资源简介

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第02讲 等差数列及其前n项和
考情·分析解读
课标要求
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数、二次函数的关系.
考题统计
核心考点 考情预览
2022 2023 2024 2026 2026
等差数列基本量的运算 全国一卷T7 全国甲卷T5 全国甲卷T4 全国二卷T12 全国二卷·T7 全国一卷·T7 全国二卷·T12
等差数列的判定与证明
等差数列的性质及应用 全国二卷T20 全国甲卷T5
考情解读
近三年考情显示，该内容为高考必考考点，分值稳定。选择、填空常单独命题，侧重首项、公差等基本量运算、数列性质与奇偶项求和，难度偏低。解答题常与等比数列综合设问，也会结合函数最值、不等式出题，含绝对值求和、恒成立等难点，综合性更强，是大题高频考点。
备考策略
1.理解等差数列的概念
2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题
4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系
5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质
知识 归纳梳理
知识点1 等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a与b的等差中项.
【自我检测】
（2026·安徽合肥·二模）若是，的等差中项，是，的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是，的等差中项，所以，即；
因为是，的等比中项，所以，即，所以.
知识点2 等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
【自我检测】
已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法1：特征方程为，解得.
设通项为，代入，得，解得，故.
法2：因为，所以，
因为，，所以数列是以为首项的常数列，则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，则.
知识点3 等差数列的性质
(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列.
【自我检测】
1．（2026·河南洛阳·期末）在等差数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用等差数列的性质可得.
2.（2026·安徽安庆二模）已知等差数列的前n项和为，且，则=（ ）
A．76 B．68 C．38 D．34
【答案】A
【解析】因为为等差数列，所以，
又，所以，解得，
所以.
知识点4 等差数列与函数的关系
(1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，它是关于n的一次函数，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点.
(2)前n项和公式可变形为，当d≠0时，它是关于n的常数项为0的二次函数，那么点(n，Sn)在二次函数的图象上.
【自我检测】（2026·湖南长沙·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点.
当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确.故选：C.
重难 核心突破
题型1 等差数列的基本量运算
【例1】（2026·宁夏·一模）已知正项等差数列中，，，若，则（ ）
A．10 B．13 C．15 D．17
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则由，得，
解得或（舍），，
设等差数列的前n项和为，则，
故，，即.
故选：C.
【方法技巧】等差数列基本量运算的常见类型及解题策略
（1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想；
（2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素；
（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；
（4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.
【变式1】（2026·山西晋城一模）在等差数列中，，则的公差为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，又因为，
所以，
所以，即，故选：D.
【变式2】（2026·陕西渭南·三模）已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．36 D．45
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由，，得，
即，则，因此，
所以.
【变式3】（2026·河南许昌·模拟预测）等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，显然.
由题意得：，解得：.
，显然，解得.
题型2 等差数列的判定与证明
【例2】在数列中，，证明：数列为等差数列；
【解】

所以数列是公差为3的等差数列．
【方法技巧】判断数列{an}是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数；
（2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1；
（3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）；
（4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）
【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且．
证明：数列为等差数列；
【解】由，所以，
所以，
所以数列是以为公差，首项为的等差数列；
【变式2】已知数列的前项和为，若，且.
证明：为等差数列，并求.
【解】，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
【变式3】已知数列中，，.证明：是等差数列；
【解】因为，所以，
而，则，
即，得到是首项为，公差为的等差数列.
题型3 等差数列的性质
【例3】（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5 B．10 C．30 D．75
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，
，，
，，
.
【方法技巧】下标等量代换法
利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an也可相互转化.
【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）等差数列中，，，则（ ）
A．0 B． C．15 D．20
【答案】A
【解析】因为为等差数列，且，
所以由下标和性质有，即，解得.
【变式2】（2026·河北张家口·二模）在等差数列中，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由，得，
又，所以．
【变式3】（2026·山东青岛二模）已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ）
A．41 B．42 C．43 D．44
【答案】D
【解析】由于与是方程的两根，故，
即，得，
因此，故选：D
题型4 等差数列前n项和的性质
【例4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，
又，所以，
所以．
【方法技巧】下标等量代换法
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：
（1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an；
（2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
【变式1】（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为等差数列的前项和分别为，且，
所以可设，，
所以，所以.
