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专题28 相似三角形
真题重现
（2024九年级上·吉林长春·竞赛）如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．27
【答案】D
【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知D，E，F分别是，，的中点，可得是的中位线，由中位线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵是由经过位似变换得到的，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴的面积为27．
故选：D．
考点突破
一、平行相似
【学霸笔记】
在求有关线段的比或有关比例式的证明时，添设平行线，构造基本图形是一种常用的重要方法。在作辅助线时，要把握两个原则：作辅助线后能直接或间接出现所要求的比，尽可能多地与已知条件和求证（解）结论产生联系；作辅助线时要从比的前项、后项中的共点线出发，弄清过哪一点作哪一条直线的平行线。
【典例】如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD＝1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　）
A．1：6 B．1：8 C．1：9 D．1：10
【解答】解：过点D作GD∥EC交AB于G，
∵AD是BC边上中线，
∴1，即BG＝GE，
又∵GD∥EC，
∴，
∴AE，
∴AE：EB：2EG＝1：10；
故选：D．
【巩固】如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE∥AB，交AD于点E，过点P作PF∥CD，交BC于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、相似的判定与应用
【典例】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，点C是半圆O上，且，是直径，弦于点E，交于点F，若，，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】连接交于，过点作于，过点作于，设的半径为，则，利用解直角三角形可得，再证得，利用相似三角形性质得出和，再由，可求得，运用面积法求得，最后运用勾股定理建立方程求解得出，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接交于，过点作于，过点作于，
设的半径为，
则，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
在中，，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
．
故选：C．
【点睛】本题是几何综合题，考查了圆的概念和性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
【巩固】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连接．连接，．
(1)直接写出与的数量关系；
(2)如图，连接，，在上取点，使得，，，求的面积．
三、动态几何中的相似问题
【典例】已知：如图，在矩形中，，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．
解答下列问题：
(1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？
(2)连接，设的面积为，求S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使线段被平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，点P在线段BQ的垂直平分线上
(2)S与t的函数关系式为
(3)当时，与相等，理由见详解
(4)不存在某一时刻t，使线段被平分．理由见详解
【分析】当点P在线段的垂直平分线上，，过点P作于点G，用含t的式子表示，的长，再利用等于和等于减列方程求t的值．
过点P作于点H，证明，得到，进而得到，含的代数式，最后求的面积为即可．
证明，得到，求出的长，再求出，利用与相等，列方程求
当线段被平分时，且先利用求出t的值，再分别求出与的长，若它们相等，即存在；不相等，则不存在．
【详解】（1）解：如图1，当点P在线段BQ的垂直平分线上，，过点P作于点
在矩形中，，，点E为边的中点，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
（2）解：如图2，过点P作于点
由可知，，，，
又，
，
已知，，，
则有，
解得：，，
，
的面积为，
与t的函数关系式为．
（3）解：存在．
，，，
，
，
，
点E为边的中点，
，
，解得：，
则，
当时，，
解得舍去或，
当时，与相等．
（4）解：不存在．
理由：当线段PQ被BF平分时，且
当时，，解得
当时，，
当时，．
，
，
，
不存在某一时刻t，使线段被平分．
【点睛】本题是矩形的综合题，根据动点的位置，涉及到垂直平分线的性质，三角形面积计算，相似三角形的判定与性质等知识点．将线段用含t的式子准确表示出来，熟练运用解直角三角形的知识求线段的长是解题的关键．题目思维含量高，难度大，是中考模拟卷压轴题．
【巩固】
如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为．
(1)请用含的代数式表示、；
(2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似；
(3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
模拟演练
1．如图，在中，，且，则四边形与四边形的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
3．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，若，，小孔到的距离，则小孔到的距离为 ．
4．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对．
5．如图，的三边长满足，延长到，使，若，则的度数为
6．如图，点，分别在菱形的边，上，，点，分别在，的延长线上，且．连结，，，，若菱形的面积为，则四边形的面积为 ．
7．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．以的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在的其它边上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．要求：在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形的面积均不相等．
8．如图，的顶点都在网格点上．
(1)以点为位似中心，把按放大在轴的左侧，画出放大后的；
(2)点的对应点的坐标是 　　；
(3)　　．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标．
10．【问题背景】如图（1），已知，求证：；
【尝试应用】如图（2），在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值；
【拓展创新】如图（3），是内一点，，，，，求的长．
11．如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F．
