资源简介

1.3用反比例函数解决问题（知识梳理+同步练习）
一、核心认知：反比例函数应用题解题本质
反比例函数实际问题，全部来源于“总量固定”模型
生活中：总工作量、总路程、总面积、总体积、总压力等保持不变，两个变量一增一减、乘积恒定，即可用反比例函数建模求解。
核心公式逻辑：
变形得反比例函数：
二、四大必考反比例模型（考试全覆盖）
1. 工程工作模型（超高频）
总工作量一定，工作效率与工作时间成反比例
关系式：
变形：（为总工作量）
规律：效率越高，用时越短；效率越低，用时越长
2. 行程运动模型
总路程一定，行驶速度与行驶时间成反比例
关系式：（为定值）
变形：
规律：速度越快，耗时越短
3. 图形面积/体积模型
矩形面积、三角形面积、长方体体积固定时，边长、高、底成反比例关系
例：矩形面积固定 ，则
规律：一边变长，另一边必然变短
4. 生活压强、单价、分配模型
总压力一定：受力面积与压强成反比
总费用一定：单价与数量成反比
总物资一定：分配人数与单人数量成反比
三、实际问题专属考点：自变量取值范围（必考扣分点）
纯数学函数中，但实际应用题必须结合生活意义取值！
长度、时间、速度、效率、人数、面积均不能为负数、不能为0
通用取值：x>0
有人数、车辆数等整数场景：x为正整数
重点提醒 应用题写函数关系式，不写取值范围直接扣1–2分！
四、标准解题五步流程（万能答题模板）
考场统一步骤，规范答题、不丢步骤分
审：审题找定值，判断是否为反比例关系
设：设自变量、函数，写出变量含义
列：根据“乘积=定值”列出反比例解析式
限：写出自变量取值范围（实际意义）
解&答：代入求值、作答，完整写结论
同步练习
一、单选题
1．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
（单位：）
（单位：）
则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
2．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
3．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（）
A． B．
C． D．
5．如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（ ）
A．喷洒阶段的函数解析式为
B．喷洒完成后，当时，药液浓度为
C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个
D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过
6．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）．
A．水温从20℃加热到80℃，需要
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．接通电源后，时，水温为25℃
D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为
7．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（ ）．
A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m
8．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
9．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（ ）
A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了
10．如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（ ）
A．每立方米空气中含药量从上升到需要
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是
C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为
二、填空题
11．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________．
12．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数x和包数y如下表：
每包的本数x（单位：本） 10 20 40
包数y（单位：包） 60 30 15
当每包本数时，则包数y为______．
13．在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S(平方千米)与其种群密度a(只/平方千米)近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25 只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a =______只/平方千米．
14．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为_____字/．
15．在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________．
16．成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工．
17．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______．
18．山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______．
19．根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______．
20．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________．
三、解答题
21．在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间（单位：小时）与净化设备的功率（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示：
净化设备的功率（千瓦） ．．． 90 60 45 36 ．．．
净化时间t（小时） ．．． 2 3 4 5 ．．．
(1)请根据表中给出的数据，求与之间的函数关系式．
(2)若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？
22．为打造便民宜居的公共空间，某社区启动了口袋公园提质改造项目，现对一块面积为的休闲广场铺装地砖．
(1)若每块地砖的面积为（单位：），所需地砖总块数为，请直接写出关于的函数表达式；
(2)结合景观设计方案，施工方采用白色、灰色两种同规格的正方形防滑地砖进行交错铺装，每块地砖的边长均为．已知白色地砖的数量比灰色地砖数量的倍少块．求白色和灰色地砖各用了多少块．
23．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？
(2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？
24．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表：
（千米/小时） 40 50 60 75 80
（小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75
(1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ；
(2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地．
25．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）．
(1)求t与x之间的函数关系式；
(2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？
(3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？
26．如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上．
(1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）；
(2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离；
(3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？
试卷第4页，共10页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C D D B C A B
1．A
【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系，
∴设函数解析式为（为常数，），
∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系，
∴排除，
将，代入，得，
∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符．
2．C
【详解】解：设与的函数关系式为，
∵当时，，
∴，
∴，
∵振动频率低于，
∴，
∵为弦长，，
∴，
即．
3．D