【变式2】（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】A
【解析】因为是等差数列的前项和，
所以成等差数列.
所以，
即.
【变式3】（2026·山西晋中一模）等差数列中，为其前项的和．若，，则_______．
【答案】
【解析】由等差数列的性质可知，数列成等差数列，
且公差，
∴，即，
则，则.
题型5 等差数列前n项和的最值
【例5】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得：
由，得，化简整理得 ①；
由，得，化简整理得 ②.
所以得，将代入①得，
故通项公式为，
所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列，
因此等差数列的前项和有最小值.
令，即，解得，又，因此.
所以当时，，；当时，，.
因此时取得最小值.
【方法技巧】求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
【变式1】（2026·湖南怀化·三模）设等差数列的前n项和为，已知，，则满足的n的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】等差数列，由，可知，，
所以，，
不等式即，
因，不等式化为，整理得，解得，
因为为正整数，所以的最大值为4，
所以满足的n的最大值为4.
【变式2】（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
由，得，
又，所以，解得，所以，
所以，
所以当或时，的值最大，最大值为.
【变式3】（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.当最大时，（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．10或11
【答案】C
【解析】由可得数列为等差数列，
又可得，因此；
所以公差满足，因此；
即，
又因为，所以当或时，取得最大为45.故选：C
题型6 等差数列的实际应用及数学文化
【例6】（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（ ）TFLOPS.
A．29 B．32 C．35 D．38
【答案】C
【解析】由题意知，前10秒每秒的算力构成等差数列，
设等差数列的公差为，首项为，且最大算力为，10秒后算力保持不变.
则，，
联立解得，.
所以最大算力，单位为TFLOPS.
【变式1】（2026·北京房山·二模）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为数列从第5项开始是等差数列，
所以，
，.
【变式2】（25-26高三上·山西·阶段检测）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ）
A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏
【答案】C
【解析】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则
首项为 ，公差 ，项数 ，，
根据等差数列前 项和公式：
，
，
计算化简：即，
所以根据等差数列通项公式：
，代入 、、，
.
故选：C.
【变式3】（2026·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为 公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为，
由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即.
根据等差数列前项和公式，
将，，代入可得： ，即
得到，（因为层数为正整数，所以舍去）.
该鬼工球的层数为11.故选：C.
题型7 含绝对值的等差数列求和问题
【例7】（2026·江西抚州·三模）已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解】（1）因，则为首项为23，公差为的等差数列，
则.
又，则，
时，,
又满足，则；
（2）由（1），当时，令，可得；
.
则当时，；
当时，.
综上：.
【变式1】（2026·四川乐山·二模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
设数列的公差为，则，所以，
，，
所以当时，，当时，，
所以
，
所以.
【变式2】（2026·浙江杭州·三模）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________．
【答案】
【解析】因为，所以；
因为，
所以当时，；
当时，．
所以
【变式3】（2026·广东东莞·一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解】（1）设公差为，公比为，，
故，，
，故，联立，解得或（舍去），
故，；
（2）令，设数列的前项和为，
则，
由，解得，
当时，，
则，
当时，，则
，
综上：.
拔高 分层集训
基础演练
1.（2026·甘肃甘南·三模）已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，得 ，则 ．故选B．
2．（2026·安徽合肥·一模）数列中，，，则=（ ）
A．210 B．190 C．170 D．150
【答案】C
【解析】由知数列是公差为的等差数列，
所以，故选C.
3．（2026·辽宁·二模）已知等差数列满足，，则（ ）
A．1 B． C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为数列为等差数列，且，，
所以，，解得，，所以．故选C．
4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】方法一：由题意得：，，
则等差数列的公差，
则，，所以.
方法二：因为等差数列的性质即为等差数列，
则，得，解得.故选：C
5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】C
【解析】由结论3，，解得，项数.故选C.
6．（2026·四川眉山二模）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ）
A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024
【答案】C
【解析】由是等差数列，则也为等差数列.
由，则数列的公差为1.
所以
所以，所以，故选C
7.（多选）（2023·湖南·模拟预测）若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时， B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29 D．公差的取值范围是
【答案】ABC
【解析】当,时，公差，，故A正确；
因为是正项等差数列，所以，即，且，
所以公差的取值范围是，故D错误；
因为，所以的取值范围是，故B正确；
，当为整数时，的最大值为29，故C正确；
故选：ABC.
