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第04讲 数列的通项公式
考情·分析解读
课标要求
1.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项（逻辑推理）.
2.理解数列的前n项和Sn与an的关系（数学运算）.
考题统计
核心考点 2026年 2025年 2024年
已知与的关系求通项公式 全国一卷T14（5分） ________ 全国甲卷（理）T18（1）（5分） 全国甲卷（文）T17（1）（5分）
考情解读
数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.
备考策略
1.理解与的核心关系式，熟练分情况由前n项和推导数列通项，规范验证n=1的特殊情况。
2.准确区分累加法、累乘法适用题型，能根据递推形式选用对应方法，独立完成通项推导化简。
3.掌握各类构造法、倒数法的变形思路，会通过待定系数、取倒数、换元转化为等差、等比数列求解。
知识 归纳梳理
知识点1 与的关系
对于数列，前项和记为；①；②
②：
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知
角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 已知求
【自主检测】
（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A．162 B．243 C．384 D．512
【答案】C
【解析】因为，即，所以，
可得数列为等比数列，首项为，公比，
所以，
所以.
知识点2 累加法
累加法适用模型：若数列满足，称为变差数列
求解原理：利用恒等式累加抵消中间项求通项：，逐项代入求和化简，得到。
【自主检测】
（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（ ）
A．211 B．225 C．239 D．261
【答案】A
【解析】由，则，，，
则，
即，
又，故，
故.
知识点3 累乘法
累乘法适用模型：若数列满足，称为变比数列
求解原理：利用恒等式累乘抵消中间项求通项：，逐项代入比值相乘化简，得到。
【自主检测】
（2026·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
当时，
，
显然，对于时也成立，
所以，
则的前6项和为.故选：C.
重难 核心突破
题型1 观察法求通项公式
【例1】已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】观察数列，可以发现数列的奇数项为负，偶数项为正，
则第n项的符号为 ，
数列可变为 ，所以分子的规律是 ，分母的规律是，
综上，可得该数列的通项公式为 .
【变式1】数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】．故选：B.
【变式2】数列的一个通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，数列，即，
该数列的奇数项为正，偶数项为负，可以用表示，分子都为1，分母为，
所以通项公式可以为，故选：A.
【变式3】（2026·贵州遵义一模）数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意分子为，所以分子通项为，
分母为，所以分母通项为，
又数列除第一项外，奇数项为正，偶数项为负，符号满足，
综上，，故选D．
题型2 公式法求通项公式
【例2】（2026·江苏苏州一模）已知数列是等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】数列是等差数列，设公差为，则，
又，，
数列的通项公式为：，
，．故选：C．
【变式1】（2026·山东聊城·模拟）已知等比数列的第二项为9，公比，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，则，所以是以2为公差的等差数列，
因为，所以， 所以.
【变式2】（2026·四川广安·二模）记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________．
【答案】1
【解析】因为，是公差为1的等差数列，
所以，则①，
当时，②，
由①②得，，
所以数列为常数列，．
【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）若数列，…是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是______．
【答案】
【解析】由题意可知，
所以，
又满足上式，所以.
题型3 an与Sn关系求通项公式
【例3】（2026·山东潍坊一模）已知数列的前项和，则（ ）
A．11 B．42 C．31 D．20
【答案】A
【详解】．
【变式1】设是数列的前项和，若，则（ ）
A．4053 B．4052
C．4048 D．2028
【答案】A
【解析】，当时，，
当时，.
当时，也适合上式，，则.
【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知数列的前n项和，则（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．
【答案】B
【解析】.
【变式3】（2026·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为数列的前项和，
所以，当时，;
当时，，，
故，
当时，不满足，
所以.
题型4 累加法
【例4】（2026·内蒙古呼和浩特一模）已知数列满足，，则（ ）
A．511 B．1023 C．1024 D．2047
【答案】B
【解析】由题可知：，
当时，，…，
累加得：，
所以，即，又也适合，
则.
【变式1】在数列中，，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以
,
所以，所以.
