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第11讲 三角恒等变换
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命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
二倍角公式 秋考第3题 / 秋考第14题
辅助角公式 / 秋考第12题 /
两角和与差公式 / 春考第5题 春考第5题
考情分析 必考核心公式三件套：两角和差公式、二倍角公式（余弦三形式）、辅助角公式，其中二倍角逆用的降幂公式是高频化简工具，贯穿绝大多数考题。 两大核心考法：一是给角求值、给值求值，核心为角度配凑变换；二是复杂三角式化简，标准化为单一正弦型函数，进而求解周期、单调性、最值、对称轴等性质。 上海卷特色要求：不考查复杂公式证明，侧重运算化简能力；结合角的范围判定三角比符号是固定失分点；正切和差公式逆用、“1的代换”常用于填空中档题；积化和差、和差化积无需背诵，不做考查要求。 2027高考命题预判 1. 题型稳定：以5分填空/选择小题为主要考查形式，无独立解答大题； 2. 高频考点：二倍角降幂+辅助角公式综合化简、区间最值求解； 3. 重点题型：角度配凑型给值求值问题，持续高频考查； 4. 综合趋势：常作为中间步骤，结合解三角形、平面向量题型综合考查。
复习目标 1. 基础目标（全员必过关） 熟练推导、精准默写两角和差、二倍角、辅助角核心公式，零符号错误；掌握辅助角公式标准形式，能快速求解振幅、初相；掌握基础化简逻辑，可完成常规给角求值、简单三角式化简。 2. 能力目标（冲刺110+） 熟练实现公式正用、逆用、变形用，掌握降幂、升幂、切化弦等常规变换；精通角度配凑技巧，独立解决给值求值核心题型；可将任意常规三角式标准化为 标准形式，为后续性质求解铺垫。 3. 培优目标（冲刺130+） 快速识别齐次式、平方嵌套等复杂三角结构，完成多公式嵌套化简；精准结合角的范围分类讨论，规避多解、符号错误陷阱；在向量、解三角形综合题中，快速选择最优变换路径，简化运算、提升解题速度。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 两角和与差公式（基础核心）
1.两角和与差公式
（1）
（2）
（3）
记忆口诀：正弦同名异号，余弦异名同号
高频逆用变形：
2.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－－1.
自主检测
1．（2026·上海徐汇·二模）若，则______.
【答案】5
【详解】由，
则.
知识点2 二倍角公式（化简重中之重）
1.二倍角公式
（1）
（2）
（3）
核心逆用：降幂公式（高考化简万能工具）
2.半角公式(不要求记忆)
sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定.
3.熟记常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2 1＋cos α＝2cos2 .(升幂公式)
(2)1±sin α＝.(升幂公式)
(3)sin2α＝cos2α＝
tan2α＝.(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tan.
(5)万能公式
sin α＝cos α＝
tan α＝.
自主检测
2.若，则__________．
【答案】
【详解】由二倍角公式，
代入，得.
知识点3 积化和差与和差化积
1.积化和差公式
(1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)].
2.和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sincos；
(2)sin θ－sin φ＝2cossin；
(3)cos θ＋cos φ＝2coscos；
(4)cos θ－cos φ＝－2sinsin.
3.三角平方差公式
sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β).
自主检测
3.已知，则_______________.
【答案】
【详解】由，
可得
，
则.
故答案为：.
知识点4 辅助角公式（上海高考最高频）
其中：，也可变形为余弦型：
易错提醒： 象限由 符号决定；求解最值、值域可直接用振幅 ，无需精准求解 。
自主检测
4.（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ．
【答案】
【详解】，令，得，，
由 恒成立，可知，，，
则.
故答案为：
题●型●破●译
题型1 两角和与差的三角函数公式
例1（25-26高三下·上海·阶段检测）已知是第二象限角，且，则___________．
【答案】
【详解】由，得，
而是第二象限角，则，，
所以.
方法技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【变式训练1-1】（25-26高三上·上海·期末）求值：__________．
【答案】
【详解】，，
则，
故答案为：
【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·期中）已知，则________．
【答案】
【详解】，，，
.
故答案为：.
【变式训练1-3】（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【详解】由题可得，，因此渐近线方程为，
两条渐近线斜率为，.
两直线夹角，夹角公式为，
代入得，
由于且，因此夹角大小为.
题型2 二倍角公式
例2-1（2026·上海静安·二模）若，则______．
【答案】
【详解】，
故.
