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专题07 对称问题
常考题型·精准突破
题型1 点关于点对称
题型2 直线关于点对称
题型3 点关于直线对称
题型4 直线关于直线对称
题型5 圆关于点的对称
题型6 圆关于直线的对称
题型7 对称解决光线反射问题
题型8 对称性求距离的最值问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 点关于点对称
(
解题贴士
：
解决点关于点对称问题的方法
点
P
（
x
0
，
y
0
）
关于点
A
（
m
，
n
）
的对称点
P'
（
x'
，
y'
）
可利用中点坐标公式求得
，
由
得
)
【例1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中点坐标公式即可求解.
【详解】解：设，由题知，点和点的中点为，则
解得：，，所以点的坐标为故选：B.
【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A． B． C． D．（1，0）
【答案】C
【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上，
∴，解得，即一定在直线上.故选：C.
【变式2】点关于点的对称点的坐标是__________.
【答案】
【分析】设点，由题意可知为线段的中点，利用中点坐标公式可求出点的坐标.
【详解】设点，由题意可知为线段的中点，
由中点坐标公式可得，解得，
因此点关于点的对称点的坐标是.
【变式3】点关于点对称，则________．
【答案】
【分析】由中点坐标公式得出，再有距离公式求解即可.
【详解】由已知得，解得，即，
◆题型2 直线关于点对称
(
解题贴士
：
解决直线关于点对称问题的方法
方法一
：
在已知直线上取两点
，
根据点的中心对称的方法求出对称点
，
再由对称点确定对称直线
；
方法二
：
在已知直线上取一点
，
求出它关于已知点的对称点
，
再利用对称直线与原直线平行求直线方程
；
特别地
，
直线
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
关于原点对称的直线方程是
A
（
－
x
）
＋
B
（
－
y
）
＋
C
＝
0.
)
【例2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案.
【详解】因为不在直线上，
且直线与直线关于点对称，
所以直线与直线平行，即，解得.
在直线上取一点，
关于点的对称点为,
将代入直线，解得.故选：C
【变式1】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为，
则，，解得，，
代入，得，
即所求直线的方程为．故选：D．
【变式2】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求.
【详解】直线的方程可化为，由得，
所以，直线过定点，点关于点的对称点为，
因此，直线恒过的定点.故选：C.
【变式3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______.
【答案】
【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解.
【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为，
可得，解之可得，
所以在直线上，代入即可得，
化简的，即.
◆题型3 点关于直线对称
(
解题贴士
：
解决点关于直线对称问题的方法
已知
P
（
x
，
y
），
直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
，
求点
P
关于直线
l
的对称点
P'
（
x'
，
y'
）
可以分三步来求
：
第一步
，
直线
PP'
和
l
垂直
，
故
k
PP'
·
k
l
＝－
1
（
k
l
≠
0
）；
第二步
，
PP'
的中点在直线
l
上
，
即
（
，
）
满足直线方程
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
，
得到
A
·
＋
B
·
＋
C
＝
0
；
第三步
，
联立两式可解出
x'
，
y'
.
)
【例3】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可.
【详解】设对称点的坐标为，
由题意可得，解得，
所以点关于直线的对称点的坐标为.故选：C
【变式1】（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解.
【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而，
又线段的中点在上，故，解得.故选：D.
【变式2】已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解析 ，，则．故选B．
【变式3】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____.
【答案】
【分析】设出点的坐标，再利用轴对称列出方程求解.
【详解】设点，由点与点关于直线对称，
得，解得，所以点的坐标为.
◆题型4 直线关于直线对称
(
解题贴士
：
解决点关于直线对称直线关于直线对称问题的方法
已知直线
l
1
：
A
1
x
＋
B
1
y
＋
C
1
＝
0
，
l
2
：
A
2
x
＋
B
2
y
＋
C
2
＝
0
，
求直线
l
1
关于直线
l
2
的对称直线的方程
：
（
1
）
如果
l
1
∥
l
2
，
则设所求直线方程为
A
1
x
＋
B
1
y
＋
m
＝
0
（
m
≠
C
1
），
然后在
l
1
上找一点
P
，
求出点
P
关于直线
l
2
的对称点
P'
（
x'
，
y'
），
再代入
A
1
x
＋
B
1
y
＋
m
＝
0
即可解出
m
；
（
2
）
如果
l
1
不平行于
l
2
，
则先找出
l
1
与
l
2
的交点
P
，
然后在
l
1
上确定一点
（
不同于交点
），
找出这一点关于
l
2
的对称点
P'
，
由直线方程的两点式确定所求直线方程
.
