可知，直线与圆相离.
【变式2】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【答案】A
【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系.
【详解】由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
故直线与圆相交.
【变式3】（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关
【答案】A
【详解】圆，则圆心，半径，
所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交．
【变式4】（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（ ）
A．R B． C． D．
【答案】C
【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可.
【详解】圆心到直线的距离，
因为直线与圆相交，所以，化简得.
【变式5】（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知圆心坐标为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以在直线上，所以，解得.
◆题型2直线与圆交点求解
【例2】（2026·江苏苏州·模拟预测）过点作直线l交圆于点M，N，若，则点N的横坐标是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设，，根据用N的坐标表示M的坐标，再根据M、N满足圆的方程，联立方程组消去y即可求出x．
【详解】设，∵点在圆上，∴．
已知，则，
∵，∴．
设，则，
则，则．
∵点在圆上，∴．
将代入上式可得：，解得，故选：A．
【变式1】（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案.
【详解】为直角，故在以为直径的圆上，
圆心为，半径为，
圆方程为，取得到或，
即点坐标为或.故选：B.
【变式2】（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出点的坐标，结合题意可得点的坐标，又两点都在圆上，代入计算即可得点的横坐标.
【详解】设，故有，即，
由，则点为中点，故，故有，
即有，整理得，即.故选：A.
【变式3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数.
【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得，
即，解得或，故方程组的解为或.故选：C
【变式4】（25-26高二上·重庆南岸·期中）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设 点坐标，然后表示出圆的方程，将直线与圆的方程联立，求出点坐标，然后根据向量垂直求出参数，求出点坐标.
【详解】解：设，因为，所以，
则圆的方程为，
联立，
解得，由，
得，解得 或 ，
又 ，所以，即 ，
所以点 的横坐标为4故选：A
◆题型3由直线与圆位置关系求参数
【例3】（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（ ）
A． B．0 C． D．0或
【答案】D
【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数.
【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径.
因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为，
令，即，解得或.
【变式1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可得圆的圆心为，半径为，
直线被圆截得的弦长为，则直线过圆心，
圆心代入直线得，解得.
【变式2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为，
又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以，
解得，所以a的取值范围是．
【变式3】（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【详解】由得，则圆心，半径.
因为直线与圆无公共点，
所以圆心到直线的距离，
即，化简得，，解得，或.
◆题型4弦长问题
(
解题贴士
：
求弦长常用的
3
种方法
（
1
）
利用圆的半径
r
，
圆心到直线的距离
d
，
弦长
l
之间的关系
＋
d
2
＝
r
2
解题
；
（
2
）
利用交点坐标
，
若直线与圆的交点坐标易求出
，
求出交点坐标后
，
直接用两点间距离公式计算弦长
；
（
3
）
利用弦长公式
，
设直线
l
：
y
＝
kx
＋
b
与圆的两交点
（
x
1
，
y
1
），（
x
2
，
y
2
），
将直线方程代入圆的方程
，
消元后利用根与系数的关系得弦长
l
＝
｜
x
1
－
x
2
｜＝
)
【例4】（26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】直线被圆截得的弦长为，而该圆半径为2，
因此圆心到该直线的距离，又，
即，所以直线的斜率.
【变式1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】D
【详解】圆可化为，得圆心，半径
用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离：
弦长
【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离为，所以弦长为，
所以，解得，所以圆的半径为.
【变式3】（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________．
【答案】
【解析】由直线的倾斜角为，可得直线斜率，
结合直线过点，可得直线的方程为，即.
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
因此，直线被圆截得的弦长.
【变式4】（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______．
【答案】
【解析】可化为，
则圆心，半径为，且，即.
圆心到直线的距离.
由垂径定理得，，即，整理得，
解得，此时满足条件，
◆题型5切线长
(
解题贴士
：
求切线长
（
最值
）
的两种方法
（
1
）
代数法
：
直接利用勾股定理求出切线长
，
把切线长中的变量统一成一个
，
转化成函数求最值
；
（
2
）
几何法
：
把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题
)
【例5】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用切线长公式计算.
