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第12讲 解三角形
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命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
解三角形 / 春考第18题 春考第5题 秋考第11题
考情分析 1. 两大核心考查主线 主线一：纯三角形内部运算，包含边角互化、面积计算、三角形形状判断，侧重公式熟练运用；主线二：实际测量建模应用，依托方位角、仰俯角、海岛测距等场景，是上海高考近年重点强化方向。 2. 高频重难点集中突出 核心难点包含：边角混合等式的互化选择（化边/化角）、SSA型多解陷阱、周长与面积最值/范围求解、多三角形嵌套联立运算、实际场景几何建模。 3. 2027年命题预判 大概率延续填空小题必考模式，同时解答题考查概率提升；核心热点为边角恒等化简求角、三角形最值问题、实际测量应用题；冷门考点需关注解三角形与平面向量数量积的综合题型。
复习目标 1. 基础目标（全员必过关） 熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式、外接圆半径公式的全部形式及变形；可根据题干条件快速选择对应定理，完成基础边角互化；熟练解决已知三边、两边一角、两角一边的标准解三角形问题；能精准识别方位角、仰角、俯角，独立绘制几何示意图，完成实际问题建模。 2. 中档目标（冲刺110+） 熟练掌握三角形周长、面积最值的两种通用解法，明确不同方法的适用场景；精准辨析SSA型三角形解的个数，规避增根、漏解问题；掌握双三角形嵌套题型解法，依托公共边、公共角建立方程组求解；可熟练结合三角恒等变换、诱导公式、和差角公式完成综合化简运算。 3. 培优目标（冲刺130+） 灵活判断复杂条件下“化边”“化角”的最优路径，简化运算过程；求解取值范围时，精准把控三角形隐含约束条件（锐角/钝角三角形、内角范围）；熟练解决多三角形联立的复杂应用题，掌握设元、列式、消参完整流程；可独立破解解三角形与平面向量、解析几何结合的小型综合题。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 正弦定理
（R为△ABC外接圆半径）
常用变形：；
适用场景：已知两角一边、两边及其中一边对角；需要边角比例转化、外接圆半径相关计算。
自主检测
1．（2026·上海崇明·二模）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________．
【答案】2
【详解】由正弦定理得，解得.
知识点2 余弦定理
边角公式：，，
求角公式：，，
适用场景：已知三边、两边及其夹角；题干出现边长平方项、需要判断三角形形状。
三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
自主检测
2．（25-26高三下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则________．
【答案】3
【详解】由余弦定理得：，
所以
知识点3 三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
自主检测
3．在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，，且满足条件的有两个，
则，即，解得.
故选：B.
知识点4 三角形面积公式
基础公式：
外接圆关联公式：
内切圆关联公式：S＝r(a＋b＋c).
自主检测
4．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是__________.
【答案】
【详解】在中，由，即，
因为，由正弦定理得，可得，
又因为，且，可得，
所以的面积为.
故答案为：.
知识点5 解三角形实际应用
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
自主检测
5．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为____________．（精确到1）
【答案】373
【详解】如图，过C作，过B作，
则，
由B点测得A点的仰角为，得为等腰直角三角形，，
则，
由，得，
在中，由正弦定理得，，
而，
因此，所以.
故答案为：373
题●型●破●译
题型1 基础解三角形
例1-1（25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，，，，则边的长度为______.
【答案】
【详解】因为，所以，
由正弦定理，，所以，
故答案为：.
例1-2（25-26高三下·上海·阶段检测）在中，，，，则________．
【答案】
【详解】因为，，，由余弦定理得，
所以.
方法技巧
两角一边用正弦，两边夹角余弦上，三边求角余弦算，两边对角防多解。
易错分析
已知a、b、A（两边及对角），A为锐角时，两解，一解，无解；A为直角/钝角时，仅有一解。
【变式训练1-1】（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由，可得，即，
又由余弦定理，可得，
又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是.
故选：D.
【变式训练1-2】在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解；
对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解；
对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解；
对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解.
故选：D.
【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）在中，若，，，则________.
【答案】
【详解】由正弦定理，得，
则，解得.