)
【例4】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值.
【详解】设关于直线的对称点为，
所以，解得，所以，
又因为在直线上，所以，解得，故选A.
【变式1】（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果.
【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为，
则,故对称点坐标为，代入直线上，，
故选：D
【变式2】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示）
【答案】
【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得.
【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离，
可设所求直线为，则或（舍），
所以，所求直线为.
故答案为：
【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
【答案】.
【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.
【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，所以直线的方程为.
◆题型5 圆关于点的对称
【例5】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程.
【详解】圆的圆心为，半径．
圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5，
所以所求圆的方程为．故选B.
【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）求圆关于点对称的圆的方程．
【答案】
【分析】将圆的方程配成标准式，得到圆心坐标与半径，求出圆心关于点对称的点的坐标，即可求出对称的圆的方程.
【详解】圆，即，圆心，半径，
圆心关于点对称的点为，即，
所以圆关于点对称的圆的方程为.

【变式2】（25-26高一下·江苏南京·开学考试）圆关于点对称的圆的方程是________.
【答案】
【解析】先将圆，化为标准方程得到圆心，再求圆心关于点的对称点，即为所求的圆的圆心.
【详解】圆，化为标准方程：，
设关于点对称的圆的圆心为，
则，解得，
所以圆关于点对称的圆的方程是：
，
【变式3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________．
【答案】
【分析】先根据圆的方程得出圆心及半径，再得出对称点，进而得出圆的标准方程.
【详解】圆圆心为半径为1，
所以圆关于原点对称的圆的圆心为半径为1，
所以圆关于原点对称的圆的方程为.
◆题型6 圆关于直线的对称
【例6】（25-26高二上·山西太原·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案．
【详解】圆的圆心为，半径为1，
设所求圆的圆心为，则与关于直线对称，
故，
则所求圆的圆心为，半径为1，
所以所求圆的方程为．故选：A
【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为______．
【答案】
【分析】求得圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
设对称圆的圆心坐标为，
由题意得，，解得，
对称圆的圆心坐标为，半径为2，对称圆的方程为．
【变式2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得圆的圆心与半径，利用对称求得圆心关于直线的对称点，可求对称圆的方程.
【详解】方程，可化为，
则圆心的坐标为，半径，
设圆关于直线对称的圆的圆心为，则半径仍为，
则，解得．
所以圆的方程为，故选C．
【变式3】（25-26高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程.
【详解】圆，圆心为，半径为2，
设圆心关于直线对称的点是，
则，解得.
则所求圆的方程为，故选D
◆题型7 对称解决光线反射问题
(
解题贴士
：
利用对称解决光线反射问题的方法
根据平面几何知识和光学知识
，
入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称
，
即入射光线、反射光线上对应的点关于法线对称
.
利用点的对称关系可以求解
.
)
【例7】（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解.
【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为，
且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即；
法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点，
所以反射光线所在直线方程为，即.
故选：D．
【变式1】（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得.
【详解】点关于轴对称的点为，
依题意反射光线所在直线过点与，则斜率，
所以反射光线所在直线的方程为，即，故选C
【变式2】（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______.
【答案】
【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可.
【详解】如下图所示：
点关于轴的对称点为，
由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为，
故反射光线所在直线的方程为，即.
【变式3】（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________．
【答案】
【分析】先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程.