【变式2】（2026·宁夏银川·期末）在数列中，若，则的值为（ ）
A．90 B．110 C．18 D．20
【答案】A
【解析】.
当时，；当时，；；用替换可得，，
将上述式子累加得：，
即，其中
由，，
当时，依然成立，
故.故选：A
【变式3】（2026·甘肃兰州一模）已知数列满足，，则的值为（ ）
A．22 B．42 C．79 D．149
【答案】C
【解析】数列中，，，
，故选C
题型5 累乘法
【例5】（2026·福建宁德二模）已知数列满足，，则的前7项和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，
则，即，所以，
又，满足上式，所以，
所以的前7项和为，故选C
【变式1】（2026·山东青岛二模）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】依题意，数列满足，，
，所以
，也符合，所以，是单调递增数列，
由，解得，
所以的最大值为，故选B
【变式2】（2026·重庆九龙坡三模）已知，，则数列的通项公式是（　　）
A．n B． C．2n D．
【答案】C
【解析】由，得，即，
则，，，…，，
由累乘法可得，因为，所以，故选C．
【变式3】（2026·青海西宁一模）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，，
以上各式相乘，得，又，所以，
因为满足上式，所以，
因为，所以.
故选:A.
题型6 待定系数法（an＋1＝pan＋q型）
【例6】（2026·河南郑州一模）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以．
因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以，所以．
【变式1】（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（ ）
A．127 B．128 C．255 D．256
【答案】C
【解析】在数列中，由，得，而，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
所以.
【变式2】（2026·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ）
A．1020 B．1024 C．2044 D．2048
【答案】C
【解析】因为，则，
且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
则，即，
所以.
故选：C.
【变式3】（2026·宁夏石嘴山一模）已知数列中，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以.
故选：C
题型7 待定系数法（an＋1＝pan＋qn＋c型）
【例7】（2026·广东佛山二模）已知数列满足，且，若，则（ ）
A．253 B．506 C．1012 D．2024
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为，所以，故为常数列，
所以. 由，解得.
故选：B
【变式1】已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______
【答案】
【解析】
又是以2为首项，2为公比的等比数列
，.
【变式2】（2026·广西贺州二模）已知数列满足，且，则______．
【答案】
【解析】设，即，
和比较可得，则，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．
【变式3】（2026·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，故.
题型8 待定系数法（an＋1＝pan＋qn型）
【方法技巧】待定系数法求解策略
形式 构造方法
an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列
【例8】（2026·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，
令，则①式变为，即，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：设，则，
与比较可得，
所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以，
故选：D
【变式1】已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】由两边同除以，可得，
令，则，
设，对照上式可得，
即得，因，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
即，故.
【变式2】在数列中，且，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】由，两边同除以，可得，即，
因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
可得，所以，
即数列的通项公式为．
【变式3】（2026·安徽芜湖一模）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________．
【答案】
【解析】对两边同时除以，
得，即，
则是首项为，公差为的等差数列，
故，得．
题型9 取倒数法
【例9】（2026·黑龙江大庆一模）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，，所以，即，
又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以，解得.
故选：C
【变式1】（2026·内蒙古赤峰二模）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，由，得，故数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，则，
所以数列的前n项和为.
故选：B
【变式2】（2026·山东青岛一模）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
故，令
由且，则，
由，则，
则，所以，
故，则正整数的值为2023.
故选：C
【变式3】（2026·浙江·模拟预测）数列满足，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】D
【解析】由，且，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，，所以，且，
所以，数列是等差数列，且该数列的首项为，公差为，
所以，，则，其中，C对；
，所以，数列是等比数列，B对；
由等差中项的性质可得，A对；
由上可知，则，，
所以，，D错.
故选：D.
题型10 取对数法
【例10】（2026·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】B
【解析】由，得，于是，则，
两边取对数得，因此，数列是常数列，
则，即，所以，.
故选：B
【变式1】（2026·江苏盐城·期中）已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，易知，故，
故是首项为，公比为的等比数列，，，
故.故选：C.
【变式2】已知数列满足，，则__________.
