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专题06 圆与圆位置关系
常考题型·精准突破
题型1 两圆交点坐标
题型2 圆与圆的位置关系的判断
题型3 圆与圆的位置关系求参
题型4 求公共线
题型5 求公切线方程
题型6 公切线条数
题型7 圆系方程
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 题型1 两圆交点坐标
【例1】（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式1】（25-26高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和 B．和
C．和 D．和
【变式2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为________.
◆题型2 圆与圆的位置关系的判断
(
解题贴士
：
判断两圆的位置关系的两种方法
（
1
）
几何法
：
将两圆的圆心距
d
与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较
，
进而判断出两圆的位置关系
，
这是解析几何中主要使用的方法
；
（
2
）
代数法
：
将两圆的方程组成方程组
，
通过解方程组
，
根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系
.
)
【例2】圆O：x2＋y2＝2与圆M：x2＋y2＋2x－2y－6＝0的位置关系为（　　）
A.外离 B.相切
C.相交 D.内含
【变式1】两圆（x＋3）2＋（y－2）2＝4和（x－3）2＋（y＋6）2＝64的位置关系是（　　）
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
【变式2】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含.
◆题型3 圆与圆的位置关系求参
【例3】（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26高二上·江苏徐州·期末）若圆与圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若圆与圆相切，则实数的一个取值为__________.
【变式4】（25-26高二上·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______．
【变式5】（25-26高二上·四川成都·期末）已知圆与圆外切，则______．
◆题型4 求公共线
(
解题贴士
：
公共弦长的求法
（
1
）
代数法
：
将两圆的方程联立
，
解出交点坐标
，
利用两点间的距离公式求出弦长
；
（
2
）
几何法
：
求出公共弦所在直线的方程
，
利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形
，
根据勾股定理求解
.
)
【例4】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式3】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________.
◆题型5 求公切线方程
(
解题贴士
：
处理两圆相切问题的策略
（
1
）
定性
：
即必须准确把握是内切还是外切
，
若只是告诉相切
，
则必须考虑两圆内切还是外切
；
（
2
）
转化思想
：
即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值
（
内切时
）
或两圆半径之和
（
外切时
）.
)
【例5】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式3】（24-25高二上·广东·阶段检测）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可）
◆题型6 公切线条数
【例6】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2026·河北·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（ ）
A．0或4 B．1或3 C．或 D．或
【变式4】（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）圆：与圆：的公切线条数为________.
◆题型7 圆系方程
(
解题贴士
：
过圆
O
1
：
x
2
＋
y
2
＋
D
1
x
＋
E
1
y
＋
F
1
＝
0
与圆
O
2
：
x
2
＋
y
2
＋
D
2
x
＋
E
2
y
＋
F
2
＝
0
交点的圆系方程为
x
2
＋
y
2
＋
D
1
x
＋
E
1
y
＋
F
1
＋
λ
（
x
2
＋
y
2
＋
D
2
x
＋
E
2
y
＋
F
2
）＝
0
（
不包括圆
O
2
，
λ
为参数
）.
特别地
，
在该圆系方程中
，①
当
λ
＝－
1
时
，
方程
（
D
1
－
D
2
）
x
＋（
E
1
－
E
2
）
y
＋
F
1
－
F
2
＝
0
为两圆公共弦所在直线的方程
；②
当两圆相切
（
内切或外切
）
时
，
方程
（
D
1
－
D
2
）
x
＋（
E
1
－
E
2
）
y
＋
F
1
－
F
2
＝
0
为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程
.
)
【例7】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（19-20高二上·福建泉州·阶段检测）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________．
【变式5】求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0与x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
2．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高二上·甘肃·期中）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有3条，则（ ）
A．4 B．2 C．16 D．36
7．（25-26高三下·四川巴中·阶段检测）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（ ）
A． B．
C． D．
8．（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．圆心距
C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为
11．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则圆和圆相离
B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是
C．若圆和圆外切，则或
D．若圆和圆内切，则
12．（25-26高二下·山西·期末）已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切
C．的取值范围为 D．面积的最大值为5
13．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________．
14．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______.
15．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________．
16．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和. 求：
(1)取何值时两圆外切？
(2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及.
17．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上，
(1)求圆的标准方程；
(2)圆，当为何值时，两圆外切？
18．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆.
(1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程；
(2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线(为切点)且，求点的轨迹方程．
19．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程．
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专题06 圆与圆位置关系
常考题型·精准突破
题型1 两圆交点坐标
题型2 圆与圆的位置关系的判断
题型3 圆与圆的位置关系求参
题型4 求公共线
题型5 求公切线方程
题型6 公切线条数
题型7 圆系方程
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 题型1 两圆交点坐标
【例1】（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得交点坐标.
