资源简介

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重难点培优03 数列与不等式
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型一 比较大小
题型二 数列恒成立问题
题型三 数列能成立问题
题型四 求参数取值范围
题型五 直接求和证明不等式
题型六 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式
题型七 先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
创新提升
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 放缩的常见技巧
（1）添加或舍去一些项，如，，
（2）将分子或分母放大或缩小，如，
（3）利用基本不等式，如
知识点2 恒成立问题
求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立，还是有解问题，若f(n)≥M恒成立，则f(n)min≥M；若f(n)≥M有解，则f(n)max≥M.
题型深研·通法变式提能力
题型一 比较大小
【例1】（2026·江苏·模拟）设数列满足，，且．记．
(1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)设数列的前项和为，试比较和的大小．
【变式】已知数列的前n项和,且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为,比较和的大小.
题型二 数列恒成立问题
【例2】（2026·河北张家口·三模）记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值．
【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，求使成立的最小正整数.
【变式2】（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式3】（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数；
(2)设，为数列的前项和.
（i）求；
（ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值.
题型三 数列能成立问题
【例3】已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【变式2】已知数列满足．
（1）求数列的前n项和；
（2）若存在,使不等式成立，求实数t的取值范围．
【变式3】已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
题型四 求参数取值范围
【例4】已知为等差数列,且,．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立,求实数λ的取值范围．
【变式1】（2026·吉林白山一模）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2.
(1)若，求数列的前n项和；
(2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
【变式2】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为.
(1)求的和公比;
(2)求;
(3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
题型五 直接求和证明不等式
【例5】（2026·安徽·模拟）已知数列满足 (n∈N*).
(1)求数列的前项和；
(2)设，证明：.
【变式1】（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前 项和为，求证：．
【变式2】（2026·河南郑州·模拟）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【变式3】（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
题型六 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式
【例6】已知等比数列和等差数列,满足,,,．
(1)求数列,的通项公式；
(2)记数列的前项和为,数列的前项和为．证明：．
【变式1】已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求，并求证：.
【变式2】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”.
(1)求的值，并求出的和公比；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
【变式3】已知数列的前项和，，且．
(1)求；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和，且满足，求证：．
题型七 先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式
【例7】（2026·江苏宿迁·三模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列．
①求的前20项和；
②证明：．
【变式1】（2026·山东潍坊·一模）设正项数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式;
(2)若，记数列的前n项和为，证明：．
【变式2】已知数列满足．
(1)证明是等比数列,并求的通项公式；
(2)证明：
【变式3】已知数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1.（2026·重庆沙坪坝二模）已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
2．（2026·重庆·三模）已知数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
3．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4.（2026北京卷T7），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2026·广东茂名·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．当时，最大
C．当时， D．数列的最小项为
6.（多选）（2026·江苏盐城二模）已知数列满足，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7.（2026·辽宁大连·一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________．
8.（2026·江苏无锡·三模）设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________.
9.（2026·河南郑州二模）已知数列满足，．
(1)令，求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，若，求n的最大值．
10.（2026·广东梅州一模）已知数列的前项积为，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)设，记数列的前项和为，求证．
11．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，若，求满足条件的最大正整数.
12．（2026·重庆·模拟预测）数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
13．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，是，的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
14．（河北衡水中学2026届高三年级下学期二调考试数学试题）已知在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
创新提升
15．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
16.（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
17.（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项.
(1)求{，的通项公式；
(2)的前n项和为，，求；
(3)证明：.
18.（2026·湖南湘潭·三模）已知数列和满足．
(1)若，求的值；
(2)若，且恒成立，求的取值范围；
(3)设，若，证明：．
19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线垂直．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点在双曲线C上，求证：．
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重难点培优03 数列与不等式
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型一 比较大小
题型二 数列恒成立问题
题型三 数列能成立问题
题型四 求参数取值范围
题型五 直接求和证明不等式
题型六 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式
题型七 先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
创新提升
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 放缩的常见技巧
（1）添加或舍去一些项，如，，
（2）将分子或分母放大或缩小，如，
（3）利用基本不等式，如
知识点2 恒成立问题
求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立，还是有解问题，若f(n)≥M恒成立，则f(n)min≥M；若f(n)≥M有解，则f(n)max≥M.
题型深研·通法变式提能力
题型一 比较大小
【例1】（2026·江苏·模拟）设数列满足，，且．记．
(1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)设数列的前项和为，试比较和的大小．
【解】（1）∵，
∴，
∴，即
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列.