例2-2（2026高三下·上海·专题练习）已知，则__________.
【答案】/
【详解】因为，所以.
例2-3已知是第三象限角，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是第三象限角，
所以，
所以，
所以，
所以，
而，
所以，
所以.
故选：C
【变式训练2-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2026个零点，则满足条件的正整数的值的个数共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【详解】，
令，则函数可转化为，，
，
而，，
（1）若，则，，故在仅有一个零点，
因为在中，有且只有两个解，且这个两个解在中，
故若在内恰有2026个零点，需或.
（2）若，则，，
故在两个零点，或，
因为在中，只有一个解为，
有且只有两个解，且这个两个解在中，
而，故，但当时，
、在内恰有个零点，不合题意，
此时不存在使得、在内恰有2026个零点.
（3）若，则，，
故在两个零点，或，
在上有且只有两个不同的解，且均在中，
有且只有两个不同的解，且均在中，
因、在内恰有2026个零点，故.
（4）若，则，，
故在两个零点，或，同（2）分析得.
（5）若，则，，
故在上有一个零点，
因在内恰有2026个零点，同（1）分析得或，
所以满足条件的正整数的值为，共5个.
【变式训练2-2】（25-26高三下·上海·期中）已知函数，若函数在区间上恰有2026个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合是______．
【答案】
【详解】由题意得，
令，，可得，，
记的两零点为，，
则，不妨设，
且，则，，，
可知（舍去），，
原题意等价于在区间上恰有2026个零点，
可知在和（为正整数）内不同根的个数均为，
所以，故所有可能的正整数组成的集合为.
【变式训练2-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________.
【答案】
【详解】如图，延长，交直线于点，
由题意可得：，，
设，则，
因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，
容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时，
水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和，
因为，解得：，即，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
.
题型3 积化和差与和差化积公式
例3-1已知，则______.
【答案】
【详解】因为，所以，
由和差化积公式，得，
因为，所以，
由，
可得，
所以.
故答案为：.
例3-2若对满足的任何都有，则数组______．
【答案】
【详解】因为，可知，即，
则，
可知，即.
故答案为：.
【变式训练3-1】已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因，则，
因，
则，
因，则，
则，即.
注意到互不影响，则，
又在上单调递增，在上单调递减，
则，
则，则.
故选：A
【变式训练3-2】已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，，依题意，，
于是，整理得，
即，因此，
即有，则随增大而增大，而
当，时，到达时是临界值点，此时，
代入得，即，整理得，
而，解得，则，即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【变式训练3-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______.
【答案】
【详解】如图，过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，
设点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，
则
由可得到，
当且仅当时，等号成立，
如图，在圆所在平面建立平面直角坐标系，
则，
所以
则
，
当，时，等号成立；
故，所以的最小值为.
故答案为：.
题型4 降幂与辅助角公式
例4-1（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知,
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若,求函数的值域.
【详解】（1）,
由，可得，
即函数的单调递减区间为.
（2）当，，则，
故函数的值域为.
例4-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ．
(1)若是三角形中一内角，且 ，求的值；
(2)若，且，求的值．
【详解】（1）依题意，，由，
得，而为三角形内角，即，则，
因此或，所以或.
（2）由，且，得，即，
又，则，
所以
.
方法技巧
标准解题流程：原式 一次正余弦混合式
上海真题固定套路：只要出现三角平方项，第一步优先降幂，再用辅助角归一。
【变式训练4-1】已知，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为________．
【答案】
【详解】
，
由，得，得，
因为是函数的两个零点，且，
所以的最小正周期为，所以，得，
所以，
由，得，则，
所以，得，
所以，
所以最小值与最大值之和为，
故答案为：.
【变式训练4-2】设函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，的最小值为2，求函数的最大值及对应的的值．
【详解】（1），
∴的最小正周期，
令，，可得，，
∴的单调递增区间，.
（2）由的最小值为2，即，可得，
∴，故其最大值为6，
此时，，即，.
【变式训练4-3】已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调区间；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【详解】（1），
则函数的最小正周期；
令，解得 ，
可得函数的单调递增区间为·
令 ，解得 ，
可得因数的单调递减区间为 ；
（2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减，
当，，由增大到1，
当，，由1减小到，
若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为
题型5 给角求值型问题
例5化简并求值.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）32.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）原式
.
