资源简介

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重难点培优01 衍生数列
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型1 片段数列问题
题型2 公共项问题
题型3 幷项问题
题型4 增项问题
题型5 减项问题
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
创新提升
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 衍生数列
衍生数列是指由已知数列通过截取一段连续项构成等比（差）等特殊数列；或插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题.
知识点2 片段数列问题求解策略
求原数列通项及前n项和；2.根据分组规则，设出新数列的基本量；3.结合增减、奇偶、分组性质化简，求解未知参数.
知识点3 数列的公共项与并项
两个等差数列的公共项一般是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项一般是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项一般是等比数列；
解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确去掉两个数列的公共项.
知识点4 数列的增减项
对于增加项数或减少项数问题，弄清增加（或减少）的项数及增加（或减少）的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法即可解决此类问题.
题型深研·通法变式提能力
题型1片段数列问题
【例1】（2026全国一卷T7）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1】（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（ ）
A．284 B．381 C．384 D．484
【变式2】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（ ）
A．，的等差中项为
B．，的等比中项为
C．，，，，…为等差数列
D．，，，，…为等比数列
题型2公共项问题
【例2】（2026·江西赣州一模）已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2026·山东临沂二模）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______．
【变式2】（2026·浙江杭州二模）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列.
（1）求与的通项公式；
（2）把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和.
【变式3】已知数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的通项公式为，若由数列与的公共项按从小到大排列得到数列，求数列的前n项和．
题型3幷项问题
【例3】（2026·福建厦门一模）已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则（ ）
A． B．数列中与之间共有项
C． D．
【变式1】（2026·江苏镇江二模）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______.
【变式2】已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
【变式3】已知数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72 . 数列 是公比大于 0 的等比数列， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)将 和 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 ，求数列 的前 200 项和 .
题型4增项问题
【例4】已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和．
【变式1】（2026·山东聊城一模）已知等比数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式;
(2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求
【变式2】（2026·江苏苏州一模）已知数列的各项均为正数，，记为的前n项和．
(1)已知，数列是等差数列，证明：是等差数列；
(2)若，在（1）的条件下，将在数列中，但不在数列中的项从小到大依次排列构成数列，求数列的前20项和．
【变式3】（2026·江苏南京·三模）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，求满足的的最大值.
题型5减项问题
【例5】（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
【变式1】（2026·云南曲靖二模）已知正项数列和为数列的前项和，且满足
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1.将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A．77 B．83 C．87 D．95
2.（2026·福建漳州·三模）数列的通项公式分别为，在中去掉中含有的项得到新数列，则的前30项的和为（ ）
A．407 B．429 C．465 D．525
3.（2026·湖南衡阳一模）已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
4.（2026·河北衡水·二模）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
5.（2026·黑龙江哈尔滨一模）神经网络系统在人工智能研发中扮演关键角色．一种神经网络系统的工作原理如下：将一个正整数列输入系统，系统将相邻两项依次相加，再将得到的新数列输出——以上过程称为一个“阶段”，例如，输入，将输出；现向系统中输入个“”，将系统输出的结果再次输入系统，重复上述过程，总共经历个“阶段”的运算后，结果为一个正整数；若满足，则，的值分别为（ ）
（参考数据：）
A．； B．； C．； D．；
6.（2026·江西景德镇二模）已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列的前20项和为
C． D．
7.（多选）已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的值不可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8.（多选）（2026·江苏宿迁二模）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列的通项公式为
9．（2026·湖北襄阳·二模）已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则_______.
10．（2026·广东佛山二模）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为_________________．
11.（2026·浙江台州·二模）已知数列为等差数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求.
创新提升
12.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____．
13.（2026·浙江嘉兴二模）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
14．（多选）（2026·湖北宜昌·二模）已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（ ）
A．
B．中存在连续三项成等比数列
C．
D．
15.（2026·广东梅州一模）在数列中，，，数列满足．若在数列中去掉的项，余下的项按照原来的顺序组成数列，则数列的前25项的和为______．
16．（2026·山东济南·模拟预测）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________．
17.（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和．
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重难点培优01 衍生数列
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题型深研·通法变式提能力
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题型2 公共项问题
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题型4 增项问题
题型5 减项问题
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知识点1 衍生数列
衍生数列是指由已知数列通过截取一段连续项构成等比（差）等特殊数列；或插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题.
知识点2 片段数列问题求解策略
求原数列通项及前n项和；2.根据分组规则，设出新数列的基本量；3.结合增减、奇偶、分组性质化简，求解未知参数.
