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重难点培优02 数列奇偶项问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型1 连续两项和/积型（an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型）
题型2 符号交替型（通项公式中含有(-1)n型）
题型3 分段定义型（an= 型）
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
创新提升
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 奇偶项问题
等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，这是处理奇偶项的核心依据。
2.（1）隔项等差、等比数列型求通项公式常用的方法:用2k-1或2k替代n,求出a2k-1,a2k的通项;
（2）求数列的前n项和常用的方法有:方法一:分别求出S奇,S偶,利用Sn=S奇+S偶,这种思路本质上是分组求和;方法二:把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求出S2k-1,这种思路本质上是并项求和。
知识点2常见类型
（1），求的值；则
（2），求的值
（3）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则
（4）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则
（5）数列中连续两项和或积的问题：或
（6）含有类型
题型深研·通法变式提能力
题型1 连续两项和/积型（an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型）
【例1】（2026·福建三明·一模）若数列满足，，则（ ）
A．155 B．156 C．203 D．204
【变式1】已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（ ）
A．3 B．6 C．2 D．4
【变式3】已知数列满足，，则数列的通项公式
题型2 符号交替型（通项公式中含有(-1)n型）
【例2】（2026·云南昆明一模）在数列中，若，且，则数列的前20项和为（ ）
A．60 B．45 C．35 D．20
【变式1】（2026·广东佛山二模）已知数列满足，则（ ）
A．720 B．746 C．760 D．780
【变式2】（2026·湖北武汉一模）数列的前2025项和为（ ）
A．1012 B． C．1013 D．
【变式3】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前项和，求.
题型3 分段定义型（an= 型）
【例3】已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·广东湛江一模）已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（ ）
A．127 B．192 C．235 D．747
【变式2】（2026·河南南阳二模）数列中，，则数列的前2026项和为（ ）
A．4052 B．4054 C．2026 D．2027
【变式3】（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值；
(3)若，求数列的前n项和．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（2026·河北石家庄一模）已知数列的前n项和为，，且则（ ）
A．1012 B．1013 C．1014 D．1015
2．（2026·安徽芜湖二模）已知数列满足，，则的前20项和为（ ）
A．299 B．300 C．301 D．302
3．（2026·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则数列的前2026项和为（ ）
A． B． C．1013 D．505
5．（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ）
A．数列是等比数列 B．
C．数列是等比数列 D．
7．（2026·广东·模拟预测）已知数列均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·山西大同·三模）已知数列满足，，则______．
9．（2026·浙江丽水一模）已知数列的前n项和为，且，则________．
10．（2026·河南新乡二模）已知数列满足，，则__________.
11．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）.
12．（2026·湖南·三模）已知正项数列满足，且.
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
13．（2026·山西运城·二模）已知等差数列的公差为．
(1)若，求数列的前项和；
(2)若数列为递减数列，求的取值范围．
14．（2026·山东·阶段检测）已知等差数列和正项等比数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
15．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根.
（1）求；
（2）设，求数列的前项和.
创新提升
16．（2026·河南郑州·期中）记为数列的前项和，.则 （ ）
A．2024 B．2025 C．1012 D．1013
17．（2026·河北·期末）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B．
C．当为偶数时， D．
18.（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足求数列的前2n项和．
19．（2026·陕西宝鸡·三模）已知数列的各项均为正数，，其前项和满足其中为常数且．
(1)求证：数列为等比数列
(2)若，数列满足，数列满足，求数列的前项和
20．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
(1)若数列，求集合；
(2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项．
（i）求；
（ii）令，求．
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重难点培优02 数列奇偶项问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型1 连续两项和/积型（an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型）
题型2 符号交替型（通项公式中含有(-1)n型）
题型3 分段定义型（an= 型）
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
创新提升
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 奇偶项问题
等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，这是处理奇偶项的核心依据。
2.（1）隔项等差、等比数列型求通项公式常用的方法:用2k-1或2k替代n,求出a2k-1,a2k的通项;
（2）求数列的前n项和常用的方法有:方法一:分别求出S奇,S偶,利用Sn=S奇+S偶,这种思路本质上是分组求和;方法二:把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求出S2k-1,这种思路本质上是并项求和。
知识点2常见类型
（1），求的值；则
（2），求的值
（3）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则
（4）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则
（5）数列中连续两项和或积的问题：或
（6）含有类型
题型深研·通法变式提能力
题型1 连续两项和/积型（an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型）
【例1】（2026·福建三明·一模）若数列满足，，则（ ）
A．155 B．156 C．203 D．204
【答案】A
【解析】由，则，
故奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，
由，则，，则，
故.
