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专题05 实数
1．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23八年级上·河南）的算术平方根是 ．
3．（八年级·广东·竞赛）有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是 ．
4．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）的小数部分为的小数部分为，则 ．
5．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知为整数，且是三位数，则有 个满足题意．
6．（2024八年级上·江苏）已知a为无理数，且，则 ．
7．（22八年级上·湖南）若表示不超过的最大整数，设，那么 ．
8．（2024七年级下·广东广州·竞赛）计算：
(1)；
(2)．
9．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）定义运算：，若，试求x的值．
10．（24七年级下·重庆）对于有理数m、n定义一种新运算“”：．等式右边是通常的四则运算．例如．
(1)若，则______，______
(2)已知，且y为整数，求所有满足条件的整数a的值．
1．（2024七年级·全国·竞赛）已知是有理数，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的整数部分是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线绕点A顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024七年级·全国·竞赛） ．
5．（2024七年级·全国·竞赛）正数的平方根是与，则 ．
6．（2024七年级·全国·竞赛）实数的算术平方根的整数部分是 ．
7．（2024八年级·全国·竞赛）若实数a满足，则 ．
8．（2024八年级·全国·竞赛）对于实数，定义运算，下面是关于这种运算的几个结论：
①；②若，则；③；④若，则．其中正确的有 （填序号）．
9．（2024八年级·全国·竞赛）当时，对于实数，代数式的最小值为 ．
10．（2024七年级·全国·竞赛）已知等式成立，求的立方根和的平方根．
11．（2024八年级·全国·竞赛）已知a、b、c满足如下关系式：，求a、b、c的值．
12．（2024八年级·全国·竞赛）用表示不超过x的最大整数，比如．已知，其中，求的值．
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专题05 实数
1．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了定义新运算，数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答．
【详解】解：由题意得，，
，
，
，
，
，
，
，……
观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，
，
．
故选：B．
2．（23八年级上·河南）的算术平方根是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
先计算，然后计算9的算术平方根即可得出答案．
【详解】解：，9的算术平方根是，
∴的算术平方根是3，
故答案为：3．
3．（八年级·广东·竞赛）有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据数值转换器的原理，结合立方根、算术平方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，，
故输出的y是，
故答案为：．
4．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）的小数部分为的小数部分为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可．
【详解】解： ，
，
的整数部分是1，小数部分是，即，
，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分是，即，
，
故答案为：．
5．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知为整数，且是三位数，则有 个满足题意．
【答案】8
【分析】本题考查了算术平方根的意义，根据为整数，且是三位数可知x是6与一个平方数的积，据此即可求解．
【详解】解：∵为整数，且是三位数，
∴x是6与一个平方数的积，
∴，共有8个．
故答案为：8．
6．（2024八年级上·江苏）已知a为无理数，且，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了无理数的含义，解题关键是因式分解．根据a为无理数，结合因式分解可得：，再进一步即可解题．
【详解】解：∵a为无理数，且，
∴，
∴，
∵是无理数，不为0，
∴0，
∴．
故答案为：．
7．（22八年级上·湖南）若表示不超过的最大整数，设，那么 ．
【答案】25
【分析】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，，
原式，
，
，
故答案为：25．
8．（2024七年级下·广东广州·竞赛）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）根据有理数的乘方、立方根、绝对值的性质进行化简，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
9．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）定义运算：，若，试求x的值．
【答案】1或3或5
【分析】本题考查幂的运算与新定义问题，熟练掌握一个数的幂的形式为1，可分二种情况：①底数为1；②幂为0是解题的关键，根据，由新定义可得，则或，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴可变形为，
∴或或且为偶数，
解得：或或，
∴的值为：1或3或5．