知识点3 数列的公共项与并项
两个等差数列的公共项一般是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项一般是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项一般是等比数列；
解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确去掉两个数列的公共项.
知识点4 数列的增减项
对于增加项数或减少项数问题，弄清增加（或减少）的项数及增加（或减少）的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法即可解决此类问题.
题型深研·通法变式提能力
题型1片段数列问题
【例1】（2026全国一卷T7）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由已知，，，，，
所以数列的前项的和为，
设新数列为，，
由已知数列为等差数列，设其公差为，，
又的前项都为奇数，所有项都为偶数，
由已知为正偶数，为正偶数，
则，故，
若，则，矛盾，
若，则，矛盾，
若，则，矛盾，
若，则，此时可取，，，
，，，满足要求；
【变式1】（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（ ）
A．284 B．381 C．384 D．484
【答案】C
【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为，
则，，两式相除得，解得或（舍去），
，故，
又，，
.
【变式2】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（ ）
A．，的等差中项为
B．，的等比中项为
C．，，，，…为等差数列
D．，，，，…为等比数列
【答案】AC
【解析】对于A，由为等差数列，所以的等差中项为，故A正确；
对于B，由为等比数列，所以的等比中项为，故B错误；
对于C，设等差数列的首项为，公差为，
所以，
，
，
所以，
所以，，，，…为等差数列，故C正确；
对于D：设等比数列的公比为，
当时，，
当为偶数时，，
所以，，，，…不是等比数列，故D错误.
题型2公共项问题
【例2】（2026·江西赣州一模）已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】已知，令得，则是首项为，公比为的等比数列，
通项为，已知，则，解得，故，
故，则是首项为4，公差为3的等差数列，
故两个数列的公共项，满足既是，又满足除以3余1，
故公共项为，即，则．
【变式1】（2026·山东临沂二模）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______．
【答案】
【解析】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
数列是以3为首项，以3为公差的等差数列，
可知这两个数列的公共项所构成的新数列是以3为首项，以为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为：，
则 ，
则的前10项和为.
【变式2】（2026·浙江杭州二模）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列.
（1）求与的通项公式；
（2）把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和.
【解】（1）由得，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，所以.
依题意，，，
解得，所以.
（2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…，
所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列，
所以，
则.
【变式3】已知数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的通项公式为，若由数列与的公共项按从小到大排列得到数列，求数列的前n项和．
【解】（1）因为，所以．
当时，；
当时，．
当时满足，故数列的通项公式为．
（2）设，即，．
由，所以，
由，可知，即不是两个数列的公共项．
，
由，可知，所以是两个数列的公共项，
因此，若，则，
所以，且，
所以两数列的公共项所构成的新数列是以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以数列的前n项和．
题型3幷项问题
【例3】（2026·福建厦门一模）已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则（ ）
A． B．数列中与之间共有项
C． D．
【答案】ABD
【解析】数列的前项和，当时，；
当时，，
经检验，当时也满足，所以，
又因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以．
则数列为：，
所以，故选项A正确；
数列是由连续奇数组成的数列，都是偶数，
所以与之间包含的奇数个数为个，故选项B正确；
因为，前面相邻的一个奇数为，
令，解得，
所以数列从1到共有，也即，故选项C错误；
设位于与之间，则有，解得，
所以前1022项中包含的前10项，的前1012项，
即，故D正确．故选：ABD
【变式1】（2026·江苏镇江二模）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______.
【答案】
【解析】由题可得集合，是正奇数集，通项为，
集合，是的整数次幂集，通项为，
由于集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，
则数列前项由的前项和的前项组成；
则
【变式2】已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
【解】（1）由，，得，则，
即，又，于是，而，
所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，.
（2）由（1）知，数列，都是递增数列，
，即，
因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项，
所以.
【变式3】已知数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72 . 数列 是公比大于 0 的等比数列， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)将 和 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 ，求数列 的前 200 项和 .
【解】（1）因为数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72，
所以，即，
所以；
因为数列 是公比大于 0 的等比数列， ，
所以，解得（舍去），
所以.
（2）因为，
所以前200项中中有5项，其和为，
中有前有195项，和为，
所以.
题型4增项问题
【例4】已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和．
【解】（1），
当时，，解得．
又当时，，
，，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
．
（2），
由题意知，.
，
设数列的前项和为，
，
，
则，
两式相减得：，
即，
．
【变式1】（2026·山东聊城一模）已知等比数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式;
(2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求
【解】（1）由，得，
两式相减得，
即，，
得等比数列的公比，
又当时，，所以，所以
（2）数列为：3，，，1，1，，，，，
以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数，
当时共有项数，
当时共有项数，
所以
.