【详解】设关于直线的对称点，
所以，所以，所以，
由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率，
所以入射光线所在的直线方程为．
◆题型8 对称性求距离的最值问题
(
解题贴士
：
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识
（
三角形任意两边之和大于第三边
，
任意两边之差的绝对值小于第三边
）
可知
，
要解决在直线
l
上求一点
，
使这点到两定点
A
，
B
的距离之差最大的问题
，
若这两点
A
，
B
位于直线
l
的同侧
，
则只需求出直线
AB
的方程
，
再求它与已知直线的交点
，
即得所求的点的坐标
；
若
A
，
B
两点位于直线
l
的异侧
，
则先求
A
，
B
两点中某一点
，
如
A
关于直线
l
的对称点
A'
，
得直线
A'B
的方程
，
再求其与直线
l
的交点即可
.
对于在直线
l
上求一点
P
，
使
P
到平面上两点
A
，
B
的距离之和最小的问题可用类似方法求解
.
)
【例8】（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______.
【答案】4
【分析】利用“将军饮马”模型，应用点关于直线对称求对称点，再由两点距离最短求最短总路程.
【详解】如图，

设点关于直线对称的点为，
则，解得，
则“将军饮马”的最短总路程为．
【变式1】（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值.
【答案】，12
【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，
因为，，所以直线的方程为，
联立，解得，所以点.
故P的坐标为时，取到最小值为12.
【变式2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解.
【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为，
则，即，解得，即，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立，
故的最小值为.
【变式3】（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______.
【答案】
【分析】设点关于的对称点的坐标为，根据两点关于直线对称求出点的坐标，数形结合可知当、、三点共线时，取最大值，即可得解.
【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，

则，即，所以①．
因为的中点在直线上，
所以，即②．
由①②得，所以点的坐标为．
又，
当且仅当、、三点共线时，取最大值.
故的最大值为.
综合攻坚·知能拔高
1.（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案.
【详解】由与关于坐标原点对称，则，
所以.
故选：B
2.（25-26高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程.
【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即，
所以直线关于原点对称的直线是.
故选：C
3．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
【答案】A
【详解】由于直线与直线关于点对称，
所以两直线平行，故，则，
由于点在直线上，关于点的对称点为，
故在上，代入可得，故，
故选：A
4.若直线l1：y－2＝（k－1）x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，则直线l2恒过定点（　　）
A.（2，0） B.（1，－1）
C.（1，1） D.（－2，0）
【答案】C
【详解】因为直线l1：y－2＝x过定点，点关于直线y＝x＋1对称的点为，故直线l2恒过定点，故选C.
5.直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　）
A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0
C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0
【答案】C
【详解】∵直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线斜率不变，∴设对称后的直线方程l'为2x＋3y＋c＝0，又点（1，－1）到两直线的距离相等，∴＝，化简得｜c－1｜＝7，解得c＝－6或c＝8，∴l'的方程为2x＋3y－6＝0（舍）或2x＋3y＋8＝0，即直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
6．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．5
【答案】A
【详解】设点关于直线的对称点，
则，解得，即.
连接与直线相交于点，则的最小值为，故选A.
7．台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由点关于轴的对称点为，则点在直线上，
点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为，
所以点在直线上，则，
所以直线的方程为，
令，解得，则点的坐标为.
故选：D.
8．已知圆与圆关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】圆，圆心为，半径，
圆的标准方程为，
圆心为，半径，
由题可知与关于直线对称，
所以解得，
又，所以，故，故选：A.
9．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于对称时，线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，圆心，连接，
因为直线关于直线对称，
所以垂直于直线，
故，而，
则，故选D
10.〔多选〕（2025·定州联考）若点A（m，4）和点B（－1－m，3）关于直线l：x＋ny－3＝0对称，则（　　）
A.m＝0 B.m＝1
C.n＝1 D.n＝－1
【答案】AC
【详解】AB的中点为，即（－，）在直线l上，则可得－＋n－3＝0，解得n＝1，则直线l：x＋y－3＝0，斜率为－1，又直线AB与直线l垂直，则可得kAB＝1＝，解得m＝0，故选A、C.