【答案】
【解析】令则
由两边取以为底的对数，
得
所以数列满足
令则
且因此数列是首项为、公比为的等比数列，所以
于是从而即
题型11 特征根法求通项
【方法技巧】特征根法求解策略
an＋2＝pan＋1＋qan对应于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程.
(1)若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值决定；
(2)若特征根方程只有一个实根α，则an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值决定.
【例11】已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.
【答案】1＋2n－1
【解析】an＋2＝3an＋1－2an，其特征方程为x2＝3x－2，解得x1＝1，x2＝2，
令an＝c1·1n＋c2·2n，
由得，∴an＝1＋2n－1.
【变式1】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.
【答案】
【解析】4an＋2＝4an＋1－an，其特征方程为4x2＝4x－1，解得x1＝x2＝，
令an＝(c1＋nc2)，由得∴an＝.
题型12 奇偶数列求通项公式
【例12】（2026·陕西安康·二模）已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，①
当时，，②
将①代入②得，
所以，
又，则，即，
所以，
所以，
所以．
【变式1】（2026·江西景德镇·一模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（ ）
A．300 B．270 C．207 D．171
【答案】D
【详解】在数列中，由，得，
因此，即，而，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，，
，所以
.
【变式2】（2026·吉林通化·一模）中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为，设，则数列的前11项中，最大值是__________.
【答案】/
【解析】由题可得当，且为正奇数时，，
则中所有奇数项，构成以为首项，公比为的等比数列，
则为奇数时，，则当为偶数时，.
从而当为奇数时，；
当为偶数时，.
因为R上减函数，则当为奇数时，，取等号时，
当为偶数时，，取等号时.
注意到，则数列的前11项中，最大值是.
【变式3】（2026·河南开封·二模）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．数列的前10项和为110
【答案】AC
【详解】对于A，由题意可得，，
，，，，故A正确；
对于B，因为为偶数，所以，
因为为奇数，所以，
所以，故B错误；
对于C，因为为偶数，所以，
又因为为奇数，，
所以，所以，
所以
，故C正确；
对于D，设数列的前项的和为，
由，则，
故
，故D错误.
拔高 分层集训
基础演练
1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　)
A.15 B.23 C.32 D.42
【答案】B
【解析】因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.
2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于(　　)
A.17 B.18 C.19 D.20
【答案】C
【解析】因为an+1=2an+n，所以an+1+n+2=2an+2n+2=2(an+n+1)，
又a1+1+1=1+1+1=3，即数列{an+n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列，
即an+n+1=3·2n-1，即an=3·2n-1-n-1，故a4=3·23-4-1=19.
3．（2026·江苏连云港模拟）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17等于(　　)
A．－15×216 B．15×217
C．－16×216 D．16×217
【答案】A
【解析】由题意可得＝－，即－＝－，
据此可得，数列是首项为＝，公差为－的等差数列，
故＝＋(17－1)×＝－，所以a17＝－15×216.
4．（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以，所以．
5．（2026·广东江门一模）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，
令，得，
，
所以
，
当时上式也符合，所以，则，
所以.
6．（2026·黑龙江牡丹江·期末）已知等比数列满足，其前n项和.则（ ）
A．数列的公比为p B．数列为递减数列
C． D．当取最小值时，
【答案】D
【解析】对于A，，当时，，
两式相减得，，，
则，时，，所以，
因为是等比数列，所以公比为，解得，故A错误，C错误；
对于B，因为，，所以，
所以数列为递增数列，故B错误；
对于D，因为，，所以，
当且仅当即时等号成立，此时公比为，
，故D正确.
故选：D.
7．（2026·湖北恩施一模）已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．
【答案】D
【解析】由，，得，
有，，，，，
所以，则，
故，，故，，是等比数列，
，故A、B、C正确，D错误.
故选：D.
8.已知数列{an}满足a2＝，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于(　　)
A. B.
C.3n－2 D.3n＋2
【答案】A
【解析】∵an－an＋1＝3anan＋1，a2＝，∴a1－a2＝3a1a2，即a1－＝a1，解得a1＝1.