∴．
（2）由，解得，
∵，
∴，
∵，∴．
【变式】已知数列的前n项和,且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为,比较和的大小.
【解】（1）因为
当时,
又因为时,也满足上式
所以当时,,
（2）由,得
当时,
当时,,.
综上所述：当时,,当时,.
题型二 数列恒成立问题
【例2】（2026·河北张家口·三模）记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值．
【解】（1）因为，，成等比数列，所以，则，
即，则，因为，所以，
所以，解得，
则，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
则，
因为对任意，，且单调递增，
所以，则的最小整数值为1.
【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，求使成立的最小正整数.
【解】（1）当时，，
解得或（舍去），
所以，
当时，，，所以，
即，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
则；
（2）由题意，的前项和，要使成立，
即，
在时单调递增，
时，，
时，，
所以的最小正整数为13.
【变式2】（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解】（1）设其公差为，
由，得，所以．
因为，所以公差，
所以．
（2）
，
所以．
由对恒成立，得，即．
设，由对恒成立，
得，解得或，故的范围为．
【变式3】（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数；
(2)设，为数列的前项和.
（i）求；
（ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值.
【解】（1）由得：当时，；
当时，.
验证也满足，故通项公式为，.
解不等式，即，得，
所以满足条件的正整数，2，3，4，其中最大的
（2）（i）由得：，，，，，则
.
（ii）由知递增，
当 时，，有.
求和：.
再加上前4项的和，可得当时，有，
因此对所有 ，有，且，
条件对任意正整数 恒成立，等价于，
故满足条件的最小值为27
题型三 数列能成立问题
【例3】已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【解】（1）根据，利用累加法求解；
（2）根据存在，成立，由求解.
(1)因为，
当时，
，
又满足上式，
∴；
(2)由（1）知，∴，
∵存在，使得成立，
∴，即，解得，
所以实数的取值范围为.
【变式2】已知数列满足．
（1）求数列的前n项和；
（2）若存在,使不等式成立，求实数t的取值范围．
【解】（1）由知是等差数列，写出通项公式，再应用裂项相消法求；
（2）将问题化为，结合单调性，求t的范围.
（1）由题设有，即是等差数列，
又，得，故，则，
所以．
（2）若存在,使不等式成立，只要．
，
所以是递增的，对于，，
于是只需， 解得或．
故满足条件的实数t为或.
【变式3】已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
【解】（1）设数列的公差为，则
即
又因为，所以
所以.
（2）因为，
所以.
因为存在，使得成立，
所以存在，使得成立，
即存在，使成立.
又，（当且仅当时取等号），
所以.即实数的取值范围是.
题型四 求参数取值范围
【例4】已知为等差数列,且,．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立,求实数λ的取值范围．
【解】（1）设数列 的公差为d,则根据题意可得,
解得,则．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到,
又恒成立,则恒成立,
设,则,
当时,,即；
当时,,则,则；
则,故,
故实数λ的取值范围为．
【变式1】（2026·吉林白山一模）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2.
(1)若，求数列的前n项和；
(2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
【解】（1）已知：时，；
时，，
验证也满足，故.
是首项为1、公比为2的等比数列，故，.
，则：①
两边同乘得：②.
①-②得：
整理得：.
（2）不等式，对恒成立，
代入得：.
设，作差得：
时，；
时，；
时，，
故的最大值为，因此，即.
【变式2】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为.
(1)求的和公比;
(2)求;
(3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
【解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则，
所以，
因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立，
所以，解得，
所以的和公比为4；
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
相减得，
所以；
（3）设，
，
，是递增数列，
不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，
当为奇数时，，则，
当为偶数时，，则，
综上，的取值范围是．
题型五 直接求和证明不等式
【例5】（2026·安徽·模拟）已知数列满足 (n∈N*).
(1)求数列的前项和；
(2)设，证明：.
【解】（1）数列中，，则，
数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以数列的前项和.
（2）由（1）知，，
，显然数列单调递减，因此，
即，所以.
【变式1】（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前 项和为，求证：．
【解】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列，
可得：，由，解得：，
所以的通项公式为.
（2）证明：因为， ：
所以.
所以
因为为正整数，，所以，
因此：.
【变式2】（2026·河南郑州·模拟）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，，
则，
所以
，
又满足上式，所以．
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，．
综上，．
【变式3】（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【解】（1）因为，
所以，即，
所以，由题意知，所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，故，
即，又因为时，，满足该式，所以.