11.〔多选〕一条光线从点A（－2，3）射出，射向点B（1，0），经x轴反射后过点C（a，1），则下列结论正确的是（　　）
A.直线AB的斜率是－1
B.AB⊥BC
C.a＝3
D.｜AB｜＋｜BC｜＝4
【答案】ABD
【详解】对于A，由于A（－2，3），B（1，0），由斜率公式得：kAB＝＝－1，A正确；对于B，点A（－2，3）关于x轴的对称点A1的坐标为（－2，－3），经x轴反射后直线BC的斜率为：kBC＝＝＝1，且kBC·kAB＝－1，所以AB⊥BC，B正确；对于C，直线BC即直线A1B的方程为：y－0＝1×（x－1），即y＝x－1，将y＝1代入得：x＝2，所以点C（2，1），a＝2，C不正确；对于D，由两点间距离公式得：｜AB｜＋｜BC｜＝＋＝4，选项D正确；故选A、B、D.
12.已知，C是关于直线的对称点，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，因为C是关于直线的对称点，
故，解得，即，
又，，故
13.已知点P（－3，4）关于直线x＋y－2＝0的对称点为Q，点Q关于直线x＝1的对称点为R，则△PQR的面积为 .
【答案】3
【解析】P（－3，4）关于直线x＋y－2＝0的对称点Q（－2，5），
点Q（－2，5）关于直线x＝1的对称点R（4，5），又｜QR｜＝4－（－2）＝6，
P点到直线QR的距离d＝1，所以S△PQR＝×6×1＝3.
14．若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________．
【答案】
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，，解得，则圆心坐标为，
则圆的标准方程为.
15．已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题，，联立
解得直线过定点，
设点关于直线对称点为，则
点在以点为圆心，2为半径的圆上．
题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切，
∴，解得．所以的取值范围为．
16．已知直线，点．求：
(1)直线关于点对称的直线的方程；
(2)直线关于直线的对称直线的方程．
【解】（1）设为上任意一点，
则关于点的对称点为，
则在直线上，，
即．
（2）在直线上取一点，
则关于直线的对称点必在上．
设对称点为，
则解得．
设与的交点为，则由得，
则经过点，
直线的方程为，即．
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专题07 对称问题
常考题型·精准突破
题型1 点关于点对称
题型2 直线关于点对称
题型3 点关于直线对称
题型4 直线关于直线对称
题型5 圆关于点的对称
题型6 圆关于直线的对称
题型7 对称解决光线反射问题
题型8 对称性求距离的最值问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 点关于点对称
(
解题贴士
：
解决点关于点对称问题的方法
点
P
（
x
0
，
y
0
）
关于点
A
（
m
，
n
）
的对称点
P'
（
x'
，
y'
）
可利用中点坐标公式求得
，
由
得
)
【例1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A． B． C． D．（1，0）
【变式2】点关于点的对称点的坐标是__________.
【变式3】点关于点对称，则________．
◆题型2 直线关于点对称
(
解题贴士
：
解决直线关于点对称问题的方法
方法一
：
在已知直线上取两点
，
根据点的中心对称的方法求出对称点
，
再由对称点确定对称直线
；
方法二
：
在已知直线上取一点
，
求出它关于已知点的对称点
，
再利用对称直线与原直线平行求直线方程
；
特别地
，
直线
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
关于原点对称的直线方程是
A
（
－
x
）
＋
B
（
－
y
）
＋
C
＝
0.
)
【例2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　）
A．2 B．1 C． D．
【变式1】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______.
◆题型3 点关于直线对称
(
解题贴士
：
解决点关于直线对称问题的方法
已知
P
（
x
，
y
），
直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
，
求点
P
关于直线
l
的对称点
P'
（
x'
，
y'
）
可以分三步来求
：
第一步
，
直线
PP'
和
l
垂直
，
故
k
PP'
·
k
l
＝－
1
（
k
l
≠
0
）；
第二步
，
PP'
的中点在直线
l
上
，
即
（
，
）
满足直线方程
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
，
得到
A
·
＋
B
·
＋
C
＝
0
；
第三步
，
联立两式可解出
x'
，
y'
.
)
【例3】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【变式2】已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____.