【详解】由题意知，，半径，则.故选：A
【变式1】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值.
【详解】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径，
则
由圆的几何性质可得，
又，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故选：C
【变式2】（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用圆的切线长公式求解.
【详解】由圆，则圆心，半径为，
则切线长为，
当时，切线长取得最小值，
此时点，且，即点在圆外，满足题意.故选：A
【变式3】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设切点为，连接，则，求出的值，结合勾股定理可求得切线长为.
【详解】设切点为，连接，则，如图所示：

圆心为，半径为，，
故切线长为.故选：D.
【变式4】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）由点向圆引切线，则切线长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【答案】C
【分析】求出，利用切线长公式求出结果.
【详解】圆的圆心为，半径为，
，点在圆外，
则切线长为.故选：C.
◆题型6切线方程求解
(
解题贴士
：
1
.
求过圆上一点
（
x
0
，
y
0
）
的圆的切线方程
先求切点与圆心连线的斜率
k
，
再由垂直关系得切线的斜率为
－
，
由点斜式可得切线方程
.
如果切线斜率为零或不存在
，
则由图形可直接得切线方程
y
＝
y
0
或
x
＝
x
0
.
2
.
求过圆外一点
（
x
0
，
y
0
）
的圆的切线方程
设切线方程为
y
－
y
0
＝
k
（
x
－
x
0
），
由圆心到直线的距离等于半径建立方程
，
可求得
k
，
也就得切线方程
.
当用此法只求出一个方程时
，
另一个方程应为
x
＝
x
0
，
因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况
，
而过圆外一点的切线有两条
.
)
【例6】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【详解】圆的圆心，半径，直线过点，
而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
由，解得，方程为，所以直线的方程为或.
【变式1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得.
【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为，
故此时是圆的切线，符合；
当斜率存在时，设，即，
则圆的圆心到的距离，
解得，则；
综上所述：的方程为或.故选：A.
【变式2】（24-25高二上·河南许昌·期中）直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式计算即得.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，
则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得，
依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或，
所以直线的方程为或.故选：D
【变式3】（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式求出切线的斜率，再求直线方程即可，特别要注意直线斜率是否存在.
【详解】因为，所以圆心，半径，
①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍；
②当切线斜率存在时，不妨设，则，解得.
所以切线方程为.故选：D.
【变式4】（模块三较难第1套模拟卷（高二期中备考模拟））过点引圆的切线，则切线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论；当斜率不存在时，直线与x轴垂直，只需判断圆心到直线的距离是否等于半径即可；当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
即，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
∴所求切线方程为.
综上，切线方程为或.故选：D.
◆题型7坐标法应用
(
解题贴士
：
解决与圆有关的方法步骤
（
1
）
建坐标系
：
充分利用线段及其垂直平分线
，
建立平面直角坐标系
；
（
2
）
求出方程
：
根据几何性质
，
确定圆心与半径
，
求圆的标准方程
；
（
3
）
计算求值
：
利用圆的方程
，
确定点的坐标
，
转化为实际问题的解
.
)
【例7】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）直线截圆所得劣弧所对圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先写出圆心和半径，再根据几何法求出弦长，然后根据余弦定理求出圆心角．
【详解】由题意有，该圆圆心为，半径为2，
圆心到直线的距离，
∴弦长，
由余弦定理得圆心角的余弦值，∴圆心角．故选：D．
【变式1】若直线，与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据对角互补的四边形有外接圆，可得直线与垂直，求出，进而可得两直线与坐标轴交点坐标，以及两直线的交点坐标，结合面积公式，即可求出结果.
【详解】圆的内接四边形对角互补，因为x轴与y轴垂直，
所以与垂直.
所以有，解得.