由题意知an≠0，由an－an＋1＝3anan＋1得－＝3，又＝1，
∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝.
9.（多选）已知数列{an}满足a1=1,4an+1=3an-n+4,则下列结论正确的是(　　)
A.a3=
B.a3=
C.{an+n-8}是等比数列
D.{an+2}不可能是等比数列
【答案】ACD
【解析】∵a1=1,4an+1=3an-n+4,
∴a2=,a3=,故A正确,B错误;
∵4an+1=3an-n+4,∴an+1=an-n+1,
∴an+1+(n+1)-8=an-n+1+(n+1)-8=an+n-6=(an+n-8),
又∵a1+1-8=-6,∴数列{an+n-8}是首项为-6,公比为的等比数列,故C正确;
∵a1+2=3,a2+2=,a3+2=,显然(a2+2)2≠(a1+2)(a3+2),
∴{an+2}不可能是等比数列,故D正确.
10．（湖南长沙市同升湖高级中学2026届高考考前自测数学试题）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．当或时，有最小值 D．数列有最小值，且最小值为
【答案】BCD
【解析】因为 ，当 时， ，
当时，
，
且当时， ，所以，
对于A，， ，
所以数列不是等差数列，故A错误；
对于B，当 时， ，故B正确；
对于C，因为的对称轴为，
又，所以当 或 时，同为最小值，故C正确；
对于D，因为 ，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以的最小值为 ，故D正确．
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，设的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C．数列中存在最大项 D．数列中存在最小项
【答案】ABD
【解析】解法1：当时，可得，又，所以，A正确；
因为，所以，
又，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，B正确；
由B选项分析可得，所以，
所以恒成立，
所以，所以数列为单调递增数列，所以中不存在最大项，C错误；
因为数列为单调递增数列，所以，
所以对任意，D正确.
解法2：因为，所以，
又，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以，所以，所以，A，B正确；
因为，且，所以，
所以数列为单调递增数列，所以中不存在最大项，C错误；
因为，所以对任意 ，D正确.
12．（2026·江苏·模拟预测）数列的前项和记为，且，则（ ）
A．
B．为等差数列
C．
D．中有最大项也有最小项
【答案】ABD
【解析】选项A，，
当时，，，
，，，故选项A正确；
选项B，，，，
，，
，为等差数列，故选项B正确；
选项C，为等差数列，公差为，首项为，
，
，，故选项C错误；
选项D，，
当时，，
当时，，
当时，越大，越小，即越趋近于0，
即，
是最大值，是最小值， 中有最大项也有最小项，故选项D正确.
13.（2026·甘肃白银·三模）已知数列满足，若，则 .
【答案】
【解析】，
，
将这个式子的左右两边分别相加可得，
，.
14.（2026·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
【答案】
【解析】由题得
，
当时，符合题意，
所以，
15．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前5项的和为________．
【答案】
【解析】已知数列满足，，
所以，
累加可得，
即，所以，当时，，符合通项公式，
所以，
所以的前5项的和为.
16．（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)令，求的前项和．
【解】（1）由题意得，当时，，，
则，
所以，
故，，，
由累乘法得，，
当时，依然成立，
所以
（2），
则
．
能力进阶
17．（2026·陕西安康二模）已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为①，
当时， ②，
由①-②得到，得到，
又时，，满足，
所以，则，
所以 ，
则数列的前2026项和为.
故选：C.
18．（2026·江苏无锡·二模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．数列的前10项和为110
【答案】AC
【解析】对于A，由题意可得，，
，，，，故A正确；
对于B，因为为偶数，所以，
因为为奇数，所以，
所以，故B错误；
对于C，因为为偶数，所以，
又因为为奇数，，
所以，所以，
所以
，故C正确；
对于D，设数列的前项的和为，
由，则，
故
，故D错误.
19．（2026·重庆·三模）已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，，显然，
对递推式两边取倒数得： ，即，.
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
因此 ，.
又因为，时，即
由累加法得：，
，，
验证时，符合上式，故，.