故选：A
【变式1】已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，即.
又①， 则②，
由②-①，得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公差的等差数列

【变式2】（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（ ）
A．3 B．6 C．2 D．4
【答案】A
【解析】，
则、
.
【变式3】已知数列满足，，则数列的通项公式
【答案】
【解析】（1），，，
∴当为奇数时，
当为偶数时，
∴数列的通项公式为
题型2 符号交替型（通项公式中含有(-1)n型）
【例2】（2026·云南昆明一模）在数列中，若，且，则数列的前20项和为（ ）
A．60 B．45 C．35 D．20
【答案】A
【解析】在数列中，若，且，
所以时，，解得，时，，
时，，解得，时，，时，，解得，时，，
时，，解得，时，，时，，解得时，，
同理，，，，，，，，
所以数列的前20项和
.
【变式1】（2026·广东佛山二模）已知数列满足，则（ ）
A．720 B．746 C．760 D．780
【答案】D
【解析】当时，，
即有；
当时，；
则，即，
故
.
【变式2】（2026·湖北武汉一模）数列的前2025项和为（ ）
A．1012 B． C．1013 D．
【答案】C
【解析】设数列的前项和为，则.
可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组，
还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推.
因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为.
等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即，故选C.
【变式3】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前项和，求.
【解】（1）因为中，且，
当时，所以，
所以，化简得，即得，
所以，
所以，当时，所以，
综上，；
（2）由（1）可得，
即得，
，
，
，
所以.
题型3 分段定义型（an= 型）
【例3】已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，①
当时，，②
将①代入②得，
所以，
又，则，即，
所以，
所以，
所以．
【变式1】（2026·广东湛江一模）已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（ ）
A．127 B．192 C．235 D．747
【答案】D
【解析】设数列的前n项和为，
因为，
所以
.
【变式2】（2026·河南南阳二模）数列中，，则数列的前2026项和为（ ）
A．4052 B．4054 C．2026 D．2027
【答案】D
【解析】因，
则
数列呈周期性：，最小正周期为4，
故的前2026项和为.
【变式3】（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值；
(3)若，求数列的前n项和．
【解】（1）依题意，，解得，
故.
（2）由 ，
.
（3）依题意，，
当n为偶数时，，
此时
；
当n为奇数时，；
故.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（2026·河北石家庄一模）已知数列的前n项和为，，且则（ ）
A．1012 B．1013 C．1014 D．1015
【答案】B
【解析】对于令，有，则.
因，则数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列，
故，
可得.
故选：B.
2．（2026·安徽芜湖二模）已知数列满足，，则的前20项和为（ ）
A．299 B．300 C．301 D．302
【答案】B
【解析】由题意知数列满足，，，
所以.
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由，知，
数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
从而数列的前20项和为：
.
故选：B.
3．（2026·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因，则
，当时，符合题意，故，
则，
故.
故选：D.
4．（2026·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则数列的前2026项和为（ ）
A． B． C．1013 D．505
【答案】C
【解析】设公差为，因为，，成等比数列，
所以，
又，所以，整理得，
解得或，
当时，，此时，，不构成等比数列，舍去；
当时，经检验满足题意，故，
所以数列的前2026项和为：
.
故选：C
5．（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，
所以当为奇数时，，
即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列，
记为数列，则；
当为偶数时，，且，
即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列，
记为数列，则.
对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项，
所以，，所以，故A正确.
对于C，当，时，，，所以；
当，时，，，所以；
综上，，故C正确.
对于B，
，故B错误.
对于D，
，，故D正确.