又直线与坐标轴的交点为，
直线与坐标轴的交点为，，
两直线交点的纵坐标为，所以四边形的面积.故选C
【变式2】（2026·陕西渭南·二模）已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能
【答案】C
【详解】圆心到直线的距离,所以，在中，，所以为钝角．为钝角三角形．选C
【变式3】（2026·河北·模拟预测）单位圆中，为一条直径，为圆上两点且弦长为，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题设，再根据数量积坐标运算计算即可.
【详解】解：如图，由弦长为，可得，
不妨设，
则，
所以
.
【变式4】（2026·高二·四川·期中）已知三点，点在圆上运动．
(1)若直线与圆有唯一公共点，求；
(2)求的最小值．
【解析】（1）由题意知，圆的圆心为，半径，
故，
由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点，
在中，由勾股定理可得．
（2）设，且，
故
，
而，当时，取得最小值．
◆题型8直线与圆中最值问题
【例8】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【详解】圆的圆心，半径，
直线可化为，
令，得，故直线过定点，
由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：，
故圆上的点到直线距离最大值为.
【变式1】（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由直线的方程可确定直线过定点，则当点到直线的距离的最大值为时，取最小值.
【详解】直线，可化为，则直线过定点，
圆配方得，可得圆心，半径，
所以，即点在圆内，
则当点到直线的距离的最大值为时，，故选：C．
【变式2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】确定线段的中点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，结合圆的几何性质即可求得答案.
【详解】设，由题意可得：，
设的中点坐标为，则，，所以，即，
即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
圆心到直线的距离为：，
所以线段的中点到直线距离的最大值为，故选：C
【变式3】（25-26高二上·浙江·阶段检测）过点作直线与曲线交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】作图，由图知，当面积取最大值时，，计算即可求解.
【详解】由，则，，即，
所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的半圆，如图.
因为，所以当面积取最大值时，，即.故选：C.
【变式4】（基础点31弦长、距离相关问题的求解）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据直线与圆的位置关系可知，点P到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径．
【详解】圆C的方程可化为，
所以，半径，则C到直线l：的距离为，
所以所求距离的最小值为．故选：C
【变式5】（25-26高二上·北京·阶段检测）圆上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解.
【详解】因为圆，所以其圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
则所求距离的最小值为.故选：A.
◆题型9圆内接三角形问题
【例9】（2026·高二·辽宁铁岭·阶段检测）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（ ）
A． B． C．8 D．13
【答案】B
【解析】圆的方程为，化为标准方程：，
圆心为，半径为，
当过点的直线与垂直时，弦长最短，且，
当过点的直线且过圆心时，弦长最长，且，
此时，，
所以四边形ABCD面积为，
故选：B
【变式1】（2026·高一·湖南·期末）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
所以曲线是以为圆心，半径的半圆，
因为直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，
所以，
因此当面积取最大值时，，
此时，
所以圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得
因为点在的右侧，所以，因此.故选：B.
【变式2】（2026·高二·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离，
则弦长，
，
当且仅当，即时， 面积取得最大值.
【变式3】（2026·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】B
【解析】直线过定点，圆，
易知
设到距离为，，
当时，.故选:B．
【变式4】（2026·高二·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
则，
点到直线距离的最大值为，
所以，面积的最大值为.故选：A.
【变式5】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将直线变形为：，知过定点，
将直线变形为：，知过定点，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
当且时，两直线的斜率乘积知：此时，
因为，由直径所对的圆周角为知，
点在以线段为直径的圆上（不含、两点），
所以点到线段的距离即为的高，设为，
易知，因为，所以
所以，即的面积的最大值是,故选：D
◆题型10切点弦问题
【例10】过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______．
【答案】
【解析】 方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．
方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即．
方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知，
过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为，
将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点．
由圆的切线的性质可知，，．
又直线过点，直线的方程为，即．
【变式1】（2026·高二·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________.