【详解】圆和圆,
两圆方程相减可得公共弦方程为，
联立方程，解得或，
可得两圆的交点坐标为和，故选：B．
【变式1】（25-26高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案.
【详解】由,可得，即，
代入，解得或，
故得或,所以两圆的交点坐标为和,故选:C
【变式2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】联立圆与圆的方程，解得两交点坐标，即可求得圆的半径，从而可得答案.
【详解】解：联立，解得：或，
所以圆的半径为：，所以的面积为.故选：B．
【变式3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为________.
【答案】（或）
【分析】先求出两圆的交点，利用直接法或者待定系数法可求圆的方程，或者利用圆系方程求解.
【详解】法一：由，
解得或者，
所以圆与圆的交点分别为，
则线段AB的垂直平分线的方程为.
由，解得，
所以所求圆的圆心坐标为，半径为，
所以所求圆的方程为.
法二：同法一求得，
设所求圆的方程为，
由，解得，
所以所求圆的方程为.
法三：设所求圆的方程为，其中，
化简可得，圆心坐标为.
又圆心在直线上，
所以，解得，
所以所求圆的方程为.
◆题型2 圆与圆的位置关系的判断
(
解题贴士
：
判断两圆的位置关系的两种方法
（
1
）
几何法
：
将两圆的圆心距
d
与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较
，
进而判断出两圆的位置关系
，
这是解析几何中主要使用的方法
；
（
2
）
代数法
：
将两圆的方程组成方程组
，
通过解方程组
，
根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系
.
)
【例2】圆O：x2＋y2＝2与圆M：x2＋y2＋2x－2y－6＝0的位置关系为（　　）
A.外离 B.相切
C.相交 D.内含
【答案】B
【解析】因圆O：x2＋y2＝2的圆心为O（0，0），半径为r1＝，圆M：x2＋y2＋2x－2y－6＝0的圆心为M（－1，1），半径为r2＝2，又｜OM｜＝＝，所以｜OM｜＝r2－r1，所以圆O与圆M内切，故选B.
【变式1】两圆（x＋3）2＋（y－2）2＝4和（x－3）2＋（y＋6）2＝64的位置关系是（　　）
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
【答案】C
【解析】圆心距d＝10＝R＋r，所以两圆外切.
【变式2】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含.
【解】圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：（x－a）2＋（y－1）2＝16，
C2：（x－2a）2＋（y－1）2＝1，
∴圆心C1（a，1），C2（2a，1），半径r1＝4，r2＝1.
∴｜C1C2｜＝＝a.
（1）当｜C1C2｜＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当｜C1C2｜＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.
（2）当3＜｜C1C2｜＜5，即3＜a＜5时，两圆相交.
（3）当｜C1C2｜＞5，即a＞5时，两圆外离.
（4）当｜C1C2｜＜3，即0＜a＜3时，两圆内含.
◆题型3 圆与圆的位置关系求参
【例3】（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值.
【详解】解：由题知：
圆方程可化为：，所以圆心为，半径，
由圆的方程可知，圆心为，半径，
所以圆心距.
因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此.
【变式1】（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用两圆位置关系的判断方法列不等式求解即得．
【详解】依题意，两圆有公共点，则，
即，解得．
【变式2】（25-26高二上·江苏徐州·期末）若圆与圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径的关系确定的取值范围.
【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径，
对于圆，其圆心坐标为，半径为.
两圆的圆心距，
因为两圆有公共点，所以，即，
解得，因此的取值范围为.故选：D
【变式3】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若圆与圆相切，则实数的一个取值为__________.
【答案】或
【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再分两圆相外切与两圆相内切两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】圆的圆心为，半径；
圆，即，圆心为，半径；
又点与点的距离，
因为两圆相切，
若两圆相外切，则，即，解得；
若两圆相内切，则，即，解得；
综上可得或.
【变式4】（25-26高二上·山东青岛·期末）若圆与圆相交，则的一个取值为______．
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可得到不等式组，从而求出的取值范围，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径；
又点与的距离，
因为圆与圆相交，
所以，即，即，解得；
所以的取值范围为，
【变式5】（25-26高二上·四川成都·期末）已知圆与圆外切，则______．
【答案】
【分析】先找出两个圆的圆心和半径，根据两个圆的位置关系建立方程解出即可.
【详解】设圆，圆，
则圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
圆心距为，
由圆与圆外切，则
即，由，解得，
◆题型4 求公共线
(
解题贴士
：
公共弦长的求法
（
1
）
代数法
：
将两圆的方程联立
，
解出交点坐标
，
利用两点间的距离公式求出弦长
；
（
2
）
几何法
：
求出公共弦所在直线的方程
，
利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形
，
根据勾股定理求解
.
)
【例4】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可.