(1)证明：的形状不变；
(2)当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长．
12．如图，在中，，，．动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、点始终在直线的同侧，且．设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上时，用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在的平分线上时，求的值．
(3)连结，当为钝角时，求的取值范围．
(4)作点关于直线的对称点，连结，当直线与的边平行时，直接写出的值．
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专题28 相似三角形
真题重现
（2024九年级上·吉林长春·竞赛）如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．27
【答案】D
【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知D，E，F分别是，，的中点，可得是的中位线，由中位线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵是由经过位似变换得到的，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴的面积为27．
故选：D．
考点突破
一、平行相似
【学霸笔记】
在求有关线段的比或有关比例式的证明时，添设平行线，构造基本图形是一种常用的重要方法。在作辅助线时，要把握两个原则：作辅助线后能直接或间接出现所要求的比，尽可能多地与已知条件和求证（解）结论产生联系；作辅助线时要从比的前项、后项中的共点线出发，弄清过哪一点作哪一条直线的平行线。
【典例】如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD＝1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（　　）
A．1：6 B．1：8 C．1：9 D．1：10
【解答】解：过点D作GD∥EC交AB于G，
∵AD是BC边上中线，
∴1，即BG＝GE，
又∵GD∥EC，
∴，
∴AE，
∴AE：EB：2EG＝1：10；
故选：D．
【巩固】如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE∥AB，交AD于点E，过点P作PF∥CD，交BC于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵PE∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴，
∵PF∥CD，∴△BPF∽△BDC，∴，
∴1，所以A选项符合题意，D选项不符合题意；
∵PE∥AB，∴，
∵PF∥CD，∴，
∴，所以B选项不符合题意；
∵PE∥AB，∴，
∵，∴，所以C选项不符合题意．
故选：A．
二、相似的判定与应用
【典例】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，点C是半圆O上，且，是直径，弦于点E，交于点F，若，，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】连接交于，过点作于，过点作于，设的半径为，则，利用解直角三角形可得，再证得，利用相似三角形性质得出和，再由，可求得，运用面积法求得，最后运用勾股定理建立方程求解得出，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接交于，过点作于，过点作于，
设的半径为，
则，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
在中，，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
．
故选：C．
【点睛】本题是几何综合题，考查了圆的概念和性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
【巩固】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连接．连接，．
(1)直接写出与的数量关系；
(2)如图，连接，，在上取点，使得，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用可证得，于是可得，，连接，利用等腰直角三角形的性质可得，利用圆的基础知识可证得，，于是可得，据此即可得出结论；
（2）由（1）可得，，进而可证得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，于是可求得，，过点作于点，于是可求得，再利用三角形的面积公式即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
如图，连接，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，且，
∴，且，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得：，，，
∴，
∵，，
∵， ，
∴，
∴，
即：，
∴，
在中，根据勾股定理可得：
，
∴，
解得：或（不符合题意，故舍去）或或（不符合题意，故舍去），
∴当时，，
当时，，
∵，
∴，，
如图，过点作于点，
∴，
∴，，
∴的面积．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
三、动态几何中的相似问题
【典例】已知：如图，在矩形中，，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．
解答下列问题：
(1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？
(2)连接，设的面积为，求S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使线段被平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，点P在线段BQ的垂直平分线上
(2)S与t的函数关系式为
(3)当时，与相等，理由见详解
(4)不存在某一时刻t，使线段被平分．理由见详解
【分析】当点P在线段的垂直平分线上，，过点P作于点G，用含t的式子表示，的长，再利用等于和等于减列方程求t的值．
过点P作于点H，证明，得到，进而得到，含的代数式，最后求的面积为即可．
证明，得到，求出的长，再求出，利用与相等，列方程求
当线段被平分时，且先利用求出t的值，再分别求出与的长，若它们相等，即存在；不相等，则不存在．
【详解】（1）解：如图1，当点P在线段BQ的垂直平分线上，，过点P作于点
在矩形中，，，点E为边的中点，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
（2）解：如图2，过点P作于点
由可知，，，，
又，
，
已知，，，
则有，
解得：，，
，
的面积为，
与t的函数关系式为．
（3）解：存在．
，，，
，
，
，
点E为边的中点，
，
，解得：，
则，
当时，，
解得舍去或，
当时，与相等．
（4）解：不存在．
理由：当线段PQ被BF平分时，且
当时，，解得
当时，，
当时，．
，
，
，
不存在某一时刻t，使线段被平分．