【答案】
【解析】①点到直线距离等于半径，
∴，∴圆的标准方程为
②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点；
由圆的切线的性质可知，，
∴∴，即
【变式2】（2026·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________．
【答案】
【解析】圆，则圆心，半径，
在中，，，
，．
以为直径的圆的方程，即以为圆心，
以为半径的圆的方程为：，
又圆，两圆方程相减可得．
【变式3】（2026·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________.
【答案】
【解析】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、，
则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
为两圆的公共弦所在的直线，则有，
变形可得：；即直线的方程为，
【变式4】如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______．
【答案】
【解析】如图，连接，
方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆，
且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦，
则以为直径的圆的圆心为，半径为，
故以为直径的圆的方程为，
两圆方程相减得直线的方程为，
令，则，所以直线过定点．
方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦．
，，所以，
在中，，
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为，
即，令，则，所以直线过定点．
方法三：直线的方程为，即，
令，得，所以直线过定点．
◆题型11直线与圆实际应用
(
解题贴士
：
直线与圆的方程实际应用的步骤
)
【例11】（25-26高二下·广东·阶段检测）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，解得答案.
【详解】小岛到航线的距离为，解得.故选：C
【变式1】一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（　　）
A．2.4米 B．3.5米
C．3.6米 D．2.0米
【答案】B
【分析】当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，可建系求解.
【详解】以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
易知半圆所在的圆的方程为 （），
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入，
得（负值舍去）．故选：B
【变式2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时．
【答案】5
【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间．
【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，，
以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦，
而台风向北偏东移动，可知，
过作BD的垂线，垂足为E，在直角中，，则，
在直角中，由勾股定理得，
所以，故持续时间为小时．
【变式3】（25-26高二上·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________.

【答案】
【分析】画出如图的货车截面图矩形，在圆上时，货车最高，求出的长即得．
【详解】如图，矩形是货车截面图，，则，

综合攻坚·知能拔高
1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
【答案】A
【详解】圆C：的圆心为，半径为，
圆心到：的距离 ，
则圆C与相交，故A正确..
2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：；
设 为圆心到直线 的距离，则 ，
所以 ，解得 ，即 ，
由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 .
3．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程．
【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是,
过点的半径所在直线的斜率,
所以所求切线斜率为，切线方程为，即．
4．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可.
【详解】解：由题意得，，半径，直线为，
设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得，
若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以.
5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案．
【详解】圆的圆心，
圆心到直线的距离,
故直线与圆相离．
的最小值为．
6．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数.
【详解】由圆的方程，得圆心，半径.
设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得.
由弦长公式，得弦长.
∵ 的面积为，
∴ .
将上式两边平方得：，令，则，
整理得，解得或.
① 当时，，即，
展开化简得，解得或，均符合题意.
② 当时，，即，
展开化简得，其判别式，无实根.
综上，的值为或.
7．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案.
【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
所以点P到圆心C的最大距离为，
因为A为切点，所以，
所以，
所以四边形面积的最大值.
8．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（ ）
A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile
【答案】C
【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系，
则，，
所以直线的斜率为，方程为，
即，则到的距离为，
所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile.
9．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】B
【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值.
【详解】直线过定点，圆，
易知
设到距离为，
，
当时，.
故选:B．
10．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（ ）
A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点
C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为
【答案】ABD
【分析】求出直线所过定点判断A；确定定点与圆的位置判断B；由圆心与直线关系判断C；求出最短弦判断D.
【详解】对于A，直线过定点，A正确；
对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确；
对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误；
对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确.
11．（广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，直线与圆相切
C．当时，直线与圆相交
D．当时，直线与圆相离
【答案】AC
【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径进行比较，即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆：，配方得，圆心坐标，半径.
选项A：令，则，与无关，所以直线恒过定点，A正确.
选项B：当时，直线方程为.
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，B错误.
选项C：当时，直线方程为.
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，C正确.
选项D：当时，直线方程为.
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，D错误.
故选：AC.
12．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆心坐标为
B．对，直线与圆一定相交
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为
【答案】ABD
【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误.