6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ）
A．数列是等比数列 B．
C．数列是等比数列 D．
【答案】BC
【解析】
当时，．
当时，，
数列一定不是等比数列，故A错误；
当时，；
当时，；当时，．
，故B正确；
．
数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确；
方法一：由可知，，，
，故D错误．
方法二：，
，故D错误．
7．（2026·广东·模拟预测）已知数列均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由是递增数列，得；又，所以，
所以，所以，故A正确；
，故B不正确；
由是递增数列，得，又，
由可得，即，解得，故C正确；
由，可得，则，
即数列和均为公比为的等比数列，
所以
，
所以，又，所以，
而，
当时，；
当时，可验证，
所以对于任意的，都有，即，故D正确．
故选：ACD．
8．（2026·山西大同·三模）已知数列满足，，则______．
【答案】103
【解析】由题意得，
．
9．（2026·浙江丽水一模）已知数列的前n项和为，且，则________．
【答案】75
【解析】当为奇数时，为奇数，则，故数列的奇数项均为；
当为偶数时，为偶数，则，即，
则数列的偶数项，是以为首项，公差为1的等差数列，
所以.
10．（2026·河南新乡二模）已知数列满足，，则__________.
【答案】5
【解析】由，用分别替换，
得，，
联立，解得，
所以，联立,得.
由，，得，
所以，
又因为时，代入，得，
所以，故，
11．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）.
【解】（1）当时，，
当时，，满足上式，所以；
由得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
（2）
.
12．（2026·湖南·三模）已知正项数列满足，且.
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
【解】（1）证明：由得，，
所以 ，
故是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）因为，所以由（1）可知，，则.
所以 .
当为偶数时，
当为奇数时，
综上所述，.
13．（2026·山西运城·二模）已知等差数列的公差为．
(1)若，求数列的前项和；
(2)若数列为递减数列，求的取值范围．
【解】（1）因为，所以，
所以，
所以
；
（2）设，则，
当为奇数时，，
因为数列为递减数列，所以，得，
当为偶数时，，
因为数列为递减数列，所以，得；
故的取值范围是．
14．（2026·山东·阶段检测）已知等差数列和正项等比数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【解】（1）设的公差为，数列的公比为，
由，得，
因为，，所以，，得，，
故，；
（2）由（1）可知，，
则
15．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根.
（1）求；
（2）设，求数列的前项和.
【解】（1）因为，是关于x的方程的两个根.
所以由韦达定理得，即，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.
（2）由（1）得，所以.
所以根据韦达定理得，所以.
所以.
所以.
创新提升
16．（2026·河南郑州·期中）记为数列的前项和，.则 （ ）
A．2024 B．2025 C．1012 D．1013
【答案】D
【解析】，，，
，，……，
，
，
将以上2026个等式左右分别相加，
得，
则．
17．（2026·河北·期末）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B．
C．当为偶数时， D．
【答案】BCD
【解析】对于A，，，解得，，故A错误；
对于B，，，
所以，所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，
数列是以为首项，4为公差的等差数列，
所以，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
18.（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足求数列的前2n项和．
【解】（1）当时
∴当时，
又
是等比数列，
（2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列
，
偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列，
，
.
19．（2026·陕西宝鸡·三模）已知数列的各项均为正数，，其前项和满足其中为常数且．
(1)求证：数列为等比数列
(2)若，数列满足，数列满足，求数列的前项和
【解】（1）由，得，
两式相减得：，
又，则，
又，则，其中为常数且，
所以数列为等比数列；
（2）当时，
由知：
当时；当时，
所以，
当时，，
当时，，
即.
20．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
(1)若数列，求集合；
(2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项．
（i）求；
（ii）令，求．
【解】（1）由题意可知数列，得
，
则；
（2）（i）设等比数列的公比为，
由题意可知，，
解得或（不符合题意舍去），
所以，
此时数列，
因为，
所以集合中元素最多为个，即，
对于数列，此时，
若存在，则，其中，
故，
若，不妨设，则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，故，
故由得到彼此互异，
所以；
（ii），
，
则
.
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