8.（多选）（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的首项，则（ ）
A．为等差数列 B．
C．为递增数列 D．的前20项和为10
【答案】AD
【解析】A选项，因为，所以，
所以为公差为1的等差数列，A正确；
B选项，因为，所以，故，故，
则，B错误；
C选项，，，为递减数列，C错误；
D选项，当为奇数时，，当为偶数时，，
所以的前20项和为
，D正确.
故选：AD．
9.已知数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，则 ．
【答案】9
【解析】由数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，可得，则，所以.
10.（2026·广东·模拟预测）方程有四个可以排列成等差数列的实根，则的值为 .
【答案】4
【解析】解法一：直接解方程
解得这四个解分别是：，，，
由等差关系，可知：，解得.
解法二：利用对称性
可知，这四个解分别是：，，，，计算可得，解得
即：.
11.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明数列=为等差数列，并求{bn}的通项公式.
【解】（1）当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1.
因为a1＝1符合上式，所以an＝2n－1.
（2）因为bn＋1－2bn＝8an，
所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即.又＝1，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列.
所以＝1＋2（n－1）＝2n－1.所以bn＝（2n－1）×2n.
能力进阶
12．（2026·四川自贡·模拟预测）定义在正整数集上的函数满足：且，数列满足．从集合中随机抽取一个整数k，记事件为是3的倍数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数满足：且，
令，将其代入上式可得.
所以可知数列是一个以为公差，以为首项的等差数列，
所以，则.
若是3的倍数，则是3的倍数，即能被3整除，
则是被3整除余2的数，令（为非负整数），且，
则，解得.
因为为非负整数，所以取共个值，即事件包含个样本点，
而样本空间中总共包含2026个样本点，所以.
13.（交汇问题）（多选）（2026·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线的焦点为，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（ ）
A． B．数列是等差数列
C．点的坐标为 D．
【答案】ABD
【解析】因为抛物线的焦点为，C选项错误；
因为是等差数列设公差为，且，，则，所以，A选项正确；
，，所以数列是等差数列，B选项正确；
，D选项正确；
故选：ABD.
14．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______.
【答案】11
【解析】令.
由得，
所以数列是公差为2的等差数列，
又，所以.
所以
当，，
，
…
，
，
将以上个等式左右两边分别相加得
，
所以，因为也满足，所以，
要找第一个大于100的项，即，所以
所以第一个大于100的项是第11项，所以.
15．（2026·陕西西安·模拟预测）Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步.
【答案】14700
【解析】设Wanye老师第天所走的步数为，则张宏老师前七天每天所走的步数都为，
由已知Wanye老师第二天到第七天所走的步数分别为，
因为张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，
所以
所以
故，
所以Wanye老师第七天所走的步数为.
16．（2026·陕西·二模）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为______．
【答案】
【解析】由题意可得每段圆弧所对的圆心角均为，
题中依次所得的圆弧其所在圆的半径成公差为1的等差数列，且第一段圆弧所在圆的半径为1，
设该等差数列为，则，等差数列通项公式为，
所以第n段圆弧所在圆的半径为，
所以恰好有7段圆弧所制作的“蚊香”的长度为.
17．（2026·陕西榆林·模拟预测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．研究发现，任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则__________．
【答案】
【解析】解法1：，令得．又因为，
所以的对称中心为，即，
由于，因此数列为等差数列，因为，所以，
设，则，由的对称性，，
所以两式相加得，解得，
因此．
解法2：，令得．
又因为，所以的对称中心为，即．
由于，所以，
所以，
因此．
18.记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
19.（2026·甘肃嘉峪关·模拟）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有．
(1)证明：，，三项成等差数列；
(2)证明：对任意整数，均有；
(3)数列是否为等差数列 并说明理由．
【解】(1)证明： 由题意得 ，
对任意，，且前项和
要证成等差数列，只需证，
当时，代入递推式得，
又，，
代入得： ，化简得，
两边同乘3得，整理得，
因为，
所以，故成等差数列，证毕.；
(2)证明： 因为数列，对任意，令
所以，对任意，，，，
所以，前项和，
所以①，
因为，对任意，②，
将②代入①得：， 移项化简得，证毕.；
(3)数列是等差数列，理由如下：
由（2）的结论，对任意整数，均有，
令（），得，
因为，
所以，
验证时也成立，
所以，对所有， ，
当时， ，
两式相减得： ，
展开整理得，
令，代入上式得（），
可变形为，
又因为当时，，即
所以数列在时为常数列，即，
所以时，，其中为常数，（显然时也成立），
所以，，即是首项为1，公差为的等差数列.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】由已知，，，，，
设新数列为，，
由已知数列为等差数列，设其公差为，，
又的前项都为奇数，所有项都为偶数，
由已知为正偶数，为正偶数，
则，故，
若，则，矛盾，
若，则，矛盾，
若，则，矛盾，
若，则，此时可取，，，
，，，满足要求.