【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值，
由压强公式可得，原压强为，
受力面积增加，
变化后的受力面积为，变化后的压强为，
由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ，
可得方程．
4．C
【详解】，且为定值
是的反比例函数，且，图象位于第一象限
排除选项A、B
将，代入
得
函数解析式为
对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意
对于D选项，当时，，不符合题意．
5．D
【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，
把分别代入，得，，
∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误；
当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误；
由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误；
当时，；当时，，
从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确.
6．D
【详解】解：升温速率，初始温度，
设加热阶段解析式：，
令，，解得，
即加热分钟达到．
设反比例函数，代入：
，，
故降温阶段：．
令，，，即一个完整周期为．
选项A：水温从加热到，需要3min加热段，
令：
，，，
用时3分钟，A正确；
选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确；
选项C：，处于降温阶段，代入：
，水温，正确；
选项D：分两段计算对应的范围：
加热段：，
，，加热段符合条件时长：．
降温段：，
，，降温段符合条件时长：．
总时长：，D错误．
7．B
【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式：
，
解得，因此函数解析式为：
，
当拉力N时，代入解析式：
，
解方程：
，
即点与点之间的距离为4m．
8．C
【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴设反比例函数表达式为，
则甲、乙、丙、丁，
过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示：
由图可知，
∴甲、、、丁在反比例函数图象上，
根据题意可知合格人数，
∴，即甲、丁两个班级合格人数相同；
，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少；
，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多；
综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数，
∴这四个班合格人数最多的是丙．
9．A
【详解】解：设，
由图象可知，函数图象经过点，
把，代入得：，
反比例函数的解析式为，
当时，，
当时，，
，
当电流从增加到时，电阻减小了．
10．B
【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为，
由题意得，
解得，
∴此阶段函数解析式为；
设喷雾结束后函数解析式为，
由题意得，
解得，
此阶段函数解析式为；
A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意；
B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意；
C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意；
D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意．
11．4
【详解】解：当 时，（m/s）．
故答案为 4．
12．12
【详解】解：由表可得，，，，
∴，
即
当时，．
故答案为：12．
13．100
【详解】解：设函数表达式为，当时， ，
∴，
∴当时，
∴
故答案为：100．
14．175
【详解】解：设所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数解析式为，
根据题意，得,
解得，
故，
当时，
．
15．
【详解】解：大齿轮每分钟转过的总齿数为：，
小齿轮每分钟转过的总齿数为，
根据题意得：，
整理得，
由齿数的实际意义可知，
因此，关于的函数表达式为．
16．
【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系
∴设，
可得，其中为工程总长度
将，代入式子
得，
即工程总长度为（米）
当时，
代入得
解得
答：需要天完工．
17．4
【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴阻力和阻力臂的函数关系式为，
∴，
∵，
∴当时，，
∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足，
∴动力臂至少需要．
18．
【详解】解：设反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
，
反比例函数的表达式为，
当时，，
解得：，
当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为．
19．20
【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，
∴设该函数为，
将，代入，得，
解得，
，
当时，，解得．
20．50
【详解】解：设p关于V的函数关系式为，
由题意可知，点在反比例函数图象上，
则，
解得：，
则p关于V的函数关系式为，
当时，汽缸内气体的体积．
21．(1)
(2)18千瓦
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，，
∴；
（2）解：在中，当时，，
∵，
∴t随P的增大而减小，
∴当时，，
答：若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要18千瓦．
22．(1)
(2)白色地砖块，灰色地砖块
【详解】（1）解：由题意得，广场总面积为，故，
整理得，其中．
（2）解：已知地砖是边长为的正方形，因此单块地砖面积为：，
所需地砖的总块数为：（块），
设灰色地砖数量为块，则白色地砖数量为块，
根据题意列方程得：，
，
解得，
故白色地砖数量为：（块），
故白色地砖用了块，灰色地砖用了块．
23．(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是
(2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟
【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为，
将和代入解析式得，
解得，
∴前分钟内与的函数关系式为，
∵，
∴随着的增大而增大，
∵当时，，
∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是；
（2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为，
当时，，
解得，
设分钟后与的函数关系式为，
将代入解析式得，
∴，
∴分钟后与的函数关系式为，
当时，，
解得，
∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟），
∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟．
24．(1)
反比例，
(2)
不能到达乙地
【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大，
∴与成反比关系，
设，
把，代入反比例函数得，，
∴与的表达式为，
∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，
∴，
∴，
∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为．
（2）解：∵11时30分9时（小时），
∴（千米/小时），
∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，，
∴不能．
25．(1)
(2)12个
(3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时
【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，，
设，
，
解得：，
；
（2）解：当时，，
解得．
∴需要同时打开12个进水管；
（3）解：∵，
∴此游泳池的容积是．
．
答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时．
26．(1)；
(2)米；
(3)米．
【详解】（1）解：∵矩形，，，
∴，，，
∵点在轴上，
∴轴，
∴轴，
∴点的坐标为，
∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且），
将坐标代入，得，
解得，
∴段滑梯所在的双曲线的解析式为．
（2）解：∵点距离水面的距离为米，
∴设点的坐标为，
∵点在上，
∴将代入，解得：，
∴点的坐标为
∴，之间的水平距离：（米）；
（3）解“设点的坐标为，
将代入，
得，
，
根据题意，得，
解得，
点到水面的距离最多米．

展开更多......

收起↑