令，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，.
所以数列在上单调递减，在上单调递增，
因此当时数列取得最小值，当时，数列取得最小值，且，
因此，当时数列取得最小值.
20．（2026·重庆·三模）已知数列满足，对且，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【解】（1）当时，，
当时，，有，
整理有，即有，
由，所以，所以数列是等比数列.
（2）由（1）知，，即，
当时，，……，，
相加有，
所以有，当时也成立，从而，
记数列的前项和为，则，
，①
可得，②
①②，，
所以，故.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（ ）
A．68 B．56 C． D．
【答案】C
【解析】由，得，即；
，即；因为，所以；
，即，所以；
，即，所以.
2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
【答案】C
【解析】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
，故选C
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知数列的前n项和．求这个数列的通项公式．
【解】当时，,
当时，，
当时，，
所以.
2．若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和．
【解】，，
是首项为，公比为2的等比数列，
，即，
.
3．已知数列的前n项和为，若，求．
【解】当时：,
当时：
.
所以数列为以为首项，2为公比等比数列.
所以.
4．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
【解】（1）证明如下：
由题意，数列满足，即，
则，
又由，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，得到，
所以数列的前项和.
5．已知数列的首项，，，，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，若，求最大正整数．
【解】（1）证明：，，
可得，又，
数列为等比数列，首项为，公比为．
（2）由（1）知，，，
，
由，则，
在定义域内单调递增，
且时，，时，，
所以．
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第04讲 数列的通项公式
考情·分析解读
课标要求
1.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项（逻辑推理）.
2.理解数列的前n项和Sn与an的关系（数学运算）.
考题统计
核心考点 2026年 2025年 2024年
已知与的关系求通项公式 全国一卷T14（5分） ________ 全国甲卷（理）T18（1）（5分） 全国甲卷（文）T17（1）（5分）
考情解读
数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.
备考策略
1.理解与的核心关系式，熟练分情况由前n项和推导数列通项，规范验证n=1的特殊情况。
2.准确区分累加法、累乘法适用题型，能根据递推形式选用对应方法，独立完成通项推导化简。
3.掌握各类构造法、倒数法的变形思路，会通过待定系数、取倒数、换元转化为等差、等比数列求解。
知识 归纳梳理
知识点1 与的关系
对于数列，前项和记为；①；②
②：
法归类
角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知
角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 已知求
【自主检测】
（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A．162 B．243 C．384 D．512
知识点2 累加法
累加法适用模型：若数列满足，称为变差数列
求解原理：利用恒等式累加抵消中间项求通项：，逐项代入求和化简，得到。
【自主检测】
（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（ ）
A．211 B．225 C．239 D．261
知识点3 累乘法
累乘法适用模型：若数列满足，称为变比数列
求解原理：利用恒等式累乘抵消中间项求通项：，逐项代入比值相乘化简，得到。
【自主检测】
（2026·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A． B． C． D．
重难 核心突破
题型1 观察法求通项公式
【例1】已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】数列的一个通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2026·贵州遵义一模）数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
题型2 公式法求通项公式
【例2】（2026·江苏苏州一模）已知数列是等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·山东聊城·模拟）已知等比数列的第二项为9，公比，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·四川广安·二模）记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________．
【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）若数列，…是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是______．
题型3 an与Sn关系求通项公式
【例3】（2026·山东潍坊一模）已知数列的前项和，则（ ）
A．11 B．42 C．31 D．20
【变式1】设是数列的前项和，若，则（ ）
A．4053 B．4052
C．4048 D．2028
【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知数列的前n项和，则（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．
【变式3】（2026·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
题型4 累加法
【例4】（2026·内蒙古呼和浩特一模）已知数列满足，，则（ ）
A．511 B．1023 C．1024 D．2047
【变式1】在数列中，，，则（）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·宁夏银川·期末）在数列中，若，则的值为（ ）
A．90 B．110 C．18 D．20
【变式3】（2026·甘肃兰州一模）已知数列满足，，则的值为（ ）
A．22 B．42 C．79 D．149
题型5 累乘法
【例5】（2026·福建宁德二模）已知数列满足，，则的前7项和为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（2026·山东青岛二模）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【变式2】（2026·重庆九龙坡三模）已知，，则数列的通项公式是（　　）
A．n B． C．2n D．
【变式3】（2026·青海西宁一模）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
题型6 待定系数法（an＋1＝pan＋q型）
【例6】（2026·河南郑州一模）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（ ）
A．127 B．128 C．255 D．256
【变式2】（2026·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ）
A．1020 B．1024 C．2044 D．2048