2．（2026·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
3．（2026·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
【答案】C
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选：C
4．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，
所以.
故选：B.
5.（2024·全国甲卷T4）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，
则等差数列的公差，故，故选B.
6.（2024·全国甲卷T5）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故，故选D
7．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．
【答案】 （答案不唯一，满足即可）
【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为.
∵ ，，
∴ .
由，得，
消去等式两侧的，整理得，解得.
∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立，
∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ，
代入通项公式得，解得，
取即为符合条件的一个取值.
8．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和，若，，则__________．
【答案】24
【详解】由等差数列通项公式，
代入可得，解得.
因为，所以，
故.
9.（2024·新课标Ⅱ卷T12）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【答案】95
【解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
10.（2021·全国甲卷T18）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【解】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴，∴是等差数列.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求．
【解】设等差数列的公差为，
则，解得，
则.
2．已知数列的前n项和．求这个数列的通项公式．
【解】当时，,
当时，，
当时，，
所以.
3．根据下列等差数列中的已知量，求相应的未知量：
（1），，，求d及n；
（2），，，求及﹔
（3），，，求n及；
（4），，，求及．
【解】（1）因为等差数列中，，，，
所以，
；
（2）因为等差数列中，，，，
所以，
解得；
（3）因为等差数列中，，，，
所以，
整理得，解得，或（舍去），
；
（4）因为等差数列中，，，，
，
.
4．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．
（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．
【解】（1）数列是等差数列，
证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，
所以，
又因为，
故，
而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列，
而，，
所以.
5．已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数．
【答案】4
【详解】由题意可知：，，
则， 即，得
解得：或（舍去）
故这个多边形的边数为4.
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第02讲 等差数列及其前n项和
考情·分析解读
课标要求
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数、二次函数的关系.
考题统计
核心考点 考情预览
2022 2023 2024 2026 2026
等差数列基本量的运算 全国一卷T7 全国甲卷T5 全国甲卷T4 全国二卷T12 全国二卷·T7 全国一卷·T7 全国二卷·T12
等差数列的判定与证明
等差数列的性质及应用 全国二卷T20 全国甲卷T5
考情解读
近三年考情显示，该内容为高考必考考点，分值稳定。选择、填空常单独命题，侧重首项、公差等基本量运算、数列性质与奇偶项求和，难度偏低。解答题常与等比数列综合设问，也会结合函数最值、不等式出题，含绝对值求和、恒成立等难点，综合性更强，是大题高频考点。
备考策略
1.理解等差数列的概念
2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题
4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系
5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质
知识 归纳梳理
知识点1 等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a与b的等差中项.
【自我检测】
（2026·安徽合肥·二模）若是，的等差中项，是，的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．
知识点2 等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
【自我检测】
已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
知识点3 等差数列的性质
(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列.
【自我检测】
1．（2026·河南洛阳·期末）在等差数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2026·安徽安庆二模）已知等差数列的前n项和为，且，则=（ ）
A．76 B．68 C．38 D．34
知识点4 等差数列与函数的关系
(1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，它是关于n的一次函数，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点.
(2)前n项和公式可变形为，当d≠0时，它是关于n的常数项为0的二次函数，那么点(n，Sn)在二次函数的图象上.