【变式2】（2026·江苏苏州一模）已知数列的各项均为正数，，记为的前n项和．
(1)已知，数列是等差数列，证明：是等差数列；
(2)若，在（1）的条件下，将在数列中，但不在数列中的项从小到大依次排列构成数列，求数列的前20项和．
【解】（1）因为数列是等差数列，，
所以公差为，首项为,
所以，所以，
则时，，，
两式相减并化简得，
所以，
即，所以，时上式也符合，
所以 ，则，
所以数列是等差数列，得证.
（2），由（1）得，，
当数列取项时，设数列中取项，去掉数列中的项，
则有，其中为正整数，
则当时，，不等式组成立，
当时，，不等式组不成立，
所以取，设数列的前项和为，
则
，
所以数列的前项和是.
【变式3】（2026·江苏南京·三模）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，求满足的的最大值.
【解】（1）设等差数列的公差为d，
由题知，，
又，解得，
故.
（2）在任意相邻两项与之间插入个2，则与之间的2的总和为，又由（1）易知等差数列是单增数列，故数列的前n项和是单增的，则求满足的的最大值即找到使接近500的n值即可.
当恰取到后的第个项时，
，，，
易知单增，当时，，
当时，，又，
则当时，去掉50个2即可得到的的最大值，即.
题型5减项问题
【例5】（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
【详解】（1）由等差数列性质得： ①，
当时，，解得，
当时，有： ②，
①-②得：，
整理得： ，
因此是首项为，公比为2的等比数列，
故.
（2）设，代入得： ，
因此，是首项为，公差为的等差数列，
令，即，得，为正整数，
故所有的都在中（小于，不在中），
要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足，
去掉的项为，共个（，故不在的前35项中），
故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和，
前35项和：，
去掉的5个的和：，
因此.
【变式1】（2026·云南曲靖二模）已知正项数列和为数列的前项和，且满足
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
【解】（1）因为，
所以当时，，
两式相减得，
整理得，
因为，
所以.
又，解得，
所以，
所以，解得，
所以数列和的通项公式为，.
（2）由（1）得，，
所以，
又，
所以，
所以.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1.将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A．77 B．83 C．87 D．95
【答案】B
【解析】首先两个数列的第一个公共项，
而数列和的公差分别为3和4，
所以其公共项构成的数列公差为3和4的最小公倍数．
所以为首项11，公差12的等差数列，所以．故选B
2.（2026·福建漳州·三模）数列的通项公式分别为，在中去掉中含有的项得到新数列，则的前30项的和为（ ）
A．407 B．429 C．465 D．525
【答案】D
【解析】因为数列的通项公式是，所以数列为，
因为数列的通项公式是，所以数列为，
得到的前33项中含有1，8，27这3个中的项，
可得的前30项为数列的前33项除去三项1，8，27，
故前30项的和为.
3.（2026·湖南衡阳一模）已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】B
【解析】由的通项公式，得首项，
公差，
则等差数列的首项，设其公差为，
由于相邻两项之间插入2个数，故，则，
根据等差数列通项公式，，
因此.
4.（2026·河北衡水·二模）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】B
【解析】已知前10项成等差数列，设公差为，由得：，，
因为数列各项均为整数，所以是整数，
从第9项起成等比数列，满足，代入得：，
整理得，解得或，
因为为整数，舍去，得，
，求得，
等比数列公比，则，
所以.
5.（2026·黑龙江哈尔滨一模）神经网络系统在人工智能研发中扮演关键角色．一种神经网络系统的工作原理如下：将一个正整数列输入系统，系统将相邻两项依次相加，再将得到的新数列输出——以上过程称为一个“阶段”，例如，输入，将输出；现向系统中输入个“”，将系统输出的结果再次输入系统，重复上述过程，总共经历个“阶段”的运算后，结果为一个正整数；若满足，则，的值分别为（ ）
（参考数据：）
A．； B．； C．； D．；
【答案】A
【解析】根据题意，当输入个“”时，会输出个“”，即第个“阶段”的结果是个“”，
因此第个“阶段”的结果是个“”，第个“阶段”的结果是个“”，
则第个“阶段”的结果是个“”，
因此，要使结果为一个正整数，所经历的阶段数要满足，即，此时，
由于满足，即，都取对数可得，
已知参考数据，得，所以，解得，
因此，的值分别为，故A正确.
