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第01讲 数列的基本知识与概念
考情·分析解读
课标要求
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式）
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数
考题统计
核心考点 考情预览
2022 2023 2024 2025 2026
由an与Sn的关系求通项公式 天津卷T6 天津卷T8
数列的函数特性 北京卷T15
考情解读
高考单独考查数列基础概念的题目占比不高，考情长期稳定，题型、难度、出题频次波动很小。命题更侧重将数列视作特殊函数综合出题，常围绕单调性、周期性、最值三大核心性质设置考题，也是小题与大题高频命题方向。
备考策略
1.掌握数列的有关概念和表示方法
2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
知识 归纳梳理
知识点1 数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
【自主检测】
（2026·四川内江一模）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（ ）
A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项
知识点2 数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
【自主检测】（2026·河北石家庄二模）数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点3 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
【自主检测】（2026·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
知识点4 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
【自主检测】
（2026·陕西渭南一模）若数列满足，，则等于（ ）
A． B．-1 C．2 D．
重难 核心突破
题型1 数列的周期性
【例1】（2026·辽宁名校联盟模拟）已知数列满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
【方法技巧】解决数列周期性问题的方法
1.利用递推关系推导周期：通过递推公式变形，找到an+T =an ；
2.利用已知周期性函数：如三角函数的周期性，推导数列周期；
【变式1】在数列中，若，则（ ）
A．-2 B．4 C．1 D．
【变式2】在数列中，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式3】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
题型2 数列的单调性
【例2】已知数列各项均为正数，其前n项和满足．证明
为递减数列
【方法技巧】解决数列单调性问题的方法
（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
（2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断；
（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.
【变式1】已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围
【变式2】已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ．
题型3 数列的最大（小）项
【例3】已知数列满足，.则的最小值为 .
【方法技巧】求数列最大项与最小项的常用方法
（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法；
（2）解不等式组（n≥2）确定最大项，解不等式组（n≥2）确定最小项.
【变式1】在数列中，，则数列中的最大项可以是（ ）
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
题型4 累加法求数列的通项公式
【例4】（2026·四川达州一模）已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】在数列中，，且，则数列的通项公式 ．
【变式2】（2026·江苏徐州·一模）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】设数列满足，且，则数列的前10项和为 ．
题型5 累乘法求数列的通项公式
【例5】（2026·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·广西百色·三模）已知数列中，，，则________.
【变式2】已知，，则数列的通项公式等于
A． B． C． D．
【变式3】（2026·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
题型6 递推公式求通项公式（构造法）
【例6】（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（ ）
A．127 B．128 C．255 D．256
【方法技巧】数列的递推关系求通项公式
【变式1】（2026·四川乐山·三模）已知数列满足，，则______．
【变式2】（2026·四川攀枝花·一模）设数列的前n项和为，，，则___________.
【变式3】已知数列满足，且，若，则（ ）
A．253 B．506 C．1012 D．2024
题型7 由an与Sn的关系求通项公式
【例7】已知是数列的前n项和，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】Sn与an关系问题的求解思路
方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.
方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
【变式1】（2025·天津卷T6），则数列
【变式2】（2026·宁夏银川模拟）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【变式3】（2026·四川遂宁期中）已知数列的前项和满足，则的通项公式为 .
拔高 分层集训
基础演练
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2-1，则a3等于(　　)
A.-5 B.5 C.7 D.8
2．斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（ ）
A．13 B．21 C．34 D．55
3．（2026·甘肃金昌期末）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
4.在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1 C． D．2
5.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3n，则a6＝（　　）
A.30　　　 B.31　　C.45　　　 D.46
6.已知数列满足，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7.（多选）已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2（n≥2，n∈N*），Sn为其前n项和，则（　　）
A.a4－a2＝7 B.a10＝55
C.S5＝35 D.a8＋a4＝28
8．（多选）（2026·山东菏泽一模）记为正项数列的前项和，已知，则（ ）
A． B．数列单调递增
C．数列的单调递增 D．
9．（2026·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ．
10.已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，则数列{an}的通项公式为　　.
