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专题01 有理数的巧算
1．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算：的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的运算，把每一个分数化为小数计算可得和为即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，……
∴
∴，
故选C．
2．（24-25七年级下·浙江金华）对于，规定．
（1） ．
（2） ．
【答案】
【分析】（1）根据新定义，将代入计算即可；
（2）根据新定义，得，求出，然后将分组得，再计算即可．
【详解】解：（1）∵对于，规定，
∴当时，得：
，
故答案为：；
（2）∵对于，规定，
∴，
，
∴
．
故答案为：．
3．（24-25七年级·上海）计算：．
【答案】．
【分析】本题考查了有理数的除法，以及分数的简便运算．首先把代分数转化为假分数，可得：原式，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，根据分数的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：
．
4．（24-25七年级下·北京）计算：
【答案】
【分析】本题考查的是有理数的混合运算的运算规律的探究．设，则，可求出，从而得到，则原式可变形为，即可求解．
【详解】解：设，
则，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
5．（24-25七年级上·重庆）．
【答案】333
【分析】本题考查了乘法分配律的应用；原式中有共同的因数，则原式可化为，则可求解．
【详解】解：
．
6．（24-25七年级上·重庆）．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用有理数乘法运算律成为解题的关键．
直接运用有理数乘法运算律以及有理数混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
7．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）【阅读理解】，，，
【实践应用】（1）①计算_____；
②计算_____；
【拓展应用】（2）计算的值
【答案】（1）①；②；
（2）
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为 及巧妙利用裂项相消法是解题的关键
（1）①根据题中所给示例即可解决问题； ②根据题中所给示例即可解决问题；
（2）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可
【详解】解：（1）①
故答案为：．
②
=
=
故答案为：．
（2）
……
原式
8．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）【阅读】
；；；
将这三个等式的两边相加，则得到．
【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：______；
【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：；
【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题意得出规律即可；
（2）根据（1）中的规律计算即可得解；
（3）首先得出，
再进行计算即可得解．
【详解】解：（1）∵，，…，
∴；
（2）
；
（3）
．
1．（2024八年级·全国·竞赛）为求的值，可令，则，因此，即．仿照以上方法，可得 ．
【答案】
【分析】设，则，得到即可得到答案．本题考查了有理数的混合运算，数字类规律，熟练掌握运算方法是解答本题的关键．
【详解】解：设，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
2．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ．
【答案】
【分析】根据原式的特点进行拆项，再进行加减运算即可得到答案，找到运算规律是解题的关键．
【详解】解；原式 ．
故答案为：
3．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加法，乘法和解一元一次方程，根据裂项求和进行简便运算即可，将所求式子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键．
【详解】解：设，
，
，
，
，
∴，
．
故答案为：．
4．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ．
【答案】0
【分析】本题考查有理数的灵活运算，由于，，原式可化为，根据相同两数的差为0即可解答．
【详解】
．
故答案为：0
5．（2024七年级·全国·竞赛）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则；先根据绝对值的意义去掉绝对值，然后根据有理数加减混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
6．（2024七年级·全国·竞赛）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则．先两边乘以得：，然后两式相减得，求出S的值即可．
【详解】解：，
两边乘以得：，
两式相减得，
所以．
7．（19-20七年级上·湖北恩施·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学运用结合律是解题的关键．
【详解】解：原式．
8．（2024七年级·全国·竞赛）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是掌握整体代换的思想．
设，，代入把原式变形，进一步计算即可求解．
【详解】解：设：，，
则原式，
，
，
原式．
9．（2024七年级·全国·竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用来表示，用来表示．现有99个分数：，，，，，．
(1)从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于；
(2)能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0？若能，求出满足条件的9个分数；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)能，
【分析】（1）本题考查了对题干的理解，以及有理数的加法运算，根据用来表示，将化为2个分子为1的分数相加，再继续分解下一个分数，得到4个分子为1的分数相加，即可解题．
（2）本题考查有理数的加减运算，以及分数的规律，根据 ，将此式再减去1加上，即可解题．
【详解】（1）解：可以用来表示，
，
，
，
，
∴．
（类似的去分解也可）．
（2）解：∵
，
∴，
∴．
10．（2024七年级·全国·竞赛）贝贝为了计算的值，作了如下探究：
，，
，将这三个等式的两边相加，
得到．
(1)请帮贝贝计算的值；
(2)请直接写出的值，_______．
(3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值．
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据变化规律将算式展开后即可求解；
（）根据变化规律将算式展开后即可求解；
（）通过类比找出变化规律“”，依此规律将算式展开后即可得出结论；
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，利用类比的数学思想解答．
【详解】（1），
，
，
，
，
∴；
（2）同上理：
，
，
，
，
，
∴，
故答案为：；
（3），
，
，
，
，
∴．
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专题01 有理数的巧算
1．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算：的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·浙江金华）对于，规定．
（1） ．
（2） ．
3．（24-25七年级·上海）计算：．
4．（24-25七年级下·北京）计算：
5．（24-25七年级上·重庆）．
6．（24-25七年级上·重庆）．
7．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）【阅读理解】，，，
【实践应用】（1）①计算_____；
②计算_____；
【拓展应用】（2）计算的值
8．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）【阅读】
；；；
将这三个等式的两边相加，则得到．
【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：______；
【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：；
【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：．
1．（2024八年级·全国·竞赛）为求的值，可令，则，因此，即．仿照以上方法，可得 ．
2．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ．
3．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解是 ．
4．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ．
5．（2024七年级·全国·竞赛）计算：．
6．（2024七年级·全国·竞赛）计算：．
7．（19-20七年级上·湖北恩施·阶段练习）计算：．
8．（2024七年级·全国·竞赛）计算：．
9．（2024七年级·全国·竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用来表示，用来表示．现有99个分数：，，，，，．
(1)从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于；
(2)能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0？若能，求出满足条件的9个分数；若不能，说明理由．
10．（2024七年级·全国·竞赛）贝贝为了计算的值，作了如下探究：
，，
，将这三个等式的两边相加，
得到．
(1)请帮贝贝计算的值；
(2)请直接写出的值，_______．
(3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值．
．
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