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第03讲 等比数列及其前n项和
考情·分析解读
课标要求
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题.
考题统计
核心考点 考情预览
2022 2023 2024 2026 2026
等比数列基本量的运算 全国乙卷T8 全国Ⅱ卷T17 全国甲卷T13全国乙卷T15 全国二卷T9 全国一卷T13 全国二卷T10
等比数列的性质及应用 全国二卷T8 全国一卷T14
考情解读
近三年考情显示，等比数列的考查频次、题型与分值整体稳定，难度波动不大。以选择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查基本量运算、通项公式、前n项和公式及核心性质，常与等差数列综合命题，核心是“知三求二”的方程思想应用，整体属于数列模块的基础中档必考内容。
备考策略
1.理解等比数列的概念，熟练掌握其通项公式与前n项和公式，能精准完成基本量运算，灵活运用数列核心性质简化求解过程。
2.能在具体问题情境中识别数列的等比关系，运用等比数列相关知识解决对应问题，夯实常规题型解法，确保该模块基础与中档题目稳定得分。
知识 归纳梳理
知识点1 等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项.
【自主检测】
1．（2026·河北衡水·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
2．（2026·广西百色期末）已知实数是3与9的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．6
知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
【自主检测】
1.已知，是等比数列图象上的两点，则 ．
2．（2026·北京顺义一模）设 则等于（ ）
A． B． C． D．
知识点3 等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
(4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.
【自主检测】
1．（2026·湖北·期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．9 B．12 C．24 D．36
2．（2026·江西·二模）已知正项数列为等比数列，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2026·四川南充·期末）记为等比数列的前项和，若 ，则 （ ）
A．9 B．15 C．21 D．27
重难 核心突破
题型1 等比数列基本量的计算
【例1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【方法技巧】等比数列基本量运算的解题策略
（1）方程思想：等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程（组）求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”；
（2）分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论；
（3）整体思想：挖掘局部与整体的联系，有目的的整体代换求解.
【变式1】（2026·甘肃平凉·二模）已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式2】（2026·江苏宿迁·模拟预测）已知递增等比数列的前项和为，若，则 ．（请用数字作答）
【变式3】已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（ ）
A． B． C．4052 D．
题型2 等比数列的判定与证明
【例2】已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则，，成等比数列
B．若为等差数列，则为等比数列
C．若，则数列为等比数列
D．若，，，则为等比数列
【方法技巧】等比数列判定与证明的方法
【变式1】（多选）已知等差数列的公差为正数，是数列的前项和，若，，则（ ）
A．
B．数列是公比为的等比数列（为自然对数的底数）
C．
D．数列是公差为的等差数列
【变式2】（2026·河北秦皇岛二模节选）已知数列满足，，是数列的前项和，记．求证：数列是等比数列；
【变式3】（2026·山东济宁一模节选）已知数列的前n项和为， ，且，.
求证：是等比数列.
题型3 等比数列项的性质
【例3】（2026·吉林·三模）正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
【方法技巧】下标性质
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
【变式1】（2026·宁夏固原·二模）已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．4 D．
【变式2】（2026·黑龙江伊春·二模）已知公比且的等比数列，前项积为，若，且，则（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【变式3】（2026·安徽淮南·期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则 .
题型4 等比数列前n项和的性质
【例5】（2026·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则 .
【方法技巧】和的性质
恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件，并结合题设寻找使用性质的切入点.
题型5 等比数列中的最值问题
【例4】（2026·福建泉州二模）设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 .
【方法技巧】最值问题的处理方法
涉及等比数列的单调性与最值的问题,一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【变式1】已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【变式2】（2026·湖南郴州·一模）设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．27 B．3 C．24 D．48
【变式3】（2026·江苏徐州·一模）已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为
题型6 等比数列的简单应用
1．（2026·河南洛阳·模拟预测）《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（ ）
A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元
2．（2026·海南海口·一模）海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：）
A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时
4．（2025·陕西榆林·一模）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为___________．（用含的式子表示）
题型7 等差数列与等比数列的综合
【例7】（2026·重庆云阳·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，设，若，，，数列为等比数列，则下列选项中一定是数列中的项是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·浙江丽水一模）已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为
A． B．2 C． D．
【变式2】（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
【变式3】（2026·北京丰台·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
拔高 分层集训
基础演练
1．（2026·黑龙江大庆·模拟）已知等比数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽芜湖二模）若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（ ）
A．－192 B．192 C． D．－193
3.已知等比数列{an}中，若an＝2·3n－1，则＋＋＋…＋＝（　　）
A.（3n－1）2　 B.（9n－1）
C.9n－1　　 D.（3n－1）
4．（2026·江苏南通一模）记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（ ）
A．93 B．1023 C．2047 D．3069
5．（2026·四川成都·模拟）已知等比数列的公比为2，且.若，则值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2026·海南儋州·模拟预测）已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·江西·三模）已知公差不为0的等差数列，其前n项和为．若满足，且成等比数列，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（多选）（2026·广东广州一模）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等比数列 D．是等比数列
9．（多选）（2026·云南大理一模）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
10.（2026·河北秦皇岛·三模）已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为
11.（2026·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则 ．
12.已知数列中，，，
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，证明：.