【变式3】（2026·宁夏石嘴山一模）已知数列中，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
题型7 待定系数法（an＋1＝pan＋qn＋c型）
【例7】（2026·广东佛山二模）已知数列满足，且，若，则（ ）
A．253 B．506 C．1012 D．2024
【变式1】已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______
【变式2】（2026·广西贺州二模）已知数列满足，且，则______．
【变式3】（2026·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______．
题型8 待定系数法（an＋1＝pan＋qn型）
【方法技巧】待定系数法求解策略
形式 构造方法
an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列
【例8】（2026·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【变式2】在数列中，且，则数列的通项公式为__________．
【变式3】（2026·安徽芜湖一模）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________．
题型9 取倒数法
【例9】（2026·黑龙江大庆一模）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·内蒙古赤峰二模）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·山东青岛一模）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式3】（2026·浙江·模拟预测）数列满足，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
题型10 取对数法
【例10】（2026·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【变式1】（2026·江苏盐城·期中）已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知数列满足，，则__________.
题型11 特征根法求通项
【方法技巧】特征根法求解策略
an＋2＝pan＋1＋qan对应于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程.
(1)若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值决定；
(2)若特征根方程只有一个实根α，则an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值决定.
【例11】已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.
【变式1】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.
题型12 奇偶数列求通项公式
【例12】（2026·陕西安康·二模）已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·江西景德镇·一模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（ ）
A．300 B．270 C．207 D．171
【变式2】（2026·吉林通化·一模）中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为，设，则数列的前11项中，最大值是__________.
【变式3】（2026·河南开封·二模）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．数列的前10项和为110
拔高 分层集训
基础演练
1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　)
A.15 B.23 C.32 D.42
2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于(　　)
A.17 B.18 C.19 D.20
3．（2026·江苏连云港模拟）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17等于(　　)
A．－15×216 B．15×217
C．－16×216 D．16×217
4．（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·广东江门一模）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·黑龙江牡丹江·期末）已知等比数列满足，其前n项和.则（ ）
A．数列的公比为p B．数列为递减数列
C． D．当取最小值时，
7．（2026·湖北恩施一模）已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．
8.已知数列{an}满足a2＝，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于(　　)
A. B.
C.3n－2 D.3n＋2
9.（多选）已知数列{an}满足a1=1,4an+1=3an-n+4,则下列结论正确的是(　　)
A.a3=
B.a3=
C.{an+n-8}是等比数列
D.{an+2}不可能是等比数列
10．（湖南长沙市同升湖高级中学2026届高考考前自测数学试题）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．当或时，有最小值 D．数列有最小值，且最小值为
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，设的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C．数列中存在最大项 D．数列中存在最小项
12．（2026·江苏·模拟预测）数列的前项和记为，且，则（ ）
A．
B．为等差数列
C．
D．中有最大项也有最小项
13.（2026·甘肃白银·三模）已知数列满足，若，则 .
14.（2026·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
15．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前5项的和为________．
16．（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)令，求的前项和．
能力进阶
17．（2026·陕西安康二模）已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ）
A． B． C． D．
18．（2026·江苏无锡·二模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．数列的前10项和为110
19．（2026·重庆·三模）已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为__________．
20．（2026·重庆·三模）已知数列满足，对且，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（ ）
A．68 B．56 C． D．
2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知数列的前n项和．求这个数列的通项公式．
2．若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和．
3．已知数列的前n项和为，若，求．
4．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
5．已知数列的首项，，，，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，若，求最大正整数．
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