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参考答案
例1.
【解答】∵方程（k2﹣1）x2+（k+1）x+3＝0是一元一次方程，
∴k2﹣1＝0且k+1≠0， ∴k＝1，
练习：
1.
【解答】由题意可得：a+1＝0，b﹣2＝1，∴a＝﹣1，b＝3，
∴a+b＝﹣1+3＝2．
2.
【解答】∵关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣2+1＝0是一元一次方程，
∴，解得：m＝﹣3．
【题型二：方程解的个数】
例1.
【解答】方程整理得：（b﹣3）x＝a﹣6，
（1）由方程有唯一解，得到b﹣3≠0，即b≠3；
（2）由方程有无数解，得到b﹣3＝0，a﹣6＝0，即a＝6，b＝3；
（3）由方程无解，得到b﹣3＝0，a﹣6≠0，即a≠6，b＝3．
练习：
1.
【解答】（1）ax﹣k＝6x，ax﹣6x＝k，（a﹣6）x＝k，
当a≠6且k为任何数时，方程有唯一解；
（2）ax﹣k＝6x，ax﹣6x＝k，（a﹣6）x＝k，
当a＝6且k≠0时，方程无解；
（3）ax﹣k＝6x，ax﹣6x＝k，（a﹣6）x＝k，
当a＝6且k＝0时，方程有无数多解．
2.
【解答】解：关于x的方程4+3ax＝2a﹣7可以简化为：3ax=2a-11，
∵关于x的方程4+3ax＝2a﹣7有唯一解，∴a≠0，
∵2+y＝（b+1）y，∴by＝2，
∵关于y的方程2+y＝（b+1）y无解， ∴b＝0，
关于z的方程az＝b可以简化为：z，
∵a≠0，b＝0，
∴z＝0．
【题型三：方程的解】
例1.
【解答】已知x＝2是关于x的方程3x+5a＝26的解，
将x＝2代入方程3x+5a＝26，得：3×2+5a＝26，
整理得6+5a＝26，移项得5a＝26﹣6，合并同类项得5a＝20，
∴a＝4；
练习：
1.
【解答】把x＝4代入方程3x﹣▲＝10得：12﹣▲＝10， ▲＝12﹣10＝2，
∴▲处的数字是2，
2.
【解答】根据题意，把x＝2代入3a﹣2x＝2，得3a﹣2×2＝2，∴3a＝6，
解得：a＝2．
3.
【解答】因为x＝a是关于x的方程x﹣b＝2的解，所以将x＝a代入方程，得a﹣b＝2，
因此，1+a﹣b＝1+2＝3．
【题型四：整数解】
1.
【解答】已知关于x的方程，去括号得：mx﹣3＝x+4，
整理得：（m﹣1）x＝7，
∵该方程的解是整数，
∴m-1=1，-1，7，-7
∴m＝2，0，8，-6
∵m为自然数，
∴m＝0或2或8，
练习：
1.
【解答】原方程去分母得：2﹣ax＝6﹣2x﹣2，整理得：（a﹣2）x＝﹣2，
∵原方程的解为整数，∴a﹣2＝±1或±2，
解得：a＝3或1或4或0，则3+1+4＝8，
2.
【解答】∵kx﹣x＝7，显然k﹣1≠0，解得，，
∵k为整数，关于x的方程kx﹣x＝7的解为正整数，
∴k﹣1＝1或k﹣1＝7，解得：k＝2或k＝8．
【题型五：错解方程】
例1.
【解答】∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，
∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，
解得：a＝3，
即原方程为6﹣5x＝21，
解得x＝﹣3．
练习：
1.
【解答】（1）由题意可得小明在去分母后所得方程为2（2x﹣1）＝2x+a﹣1，
∵求出方程的解为x＝﹣2∴2×（﹣4﹣1）＝﹣4+a﹣1，
解得：a＝﹣5；
（2）由（1）得原方程为1，
去分母得：2（2x﹣1）＝2x﹣5﹣6，
去括号得：4x﹣2＝2x﹣5﹣6，
移项，合并同类项得：2x＝﹣9，
系数化为1得：x＝﹣4.5．
【题型六：两个方程解的数量关系】
例1.
【解答】解方程得，y＝5a，
解方程3a﹣x3得，x＝2a﹣2，
∵关于y的方程的解比关于x的方程3a﹣x3的解小3，
∴5a+3＝2a﹣2，解得a．
练习：
1.