能力进阶
13．（2026·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ）
A．10 B． C． D．
14．（2026·山东济南·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
15．（25-26高二下·上海·期末）已知数列满足，且对任意，都有.若函数（），记，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列，且公差为2
B．数列是等比数列，且公比为
C．若为数列的前n项和，则的最大值为
D．若为数列的前n项和，则存在，使得
16．（2026·河北保定·二模）已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（ ）
A．2026 B．2025 C．1014 D．1013
17．（2026·福建南平·二模）已知各项均为正数的数列：1，2，，，，，其中奇数项成公差为的等差数列且和为9，偶数项成公比为的等比数列且和为14，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C．上四分位数为5 D．下四分位数为5
18．（2026·北京·模拟预测）玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示.某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列.若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为___________.
19．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且对任意，都有．设为数列的前项的乘积，若，则实数的值为___________．
20.（2026·湖北武汉·一模）已知公比不为1的等比数列满足，且，，构成等差数列.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记为的前项和，求使成立的最大正整数.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2022·全国乙卷T8）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
2.（2023·新课标Ⅱ卷T8）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
3．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5.（2026全国一卷T14）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________．
6.（2026·新课标1卷T13）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
7.（2023·全国甲卷T13）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
8.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知数列是等比数列．
（1）若，，求q与；
（2）若，，求．
2．设等比数列的前n项和为 .已知求和 .
3．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？
4．放射性元素在t=0时的原子核总数为，经过一年原子核总数衰变为，常数称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年．
（1）碳14的年衰变率为多少（精确到）
（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？
5．已知数列的首项，，，，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，若，求最大正整数．
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第03讲 等比数列及其前n项和
考情·分析解读
课标要求
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题.
考题统计
核心考点 考情预览
2022 2023 2024 2026 2026
等比数列基本量的运算 全国乙卷T8 全国Ⅱ卷T17 全国甲卷T13全国乙卷T15 全国二卷T9 全国一卷T13 全国二卷T10
等比数列的性质及应用 全国二卷T8 全国一卷T14
考情解读
近三年考情显示，等比数列的考查频次、题型与分值整体稳定，难度波动不大。以选择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查基本量运算、通项公式、前n项和公式及核心性质，常与等差数列综合命题，核心是“知三求二”的方程思想应用，整体属于数列模块的基础中档必考内容。
备考策略
1.理解等比数列的概念，熟练掌握其通项公式与前n项和公式，能精准完成基本量运算，灵活运用数列核心性质简化求解过程。
2.能在具体问题情境中识别数列的等比关系，运用等比数列相关知识解决对应问题，夯实常规题型解法，确保该模块基础与中档题目稳定得分。
知识 归纳梳理
知识点1 等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项.
【自主检测】
1．（2026·河北衡水·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】D
【解析】对于A，，数列不是等差数列，A错误
对于B，，数列不是等比数列，B不是；
对于C，，数列不是等比数列，C不是；
对于D，数列是非0常数列，既是等差数列也是等比数列，D是.
2．（2026·广西百色期末）已知实数是3与9的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】已知是3与9的等比中项，
，解得．
知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
【自主检测】
1.已知，是等比数列图象上的两点，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，，∴，∴，∴．
2．（2026·北京顺义一模）设 则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的各项构成一个首项为，公比为的等比数列，
指数为，共计项，
．
知识点3 等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
(4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.
【自主检测】
1．（2026·湖北·期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．9 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【解析】在等比数列中，，结合，，则.
2．（2026·江西·二模）已知正项数列为等比数列，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】正项数列为等比数列，，；
.
3．（2026·四川南充·期末）记为等比数列的前项和，若 ，则 （ ）
A．9 B．15 C．21 D．27
【答案】C
【解析】因为数列为等比数列，所以成等比数列，
即成等比数列，所以，所以．
重难 核心突破
题型1 等比数列基本量的计算
【例1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，若，则，故，
由可得，
化简得，解得，则.故选：D.