（2）因为，
所以
，
因为，所以，所以
题型六 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式
【例6】已知等比数列和等差数列,满足,,,．
(1)求数列,的通项公式；
(2)记数列的前项和为,数列的前项和为．证明：．
【解】（1）等比数列满足,,所以单调递增,
设的公比为,等差数列的公差为,依题意可得,
解得或（舍去）,
所以,．
（2）由（1）可得,
所以
所以,
故,
又,,
即,
所以
．
【变式1】已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求，并求证：.
【解】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式；
（2）利用列项相消求数列的前n项和为，再结合单调性即可求证；
（1）等差数列公差为d，，且，，，成等比数列，
则有，解得，
所以
（2），，
所以数列的前n项和.
所以，
易知单调递增，同时，
所以当时取得最小值，同时，
所以
【变式2】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”.
(1)求的值，并求出的和公比；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
【解】（1）因为，
所以数列所以为公差的等差数列，
则，
，
因为，
所以，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）得，则，
则，
，
两式相减得
，
所以；
（3），
即，
即，
即，
即，即，
因为，所以，
所以.
【变式3】已知数列的前项和，，且．
(1)求；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和，且满足，求证：．
【解】（1）令，解方程即可求解，
（2）利用，的关系，作差可得等差数列，即可求解，
（1）在，中，，
令，可得
，
∴．
（2），①
当时，，②
可得
，
∴，
∴是公差为的等差数列，
∴，
∴．
（3）证明：由（2）可得，
∴，
∴
．
题型七 先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式
【例7】（2026·江苏宿迁·三模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列．
①求的前20项和；
②证明：．
【解】（1）设等差数列的公差为，
由，得，即，
由，取，得，即，
解得，，所以；
（2）①由（1）知，，所以，
因为，
所以，所以的前20项和为；
②证明：因为，所以，
所以当时，；
当时，
，
综上可得.
【变式1】（2026·山东潍坊·一模）设正项数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式;
(2)若，记数列的前n项和为，证明：．
【解】（1）依题意，当时，，，则；
当时，，，两式相减，
整理可得，又为正项数列，故，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）证明：由（1）可知，所以，显然，
当，则，即，
此时，
综上，成立.
【变式2】已知数列满足．
(1)证明是等比数列,并求的通项公式；
(2)证明：
【解】（1）因为,所以,且,则,
即,所以数列是首项为,公比为7的等比数列,
所以,则；
（2）由（1）可知,,
,即,只有当时,等号成立,
所以,只有当时,等号成立,
当时,,成立,
当时,,
综上可知,.
【变式3】已知数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【解】（1）当时,.
当时,,,两式相减得：
.
所以是以为首项,以为公比的等比数列.
所以.
（2）由（1）知：
所以.
当时,,
当时,,故,
所以.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1.（2026·重庆沙坪坝二模）已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
【答案】C
【解析】当时，由题意得，又，故；
当时，由题意得，又，故；
当时，，
因为函数在上是减函数，
故时，达到最大，故第4项为最大项．
2．（2026·重庆·三模）已知数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
【答案】B
【分析】利用与关系求出数列的通项公式求解即可.
【详解】由,当时，
当时，，
当时，满足条件；
所以数列的通项公式为
则，解得，
因为，所以．
3．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，
所以，
所以，
根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，，
又，所以的最小值为.
4.（2026北京卷T7），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，，是无穷数列，
验证充分性：当存在常数，使时，
，，
显然成立，
验证必要性：当，时，此时满足,
假设存在常数，使成立，
当时，，，
此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，
但不存在这样的固定常数，
∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，
∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件
5．（2026·广东茂名·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．当时，最大
C．当时， D．数列的最小项为
【答案】BCD
【解析】因为，即．
因为，所以的公差小于零，
则，，则，故，A错误；
因为当时，，且当时，，则当时，最大，B正确；
因为，，，
所以，，C正确；
因为当时，，且当时，，
所以当时，，此时．
又因当时，最小，且时，单调递减，
所以数列的最大值为，故数列的最小项为，所以D正确．
6.（多选）（2026·江苏盐城二模）已知数列满足，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由得：数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，故A选项正确；
由，则，
故B选项不正确；
由，
所以，
所以，
所以
，故C选项正确；
当时，成立，
当时，，
所以
，
综上所述：，故D选项正确；故选ACD.
7.（2026·辽宁大连·一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________．
【答案】
【解析】由题可知，则，
==.
设，.