【点睛】本题是矩形的综合题，根据动点的位置，涉及到垂直平分线的性质，三角形面积计算，相似三角形的判定与性质等知识点．将线段用含t的式子准确表示出来，熟练运用解直角三角形的知识求线段的长是解题的关键．题目思维含量高，难度大，是中考模拟卷压轴题．
【巩固】
如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为．
(1)请用含的代数式表示、；
(2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似；
(3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得；
（2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得；
（3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
垂直平分，
，
由题意得：，
，．
（2）解：①当时，
则，即，
解得；
②当时，
则，即，
解得，
综上，的值为或．
（3）解：的面积为，
的面积是面积的，
，
如图，过点作于点，
，
，
，即，
解得，
，即，
这个方程根的判别式为，没有实数根，
所以不存在的值使得的面积是面积的．
模拟演练
1．如图，在中，，且，则四边形与四边形的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由可得，，进而得到，，设，则，，分别求出四边形与四边形的面积，求出比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
设，则，，
∴，，
∴，
故选：．
2．如图，矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的性质和判定定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
如图，设交轴于，交于，设，则，设．利用相似三角形的性质求出即可解决问题．
【详解】解：设交轴于，交于，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，
则，设，
点A在双曲线上，
，
，
四边形是矩形，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
故选：C．
3．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，若，，小孔到的距离，则小孔到的距离为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意得到，得到相似比，根据对应边的高的比等于相似比即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
4．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对．
【答案】4/四
【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键．
是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴图中相似三角形有4对．
故答案为：4．
5．如图，的三边长满足，延长到，使，若，则的度数为
【答案】
【分析】根据比例的性质得到，又因为，得到，所以，根据等边对等角得，求得，再根据的内角和等于即可解答．
【详解】解：，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定和性质、等边对等角、三角形外角的定义、三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键．
6．如图，点，分别在菱形的边，上，，点，分别在，的延长线上，且．连结，，，，若菱形的面积为，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，过点作于，设，则，，根据菱形的性质得，则，进而得，，，证四边形为平行四边形得，，再证得，则，同理，则四边形为平行四边形，继而可得，再根据，，得，则，，再由，得，同理，然后根据可得出答案．
【详解】解：连接，过点作于，如图所示：
设，
，
，
，
四边形为菱形，
，，，
，
即，
，
，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
：：，
即：：，
，
同理
四边形为平行四边形，
，
，
，
菱形的面积为，
，
，
，
：：：，
的边和边上的高相同，
，
，
同理：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，理解菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．以的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在的其它边上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．要求：在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形的面积均不相等．
【答案】作图见详解
【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，掌握等腰三角形的定义，格点的特点是解题的关键．
根据等腰三角形的定义，网格的特点作图即可．
【详解】解：作图如下，
图①，在边上取，
∵，
∴，
∴点即为所求点的位置，即为所求等腰三角形；
图②，以为边作长方形，连接对角线，交于点，则点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求点的位置，即为所求等腰三角形；
图③，在网格上取格点，连接，设交于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
设到的高为，
∴，
∴，
∴，
∴点即为所求点的位置，即为所求等腰三角形．
8．如图，的顶点都在网格点上．
(1)以点为位似中心，把按放大在轴的左侧，画出放大后的；
(2)点的对应点的坐标是 　　；
(3)　　．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了位似作图，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了相似三角形的判定和性质．
（1）依据点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，即可画出放大后的；
（2）依据点的位置，即可得到点的对应点的坐标；
（3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：点的对应点的坐标是，
故答案为：；
（3）解：由题可得，，
，
又位似比为，
，
．
故答案为：．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)该抛物线的函数表达式为：
(2)的最大值为，此时
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质．掌握二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）将点、坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）利用，得，则，
设，，，用含的代数式表示出，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
，解得：．
该抛物线的函数表达式为：．
（2） ，，
，，
由勾股定理可得，
，
，
，
，
，，
，
，，
直线的解析为：，
设，，，