【方法技巧】等比数列基本量运算的解题策略
（1）方程思想：等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程（组）求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”；
（2）分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论；
（3）整体思想：挖掘局部与整体的联系，有目的的整体代换求解.
【变式1】（2026·甘肃平凉·二模）已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解析】在等比数列中，设公比为,
因为，所以,解得.,解得.
【变式2】（2026·江苏宿迁·模拟预测）已知递增等比数列的前项和为，若，则 ．（请用数字作答）
【答案】63
【解析】数列为等比数列，设公比为，
因为，所以，
化简得，解得或者.
因为数列为递增的等比数列，所以，
所以，将代入方程中解得.
所以.
【变式3】已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（ ）
A． B． C．4052 D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，
因为成等差数列，所以，
即，解得或（舍去），
所以.
故选：A.
题型2 等比数列的判定与证明
【例2】已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则，，成等比数列
B．若为等差数列，则为等比数列
C．若，则数列为等比数列
D．若，，，则为等比数列
【答案】BCD
【解析】对于A，当时有，此时，，不成等比数列，故A错误；
对于B，若为等差数列，设其公差为，则此时有，
且，所以数列为等比数列，故B正确；
对于C，若，则，
（），
满足，于是，
则，且，所以数列为等比数列，故C正确；
对于D：因为，所以，
而，，，，
因此数列是首项为1，公比为的等比数列，故D正确．
故选BCD.
【方法技巧】等比数列判定与证明的方法
【变式1】（多选）已知等差数列的公差为正数，是数列的前项和，若，，则（ ）
A．
B．数列是公比为的等比数列（为自然对数的底数）
C．
D．数列是公差为的等差数列
【答案】AB
【解析】A：依题意，设公差为d，则，
由，，
解得，，故A正确；
B：由，得，所以，
由，即数列是以为公比的等比数列，故B正确；
C：，故C错误；
D：由，得，
所以，不恒为常数，
所以不是等差数列，故D错误.
故选：AB
【变式2】（2026·河北秦皇岛二模节选）已知数列满足，，是数列的前项和，记．求证：数列是等比数列；
【解】由，，得，
则，而，
所以数列是等比数列.
【变式3】（2026·山东济宁一模节选）已知数列的前n项和为， ，且，.
求证：是等比数列.
【解】由，
得，
两式相减，得，即.
又，所以.
选①:因为，且，
所以是首项为3，公比为2的等比数列，
题型3 等比数列项的性质
【例3】（2026·吉林·三模）正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】由等比数列的性质可知，，且，
所以或，
因为数列是正项递增数列，所以，，则，故选A
【方法技巧】下标性质
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
【变式1】（2026·宁夏固原·二模）已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【详解】因为，为方程的两根，所以，
又因为，的等比中项，所以，
因，故.
【变式2】（2026·黑龙江伊春·二模）已知公比且的等比数列，前项积为，若，且，则（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【详解】因为为等比数列，且，，
由.
由，
因为，所以.
【变式3】（2026·安徽淮南·期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则 .
【答案】10
【解析】因为数列为正项等比数列，则，即，
所以.
题型4 等比数列前n项和的性质
【例5】（2026·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则 .
【答案】219
【解析】设数列的首项为，公比为.
因为，所以，
因为，所以，所以.
所以，所以.
于是.
【方法技巧】和的性质
恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件，并结合题设寻找使用性质的切入点.
题型5 等比数列中的最值问题
【例4】（2026·福建泉州二模）设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 .
【答案】
【解析】设正项等比数列的公比为，其中，
因为，可得，解得或，
因为，所以，所以，
则，故，
当时，则由，
则有，所以数列中最大的项为.
【方法技巧】最值问题的处理方法
涉及等比数列的单调性与最值的问题,一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【变式1】已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【答案】D
【解析】设，则，
又因为，所以，
所以.故选: D
【变式2】（2026·湖南郴州·一模）设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．27 B．3 C．24 D．48
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，，
若，则，与的题设矛盾，故；
根据等比数列前项和公式可得 ① ， ② ；
将②除以①，化简得，解得；
又.
【变式3】（2026·江苏徐州·一模）已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为
【答案】13
【解析】数列中，，当时，，则，
整理得，即，而，即，
因此数列是以为首项，公比为的等比数列，，
则，由，知为奇数，此时是递增的，
而，，
所以正整数k的最小值为13.
题型6 等比数列的简单应用
1．（2026·河南洛阳·模拟预测）《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（ ）
A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元
【答案】A
【解析】设甲、乙、丙、丁四位同学分配的“衰分比”为，甲所获得的奖金为元
则乙、丙、丁所获得的奖金分别为元、元、元，
由题意可知，
由①得
②代入③得，解得，即“衰分比”为，
把代入②，得，解得，
从而丁所获得的奖金为元
2．（2026·海南海口·一模）海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可得，这个排球第5次着地时，它经过的总路程为：
，故选：A.