【详解】已知：，：，
则直线的直线方程为：，
整理得：.
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程.
【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，，
即，
化简可得直线的方程为.
【变式2】（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长.
【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ，
将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程，
化简得：.
根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：，
根据垂径定理，公共弦长.
【变式3】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先将圆的方程化为一般方程，再把两圆的一般式方程相减得到公共弦方程即可.
【详解】由题意得圆方程可化为，
圆方程可化为，
将两圆的方程相减可得，
化简得，则公共弦方程为，故D正确.
故选：D.
【变式4】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________.
【答案】
【分析】先求出公共弦的方程，求出点到直线的距离，结合勾股定理可得答案.
【详解】两圆的方程相减可得：，
如图，圆心到直线的距离为，
所以.

◆题型5 求公切线方程
(
解题贴士
：
处理两圆相切问题的策略
（
1
）
定性
：
即必须准确把握是内切还是外切
，
若只是告诉相切
，
则必须考虑两圆内切还是外切
；
（
2
）
转化思想
：
即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值
（
内切时
）
或两圆半径之和
（
外切时
）.
)
【例5】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，则，可得，
其圆心为，半径为，
因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆，
故，
易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为，
设公切线的方程为，即，
所以，解得，所以两圆公切线方程为.
故选：D.
【变式1】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，故选：.
【变式2】（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.
【详解】解：，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．故选：A.
【变式3】（24-25高二上·广东·阶段检测）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可）
【答案】，，（三个方程写出一个即给满分）
【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程.
【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，．
◆题型6 公切线条数
【例6】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
而，因此圆与圆外切，
所以圆与圆的公切线条数为3.
【变式1】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】判断两圆的位置关系即可.
【详解】圆，圆，
则，半径为；，半径为，
则，
则两圆相离，故公切线条数为.故选：A
【变式2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出圆心距，得到两圆相交，有两条公切线．
【详解】圆心，半径，
，故圆心，半径．
圆心距，
所以两圆相交，有两条公切线．故选：B．
【变式3】（2026·河北·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（ ）
A．0或4 B．1或3 C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据题意可知圆和圆外切，利用列等式求解即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切，
，即，解得或.
故选：D.
【变式4】（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）圆：与圆：的公切线条数为________.
【答案】0
【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与两圆半径之间的关系得到两圆内含，其公切线条数为0.
【详解】由题意可知两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为4，10，
由于，所以两圆内含，其公切线条数为0.
◆题型7 圆系方程
(
解题贴士
：
过圆
O
1
：
x
2
＋
y
2
＋
D
1
x
＋
E
1
y
＋
F
1
＝
0
与圆
O
2
：
x
2
＋
y
2
＋
D
2
x
＋
E
2
y
＋
F
2
＝
0
交点的圆系方程为
x
2
＋
y
2
＋
D
1
x
＋
E
1
y
＋
F
1
＋
λ
（
x
2
＋
y
2
＋
D
2
x
＋
E
2
y
＋
F
2
）＝
0
（
不包括圆
O
2
，
λ
为参数
）.
特别地
，
在该圆系方程中
，①
当
λ
＝－
1
时
，
方程
（
D
1
－
D
2
）
x
＋（
E
1
－
E
2
）
y
＋
F
1
－
F
2
＝
0
为两圆公共弦所在直线的方程
；②
当两圆相切
（
内切或外切
）
时
，
方程
（
D
1
－
D
2
）
x
＋（
E
1
－
E
2
）
y
＋
F
1
－
F
2
＝
0
为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程
.
)
【例7】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可.
【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即，
圆心在直线上，故，解得，
所以圆的方程为.故选：A.
【变式1】（19-20高二上·福建泉州·阶段检测）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据过两圆交点的圆系方程可设所求圆的方程为,把点代入方程,求出即可.
【详解】设所求的圆的方程为,
把点代入可得,,
解得,所以所求圆的方程为,故选:A
【变式2】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设过两圆交点的圆系方程，再将经过的点的坐标代入，求得所求圆的方程即可得圆心．
【详解】设经过两圆与交点的圆的方程为，
因为该圆经过点，
所以，解得，
所以，故圆心坐标为故选：B.
【变式3】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用圆系方程可求圆的方程.
【详解】由题可先设出圆系方程：，
则圆心坐标为； ，
又圆心在直线上，可得，解得，
所以圆的方程为：，故A正确.故选：A.
【变式4】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________．
【答案】
【分析】利用圆系方程可求圆的方程.
【详解】设圆的方程为：，
整理得到：，
因为圆过，代入该点得到：即，
故圆的方程为：即，
【变式5】求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0与x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
【解】设过两圆交点的圆系方程为x2＋y2＋6x－4＋λ（x2＋y2＋6y－28）＝0，
整理得（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0.
∴圆心的坐标为（－，－）.