，
，
开口向下，，
当时，的最大值为，此时．
10．【问题背景】如图（1），已知，求证：；
【尝试应用】如图（2），在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值；
【拓展创新】如图（3），是内一点，，，，，求的长．
【答案】问题背景：见解析；尝试应用：；拓展创新：
【分析】问题背景：由题意易得，，则有，进而问题可求证；
尝试应用：连接，由题意易得，然后根据三角函数可得，进而问题可求解；
拓展创新：过点A作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据三角函数、相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：【问题背景】∵，
，，
，
，
即，
；
【尝试应用】连接，
，，
，
由问题背景知，
，，
，，
在中，，
，
，
，，
，
【拓展创新】过点A作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
11．如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F．
(1)证明：的形状不变；
(2)当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长．
【答案】(1)证明过程详见解答
(2)
【分析】（1）连接，作于，可求得和长，进而得出的正切值，可得出共圆，从而得出，进一步得出结论；
（2）以所在的直线为轴，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于，可得出，从而得出，可设，从而得出，进而得出坐标，从而求得点坐标，进而得出点在一条线段上运动，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：如图1，连接，作于，
，
，
，
，
，
点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴的形状不变；
（2）解：如图2，以所在的直线为轴，以点为两坐标轴交点，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
设，
，
，
∴点运动路线是一条线段，
当点在处时，，
，
当点在处时，作于，
，
即，
，
，
，
∴的中点的运动路径长为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形，勾股定理，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线，求出点的运动轨迹．
12．如图，在中，，，．动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、点始终在直线的同侧，且．设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上时，用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在的平分线上时，求的值．
(3)连结，当为钝角时，求的取值范围．
(4)作点关于直线的对称点，连结，当直线与的边平行时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)0＜t＜或＜t＜
(4)或或
【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，根据两个角相等，两个三角形相似求证，推出，从而求出长度，即可求出长度，利用矩形的性质即可求出的长度．
（2）分情况讨论，当点在边上时，利用角平分线的性质和结合第（1）问的部分结果推出和的长度，再结合直角三角形的特殊全等方法求出以及相关长度，进而求出长度，根据矩形的性质求出以及相关长度，根据面积法，列关于的方程，即可求出的值；当点在边上时，根据点的运动轨迹可表示出的长度，利用推出相关线段比例从而求出和的长度，利用矩形的性质求出的长度进而求出的长度，利用角平分线的性质求出，利用矩形的性质求出以及相关长度，根据面积法，列关于的方程，即可求出的值．
（3）分情况讨论：当点在边上时，假设的特殊值，可证和，根据三角形相似的性质推出对应线段比即可求出和的长度，从而求出的长度，根据平行线的性质和已知条件推出，从而证明相应线段成比例，即可求出的值；当点在边上时，利用第一种情况的方法分别求出，，以及及相关长度，利用即可求出的值．
（4）分四种情况进行讨论（①当点在边上时，时；②当点在边上时，时；③当点在边上时，时；④当点在边上时，时），然后利用三角形相似求出用表示的相应线段长度，再结合矩形的性质以及线段，找出等量关系，列关于的方程，即可计算出的值．
【详解】（1）解： ，，，
．
，
，
．
，
，
．
动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，点的运动时间为秒，
，
，
．
，
．
矩形，
．
（2）解：①当点在边上时，如图所示，连接，，，过点作于点，作于点，
平分，，，
，
矩形，
．
由（1）可知，，，，
，
．
在和中，，，
，
，
．
，
四边形为矩形，
．
，
，
，
．
②当点在边上时，如图所示，过点作于点，作于点，
连接，，，
由题意可知，运动的距离为，即，
，
．
，，
，
，
，
，．
，
．
矩形，
，，
．
在和中，，，
，
，
平分，，，
，
，
四边形为矩形，
．
，
，
，
．
当时，点运动的距离为：，
与重合，不符合题意．
综上所述，．
（3）解：①当点在边上时，时，如图所示，连接，
，矩形，
，
，，在同一条直线上．
，，
，
，
，
，，
由（1）可知，，
．
，
，
．
，
，
，
，
．
时，．
若为钝角，．
②点在边上时，时，如图所示，
则，
按照第一种情况同理可知，，，
．
，
，
．
时，．
当时， 与重合．
若为钝角，．
综上所述，若为钝角，或．
（4）解：①当点在边上时，时，如图所示，延长交于点，设直线交于点， 交于点，
，
，
，
和是对称点，
，
，
，
，
，
，
，，
由题意得：，，
由（1）可知，，，，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
和是对称点，
．
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，
．
②当点在边上时，时，如图所示，过点作于点，过点作于点，设直线交于点， 交于点，
由（1）可知，，，，
，
．
，，
，
，
，
，．
，
，
，
，
，
，
．
和是对称点，
．
，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，，，
为矩形，
，
，
．
③当点在边上时，时，如图所示，过点作于点，过点作于点，设直线交于点， 交于点，
根据点运动轨迹可知，，，
，，
，
，
，
，．
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
和是对称点，
．
同理可得：，
，
，
，
，
为矩形，
，
，
．
④当点在边上时，时，如图所示，过点作于点，过点作于点，设直线交于点， 交于点，
根据点运动轨迹可知，，，
，，
，
，
，
，．
，
．
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
和是对称点，
．
同理可得：，
，，
，
，
为矩形，
，
，
（不符合题意，舍去）．
综上所述：当直线与的边平行时，或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质以及灵活运用分类讨论的思想．
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