故答案为：.
题型2 边角等式互化
例2（2025·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围．
【详解】（1）由已知条件得，
由正弦定理得，
又，则，因为，所以.
（2）由得，，
又，则，又，则，
要在区间上恰有3次使得函数的值能取遍内的所有值，
则，即，
则所求的的取值范围是.
方法技巧
1. 齐次等式（边、角次数统一）：正弦定理角化边、边化角均可，优先选择运算简便的方式；
2. 含边长平方项：优先用余弦定理，统一化为边的表达式；
3. 目标求角度：统一转化为角的三角函数表达式；目标求边长、周长、面积：统一转化为边的表达式。常用结论：（射影定理，直接秒杀基础题型）
【变式训练2-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）记的内角、、的对边分别为、、，若，则__________.
【答案】
【详解】由正弦定理可得：
【变式训练2-2】（2026·上海·一模）如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2．
(1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值；
(2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值．
【详解】（1）设挖去的三角形的外接圆半径，面积为，
直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径，面积为，
因为外接圆半径之比为1:2，所以，故，
计算得，又因为，故，根据正弦定理得：
；
（2）直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，斜边，
设直角边为，满足，
若绕旋转：体积；
若绕旋转：体积；
若绕旋转：斜边上的高，体积；
因为，所以，
当且仅当时等号成立，此时，
即几何图形体积的最小值的最大值为.
【变式训练2-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知在中，角、、的对边分别为、、，若且.
(1)求角、、的大小；
(2)设函数，求函数的单调递减区间，并指出它相邻两对称轴的距离．
【详解】（1）由题设及正弦定理知，化简得，
或，即或，
当时，有，因为不为0，
则，得，；
当时，有，不符题设，
，．
（2）由（1）及题设知，
当时，为减函数，
即的单调递减区间为，
它的相邻两对称轴间的距离为．
题型3 判断三角形形状
例3（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（ ）.
A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形
C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形
【答案】B
【详解】由余弦定理可得，
整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形.
故选：B.
方法技巧
1. 化边法：将所有角转化为边，通过因式分解、配方判断边长关系，判定等腰、直角、等边三角形；2. 化角法：将所有边转化为角，利用三角恒等变换，判断角度关系，判定锐角、钝角、直角三角形。
【变式训练3-1】在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【答案】A
【详解】，
则，
即，
则，由，则，故，
即的形状为直角三角形.
故选：A.
【变式训练3-2】在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【详解】因为，由余弦定理知，
所以，
整理得，
即的形状是直角三角形.
故选：B.
【变式训练3-3】（2025·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状．
【详解】（1）由图知：，
，因为，所以，
，所以，解得，
由得，所以，
所以.
（2）因为且，所以，
因为成等差数列，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
将代入得，
展开得，
即，
即，
因为，所以，
所以，所以为等边三角形.
题型4 周长、面积最值/范围问题
例4-1（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足．
(1)求角的值；
(2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值．
【详解】（1）根据余弦定理得，
由，可得，
因为，所以，
又因为，解得，
所以角的值为.
（2）若外接圆的直径，
根据正弦定理得，
由余弦定理得，
即，可得，
根据基本不等式，可得，所以，
解得，当且仅当时，等号成立，
可得的面积，
所以当时，的面积取得最大值，
所以面积的最大值为．
例4-2（25-26高三上·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
【详解】（1）已知，
由正弦定理得，
∴，
∴，
又，，
∴，
∵，∴，
∵，∴．
（2）在中由正弦定理得，又，
所以，，
所以，
，
，
因为为锐角三角形，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以周长的取值范围是.
方法技巧
路径一：余弦定理+基本不等式（适用于求最值）
已知一角及对边，通过余弦定理构建边长关系式，结合基本不等式，求出bc的最值，进而求解三角形面积、周长最值。局限：仅可求最值，无法精准求解取值范围。
路径二：正弦定理换元+辅助角公式（适用于求范围）
利用进行边角换元，结合统一为单三角函数，通过辅助角公式化简，结合内角取值范围求解值域。
关键提醒：题干限定锐角三角形时，需保证三个内角均为锐角，不可遗漏约束条件。
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数（）的最小正周期为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，若，边长，求面积的最大值．
【详解】（1）函数（）的最小正周期为，
则，解得，所以．
由，解得，
所以的单调递增区间为．
（2）因为，且，所以．
因为，则，所以，解得．
已知，根据余弦定理，
可得，即．
由，得，当且仅当时取等号．
则，当且仅当时取等号．
所以面积的最大值为．
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米.