【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确；
对于B：，则直线过定点，又，
则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确；
对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为，
当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误；
对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为，
连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得，
则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为，
综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确.
13．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______.
【答案】
【详解】法1：圆心坐标为，
因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在，
故切线的斜率为零，故切线方程为.
法2：过圆上的点的切线方程为：
，即.
14．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______.
【答案】2
【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解.
【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离，
所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为.
15．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______．
【答案】
【分析】设点坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理以及向量数量积的坐标公式得到关于参数的等式，即可计算结果．
【详解】设，，
由可得；
因为直线与圆有两个交点，故，解得，
因为，故；
根据韦达定理可得，；
则；
因为，；
则，解得．
16．（25-26高一下·全国·课后作业）若直线是圆的一条对称轴．
(1)求圆的圆心坐标与半径；
(2)求与直线平行的圆的切线方程．
【分析】（1）根据直线经过圆心，可求的值，进而求得圆心和半径.
（2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径求切线方程.
【详解】（1）由圆的方程可知，圆心，
由题意可知直线过圆心，即，解得，
所以圆心，半径.
（2）设与直线平行的直线方程为，可得圆心到直线的距离等于半径，
即，解得或，
所以所求的直线的方程为或．
17．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)求直线被曲线E截得的弦长．
【分析】（1）设，由利用两点间的距离公式化简可得答案；
（2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可得答案.
【详解】（1）由题意得，所以，
设，因为点，
所以，化简得．
所以曲线E的方程为；
（2）由（1）知，曲线E是圆心为，半径的圆，
所以圆心到直线的距离为：，
所以直线被曲线截得的弦长为．
18．（2026高三·全国·专题练习）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：为定值；
(3)若O为坐标原点，且，求k的值．
【分析】（1）根据直线的方向向量和过点坐标，得到直线方程，因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于半径，可列出不等式得到斜率的取值范围；
（2）过圆外一点作圆的切线，则切线长为定值，根据切割线定理即可证明结论；
（3）设点坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理和向量积的坐标运算求斜率的值．
【详解】（1）∵直线l过点且方向向量，
∴直线l的方程为，则，整理得，
即，得．
（2）证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点，
则．
，
为定值．
（3）设，，
将代入方程
得，
，
．
，解得．
又当时，，．
19．（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由圆的一般方程通过配方得到圆心坐标，然后代入直线方程求出，从而得圆的方程；
（2）根据斜率设直线方程，联立方程组，将“以AB为直径的圆恰好经过坐标原点”等价于，借助韦达定理进行转化，从而得出直线方程.
【详解】（1）将圆的一般方程配方得：，
所以圆心，
因为圆心在直线上，代入得：，得，
将代入原方程，得圆C的方程为：，
配方为标准方程：.
（2）假设存在斜率为1的直线，设，
联立方程组，消去得；
因为直线与圆有两个交点，所以，
解得，
由韦达定理得，
所以，
因为以为直径的圆过原点，所以，即，
所以，即，
代入得：，
化简得：，解得或.且满足，
故存在这样的直线，方程为或.
20．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知圆经过点，圆心在直线：上，圆被直线：截得的弦长为，
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆关于直线：对称，过原点的直线交圆于，两点，求弦中点的轨迹方程.
【分析】（1）设圆心，求出圆心到直线的距离，再结合弦长，弦心距和半径的关系列方程求出的坐标，进而写出圆的方程；
（2）先利用对称性求出的坐标，再由点在为直径的圆上，求出轨迹方程.
【详解】（1）设圆心，圆心到的距离，
由题意易知半径为，
因为圆经过点，
所以，解得，即，
则圆的标准方程为.
（2）设圆心关于的对称点为，
则，解得，则，
因为过原点的直线交圆于，两点，弦中点为，
当点与点都不重合时，，则在以为直径的圆上，
显然点在此圆上，因此此圆的圆心为，即，
此圆的半径为，
则轨迹方程为，即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