3．（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：）
A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时
【答案】C
【解析】记第n小时后细胞的个数为，则，
，故是首项为，公比为的等比数列，
故，
令，得，
则，故，
又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时.
故选：C
4．（2025·陕西榆林·一模）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为___________．（用含的式子表示）
【答案】41t
【解析】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量，
则，，
所以是首项为，公比为3的等比数列，通项公式为：，
所以，第一轮参数为，
第二轮参数增加的数量为，
第三轮参数增加的数量为，
第四轮参数增加的数量为，
第五轮参数增加的数量为，
所以第五轮训练的模型参数的数量为.
题型7 等差数列与等比数列的综合
【例7】（2026·重庆云阳·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，设，若，，，数列为等比数列，则下列选项中一定是数列中的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意知：，，，数列为等比数列，故，
故，化简得到，
故，.
，无整数解，排除；
，无整数解，排除；
，，满足；
，无整数解，排除；故选：.
【变式1】（2026·浙江丽水一模）已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵成等比数列，
∴，解得：，
∴，
令，令，其中的整数，
∵函数在递减，在递增，
∴当时，；当时，，
∴.故选：A.
【变式2】（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
【答案】A
【解析】设的公差为，
由得，所以，，
又成等比数列，所以，所以，
因为，所以，
所以．
【变式3】（2026·北京丰台·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，由题意知，（），
因为成等差数列，由等差中项性质可得，
由于，，代入上式得： ，
由于，整理得： 解得或，
又，故舍去，得，则，
将代入得.
拔高 分层集训
基础演练
1．（2026·黑龙江大庆·模拟）已知等比数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等比数列性质，得，所以，故选：D
2．（2026·安徽芜湖二模）若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（ ）
A．－192 B．192 C． D．－193
【答案】B
【解析】由，，得，得，所以．
故选：B．
3.已知等比数列{an}中，若an＝2·3n－1，则＋＋＋…＋＝（　　）
A.（3n－1）2　 B.（9n－1）
C.9n－1　　 D.（3n－1）
【答案】B
【解析】数列{}是首项为4，公比为9的等比数列.因此＋＋…＋＝＝（9n－1）.
4．（2026·江苏南通一模）记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（ ）
A．93 B．1023 C．2047 D．3069
【答案】B
【解析】的首项为，故，
所以，，，，
故，故选：B
5．（2026·四川成都·模拟）已知等比数列的公比为2，且.若，则值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】由题可得：，解得，故，
因为
，解得．故选B．
6．（2026·海南儋州·模拟预测）已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，且，则，
所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，则，，
所以.故选：C
7．（2026·江西·三模）已知公差不为0的等差数列，其前n项和为．若满足，且成等比数列，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，由成等比数列知，
即，解得或（舍去），故．
由得，故选B．
8．（多选）（2026·广东广州一模）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】AD
【解析】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确；
对于B，数列的通项公式为，则，
所以数列是公比为3的等比数列，B错误；
对于，所以数列是公差为1的等差数列，C错误；
对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确，
故选：AD.
9．（多选）（2026·云南大理一模）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
【答案】ACD
【解析】A选项，，
其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；
C选项，由A知，，所以，C正确；
B选项，当时，，
当时，，
显然满足，故，B错误；
D选项，，故，
即为公比为的等比数列，且，
所以的前项和为，D正确.
故选：ACD
10.（2026·河北秦皇岛·三模）已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为
【答案】4950
【解析】由，得，而，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此，，
所以数列的前100项和为.
11.（2026·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则 ．
【答案】
【解析】由等比数列的公比，且，
则
，
所以.
12.已知数列中，，，
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，证明：.
【解】（1），
则数列是以为首项，公比为2的等比数列,
则；
（2）由（1），则.
则
；
.
则.
能力进阶
13．（2026·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得为方程的两个解，则，
解得，易知，故选B.
14．（2026·山东济南·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】可化为，
即，而的比值不确定，故不能得到为等比数列，
反之，若为公比为的等比数列，则，
则，即，
若，则，
则，即，不满足题意，
故对于公比为的等比数列，，
所以为等比数列不一定能推出.
故“”是“为等比数列”的既不充分又不必要条件.