(1)将表示成的函数，并写出的取值范围；
(2)求三条轨道的总长度的最小值.
【详解】（1）因为是弧的中点，所以，，
又，由正弦定理，得，
又，得，，
所以
，
当在处时，；当在处时，，所以的取值范围是.
（2）令，；
，令得，
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以时，有最小值，所以三条轨道的总长度的最小值为.
【变式训练4-3】记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【详解】（1）易得，
由正弦定理得，
而，
故，
易知，
故，
即，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因外接圆直径为，
则由正弦定理可知，
故，，
因为是锐角三角形，
所以，
得，，
则，
所以，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，
故的取值范围为.
题型5 三角形面积综合问题
例5-1（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则__________．
【答案】
【详解】已知，，代入面积公式可得：
则，可得：.
根据余弦定理为，可得
则.即，
把代入可得：，即.
由于为边长，可得.
故答案为：.
例5-2（2026·上海浦东新·三模）设．
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)在中，若且，求的面积．
【详解】（1）由题意得
，
令，，．
对于，开口向下，对称轴．
由二次函数性质得在对称轴处取最大值；最小值在端点处：
当（即）时：；
当（即）时：．
故最小值为4（当时取得）．
（2）由，设，
则，得到，
而在内无解．或．
若（此时超出三角形内角和，舍去）．
，
由知为等腰三角形，，．
．
例5-3（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，．
(1)若，求的面积；
(2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径．
【详解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得，
因为，所以，故，
故的面积为.
（2）在中，，，，
由余弦定理可得，
故为锐角，且，
由正弦定理可得，故.
方法技巧
题干出现面积条件时，优先列出面积公式，联立正弦定理、余弦定理构建方程组，通过消元、化简求解边角参数，实现条件互推、问题转化。
【变式训练5-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为______.
【答案】
【详解】由于三角形的面积为，所以,
因为，故（锐角三角形），
当时：，
则的周长为.
故答案为：.
【变式训练5-2】（2025·上海杨浦·一模）已知函数，.
(1)记，求证：函数为偶函数；
(2)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积.
【答案】(1)根据题意，
，
则，
所以函数为偶函数；
（2）由辅助角公式得，
则，
所以，可得，
由余弦定理可得，由于 ，，
则，解得（舍去负根），
由已知得，则，
所以.
【变式训练5-3】（25-26高三上·上海嘉定·期中）在中，，.
(1)若，求的值，以及的面积;
(2)若，求.
【详解】（1）根据余弦定理，因为，，，
代入公式计算得：；
根据面积公式：.
（2）；
根据边角互化的原则得：；
化简得：；
根据射影定理：，所以，所以；
根据三角函数的定义得：；
由正弦定理：，将，，代入得：.
题型6 平面向量与解三角形综合
例6-1（24-25高三上·上海松江·阶段检测）已知，函数.
(1)当时，求的值域；
(2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值.
【详解】（1）因为函数.
所以，
因为，所以，
可得：.
（2）因为，可得：，
因为，可得：，解得：.
因为，可得.
（当且仅当时取等号）
则，即.
.
因为，所以
当且仅当时，取等号.
因此，面积的最大值为.
例6-2（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)点、分别满足，，，，求的值.
【详解】（1）因为，
设外接圆半径为，由正弦定理，，，
代入可得，
所以,
即，
因为在中，，所以，
即，
因为，所以，所以，
化简得：，
解得，即，
因为，所以.
（2）由，所以，
所以，即，同理由得，
所以是的外心，所以，
因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
所以，，所以,
所以
，
，
，
得到，
而，所以，
因为，所以，得，
而，所以，
由正弦定理，所以，
又因为，所以，
化简得，所以，
所以，
因为，所以，
代入计算，所以.