11.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
能力进阶
12.（创新考法）（2026·云南大理期末）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13.（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足则（ ）
A． B． C． D．
14．（新定义问题）对于正项数列，定义，若，则数列的通项公式 ．
15．（2026·山西太原·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为
16．（2026·江苏·模拟预测）有张正方形纸片依次叠放在一起，且第张纸片的边长为，设第张纸片与第张纸片重叠面积为，且与之和恰好为第张纸片面积，若，则______．
17.（2026·河南洛阳期末）已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（ ）
A．68 B．56 C． D．
3．（2005·天津·高考真题）在数列中，，且，则数列的前10项和____________．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数．
(1)
(2)
(3)
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数 正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.
4.已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项.
5．已知函数，设数列的通项公式为.
（1）求证.
（2）是递增数列还是递减数列？为什么？
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第01讲 数列的基本知识与概念
考情·分析解读
课标要求
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式）
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数
考题统计
核心考点 考情预览
2022 2023 2024 2025 2026
由an与Sn的关系求通项公式 天津卷T6 天津卷T8
数列的函数特性 北京卷T15
考情解读
高考单独考查数列基础概念的题目占比不高，考情长期稳定，题型、难度、出题频次波动很小。命题更侧重将数列视作特殊函数综合出题，常围绕单调性、周期性、最值三大核心性质设置考题，也是小题与大题高频命题方向。
备考策略
1.掌握数列的有关概念和表示方法
2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
知识 归纳梳理
知识点1 数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
【自主检测】
（2026·四川内江一模）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（ ）
A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项
【答案】A
【解析】令，得 ，解得 ，或（舍去）.
知识点2 数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
【自主检测】（2026·河北石家庄二模）数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在数列，，由是递增数列，
得，，而当时，，则，
知识点3 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
【自主检测】（2026·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式.
知识点4 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
【自主检测】
（2026·陕西渭南一模）若数列满足，，则等于（ ）
A． B．-1 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以，，，
所以数列为周期数列，周期为3，即，所以.
重难 核心突破
题型1 数列的周期性
【例1】（2026·辽宁名校联盟模拟）已知数列满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】由，得且，所以，故，
所以是以8为一个周期的周期数列，又，所以，所
以，故选B.
【方法技巧】解决数列周期性问题的方法
1.利用递推关系推导周期：通过递推公式变形，找到an+T =an ；
2.利用已知周期性函数：如三角函数的周期性，推导数列周期；
【变式1】在数列中，若，则（ ）
A．-2 B．4 C．1 D．
【答案】B
【解析】因为数列中，，所以，，
，，所以数列是以3为周期的周期数列，
所以.故选B
【变式2】在数列中，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为且，
所以，
，
，，
，
所以是以4为周期的周期数列，
所以.故选：A.
【变式3】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】由题意可得，，
所以数列是以3为周期的数列，又，所以.
故选：B
题型2 数列的单调性
【例2】已知数列各项均为正数，其前n项和满足．证明
为递减数列
【解】由题意可知，，，当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
可得，所以，数列为递减数列，
【方法技巧】解决数列单调性问题的方法
（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
（2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断；
（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.
【变式1】已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围
【答案】
【解析】因为数列为递增数列，所以必有，解得
【变式2】已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得，
函数在上为增函数，可得，可得，
且有，即，即，解得或.
综上所述，.故选：C.
【变式3】数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由有，所以，
由题知数列是单调递增数列，所以，
即对任意恒成立，所以，
即，当时，的最大值为，即.
题型3 数列的最大（小）项
【例3】已知数列满足，.则的最小值为 .
【答案】
【解析】【法一】由题设知
.故.
当时，；当时，.
综上，当时，取最小值.