【解答】，
去分母得，3（x﹣m）＝6x﹣2m，
去括号得，3x﹣3m＝6x﹣2m，
移项合并得，﹣3x＝m，
系数化为1得，；
x﹣1＝2（2x﹣1），
去括号得，x﹣1＝4x﹣2，
移项合并得，﹣3x＝﹣1，
系数化为1得，；
∵关于x方程的解与方程x﹣1＝2（2x﹣1）的解互为倒数，
∴，解得，m＝﹣9，
2.
【解答】解方程2x+1＝﹣5，
移项得2x＝﹣5﹣1，
解得x＝﹣3，
∵两个方程的解互为相反数，
∴方程3x+m＝﹣x+1的解为x＝3，
把x＝3代入3x+m＝﹣x+1，
解得m＝﹣11．
【题型七：整体法求值】
例1.
【解答】已知关于y的一元一次方程（y+1）﹣3＝4（y+1）+m，
整理得：（y+1）+3＝﹣4（y+1）﹣m，
∵关于x的一元一次方程x+3＝4x﹣m的解为x＝2026，
∴﹣（y+1）＝2026，
则y+1＝﹣2026，
解得：y＝﹣2027，
练习：
1.
【解答】∵关于x的一元一次方程的解为x＝3，
∴关于y的一元一次方程的解为y+1＝3，
解得y＝2．
2.
【解答】∵2y﹣1+b3＝2y+2﹣3+b3＝2（y+1）﹣3+b3，
∴方程化为，
移项得，
∵关于x的方程的解为x＝2，
∴的解为y+1＝2，解得：y＝1．
四、巩固练习
1.
【解答】，
2（kx﹣1）＝6﹣3（x+1），
2kx﹣2＝6﹣3x﹣3，
2kx+3x＝6﹣3+2，
（2k+3）x＝5，
x，
∵关于x的方程的解为整数，k为整数，
∴2k+3＝5或2k+3＝﹣5或2k+3＝1或2k+3＝﹣1，
解得：k＝1或﹣4或﹣1或﹣2，
∴和为1+（﹣4）+（﹣1）+（﹣2）＝﹣6．
2.
【解答】一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，
设常数为x，由题意，得，解得x＝3，
3.
【解答】将x＝2代入方程2（kx+2n），
2（2k+2n），
4（2k+2n）＝2﹣km，
8k+8n＝2﹣km，
（8+m）k+（8n﹣2）＝0，
因此上式对任意k都成立，所以：
，解得：m＝﹣8，n，
m+n＝﹣8．
4.
【解答】∵x＝3是方程5x﹣a＝8的解，∴5×3﹣a＝8，∴a＝7．
5.
【解答】∵3xm﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程，∴m﹣1＝1，∴m＝2．
6.
【解答】∵3xm﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程，∴m﹣1＝1，解得m＝2．
7.
【解答】∵（k﹣3）xk+2+3＝0是关于x的一元一次方程，∴k+2＝1且k﹣3≠0．
解得k＝﹣1．
8.
【解答】∵关于x的方程3xm﹣2﹣3m+6＝0是一元一次方程，∴m﹣2＝1，解得：m＝3，
此时方程为3x﹣9+6＝0，解得：x＝1，
9.
【解答】∵关于x的方程（k﹣2）xk+1＝0是一元一次方程，
∴k+1＝1且k﹣2≠0，解得：k＝0．
10.
【解答】∵关于x的方程，无论k为何值，1总是它的解，
∴将x＝1代入方程 ，
得 ，
2（k+a）＝6﹣（2+bk），
2k+2a＝4﹣bk，
2k+bk+2a﹣4＝0，
（2+b）k+（2a﹣4）＝0，
∵无论k为何值方程都成立，
∴2+b＝0且2a﹣4＝0，
解得：b＝﹣2，a＝2．
11.
【解答】∵关于x的方程kx|1﹣k|﹣2＝0是一元一次方程，
∴|1﹣k|＝1，且k≠0，∴k＝2，
12.
【解答】已知关于x的方程，
去分母得：mx﹣1＝2x+9，
整理得：（m﹣2）x＝10，
∵原方程的解为负整数，
∴m﹣2＝﹣1或﹣2或﹣5或﹣10，
解得：m＝1或0或﹣3或﹣8，
则1+0﹣3﹣8＝﹣10，
13.
【解答】由题意得，3﹣3n＝1，解得n．故选：C．
14.
【解答】（1）按照小明的步骤去分母得：2（2x﹣1）+1＝5（x+a），将x＝4代入该方程得：2×（2×4﹣1）+1＝5×（4+a），
解得：a＝﹣1；
（2）将a＝﹣1代入原方程得：，
去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x﹣1）
去括号，得4x﹣2+10＝5x﹣5
移项、合并同类项，得﹣x＝﹣13
系数化为1，得x＝13．
14.
