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5.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
【课标要求】
1.理解同角三角函数的基本关系式，；
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
夯实 必备知识
【知识梳理】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： ；
(2)商数关系： .
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 奇变偶不变，符号看象限
【注意】诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.
“奇”、“偶”指的是“”中的k是奇数还是偶数；
“变”与“不变”是指函数的名称的变化；
“符号看象限”指的是在“”中，将α看成锐角时，“”的终边所在的象限.
【常用结论】
同角三角函数的基本关系式的常见变形
(1) ；
；
.
(2) .
【课前自测】
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
（1）若，则.（　　）
（2）存在角，使得.（　　）
（3）存在角，使得.（　　）
（4）若，则.（　　）
【答案】(1)×　(2) √　(3) ×　(4) ×
2．【2023·全国乙卷·高考真题】若，则________．
【答案】
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
3．已知是第二象限的角，化简_________
【答案】
【详解】因为是第二象限的角，则，，可得，，
可得，
，
所以原式.
4．已知，，其中，则的值为______.
【答案】
【详解】因为，所以，
解得或，
因为，所以，，
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，符合题意.
综上，.
故答案为：.
考点1同角三角函数基本关系式
考向1 “知一求二”问题
例1 (1)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，可得，
代入，化简得，
又，，所以，
则有，.
(2)当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【详解】，则，
因为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是8.
故选：B．
【解题技法】
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
对点训练1 (1) 已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________．
【答案】
【分析】先根据θ的象限和的值求，得到点P的坐标，再利用任意角三角函数的定义计算.
【详解】已知θ为第二象限角，，得：
故，，故
则原点到点P的距离，
故.
(2)若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为_________.
【答案】/
【详解】利用方程的根与系数关系可得，
又，即，
解得或，
当时，，不合题意；
当时，原方程的根为，在区间内，符合题意；
故答案为：
考向2 的齐次式问题
例2 (1)【2026·河北秦皇岛·二模】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得 ，
所以.
(2)【2026·山东济南·模拟预测】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
【解题技法】
利用“齐次化切”求齐次式值的方法
(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以的n次幂，将分式的分子与分母化为关于的式子，代入的值即可求解；
(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用替换，再将分子与分母同除以，化为只含有的式子，代入的值即可求解.
对点训练2 (1)若，是方程的一个根，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得：，解得：.
已知，该区间内，故.
所以.
(2)已知．
(i)求的值；(ⅱ)求的值．
【答案】(i)；(ⅱ)
【详解】(i)；(ⅱ).
考向3 与之间关系的应用
例3 (1)【2026·山西忻州·模拟预测】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
.
(2)，则__________， __________.
【答案】 / /
【详解】由题设，
所以，则，
由.
故答案为：，
【解题技法】
1.注意公式的逆用及变形用：，，；
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于，，这三个式子，利用，可以知一求二.
对点训练2 (1)已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答）
【答案】
【详解】，是关于x的方程的两个根，
，解得或，
且，
，，
，，，
或，，
.
(2)对于，则的值域为________________
【答案】
【详解】因为，所以，，
设，则.
再设，因为，所以，
且.
所以，.
观察可知，在，为增函数，
又时，；时，，所以，
又，所以.
考点2 诱导公式
例4 (1)【2026·山东日照·模拟预测】已知，，则________.
【答案】
【详解】因为，所以，又，
所以，所以，
所以.
(2)已知，________．
【答案】
【详解】
.
所以.
【解题技法】
诱导公式的两个应用：
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
对点训练4 (1)【2026·河南信阳·三模】已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】
(2)已知角的终边经过点，求下列各式的值：
(i)；(ⅱ)
【答案】(i)；(ⅱ)
【详解】(i)由得，
则，，.
又， ，
.
(ⅱ)， ，，
.
考向2 同角关系式与诱导公式的综合应用
例5 已知
(1)化简；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1 .
（2）因为 ，所以，
因此.
又，，即，
因此.
【解题技法】
利用诱导公式与同角关系求解问题的思路和要求
(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式；
(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
对点训练4 已知，是关于的方程的两个根．
(i)求的值；
(ⅱ)求的值．
【答案】(i)；(ⅱ)．
【详解】(i)因为有两个根，则，或；
又因为，是关于的方程的两个根，
故，，
因为，，
或，
因为或，所以，
由诱导公式：；
(ⅱ)．
课时练5.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
【试题部分】
一、单选题
1．【2017·全国·高考真题】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，
∴，∴．
故选：D.
2．【2026·全国一卷·高考真题】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，，
即集合，且集合，所以.
3．【2026·河北沧州·三模】已知是的内角，且 若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形．
【答案】B
【详解】，
，
，
，，
为三角形内角，，，
为钝角，即三角形为钝角三角形.
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】已知，若，则，
所以“”可以推出“”；
已知，若，则，
所以“”不能推出“”；
故“”是“”的充分不必要条件.
5．若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】由,得;
同除以,得
由得,
代入化简得,
即,
解得，
则.
6．【2025·福建莆田·三模】已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
代入得，解得或，
因为，所以，，
所以．
故选：D．
7．已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】由，，
则，
则，解得（舍去）或，
所以实数t所有可能值的和为1.
故选：C.
8．【2026·福建泉州·模拟预测】已知，且，则（ ）
A．-2 B． C． D．2
【答案】B
【详解】解法一：由，得，所以，
联立，得，所以.
解法二：由，得，所以，
所以
则，所以.
解法三：由，得，
所以，其中，.
