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1.1反比例函数的概念 知识梳理+同步练习
一、反比例函数的定义
1. 严格定义
一般地，形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数。
其中：是自变量，是的函数。
2. 三种等价表达形式（重点拓展）
反比例函数可灵活变形，三种形式本质完全一致，考试中高频考查变形判断：
标准分式型：（），最基础、最常用形式
乘积型：（），快速判断变量反比例关系
负指数型：（），多用于根据函数定义求参数取值
3. 自变量与函数值取值范围（易错点 ）
自变量x：不等于0的一切实数
原因：在分式分母位置，分母为0时分式无意义。
函数值y：不等于0的一切实数
原因：、，二者乘积不可能为0，故。
三、反比例函数判定四大黄金条件（解题核心）
判断一个函数是否为反比例函数，必须同时满足4个条件，缺一不可：
函数解析式可化为反比例函数三种标准形式之一；
自变量的次数为-1（负指数形式判定专用）；
比例系数（最容易遗漏的条件！）；
变量为两个独立变量，无其他附加限制干扰反比例关系。
举反例快速区分 ① 不是反比例函数（分母是多项式，不是单一自变量x） ② 未说明，不满足定义 ③ 是反比例函数（符合负指数标准形式，）
同步练习
一、单选题
1．下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列数量关系中，成反比例关系的是（ ）
A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价
B．圆柱的体积一定，它的底面积与高
C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数
D．速度一定，路程与时间
3．下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
5．反比例函数的值是（ ）
A． B． C．5 D．
6．下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（ ）
A． B． C． D．
7．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷
8．已知P为函数的图象上一点，且点P到原点的距离为2，则符合条件的点P的个数为（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
9．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点
10．已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
二、填空题
11．王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____．
12．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________．
13．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）．
14．反比例函数过点和，则________．
15．若函数是反比例函数，则k的值为__________．
16．在平面直角坐标系中，若点，在某反比例函数的图象上，则的值为________．
17．功率P与时间t成反比例，图像经过，若，则_________．
18．已知反比例函数，当时，那么的值为________．
19．反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________．
20．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______．
三、解答题
21．写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数：
(1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数；
(2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数．
22．下列函数是否是反比例函数？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
23．已知反比例函数的图象经过点，求的值．
24．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表：
每天运输的吨数 500 250 100 50 ……
运输的天数 1 2 5 ……
(1)这批货物共有多少吨？
(2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系．
(3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值．
25．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表：
每本的页数 16 20 25 30 60
可以装订的本数 225 180 60
(1)将表格补充完整．
(2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由．
(3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？
试卷第4页，共4页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D D B D B A D
1．C
【详解】解：A、分母为，不是反比例函数；
B、分母为，不是反比例函数；
C、符合反比例函数定义，是反比例函数；
D、分母是常量，不是反比例函数．
2．B
【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值，
∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意；
∵圆柱的体积一定，即底面积高定值，
∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意；
∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值，
∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意．
3．C
【详解】解：当时，，
∴点不在反比例函数的图象上；
当时，，
∴点不在反比例函数的图象上；
当时，，
∴点在反比例函数的图象上；
当时，，
∴点不在反比例函数的图象上．
4．D
【详解】解：把点代入可得．
5．D
【详解】解：反比例函数的值是．
6．B
【详解】解：将依次代入各选项计算函数值，
选项A，，，，不符合题意；
选项B，，，满足函数值为的条件，符合题意；
选项C，，，，不符合题意：
选项D，，，，不符合题意．
7．D
【详解】解：根据题意，，则，
故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少，
故选项B、A错误，不符合题意；
当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意；
当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意．
8．解：设，则根据题意，得
，
解得．
∴符合条件的点有2个．
故选：B．
9．A
【详解】解：∵反比例函数为，，
∴当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点；
A、当时，，该项正确；
B、由于，图象仅位于第四象限，不涉及第一、三象限，该项错误；
C、当时，随增大而增大，该项错误；
D、反比例函数图象不与轴相交，该项错误．
10．D
【详解】解：反比例函数中，，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且，
分两种情况讨论：
（1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件；
（2）当时，令，，
解得，
在第三象限，y随着x的增大而减小，
时，
综上，自变量的取值范围是或．
11．
【详解】解：由题意得：，即．
故答案为：．
12．，
【详解】解：解：由题意得，即．
∵围墙可利用的最大长度为，
∴，
故答案为：，．
13．（2）、（3）
【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式；
，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数；
，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数；
整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式；
，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式．
综上，只有（2）和（3）是反比例函数．
14．
【详解】解：反比例函数的图象过点和，
∴，
解得．
15．0
【详解】解：函数是反比例函数，
∴且，
解得．
16．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为，
∵点，都在这个反比例函数的图象上，
∴，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
综上，的值为2．
17．45
【详解】解：根据图像经过，
设此函数表达式为： ，
则 ，
∴若，则.
18．
【详解】解：将代入，得
19．或
【详解】解：把代入，得，
解得：，
∴该反比例函数表达式为，
当时，，
解得，
∵，
∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
∴当时，或．
20．
【详解】解： 函数的图象经过点和，
， 整理得，，
．
21．(1)
函数关系式为，是反比例函数
(2)
函数关系式为，是反比例函数
（1）根据三角形面积公式列函数关系式，再判断即可；
（2）根据路程、速度和时间的关系列函数关系式，再判断即可．
【详解】（1）解：，
，
是常数且，
是常数且，
是的反比例函数．
（2）解：，
，
是常数且，
是的反比例函数．
22．（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，
【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（2）解：∵，符合反比例函数的形式，
∴是反比例函数；
（3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（4）解：∵符合反比例函数的标准形式，
∴是反比例函数；
（5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数．
23．
【详解】解：将点代入反比例函数，得，
，
解得．
24．(1)500吨
(2)
(3)成反比例关系，
【详解】（1）解：（吨）．
答：这批货物共有500吨．
（2）解：由，得.
（3）解：∵（定值），
∴与成反比例关系．
当时，．
25．(1)补充表格如下：
每本的页数 16 20 25 30 60
可以装订的本数 225 180 144 120 60
(2)解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下：
根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例.
(3)页
【详解】（1）解：总页数为：（页）；
当页数为页时，本数为：（本）；
当页数为页时，本数为：（本）；
（2）略
（3）解：（页）．
故每本练习本有页．

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