【自我检测】（2026·湖南长沙·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（ ）
A．B．C．D．
重难 核心突破
题型1 等差数列的基本量运算
【例1】（2026·宁夏·一模）已知正项等差数列中，，，若，则（ ）
A．10 B．13 C．15 D．17
【方法技巧】等差数列基本量运算的常见类型及解题策略
（1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想；
（2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素；
（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；
（4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.
【变式1】（2026·山西晋城一模）在等差数列中，，则的公差为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式2】（2026·陕西渭南·三模）已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．36 D．45
【变式3】（2026·河南许昌·模拟预测）等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型2 等差数列的判定与证明
【例2】在数列中，，证明：数列为等差数列；
【方法技巧】判断数列{an}是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数；
（2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1；
（3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）；
（4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）
【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且．
证明：数列为等差数列；
【变式2】已知数列的前项和为，若，且.
证明：为等差数列，并求.
【变式3】已知数列中，，.证明：是等差数列；
题型3 等差数列的性质
【例3】（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5 B．10 C．30 D．75
【方法技巧】下标等量代换法
利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an也可相互转化.
【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）等差数列中，，，则（ ）
A．0 B． C．15 D．20
【变式2】（2026·河北张家口·二模）在等差数列中，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3】（2026·山东青岛二模）已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ）
A．41 B．42 C．43 D．44
题型4 等差数列前n项和的性质
【例4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【方法技巧】下标等量代换法
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：
（1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an；
（2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
【变式1】（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【变式3】（2026·山西晋中一模）等差数列中，为其前项的和．若，，则_______．
题型5 等差数列前n项和的最值
【例5】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
【变式1】（2026·湖南怀化·三模）设等差数列的前n项和为，已知，，则满足的n的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【变式3】（2026·辽宁大连·一模）记为数列的前项和，已知.当最大时，（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．10或11
题型6 等差数列的实际应用及数学文化
【例6】（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（ ）TFLOPS.
A．29 B．32 C．35 D．38
【变式1】（2026·北京房山·二模）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26高三上·山西·阶段检测）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ）
A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏
【变式3】（2026·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为 公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
题型7 含绝对值的等差数列求和问题
【例7】（2026·江西抚州·三模）已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式1】（2026·四川乐山·二模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·浙江杭州·三模）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________．
【变式3】（2026·广东东莞·一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
拔高 分层集训
基础演练
1.（2026·甘肃甘南·三模）已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽合肥·一模）数列中，，，则=（ ）
A．210 B．190 C．170 D．150
3．（2026·辽宁·二模）已知等差数列满足，，则（ ）
A．1 B． C．4 D．8
4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．21
6．（2026·四川眉山二模）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ）
A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024
7.（多选）（2023·湖南·模拟预测）若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时， B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29 D．公差的取值范围是
8.（多选）（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的首项，则（ ）
A．为等差数列 B．
C．为递增数列 D．的前20项和为10
9.已知数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，则 ．
10.（2026·广东·模拟预测）方程有四个可以排列成等差数列的实根，则的值为 .
11.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明数列=为等差数列，并求{bn}的通项公式.
能力进阶
12．（2026·四川自贡·模拟预测）定义在正整数集上的函数满足：且，数列满足．从集合中随机抽取一个整数k，记事件为是3的倍数，则（ ）
A． B． C． D．
13.（交汇问题）（多选）（2026·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线的焦点为，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（ ）
A． B．数列是等差数列
C．点的坐标为 D．
14．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______.
15．（2026·陕西西安·模拟预测）Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步.
16．（2026·陕西·二模）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为______．
17．（2026·陕西榆林·模拟预测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．研究发现，任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则__________．
18.记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
19.（2026·甘肃嘉峪关·模拟）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有．
(1)证明：，，三项成等差数列；
(2)证明：对任意整数，均有；
(3)数列是否为等差数列 并说明理由．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2026·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
3．（2026·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
4．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·全国甲卷T4）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6.（2024·全国甲卷T5）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．
8．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和，若，，则__________．
9.（2024·新课标Ⅱ卷T12）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
10.（2021·全国甲卷T18）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求．
2．已知数列的前n项和．求这个数列的通项公式．
3．根据下列等差数列中的已知量，求相应的未知量：
（1），，，求d及n；
（2），，，求及﹔
（3），，，求n及；
（4），，，求及．
4．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．
（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．
5．已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数．
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