方法技巧
向量数量积，直接对接余弦定理公式，可快速实现向量条件与三角形边角条件的转化，是上海高考高频综合考法。
【变式训练6-1】（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设．
(1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
(2)若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值．
【详解】（1）由，得，此时，
，，
所以当，即时函数取到最大值1.
（2）当时，，则，
当为锐角时，，因此满足时，，得，
此时，即，
由余弦定理得，即，
因此的最小值为，在时取到.
【变式训练6-2】设的内角所对的边分别是，且向量与共线，
(1)求；
(2)若，，求边上的高.
【详解】（1）因为向量与共线，
所以，
边化角可得，，
因为，所以，所以，
即，
因为，所以.
（2）由余弦定理，可得，
整理得，解得或（舍），
所以，
即，解得.
【变式训练6-3】（24-25高三上·上海·期中）平面向量，，函数．
(1)若，求的值域；
(2)在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求的面积．
【详解】（1）因为，
所以
，
由，可得，
可得，
所以函数的值域为.
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，所以，即，
因为，所以，
整理得，解得或(舍去），
所以的面积为.
题型7 解三角形实际应用
例7-1（25-26高三上·上海·阶段检测）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．

(1)当米时，求的长；
(2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值．
【详解】（1）由，故，
由余弦定理可得，
即，即有，
即，故（舍去）或，
即；
（2）设，由，
故，，又，
由正弦定理可得，即，
则，
令，，
则
，
有最大值，此时，即时取得，
此时平方米.
例7-2如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2)试确定缉毒船的行驶方向．
【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，
由题意可知：，
由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，
所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕.
（2）由（1）可知：，
由正弦定理可得，
且为锐角，则，可得，
所以缉毒船的行驶方向为北偏东.
方法技巧
标准化四步解题流程：
1. 审题画图：标注观测点、已知距离、方位角、仰角、俯角，明确正北、正东基准坐标系；
2. 几何建模：将已知量、待求量整合至1-2个三角形，锁定公共边作为解题桥梁；
3. 列式求解：依托公共边，多次使用正弦定理/余弦定理联立方程，消元计算；
4. 检验作答：验证边长为正、角度符合实际范围，按题干要求规范保留结果。
常见模型：海上航行方位角模型、双点测高仰角模型、海岛距离测量模型。
【变式训练7-1】如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米．
(1)求线段的长度；
(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
，得，
所以线段的长度为3千米．
（2）设，因为，
所以，在中，由正弦定理得，
，
所以，，
因此
因为，所以．
所以当，即时，取到最大值6．
所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．
【变式训练7-2】在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得.
(1)求旗杆的高度；
(2)求点到平面的距离.
【详解】（1）由题意，而，，
所以由余弦定理有，即，解得；
（2）如图所示，过点作于点，
由题意平面，又平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，
故所求为线段的长度，
由（1）可知，
所以.