【解答】（1）∵2x+3＝﹣1，
∴x＝﹣2，
∵方程 2（x﹣1）＝﹣3a﹣6的解与方程 2x+3＝﹣1的解互为倒数，
∴2（x﹣1）＝﹣3a﹣6 的解为．
∴，
解得a＝﹣1．
∴a2025＝（﹣1）2025＝﹣1；
（2）由题意得2x+ax＝﹣21，x＝﹣3为此方程的解，
∴﹣6﹣3a＝﹣21，
∴a＝5，
∴原方程为2x＝5x﹣21，
∴x＝7，
原方程的解是7．
15.
【解答】解方程3（2x﹣1）＝2+x，得x＝1，
∵两方程的解互为相反数，
∴将x＝﹣1代入得＝4，
解得k＝﹣3．
16.
【解答】（1）2ax﹣b＝3x﹣6，2ax﹣3x＝b﹣6，（2a﹣3）x＝b﹣6，
因为4a＝b，所以b﹣6＝4a﹣6，
方程变为（2a﹣3）x＝4a﹣6，（2a﹣3）x＝2（2a﹣3），
由于4a＝b≠6，则2a﹣3≠0，得x＝2．
（2）由方程2ax﹣b＝3x﹣6得：（2a﹣3）x＝b﹣6，
当方程有无数个解时，系数2a﹣3＝0且常数项b﹣6＝0，
由2a﹣3＝0得，由b﹣6＝0得b＝6．
（3）将b＝11代入方程得：2ax﹣11＝3x﹣6，
移项得2ax﹣3x＝11﹣6，
合并同类项得（2a﹣3）x＝5，
因为a为正整数，方程的解为正整数，
所以2a﹣3是5的因数，
因为5的因数为±1，±5，
当2a﹣3＝1时，2a＝4，a＝2，则x＝5；
当2a﹣3＝﹣1时，2a＝2，a＝1，则x＝﹣5；
当2a﹣3＝5时，2a＝8，a＝4，则x＝1；
当2a﹣3＝﹣5时，2a＝﹣2，a＝﹣1（不符合a为正整数，舍去）．
所以有当a＝1时，x＝﹣5；当a＝2时，x＝5；当a＝4时，x＝1．
17.
【解答】由一元一次方程（m+2）x＝8无解得m+2＝0，解得m＝﹣2．
18.
【解答】解方程，
去分母，得3（2mx﹣3）﹣6x＝2x﹣6n，
去括号，得6mx﹣9﹣6x＝2x﹣6n，
移项、合并同类项，得（6m﹣8）x＝9﹣6n，
∵方程无解，∴6m﹣8＝0，∴．
解方程，
去分母，得4（x﹣nx）﹣3（m+1）＝2x，
去括号，得4x﹣4nx﹣3m﹣3＝2x，
移项、合并同类项，得（2﹣4n）x＝3m+3，
∵方程无解，∴2﹣4n＝0，∴，
∴6m+4n﹣2（m﹣1）（n+1）
＝8+2﹣1＝10﹣1＝9．一元一次方程 含参问题
一、相关概念
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.
方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
二、目录
题型一： 利用方程的定义求参
题型二： 方程解的个数
题型三： 方程的解
题型四： 整数解
题型五： 错解方程
题型六： 两个方程解的数量关系
题型七： 整体法求值
三、例题讲解
【题型一：利用方程的定义求参】
一元一次方程定义关键点：1.只有一个未知数；2.次数最高为1；3.最高次系数不为0
举例：1.对于 的形式：
2.对于 的形式：在已有一次项的前提下，另一个含x的项可以存在也可以不存在，存在时系数为1或0。
第一种：a=0，b为任意数，。
第二种：b=1，a，m为任意数，
第三种：b=0，a为任意数，
3.对于出现高于1次的x项，则系数必须为0
例1.若方程（k2﹣1）x2+（k+1）x+3＝0是一元一次方程，则k的值是　 　 ．
练习：
1.如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求a+b＝　 　 ．
2.关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣2+1＝0是一元一次方程，则m＝　 　 ．
【题型二：方程解的个数】
对于方程ax=b，方程的解共有三种情况：无数解；唯一解；无解。
当a=0，b=0时，方程有无数个解。
当a=0，b0时，方程无解
当a0，b为任意数时，方程有唯一解
例1.求关于x的方程3x﹣5+a＝bx+1．
（1）有唯一解的条件；
（2）有无数解的条件；
（3）无解的条件．
练习：
1.当a，k分别取什么值时，方程ax﹣k＝6x满足下列条件？
①有唯一解；
②无解；
③有无数个解．
2.已知关于x的方程4+3ax＝2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y＝（b+1）y无解，判断关于z的方程az＝b的解的情况．
【题型三：方程的解】
遇到方程的解，直接将解代入方程，就可以得到一个和参数有关的一元一次方程。
例1.已知x＝2是关于x的方程3x+5a＝26的解，则a的值是　 　 ．
练习：
1.已知方程3x﹣▲＝10，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是x＝4，那么▲处的数字是 　 　 ．
2.已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，则a＝　 　 ．
3.若x＝a是关于x的方程x﹣b＝2的解，则1+a﹣b的值为 　 ．
【题型四：整数解】