【法二】令bn=,由，
所以数列取最小值
【方法技巧】求数列最大项与最小项的常用方法
（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法；
（2）解不等式组（n≥2）确定最大项，解不等式组（n≥2）确定最小项.
【变式1】在数列中，，则数列中的最大项可以是（ ）
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
【答案】AB
【解析】假设最大，则有即且，
所以，即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项．故选AB
题型4 累加法求数列的通项公式
【例4】（2026·四川达州一模）已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当时，，即，而，
所以
，满足上式，
所以所求通项公式为，故选C
【变式1】在数列中，，且，则数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】由题设，所以且，显然满足上式，所以.
【变式2】（2026·江苏徐州·一模）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，，
令，得，
又可得，
所以
，
当时也符合上式，所以，则，
所以.
【变式3】设数列满足，且，则数列的前10项和为 ．
【答案】
【解析】因为数列满足，且，
所以当时，，
当时，上式也成立，
所以，所以，
则的前项和，
所以数列的前10项和为．
题型5 累乘法求数列的通项公式
【例5】（2026·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，当时，
，显然，对于时也成立，
所以，
则的前6项和为，故选C.
【变式1】（2026·广西百色·三模）已知数列中，，，则________.
【答案】/4.375
【解析】由，得，
所以，，则.
【变式2】已知，，则数列的通项公式等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当n≥2时，，
，显然成立，故选C
【变式3】（2026·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【解析】数列中，满足，当时，可得，
两式相减，可得，即，所以，
又由，则.故选：B.
题型6 递推公式求通项公式（构造法）
【例6】（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（ ）
A．127 B．128 C．255 D．256
【答案】C
【解析】在数列中，由，得，而，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
所以.
【方法技巧】数列的递推关系求通项公式
【变式1】（2026·四川乐山·三模）已知数列满足，，则______．
【答案】
【解析】由得，又，
所以，即是等比数列，
所以，即．
故答案为：．
【变式2】（2026·四川攀枝花·一模）设数列的前n项和为，，，则___________.
【答案】
【解析】由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
【变式3】已知数列满足，且，若，则（ ）
A．253 B．506 C．1012 D．2024
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为，所以，故为常数列，
所以. 由，解得，故选B
题型7 由an与Sn的关系求通项公式
【例7】已知是数列的前n项和，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】数列中，由，得，即，而，
因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，，
所以.故选A
【方法技巧】Sn与an关系问题的求解思路
方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.
方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
【变式1】（2025·天津卷T6），则数列
【答案】
【解析】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，所以
【变式2】（2026·宁夏银川模拟）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】由题意，
当时，，两式相减得，
，解得，
在中，令，可得，故也满足，
综上所述，所求即为.
【变式3】（2026·四川遂宁期中）已知数列的前项和满足，则的通项公式为 .
【答案】
【解析】因为，
当时，；
当时，，
所以，
当时不满足，所以.
拔高 分层集训
基础演练
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2-1，则a3等于(　　)
A.-5 B.5 C.7 D.8
【答案】B
【解析】因为Sn=n2-1，所以a3=S3-S2=(32-1)-(22-1)=5.
2．斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（ ）
A．13 B．21 C．34 D．55
【答案】C
【解析】根据题意，，
，.故选C
3．（2026·甘肃金昌期末）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该含有，
满足，所以数列的一个通项公式可以为，故选B.
4.在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】因为，（，），
所以，，，，
所以是以为周期的周期数列，则，故选A
5.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3n，则a6＝（　　）
A.30　　　 B.31　　C.45　　　 D.46
【答案】D
【解析】由已知an＋1－an＝3n，∴a2－a1＝3，a3－a2＝6，…，a6－a5＝15，上述等式左右分别相加可得a6－a1＝3＋6＋9＋12＋15＝45，∴a6＝1＋45＝46.故选D.
6.已知数列满足，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】，，
∴，∴，，
∴，∴，故选A.