【变式训练7-3】如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．

(1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度；
(2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；
(3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．
【答案】(1)解一： 如图1，设点在水平面的投影点为．
用测距仪测得，．
在中，，
在中，，
所以．

解二：如图2，在平面上，以点为原点，向量为轴，建立平面直角坐标系，
设点，则，
用测距仪测得，，则，
解得
(2)如图，用电子尺测得，，

在广场上从点移动至点，使得，
再移至点，使得，此时再测量，
若，则可知旗杆垂直于地面，否则就是倾斜了．
理由如下：
已知，，设点是的中点，
则在等腰中，．
同理，又平面，所以平面；
又因为平面，故．
同理可证．
综上所述，旗杆垂直于地面．
(3)提问：旗杆向哪个方向倾斜多少角度？
说明：用在地平面上的投影来刻画的倾斜方向是合理的，
也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画，
用与小路的夹角刻画扣1分．关于如何刻画倾斜多少角
度的问题，既可以用与垂直于地面的直线所成角的大小，也
可以用与地平面所成角的大小来刻画．
解答方案1：
如图，

在地面画出离点距离相等的点的轨迹圆，
再在圆上找到离点距离最近的点，
作垂直于地面，垂足为，
则的大小就是旗杆倾斜角度．
理由如下： 先证明与圆的交点既是点．
只需证明：对于圆上任意一点，．
因为在中，，
所以，
故．
如图5，从图4中的点向点的方向走到点，

放置一个物体，测得、、的长，
利用余弦定理可得的大小．
同理可得的大小．
因此，可以求得图4中的、、、的长．
在中，三边已知，利用余弦定理可求得，
即旗杆向西偏南的方向倾斜．
又由于、已求得，
故倾斜角度为．
测量倾斜角的大小方案2：
如图5，从点向点的方向走到点，测得、、的长，
利用余弦定理可得的大小，从而求得点的高度．
同理可求得点的高度．
如图，即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度．

所以，
在中，即为所求，
测量倾斜角的大小方案3：
在图5中，以点为原点，以为y轴建立平面直角坐标系，
则容易求出点与点的坐标与，
故的倾斜角为．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______
【答案】
【详解】三角形中，，
，
由正弦定理，，，
得．
故答案为：．
2．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
【答案】
【详解】根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
3．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则__________．
【答案】
【详解】，
A为的内角，
.
故答案为:.
4．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)
【答案】
【详解】设，
在中，由正弦定理得，
即’
即①
在中，由正弦定理得，
即，即，②
因为，得，
利用计算器即可得，
故答案为：.
5．（2023·上海·高考真题）在中，内角、、所对的边为、、，其中
(1)若，且，求边长的值；
(2)若，，求.
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得，
解得.
（2）因为，所以，所以
因为，所以，，
所以，
，
所以.
6．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【详解】（1）由正弦定理可得即，
又，所以，即，解得，
所以.
（2）因为，且，，
所以，当且仅当时等号成立，
当取最小值时，取最大值，最大值，
所以的面积的最大值为.
7．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
【详解】（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，
则，所以直角与直角全等
所以
在直角中，
在直角中，
（2）设,，则，
所以梯形的面积为
当且当，即时取得等号，此时
即当时，梯形的面积取得最小值
则此时梯形FEBC的面积有最大值
所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为
8．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称；
(1)若点P与点C重合，求的大小；
(2)求五边形面积S的最大值，
【详解】（1）解：若点P与点C重合，连接，
，
在中，，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）解：连接，
因为曲线CMD上任一点到O距离相等，
所以，
因为P，Q关于OM对称，
所以，
设，则，
则
，其中，
当时，取得最大值，
所以五边形面积S的最大值为.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．在中，若，则________．
【答案】
【详解】由余弦定理得到：
故答案为：.
2．在中，已知，试判断的形状．
【答案】正三角形
【详解】解：令，由正弦定理，得
，，．
代入已知条件，得
，
即．
又因为A，B，，所以．
故为正三角形．
3．在△ABC中，所示，AM是△ABC边BC上的中线，求证：
【详解】解：AM是△ABC边BC上的中线，故，
故，
而，
故.
4．在中，，，，所在平面外一点P到A，B，C三点的距离都等于14，那么点P到平面ABC的距离为多少？
【详解】由余弦定理得：，因为，所以，设外接圆圆心为O，半径为R，则由正弦定理得：，故，由于，其中，故，即，从而，所以点P到平面ABC的距离为7
5．如图，两座建筑物AB、CD的高度分别是9米和15米，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角．求这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．
【答案】米
【详解】设米，则，
在三角形中，由余弦定理得：
，
整理得，解得或（此时，舍去），
所以的长为米.
6．在中，已知，，，解这个三角形．
【详解】由正弦定理，得．
因为，，，即，于是或．
（1）当时，．
此时
；
（2）当时，．
此时
.
综上所述，当时，，；当，，.
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2025高三上·上海·专题练习）在中，若，，，则________．（用反三角函数表示）
【答案】
【详解】，
所以.
故答案为：.
2．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【详解】（1）在中，由正弦定理得，又，
所以，故，
又，，
由余弦定理，得，即，
解得，
所以.