6.（2026·江西景德镇二模）已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列的前20项和为
C． D．
【答案】B
【解析】若的公差为，则，可得，
所以，，A、C对，
若且，则，易知为偶数，
不妨令，所以，于是有，D对，
所以，B错.
7.（多选）已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的值不可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】AC
【解析】原数列各项和为.
设新数列首项为，公差为，项数为4，
所以新数列的各项和为，
化简得.
因为原数列各项均为奇数，所以每组的2个数之和一定是偶数，所以必为偶数.
将各选项代入逐一验证：
若 ，，不可能，故选项A正确；
若 ，，满足题意，故选项B错误；
若，，不可能，故选项C正确；
若，，满足题意，故选项D错误.
8.（多选）（2026·江苏宿迁二模）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列的通项公式为
【答案】ABD
【解析】初始数列：1，4；
第一次成长：1，4，4，乘积,；
第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：，
；故A正确
记次“美好成长”后的数列有项，则，即，
又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列，
故，，
所以，故B正确
因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积，
故
；
故，
则，故C错误，
由此，
因此数列为等比数列，首项为，公比为3；
故，解得，故D正确．
9．（2026·湖北襄阳·二模）已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则_______.
【答案】557
【解析】设等差数列的公差为和等比数列的公比为，
由，，，，可得，，
解得，，
则，，由，
由和中无公共项，可得的前20项中，有5项为的前5项，15项为的前15项，
则．
10．（2026·广东佛山二模）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为_________________．
【答案】
【解析】由，得，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，所以，
设数列的前项的和为，
则
.
11.（2026·浙江台州·二模）已知数列为等差数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求.
【解】（1）设等差数列的公差为，由得：
，，解得，，
故通项公式为 .
（2）根据题意，在和之间插入个，设到原数列的第项为止，
则新数列的总项数，
令，代入验证得时，，刚好满足，
即包含原数列前9项和所有插入的1：
插入1的总个数为，插入部分和为，
原数列前9项和：，
因此： .
创新提升
12.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____．
【答案】11
【解析】当由1,4构成时，则，，、为2，3的一个排列，故满足条件的数列共有个；
当由2,4构成时，则，，、为1，3的一个排列或，，， 故满足条件的数列共有个；
当由3,4构成时，则，，、为1，2的一个排列或，，、为2，4的一个排列
或，，、为1，4的一个排列，故满足条件的数列共有个；
由题可知，若，则“控制数列”其“阶数”为1，不符合题意；
所以使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为个.
13.（2026·浙江嘉兴二模）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则，由题意，，则.
当时，，由，若取，则，即，即此时不能使数列单调递增，故A错误；
对于B，当时，，，则数列单调递增，等价于，
即对任意恒成立.因为当时，函数的最大值为，所以，故B错误；
对于C，当时，，因，则化简得，解得或.
当时，，因，则得，即数列单调递增；当时，由B项知，数列单调递增，故C正确；
对于D，当时，，化简得，解得或.
对于时，若取，则，则得，即此时不能使数列单调递增，故D错误.
故选：C.
14．（多选）（2026·湖北宜昌·二模）已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（ ）
A．
B．中存在连续三项成等比数列
C．
D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，又因为，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，
所以，故A正确；
由于，，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，即，
假设中存在连续三项成等比数列，设为：，
则，
化简得：，即等式无解；
所以中不存在连续三项成等比数列，故B错误；
由于，所以，故C正确；
数列的项在数列中对应的位置满足：，
即，即中被去掉的项为：
，，即第一项，
，，即第三项，
，，即第七项，
，，即第十五项，
所以,故D正确.
15.（2026·广东梅州一模）在数列中，，，数列满足．若在数列中去掉的项，余下的项按照原来的顺序组成数列，则数列的前25项的和为______．
【答案】843
【解析】，即.
数列是以为首项，公比为2的等比数列.
，.
又.
数列的前5项为：，，，，
.
数列的前30项中，的项有5项.
数列的前25项是数列的前30项去掉的前5项后余下的项.
数列是以为首项，公差的等差数列，数列的前30项和.
数列的前5项和.
数列的前25项的和为：.
16．（2026·山东济南·模拟预测）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________．
【答案】1013
【解析】由题意，，，所以，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，.
由题意，，，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
.所以，.
17.（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和．
【解】（1）设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故，
又，解得（负值舍去），故，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，所以，
，
当时，，
当时，．
所以，
由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数．
若，则，公共项为0；
若，则由，可得，n必须为偶数，令，，
则公共项为．
故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列，
即，
所以数列的前10项和为
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