以，，则.
二、多选题
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】因为，，
所以，
解得，则和符号相反.
因为，所以，则，.
，
因，则，
将其与联立，可得，，
所以.
综上，选项A、B、D正确，选项C错误.
10．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】因为是方程的两根，
可得，
对于A，由，平方可得，
解得，所以，解得，所以A错误；
对于B，由，
因为且，所以，
所以，则，所以B正确；
对于C，联立方程组，解得，
所以，所以C错误；
对于D，由
，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．【2025·北京·高考真题】已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【详解】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求；
故答案为：；（答案不唯一）
12．【2026·山东烟台·模拟预测】若，，则的值为______．
【答案】/
【详解】因为分子：
分母：，.
所以原式.
已知，两边同时平方可得：
，
所以.
13．已知，，则________．
【答案】或
【详解】由，可得或，
当时，，，故；
当时，，，故.
故答案为：或
14．设，其中a，b，，，若，则__________.
【答案】1
【详解】因为，
则，，
故，
又因为，所以.
15．函数的值域为______.
【答案】
【详解】设 ，
因为，则 ，
则由函数 ，
可知 ，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时， ；
当时，；当时，.
故当 时， ．
因此函数的值域为 ．
四、解答题
16．已知
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）
又，
（2）
17．已知角，且满足是方程（为常数）的两个根.
(1)求实数的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为是方程（为常数）的两个根，
所以，
由，
得，解得；
（2）由（1）得，
又，，
所以，所以，
所以.
18．已知关于的方程的两根为和，其中
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
【答案】(1)35；(2)；(3)
【详解】（1）由得，
方程的两根为和，
于是，进而，即，
由，对左右两边同时平方，
得.解得.经检验符合.
（2）原式
原式
（3）由得.
由可得.
因此.
另解：原方程即，两根为，
由得，于是，
因此.
19．角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得
（2）根据任意角三角函数定义可得.
.
（3）由（2）可得.

原式.
第 1 页 共 8 页5.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
【课标要求】
1.理解同角三角函数的基本关系式，；
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
夯实 必备知识
【知识梳理】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： ；
(2)商数关系： .
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 奇变偶不变，符号看象限
【注意】诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.
“奇”、“偶”指的是“”中的k是奇数还是偶数；
“变”与“不变”是指函数的名称的变化；
“符号看象限”指的是在“”中，将α看成锐角时，“”的终边所在的象限.
【常用结论】
同角三角函数的基本关系式的常见变形
(1) ；
；
.
(2) .
【课前自测】
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
（1）若，则.（　　）
（2）存在角，使得.（　　）
（3）存在角，使得.（　　）
（4）若，则.（　　）
2．【2023·全国乙卷·高考真题】若，则________．
3．已知是第二象限的角，化简_________
4．已知，，其中，则的值为______.
考点1同角三角函数基本关系式
考向1 “知一求二”问题
例1 (1)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
(2)当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．16
【解题技法】
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
对点训练1 (1) 已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________．
(2) 若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为____________.
考向2 的齐次式问题
例2 (1)【2026·河北秦皇岛·二模】若，则（ ）
A． B． C． D．
(2)【2026·山东济南·模拟预测】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题技法】
利用“齐次化切”求齐次式值的方法
(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以的n次幂，将分式的分子与分母化为关于的式子，代入的值即可求解；
(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用替换，再将分子与分母同除以，化为只含有的式子，代入的值即可求解.
对点训练2 (1)若，是方程的一个根，则（）
A． B． C． D．
(2)已知．
(i)求的值；(ⅱ)求的值．
考向3 与之间关系的应用
例3 (1)【2026·山西忻州·模拟预测】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
(2)，则__________， __________.
【解题技法】
1.注意公式的逆用及变形用：，，；
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于，，这三个式子，利用，可以知一求二.
对点训练2 (1)已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答）
(2)对于，则的值域为________________
考点2 诱导公式
例4 (1)【2026·山东日照·模拟预测】已知，，则________.
(2)已知，________．
【解题技法】
诱导公式的两个应用：
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
对点训练4 (1)【2026·河南信阳·三模】已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
(2)已知角的终边经过点，求下列各式的值：
(i)；(ⅱ)
考向2 同角关系式与诱导公式的综合应用
例5 已知
(1)化简；
(2)若，，求的值．
【解题技法】
利用诱导公式与同角关系求解问题的思路和要求
(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式；
(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
对点训练4 已知，是关于的方程的两个根．
(i)求的值；
(ⅱ)求的值．
课时练5.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
【试题部分】
一、单选题
1．【2017·全国·高考真题】设，则（ ）
A． B． C． D．
2．【2026·全国一卷·高考真题】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．【2026·河北沧州·三模】已知是的内角，且 若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形．
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若，则（ ）
A． B． C．3 D．
6．【2025·福建莆田·三模】已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
7．已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（ ）
A． B． C．1 D．
8．【2026·福建泉州·模拟预测】已知，且，则（ ）
A．-2 B． C． D．2
二、多选题
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．【2025·北京·高考真题】已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________．
12．【2026·山东烟台·模拟预测】若，，则的值为______．
13．已知，，则________．
14．设，其中a，b，，，若，则__________.
15．函数的值域为______.
四、解答题
16．已知
(1)求的值；
(2)求的值；
17．已知角，且满足是方程（为常数）的两个根.
(1)求实数的值；
(2)求的值.
18．已知关于的方程的两根为和，其中
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
19．角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
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