要求整数解，先将参数当作一个常数正常去化简方程，得到ax=b的形式，要求a是b的因数。
举例：ax=6，则a=1，-1，2，-2，3，-3，6，-6
例1.关于x的方程的解为整数，则自然数m的值为　 　 ．
练习：
1.已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为　 　 ．
2.已知关于x的方程kx﹣x＝7的解为正整数，则整数k的值为 　 　 ．
【题型五：错解方程】
将方程抄错，得到一个错误解，只需将错误解代入错误方程，算出参数值，再正常计算正确的方程。
例1.小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 ．
练习：
1.在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“﹣1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x＝﹣2．
（1）求a的值；
（2）写出正确的求解过程．
【题型六：两个方程解的数量关系】
若两个方程只有一个含有参数，先解没有参数的方程，再根据等量关系得出含有参数的方程的解，再将方程的解代入含参方程，即可求出参数。
若两个方程都含有参数，可分别计算两个含参方程，最后将两个结果根据等量关系列出式子，得出一个跟参数有关的新方程，解方程即可。
例1.已知关于y的方程的解比关于x的方程3a﹣x3的解小3，求a的值．
练习：
1.已知关于x方程的解与方程x﹣1＝2（2x﹣1）的解互为倒数，求m的值．
2.关于x的两个一元一次方程2x+1＝﹣5与3x+m＝﹣x+1的解互为相反数，求m的值．
【题型七：整体法求值】
对于两个类似方程，可将他们的格式化成一致，再将解进行整体替换。
举例：ax+b=c与方程ay+a=c-b
第二个方程可整理为a（y+1）+b=c
此时与第一个方程格式一致，所以第一个方程的x值等于第二个方程的y+1的值
例1.已知关于x的一元一次方程x+3＝4x﹣m的解为x＝2026，则关于y的一元一次方程（y+1）﹣3＝4（y+1）+m的解为y＝　 　 ．
练习：
1.已知关于x的一元一次方程的解为x＝3，则关于y的一元一次方程的解为 　 ．
2.关于x的方程的解为x＝2，则关于y的方程的解为 　 ．
四、巩固练习
1.关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 　 　 ．
2.有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是　 　 ．
3.如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是2，则m+n＝　 　 ．
4.已知x＝3是关于x的方程5x﹣a＝8的解，则a的值是 　 　 ．
5.若3xm﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　 ．
6.已知关于x的方程3xm﹣1+2＝0是一元一次方程，则m的值为　 　 ．
7.如果（k﹣3）xk+2+3＝0是关于x的一元一次方程，那么k＝　 　 ．
8.若关于x的方程3xm﹣2﹣3m+6＝0是一元一次方程，则这个方程的解是 　 ．
9.已知关于x的方程（k﹣2）xk+1＝0是一元一次方程，则k的值为　 　 ．
10.已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，1总是它的解，则a＝　 　 ，b＝　 　 ．
11.若关于x的方程kx|1﹣k|﹣2＝0是一元一次方程，则k的值是 　 　 ．
12.已知关于x的方程的解为负整数，则整数m的所有可能取值的和为　 　 ．
13.若2x3﹣3n﹣8＝0是关于x的一元一次方程，则n的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
14.（1）关于x的方程2（x﹣1）＝﹣3a﹣6的解与方程2x+3＝﹣1的解互为倒数，求a2025的值．
（2）小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣21时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为x＝﹣3，求a的值和原方程的解．
15.若方程3（2x﹣1）＝2+x的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值．
16.已知关于x的方程2ax﹣b＝3x﹣6．
（1）若4a＝b≠6，求方程的解；
（2）若方程有无数个解，求a，b的值；
（3）若a为正整数，b＝11时，求方程的整数解．
17.如果关于x的方程（m+2）x＝8无解，那么m的值是多少？
18.若关于x的方程xn与均无解，求代数式6m+4n﹣2（m﹣1）（n+1）的值．

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