（2）因为，，
所以，
由余弦定理，得，当且仅当时等号成立，
当取最小值时，取最大值，最大值，
所以的面积的最大值为.
3．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）在中，角A、、的对边分别为、、，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的取值范围．
【详解】（1）由正弦定理得，，故，
由余弦定理得，
因为，所以，
所以的面积；
（2）由题意及均值不等式得
，
当且仅当时等号成立，故，
又，所以，
所以的取值范围是.
4．如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由.
【详解】由余弦定理，，可得：，解得：.
所以，周长为20.
由余弦定理可知：，，
则，，
若点分别在上，设，于是有，则，该方程组无解.
若点分别在上，设，于是有，则，解得.
若点分别在上，设，，于是有，则，该方程组无解.
综上，存在上点和上点，其中长约7.2米，长约2.8米满足题意.
5.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲.若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，为中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为.
（1）若，足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？
（2）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲？
【详解】（1）由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故，
设，，易知，，
由余弦定理可得，
整理得，解得.
，
答：机器人乙按与的夹角为的角度释放才能挑战成功；
（2）设，则，易知，
由余弦定理可得，，
，
由题意得对任意恒成立，
故，当且仅当时取到等号.
重难·创新演练
1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知.
(1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点；
(2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值.
【详解】（1）因为
，
将函数图象向左平移得到，
令，解得，
所以函数的零点为.
（2）因为，所以，
又，所以，所以，所以，
又，由余弦定理，
即，所以，当且仅当时取等号，即，
所以，
即当且仅当时，的面积取得最大值为.
2．（25-26高三上·上海·开学考试）在中，角、、对应边为、、，其中．
(1)若，且，求边长的值；
(2)若，求的面积．
【详解】（1）由，可得，结合，
得，即，
则，可得，
由于，故，则,
故，得；
（2）由题意知，故，
由于，故，
结合，可知C为锐角，则，
故，，
故，得；
所以.
3．（2025高三上·上海·专题练习）已知函数在上单调.
(1)求的单调区间；
(2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值.
【详解】（1）因为
，
因为在上单调，且，即，
所以，解得，
又因为，所以，所以；
令，解得；
令，解得；
所以的单调递增区间是，单调递减区间为；
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，则，
由余弦定理可得，
即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以且，解得，当且仅当时等号成立，
所以，即周长的最大值为9．
答：矩形区域的宽至少为米时，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲.
4.某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.
(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.
【详解】（1）①其为直线段且时， 米，
所以在中，，即（米）.
所以（平方米）；
②其为以为圆心的圆弧时，此时圆的半径为（米），
圆心角，所以圆弧的长，
所以（平方米）
（2）由题意，，，
由正弦定理可得：，
即
，其中，
当，即时，（米）.
即有效遮挡区域高的最大值为米.
5．（25-26高三上·上海·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
(3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【详解】（1）由题意得
，
，
（2）函数为向量的伴随函数，
，
，或
即或（舍），
又，由正弦定理得，，即，，
∴，即
由余弦定理，得，即，
即
（3）函数为向量的伴随函数
又关于的方程为，
，即
记
∴
作出函数的图像，如图所述，
方程在上有且仅有四个不相等的实数根，
图象与直线有四个交点，
，即.