10．（24七年级下·重庆）对于有理数m、n定义一种新运算“”：．等式右边是通常的四则运算．例如．
(1)若，则______，______
(2)已知，且y为整数，求所有满足条件的整数a的值．
【答案】(1)6；
(2)
【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的混合运算．熟练掌握新新运算法则，有理数混合运算的顺序和法则，解一元一次方程，一次不定方程，是解决问题的关键．
（1）根据新运算法则，进行计算即可；
（2）根据新运算法则，列出一元一次方程，求解即可；
（3）根据新运算法则，求出的关系式，再根据y、a的值为整数，给定y值求出a值即可．
【详解】（1）∵，且，
∴，
解得，；
∴；
故答案为：6，；
（2）∵，且，
∴
∴
∵y、a都是整数，
∴，且，
∴．
1．（2024七年级·全国·竞赛）已知是有理数，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是将变形为，得出，，求出，，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
2．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的整数部分是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】B
【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断的整数部分．
【详解】解：由题知，，
又，
则的整数部分是，
故选：B．
3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线绕点A顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴、正六边形的性质、直角三角形的相关性质、勾股定理，熟知相关定理、正确做出辅助线是正确解决本题的关键．
作数轴于点D，利用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出，进而求出即可．
【详解】解∶作数轴于点D，
正六边形的外角和为，
，，
，，
，
，
．
即点C表示的数为．
故答案为：B．
4．（2024七年级·全国·竞赛） ．
【答案】2
【分析】本题考查实数的运算、平方根的应用，通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，利用方程思想进行求解．
【详解】解：设，则，
即，则，
解得或，
因为，所以原式的值为2，
故答案为：2．
5．（2024七年级·全国·竞赛）正数的平方根是与，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了正数有两个平方根，且这两根互为相反数的知识．
根据正数的两个平方根互为相反数，可得方程，即可求得的值，进而即可求解．
【详解】解：∵正数x的平方根是与，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
6．（2024七年级·全国·竞赛）实数的算术平方根的整数部分是 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算；设，则原式为，对此式进行估算即可．利用换元思想使解题得到简化．
【详解】解：设，则原式为，
∵，
∴，
∴的整数部分为a，即；
故答案为：．
7．（2024八年级·全国·竞赛）若实数a满足，则 ．
【答案】2079
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是解答的关键．先求得，则，进而得到，然后求解即可．
【详解】解：依题意得，则，
∴，
∴原式化为，即，
得，
∴．
故答案为：2079．
8．（2024八年级·全国·竞赛）对于实数，定义运算，下面是关于这种运算的几个结论：
①；②若，则；③；④若，则．其中正确的有 （填序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查了有理数新定义计算，大小比较.根据定义运算判断即可．
【详解】∵，
∴，
；
故①正确；
∵，
∴，
，
∴或；
故②错误；
∵，
∴，
故，
故③正确；
∵，，
∴，
∴，
，
∴．
故④正确．
故答案为：①③④．
9．（2024八年级·全国·竞赛）当时，对于实数，代数式的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的性质．分和两种情况讨论，利用绝对值的性质和算术平方根的性质计算即可求解．
【详解】解：，
由，所以，
令.
当时，.
当时，，
综上，的最小值为4．
故答案为：4．
10．（2024七年级·全国·竞赛）已知等式成立，求的立方根和的平方根．
【答案】；
【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，平方根和立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据题意得到，，，得到，，再代入求的立方根和的平方根，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，，
∴，．
∴的立方根，的平方根．
11．（2024八年级·全国·竞赛）已知a、b、c满足如下关系式：，求a、b、c的值．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二元一次方程；根据题意可知，得，从而，得，最终利用方程组得解；熟知算术平方根的非负性是解题的关键．
【详解】解：由，
得①
从而，
所以，
即，
得②
由①②联立得，
解得，
从而．
12．（2024八年级·全国·竞赛）用表示不超过x的最大整数，比如．已知，其中，求的值．
【答案】8
【分析】题目主要考查新定义的运算及不等式的性质，理解新定义的运算是解题关键，根据题意得出，进而均等于0或1，根据题意得出关于x的不等式组，解出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴均等于0或1，
又∵，
∴其中必有16个1，
∴，
∴
∴．
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