◆题型4 直线关于直线对称
(
解题贴士
：
解决点关于直线对称直线关于直线对称问题的方法
已知直线
l
1
：
A
1
x
＋
B
1
y
＋
C
1
＝
0
，
l
2
：
A
2
x
＋
B
2
y
＋
C
2
＝
0
，
求直线
l
1
关于直线
l
2
的对称直线的方程
：
（
1
）
如果
l
1
∥
l
2
，
则设所求直线方程为
A
1
x
＋
B
1
y
＋
m
＝
0
（
m
≠
C
1
），
然后在
l
1
上找一点
P
，
求出点
P
关于直线
l
2
的对称点
P'
（
x'
，
y'
），
再代入
A
1
x
＋
B
1
y
＋
m
＝
0
即可解出
m
；
（
2
）
如果
l
1
不平行于
l
2
，
则先找出
l
1
与
l
2
的交点
P
，
然后在
l
1
上确定一点
（
不同于交点
），
找出这一点关于
l
2
的对称点
P'
，
由直线方程的两点式确定所求直线方程
.
)
【例4】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（ ）
A． B．1 C． D．
【变式1】（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示）
【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
◆题型5 圆关于点的对称
【例5】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）求圆关于点对称的圆的方程．
【变式2】（25-26高一下·江苏南京·开学考试）圆关于点对称的圆的方程是________.
【变式3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________．
◆题型6 圆关于直线的对称
【例6】（25-26高二上·山西太原·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为______．
【变式2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（25-26高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
◆题型7 对称解决光线反射问题
(
解题贴士
：
利用对称解决光线反射问题的方法
根据平面几何知识和光学知识
，
入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称
，
即入射光线、反射光线上对应的点关于法线对称
.
利用点的对称关系可以求解
.
)
【例7】（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______.
【变式3】（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________．
◆题型8 对称性求距离的最值问题
(
解题贴士
：
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识
（
三角形任意两边之和大于第三边
，
任意两边之差的绝对值小于第三边
）
可知
，
要解决在直线
l
上求一点
，
使这点到两定点
A
，
B
的距离之差最大的问题
，
若这两点
A
，
B
位于直线
l
的同侧
，
则只需求出直线
AB
的方程
，
再求它与已知直线的交点
，
即得所求的点的坐标
；
若
A
，
B
两点位于直线
l
的异侧
，
则先求
A
，
B
两点中某一点
，
如
A
关于直线
l
的对称点
A'
，
得直线
A'B
的方程
，
再求其与直线
l
的交点即可
.
对于在直线
l
上求一点
P
，
使
P
到平面上两点
A
，
B
的距离之和最小的问题可用类似方法求解
.
)
【例8】（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______.
【变式1】（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值.
【变式2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．
【变式3】（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______.
综合攻坚·知能拔高
1.（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（ ）
A．5 B．1 C． D．
2.（25-26高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
4.若直线l1：y－2＝（k－1）x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，则直线l2恒过定点（　　）
A.（2，0） B.（1，－1）
C.（1，1） D.（－2，0）
5.直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　）
A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0
C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0
6．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．5
7．台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆与圆关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
9．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于对称时，线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．
10.〔多选〕（2025·定州联考）若点A（m，4）和点B（－1－m，3）关于直线l：x＋ny－3＝0对称，则（　　）
A.m＝0 B.m＝1
C.n＝1 D.n＝－1
11.〔多选〕一条光线从点A（－2，3）射出，射向点B（1，0），经x轴反射后过点C（a，1），则下列结论正确的是（　　）
A.直线AB的斜率是－1
B.AB⊥BC
C.a＝3
D.｜AB｜＋｜BC｜＝4
12.已知，C是关于直线的对称点，则
A． B． C． D．
13.已知点P（－3，4）关于直线x＋y－2＝0的对称点为Q，点Q关于直线x＝1的对称点为R，则△PQR的面积为 .
14．若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________．
15．已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________．
16．已知直线，点．求：
(1)直线关于点对称的直线的方程；
(2)直线关于直线的对称直线的方程．
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