又圆心在直线x－y－4＝0上，∴－＋－4＝0，解得λ＝－7.
代入圆系方程得x2＋y2－x＋7y－32＝0.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【解析】对于圆：，配方得，故圆心，半径；
对于圆：，配方得，故圆心，半径；
显然两圆圆心距，
两半径之差为，两半径之和为，
显然满足，即，因此两圆相交.
2．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知圆，即 ① ，
圆 ② ，
①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ，
因此直线斜率，又 ，由，可得.
3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】将圆与圆的方程作差可得，
所以两圆相交弦所在直线的方程为，
圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
所以两圆的公共弦长为.
4．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，
由圆，得，
所以圆的圆心，半径，
由圆与圆外切，得，则，
所以.故选：D.
5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以圆心距，
又圆与圆相交，所以，
即，又，所以解得：，
故选：C.
6．（25-26高二上·甘肃·期中）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有3条，则（ ）
A．4 B．2 C．16 D．36
【答案】A
【解析】因为是圆，所以，
因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切，
因为，，，，
所以，解得，故选：A.
7．（25-26高三下·四川巴中·阶段检测）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分，
又与的图形关于直线对称，
设上一点，该点关于直线对称的对称点为，
则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为，
所以，解得，即，
代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图，
易知与的公切线，所以，结合图，设，
所以点到直线的距离为，解得，
所以与的公切线为，故选B
8．（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径为，
依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则，
而，因此，解得，所以的取值范围为.
9．（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由点及，得点在以为直径的圆上，
其圆心，半径，而圆的圆心，半径，
又点在圆上，因此，即，则，
又点与点都不重合，即，则，即，
所以实数m的取值范围是.
10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．圆心距
C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为
【答案】BCD
【解析】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误；
由圆：得圆心，半径，所以，故B正确；
又，所以，所以圆与圆相交，故C正确；
由，两式相减得：，
由圆心到直线的距离为：，
所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确.
11．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则圆和圆相离
B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是
C．若圆和圆外切，则或
D．若圆和圆内切，则
【答案】BD
【解析】圆：，圆心，半径为，
圆：，圆心，半径为，
对于A，当时，，因为，
故两圆相交，故A错误；
对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线的方程是，
即，故B正确；
对于C，由两圆外切，得，解得，故C错误；
对于D，由两圆内切，得，解得，故D正确.
故选：BD.
12．（25-26高二下·山西·期末）已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切
C．的取值范围为 D．面积的最大值为5
【答案】BD
【解析】由题知圆的圆心，半径，
圆可化为16，故圆的圆心，半径，
则，所以两圆相交，故A错误；
因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确；
由圆的性质可得，且，
所以的取值范围为，故C错误；
由圆的性质可知点到直线的距离最大值为，
所以面积的最大值为，故D正确；
13．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________．
【答案】4或6
【解析】由题意得圆的圆心坐标为，半径为；
圆的圆心坐标为，半径为1，
则，
因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切，
即或，则解得或6.
14．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______.
【答案】6
【解析】因为圆：，所以，；
圆：，则其标准方程为：，则，，
因为圆和圆有3条公切线，
所以圆和圆外切，则，
即，解得.
15．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________．
【答案】2
【解析】由圆，得圆心为，半径，
由圆，得圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
两圆方程相减，得公共弦的方程：，
化简得，则到直线的距离为，
要使两圆相交，需使,解得，
，可得，因，则，
由，解得，满足，因此的值为.
16．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和. 求：
(1)取何值时两圆外切？
(2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及.
【解】（1）由圆，即，
则圆心为，半径为，
圆，即，
则圆心为，半径为，，
因为两圆外切，所以两圆圆心距为，
即，解得.
（2）当时，两圆方程相减得：，即，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
17．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上，
(1)求圆的标准方程；
(2)圆，当为何值时，两圆外切？
【解】（1）设圆心，则圆心到点和距离分别为
，
所以 ，即，
解得，
所以圆的半径，圆心，
故圆的方程为.
（2）由圆，得，
故圆的圆心，设半径为，则.
两圆外切时满足，
又因为，
所以，解得.
18．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆.
(1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程；
(2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线(为切点)且，求点的轨迹方程．
【解】（1）
如图所示，由
两式相减，
化简得，
所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，
又∵圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为，
，解得，
∴圆方程为．
（2）由，根据切线长公式，可得，
设，则，
化简得，
点的轨迹方程.
19．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程．
【解】（1）圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
圆心距，因为，故两圆相交.
（2）将两圆方程相减得，
化简得，即，
所以两圆公共弦所在直线的方程.
（3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆
联立两圆方程，由公共弦方程得，
代入圆方程：，解得交点，
中点（圆心）坐标为，
半径为，
故圆方程为：
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