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第12讲 解三角形
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命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
解三角形 / 春考第18题 春考第5题 秋考第11题
考情分析 1. 两大核心考查主线 主线一：纯三角形内部运算，包含边角互化、面积计算、三角形形状判断，侧重公式熟练运用；主线二：实际测量建模应用，依托方位角、仰俯角、海岛测距等场景，是上海高考近年重点强化方向。 2. 高频重难点集中突出 核心难点包含：边角混合等式的互化选择（化边/化角）、SSA型多解陷阱、周长与面积最值/范围求解、多三角形嵌套联立运算、实际场景几何建模。 3. 2027年命题预判 大概率延续填空小题必考模式，同时解答题考查概率提升；核心热点为边角恒等化简求角、三角形最值问题、实际测量应用题；冷门考点需关注解三角形与平面向量数量积的综合题型。
复习目标 1. 基础目标（全员必过关） 熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式、外接圆半径公式的全部形式及变形；可根据题干条件快速选择对应定理，完成基础边角互化；熟练解决已知三边、两边一角、两角一边的标准解三角形问题；能精准识别方位角、仰角、俯角，独立绘制几何示意图，完成实际问题建模。 2. 中档目标（冲刺110+） 熟练掌握三角形周长、面积最值的两种通用解法，明确不同方法的适用场景；精准辨析SSA型三角形解的个数，规避增根、漏解问题；掌握双三角形嵌套题型解法，依托公共边、公共角建立方程组求解；可熟练结合三角恒等变换、诱导公式、和差角公式完成综合化简运算。 3. 培优目标（冲刺130+） 灵活判断复杂条件下“化边”“化角”的最优路径，简化运算过程；求解取值范围时，精准把控三角形隐含约束条件（锐角/钝角三角形、内角范围）；熟练解决多三角形联立的复杂应用题，掌握设元、列式、消参完整流程；可独立破解解三角形与平面向量、解析几何结合的小型综合题。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 正弦定理
（R为△ABC外接圆半径）
常用变形：；
适用场景：已知两角一边、两边及其中一边对角；需要边角比例转化、外接圆半径相关计算。
自主检测
1．（2026·上海崇明·二模）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________．
知识点2 余弦定理
边角公式：，，
求角公式：，，
适用场景：已知三边、两边及其夹角；题干出现边长平方项、需要判断三角形形状。
三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
自主检测
2．（25-26高三下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则________．
知识点3 三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
自主检测
3．在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
知识点4 三角形面积公式
基础公式：
外接圆关联公式：
内切圆关联公式：S＝r(a＋b＋c).
自主检测
4．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是__________.
知识点5 解三角形实际应用
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
自主检测
5．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为____________．（精确到1）
题●型●破●译
题型1 基础解三角形
例1-1（25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，，，，则边的长度为______.
例1-2（25-26高三下·上海·阶段检测）在中，，，，则________．
方法技巧
两角一边用正弦，两边夹角余弦上，三边求角余弦算，两边对角防多解。
易错分析
已知a、b、A（两边及对角），A为锐角时，两解，一解，无解；A为直角/钝角时，仅有一解。
【变式训练1-1】（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）在中，若，，，则________.
题型2 边角等式互化
例2（2025·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围．
方法技巧
1. 齐次等式（边、角次数统一）：正弦定理角化边、边化角均可，优先选择运算简便的方式；
2. 含边长平方项：优先用余弦定理，统一化为边的表达式；
3. 目标求角度：统一转化为角的三角函数表达式；目标求边长、周长、面积：统一转化为边的表达式。常用结论：（射影定理，直接秒杀基础题型）
【变式训练2-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）记的内角、、的对边分别为、、，若，则__________.
【变式训练2-2】（2026·上海·一模）如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2．
(1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值；
(2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值．
【变式训练2-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知在中，角、、的对边分别为、、，若且.
(1)求角、、的大小；
(2)设函数，求函数的单调递减区间，并指出它相邻两对称轴的距离．
题型3 判断三角形形状
例3（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（ ）.
A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形
C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形
方法技巧
1. 化边法：将所有角转化为边，通过因式分解、配方判断边长关系，判定等腰、直角、等边三角形；2. 化角法：将所有边转化为角，利用三角恒等变换，判断角度关系，判定锐角、钝角、直角三角形。
【变式训练3-1】在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【变式训练3-2】在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【变式训练3-3】（2025·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状．
题型4 周长、面积最值/范围问题
例4-1（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足．
(1)求角的值；
(2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值．
例4-2（25-26高三上·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
方法技巧
路径一：余弦定理+基本不等式（适用于求最值）
已知一角及对边，通过余弦定理构建边长关系式，结合基本不等式，求出bc的最值，进而求解三角形面积、周长最值。局限：仅可求最值，无法精准求解取值范围。
路径二：正弦定理换元+辅助角公式（适用于求范围）
利用进行边角换元，结合统一为单三角函数，通过辅助角公式化简，结合内角取值范围求解值域。
关键提醒：题干限定锐角三角形时，需保证三个内角均为锐角，不可遗漏约束条件。
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数（）的最小正周期为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，若，边长，求面积的最大值．
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米.