15．（25-26高二下·上海·期末）已知数列满足，且对任意，都有.若函数（），记，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列，且公差为2
B．数列是等比数列，且公比为
C．若为数列的前n项和，则的最大值为
D．若为数列的前n项和，则存在，使得
【答案】D
【解析】由，（），得，即，
故是首项为、公差为2的等差数列，
所以，得，
所以，
对于A，因为，不为定值，所以数列不是等差数列，故A错误；
对于B，因为，不为定值，所以数列不是等比数列，故B错误；
对于C，因为，前n项和单调递增，所以数列的前n项和无最大值，故C错误；
对于D，因为，所以，所以存在使得，故D正确.
16．（2026·河北保定·二模）已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（ ）
A．2026 B．2025 C．1014 D．1013
【答案】D
【解析】，
令，解得或，
所以函数的单调递增区间为和，
令，解得，所以函数的单调递减区间为，
因此是函数的两个极值点，因此，
17．（2026·福建南平·二模）已知各项均为正数的数列：1，2，，，，，其中奇数项成公差为的等差数列且和为9，偶数项成公比为的等比数列且和为14，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C．上四分位数为5 D．下四分位数为5
【答案】BC
【解析】因为为等差数列，则，可得，，；
又因为成等比数列，则，
整理可得，解得或（舍去），可得，；
综上所述：数列为：1，2，3，4，5，8，故A错误，B正确；
因为，所以下四分位数为2，故D错误；
又因为，所以上四分位数为5，故C正确.
18．（2026·北京·模拟预测）玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示.某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列.若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为___________.
【答案】
【解析】设个玉琮的圆柱形孔洞体积为，高度为，孔洞半径为，
（其中，对应最矮，对应最高），
由题知是公比的等比数列，因此，
因为最高玉琮孔洞半径，高，则，
代入，得，即最矮孔洞体积为，
又， 由圆柱体积公式得，解得，
由题知是等差数列，且，
所以数列前项和，故个玉琮高度和为.
19．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且对任意，都有．设为数列的前项的乘积，若，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】设，则，
两边取以2为底的对数，令，则，
因为，则，所以，
所以可知是首项为 1、公比为 2 的等比数列，
所以，则，
，
所以.
20.（2026·湖北武汉·一模）已知公比不为1的等比数列满足，且，，构成等差数列.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记为的前项和，求使成立的最大正整数.
【解】（Ⅰ）由题意，∴，∴或1（舍）.
又∵，∴，∴.
∴.
（Ⅱ）.
∵，∴，∴.
显然，为奇数，即.
解得.所以满足条件的最大正整数为3.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2022·全国乙卷T8）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，则，解得，
所以，故选D.
2.（2023·新课标Ⅱ卷T8）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以，故选C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．故选C．
3．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由等比数列的公比为，则，即.
因为，所以，即.
因为，所以，所以，即，所以A正确.
因为，则，所以B错误.
，
，所以C正确.
，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，因为；所以，
所以，即，所以D正确.
4．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
5.（2026全国一卷T14）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________．
【答案】
【解析】令，由题意得，
因此每个三项块的和为.
设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正，
下面按除以3的余数讨论.
若，这9项正好包含三个完整三项块，
得，，，
于是且，矛盾，故这种起点不存在.
若，其中两个完整三项块为第块，第块，
得，，所以.
若，其中两个完整三项块为第块，第块，
得，，所以.
综上，所以，即的最大值为.
6.（2026·新课标1卷T13）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
【解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，所以该等比数列公比为2.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，所以该等比数列公比为2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，所以该等比数列公比为5．
7.（2023·全国甲卷T13）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【解析】若，
则由得，则，不合题意，所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
8.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知数列是等比数列．
（1）若，，求q与；
（2）若，，求．
【解】（1）由数列是等比数列，设等比数列的公比为，
因为，，可得，即，解得，
所以.
（2）设等比数列的公比为，因为，，
可得，即，解得或，
当时，可得，则；
当时，可得，则.
2．设等比数列的前n项和为 .已知求和 .
【解】设的公比为，由题设得
解得或 ，
当时， ；
当时，
3．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？
【解】依题意设数列的首项为，公比为，则，，所以，即，所以，解得，即，所求
4．放射性元素在t=0时的原子核总数为，经过一年原子核总数衰变为，常数称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年．
（1）碳14的年衰变率为多少（精确到）
（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？
【解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为，
n年后的残留量为，则是一个等比数列．由碳14的半衰期为5730，则
，所以衰变率．
即碳14的年衰变率为；
(2)设动物约在距今n年前死亡，由，得
，
解得，所以动物约在距今4221年前死亡．
5．已知数列的首项，，，，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，若，求最大正整数．
【详】（1）证明：，，
可得，又，
数列为等比数列，首项为，公比为．
（2）由（1）知，，，
，
由，则，
在定义域内单调递增，
且时，，时，，
所以．
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