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
则在时取得最大值，
8.（2026·江苏无锡·三模）设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________.
【答案】9
【解析】设等比数列的公比为，，
由等比数列通项性质可得，代入已知条件，，解得，
将代入，得，解得，
因此数列通项公式为，
记前项乘积为，则：，
所以，即，两边取常用对数得： ，整理得，
令，由二次函数性质知在上单调递增，
因为,所以,
因为，,
所以的最大正整数为.
9.（2026·河南郑州二模）已知数列满足，．
(1)令，求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，若，求n的最大值．
【解】（1）由，可得，即，
当时，有，
累加，得
，
又，所以，
验证可知也符合上式，所以．
（2）因为，且，所以，
所以，
则，
令，得，解得，
所以n的最大值为7．
10.（2026·广东梅州一模）已知数列的前项积为，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)设，记数列的前项和为，求证．
【解】（1）由数列的前项积为，得，
故有，从而，
且，则，所以.
从而是首项为3，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，，
.
所以．
观察可知函数在上单调递增，
所以为递增数列，所以．
11．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，若，求满足条件的最大正整数.
【解】（1）由题得：，则，整理得 ，
又，得，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，所以 ，
又
，
所以 ，则，
又时， ，
时，
则满足条件的最大正整数.
12．（2026·重庆·模拟预测）数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【解】（1）因为数列为等差数列，是其前项和，且，．
设数列的首项为，公差为，则，
解得，，所以数列的通项公式为．
因为数列满足：，，
所以数列是首项为1公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．
（2）因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，由于数列的前项和为，所以，因为 对于恒成立，所以．
13．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，是，的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【解】（1）设等比数列公比为q，
因为是，的等差中项，则，即
因为，故，
解得或；当时，不合题意，故舍去；
故;
因为，
代入q可得：；
故：；
故；
（2）证明：由(1)可得：；
故，
因为，则，故．
14．（河北衡水中学2026届高三年级下学期二调考试数学试题）已知在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【解】（1），即，
，
当时，，
，
则这个等式相加得，
，
，
当时，满足该式，
．
（2）证明：，
，
为递增数列，
，
综上可得，．
创新提升
15．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为，，因此当时，，
所以两式相减得，，所以，，
当时，，满足递推关系，所以的递推公式为，
则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为，
因此，
代入得，，化简得，
设，则上式等价于，
所以，，
当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，
，，当时，，所以，因此的最小值为，
即，因此的最大值为，
故选择B选项.
16.（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解】（1）因为，即：．①
当时，，又，所以．
当时，，②
由①－②整理得：．
整理得，
由累乘法得：，
代入比值：，
当时，，符合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）当为偶数时，
，
所以，为偶数，
由恒成立，得，
是偶数，当时，有最小值，所以；
当为奇数时，为偶数，
，
所以，为奇数，
由恒成立，得，
又在上单调递增，
所以当时，有最小值1，所以．
综上，实数的取值范围是
17.（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项.
(1)求{，的通项公式；
(2)的前n项和为，，求；
(3)证明：.
【解】（1）设的通项公式为，，，
，由得，即，故.
解得，∴，，
设的通项公式为，，，
由已知，
整理为，∴，.
（2），，，
①
②
①-②得：
③
④
③-④得：
，.
（3），，
当时，，成立；
当时，，成立；
当时，
综上，原不等式成立.
18.（2026·湖南湘潭·三模）已知数列和满足．
(1)若，求的值；
(2)若，且恒成立，求的取值范围；
(3)设，若，证明：．
【解】（1）因为，
所以，
所以．
（2）因为，
所以，
则，
所以，
由恒成立，可得，
则，得，
则，即的取值范围为．
（3）证明如下：
由，
可得，
则，
两式相减得．
由，得，
则．
由，得，
则，即．
19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线垂直．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点在双曲线C上，求证：．
【解】（1）由已知，则，∴，
∵双曲线C的一条渐近线与直线垂直，
∴这条渐近线的斜率为2，即，
由，解得（负值舍去），
∴双曲线C的方程为．
（2）证明：点 在双曲线 上，代入双曲线方程得： ，
又因为，即 ；
是公差为 4 的等差数列，设首项为 ，则通项为 ；
由 ，且 ，可知 单调递增；
由 ，得：
，
因 公差为 4 ，故 ，代入得：
证明 ：
由 ，得 ，且分母 ，因此 .
证明 ：
对分母放缩：，
因此分母 .
代入，
综上， 得证.
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