(1)将表示成的函数，并写出的取值范围；
(2)求三条轨道的总长度的最小值.
【变式训练4-3】记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
题型5 三角形面积综合问题
例5-1（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则__________．
例5-2（2026·上海浦东新·三模）设．
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)在中，若且，求的面积．
例5-3（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，．
(1)若，求的面积；
(2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径．
方法技巧
题干出现面积条件时，优先列出面积公式，联立正弦定理、余弦定理构建方程组，通过消元、化简求解边角参数，实现条件互推、问题转化。
【变式训练5-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为______.
【变式训练5-2】（2025·上海杨浦·一模）已知函数，.
(1)记，求证：函数为偶函数；
(2)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积.
【变式训练5-3】（25-26高三上·上海嘉定·期中）在中，，.
(1)若，求的值，以及的面积;
(2)若，求.
题型6 平面向量与解三角形综合
例6-1（24-25高三上·上海松江·阶段检测）已知，函数.
(1)当时，求的值域；
(2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值.
例6-2（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)点、分别满足，，，，求的值.
方法技巧
向量数量积，直接对接余弦定理公式，可快速实现向量条件与三角形边角条件的转化，是上海高考高频综合考法。
【变式训练6-1】（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设．
(1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
(2)若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值．
【变式训练6-2】设的内角所对的边分别是，且向量与共线，
(1)求；
(2)若，，求边上的高.
【变式训练6-3】（24-25高三上·上海·期中）平面向量，，函数．
(1)若，求的值域；
(2)在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求的面积．
题型7 解三角形实际应用
例7-1（25-26高三上·上海·阶段检测）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．

(1)当米时，求的长；
(2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值．
例7-2如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2)试确定缉毒船的行驶方向．
方法技巧
标准化四步解题流程：
1. 审题画图：标注观测点、已知距离、方位角、仰角、俯角，明确正北、正东基准坐标系；
2. 几何建模：将已知量、待求量整合至1-2个三角形，锁定公共边作为解题桥梁；
3. 列式求解：依托公共边，多次使用正弦定理/余弦定理联立方程，消元计算；
4. 检验作答：验证边长为正、角度符合实际范围，按题干要求规范保留结果。
常见模型：海上航行方位角模型、双点测高仰角模型、海岛距离测量模型。
【变式训练7-1】如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米．
(1)求线段的长度；
(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．
【变式训练7-2】在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得.
(1)求旗杆的高度；
(2)求点到平面的距离.
【变式训练7-3】如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．

(1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度；
(2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；
(3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______
2．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
3．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则__________．
4．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)
5．（2023·上海·高考真题）在中，内角、、所对的边为、、，其中
(1)若，且，求边长的值；
(2)若，，求.
6．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
7．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
8．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称；
(1)若点P与点C重合，求的大小；
(2)求五边形面积S的最大值，
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．在中，若，则________．
2．在中，已知，试判断的形状．
3．在△ABC中，所示，AM是△ABC边BC上的中线，求证：
4．在中，，，，所在平面外一点P到A，B，C三点的距离都等于14，那么点P到平面ABC的距离为多少？
5．如图，两座建筑物AB、CD的高度分别是9米和15米，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角．求这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．
在中，已知，，，解这个三角形．
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2025高三上·上海·专题练习）在中，若，，，则________．（用反三角函数表示）
2．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
3．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）在中，角A、、的对边分别为、、，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的取值范围．
4．如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由.
5.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲.若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，为中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为.
（1）若，足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？
（2）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲？
重难·创新演练
1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知.
(1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点；
(2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值.
2．（25-26高三上·上海·开学考试）在中，角、、对应边为、、，其中．
(1)若，且，求边长的值；
(2)若，求的面积．
3．（2025高三上·上海·专题练习）已知函数在上单调.
(1)求的单调区间；
(2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值.
4.某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.
(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.
5．（25-26高三上·上海·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
(3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
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