7.（多选）已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2（n≥2，n∈N*），Sn为其前n项和，则（　　）
A.a4－a2＝7 B.a10＝55
C.S5＝35 D.a8＋a4＝28
【答案】ABC
【解析】因为a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46，故选A、B、C.
8．（多选）（2026·山东菏泽一模）记为正项数列的前项和，已知，则（ ）
A． B．数列单调递增
C．数列的单调递增 D．
【答案】AB
【解析】对于A:当时，由，得，解得或，
又，所以，故A正确；
对于B：所以，当时，，两式作差得，
即当时，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
故，易知单调递增，故B正确；
对于C：因为，所以，因为，
所以不是单调递增数列，故C错误；
对于D：，故D错误，故选AB
9．（2026·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ．
【答案】
【解析】时，，与原式相减得
，则，
经检验，时也成立，故，即．
10.已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，则数列{an}的通项公式为　　.
【答案】
【解析】由log2（Sn＋1）＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.
所以数列{an}的通项公式为
11.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
【解】（1）∵，
∴.
（2）解法1：由，得，
故.
∵，∴.
∴.
∴数列是首项为，公差为的等差数列.
∴.
∴.
当时，，
又适合上式，
∴.
解法2：由，得，
当时，， 3分
∴.
∴.
∴.
∵ ，∴.
∴数列从第2项开始是以为首项，公差为的等差数列
∴．
∵适合上式，∴.
能力进阶
12.（创新考法）（2026·云南大理期末）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，，，，，…，
，，
则，，…，，，
将上述各式两边相加得，，
所以，故选B．
13.（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的周期为4，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由递推式可知，
当为偶数时，，故；
当为奇数时，，
归纳可得，，
是偶数，故，
是奇数，，故．
14．（新定义问题）对于正项数列，定义，若，则数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】由，得，
当时，，
由得，所以，
又时，由得，也满足上式，所以.
15．（2026·山西太原·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为
【答案】17
【解析】由，当时，得，
两式相减并整理得，则
，,即，，
又因为，所以，，
当时也满足上式，所以，，
则，，显然随的增大而增大，
又，，的最大值为17.
16．（2026·江苏·模拟预测）有张正方形纸片依次叠放在一起，且第张纸片的边长为，设第张纸片与第张纸片重叠面积为，且与之和恰好为第张纸片面积，若，则______．
【答案】
【解析】由题意，得，于是有，
两式相减，得，
所以，，
两式相加，得,则.
17.（2026·河南洛阳期末）已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．
【解】（1）∵，
∴，
∴，
即，∴，
∴，
∴．
（2）．
=2·-λ（2n+1）．
∵数列为递增数列，
∴，即．
令，
即．
∴为递增数列，∴，
即的取值范围为．
真题溯源·考向感知
—
1．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】常规解法：因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则故D正确.
2．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（ ）
A．68 B．56 C． D．
【答案】C
【解析】由，得
，即；
，即；
因为，所以；
，即，所以；
，即，所以.
3．（2005·天津·高考真题）在数列中，，且，则数列的前10项和____________．
【答案】35.
【解析】因为，且，
所以当n为奇数时，，所以；
当n为偶数时，，
又，所以.
所以
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
【解】，，，.
猜想.
2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数．
(1)
(2)
(3)
【解】（1）解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
（2）解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
（3）解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数 正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.
【解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，
第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21.
正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数.
五边形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数.
4.已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项.
【解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2，
得a3＝a2+a1＝2+1＝3，a4＝a3+a2＝2+3＝5，a5＝a4+a3＝3+5＝8；
（2）依题意有：b12，
b2，b3，b4，b5．
5．已知函数，设数列的通项公式为.
（1）求证.
（2）是递增数列还是递减数列？为什么？
【解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以；
（2）是递增数列，
证明：因为，所以，
所以，所以是递增数列.
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