方法技巧
① 优先拆分角度为30°、45°、60°等常规特殊角；② 先观察式子结构，优先逆用和差、二倍角公式，避免盲目展开运算；③ 结果化为最简特殊角三角比值。
【变式训练5-1】已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【变式训练5-2】化简，求值
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）；（5）2.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
【变式训练5-3】近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
(1)若，求矩形的面积；
(2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值，最大值为
【详解】（1）在中，，，
，，其中.
在中，，，
，，
.
∴矩形的面积为
.
当时，，
即矩形的面积为.
（2）由（1）知：矩形的面积为，其中.
，
∴当，即时，取得最大值，最大值为.
题型6 给值求值型问题
例6-1已知，则___________．
【答案】
【详解】．
例6-2已知，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】由已知条件 ，可得，
,则，
由，得 ，
因此 ，令 ，则 ，
目标式转化为二次函数，
而，开口向上，对称轴为 ，
最小值在对称轴 处取得，
最大值在区间端点处取得，，，最大值为 ，
综上， 的取值范围是 .
方法技巧
经典配凑模型：、、
满分关键：先根据题干条件判定目标角的取值范围，确定三角函数正负，杜绝符号失分。
【变式训练6-1】已知函数，若，且，则___________．
【答案】
【详解】由二倍角余弦公式，可得，
因此：，
已知，代入化简后得：，
由，得，该区间内余弦值为负，
因此：，
.
【变式训练6-2】已知，，且，，求：
(1)的值；
(2)的值.
【详解】（1）由 ，
解得，故.
（2）由（1）可得，又因为，，
所以，则，
故.
【变式训练6-3】已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求.
【详解】（1）
，
令，，解得，，
因此的单调递减区间为.
（2）由题意知，即，
因为，所以，所以，
所以.
题型7给值求角型问题
例7-1已知，且满足，则___________．
【答案】
【详解】根据题意，，
因为，则，
所以，则.
故答案为：
例7-2已知，均为锐角，且，，则的值是_____．
【答案】
【详解】∵β为锐角，且，∴，，
故，
∴，，
又，
∴.
故答案为： .
方法技巧
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
②若角的范围是选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为选正弦较好.
【变式训练7-1】若，且为锐角，为钝角，则___________
【答案】
【详解】因为为锐角，，所以，
又因为为钝角，所以，
所以, ,
所以,,
所以,
因为，所以.
故答案为：.
【变式训练7-2】已知，，，，则__________．
【答案】
【详解】由得，
因，则，则，
因为，，则，则，
则，则，
则
，
，
则.
故答案为：.
【变式训练7-3】已知 ．
(1)设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围；
(2)画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合．
【详解】（1）∵，∴，
∴，故.
∵，∴，
∴，
∵对任意的，不等式 成立，
∴，且，
由得，，，
∴，即的取值范围是.
（2）由题意得，
，
令，
∵时，，时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∵，，，
∴在上的大致图象为：
由得，，故，
∵，∴，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又∵，
∴或，
∴或，
∴满足的的集合为.
题型8 三角恒等式证明
例8-1（1）求证：
（2）在中，求证：
【详解】解：（1）证明：因为，
所以
.
（2）在中，因为，
所以，即.
例8-2求证：
（1）；
（2）.
【详解】（1）
.
（2）.
【变式训练8-1】（1）已知，，求的值；
（2）证明：.
【详解】（1）由，，则且，
由（负值舍）.
（2），得证.
【变式训练8-2】证明下列三角恒等式：
(1)；
(2).
【详解】（1）∵，
∴
，
∴.
（2）
.
【变式训练8-3】（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）证明：是无理数．
【答案】
（1）
.
（2），
因为，所以，
则
（3）假设是有理数，设，则为正有理数.
由（1）知，由（2）知
因为，所以，
若是有理数，设（互质且为正整数），
代入方程，可得，
所以且
所以为的约数，且为的约数，而互质，故，，
故，
当时，，故不是方程的根；
当时，，故不是方程的根；
当时，，故不是方程的根；
当时，，故不是方程的根；
综上，无正有理根，
所以是无理数.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
2．（2022·上海·高考真题）函数的周期为___________；
【答案】
【详解】,
所以的周期为：
故答案为：.
3．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________.
【答案】
【详解】已知，则.
故答案为：
4．（2026·上海·高考真题）已知，则__________．
【答案】
【详解】．
5．（2025·上海·高考真题）已知，则__________．
【答案】
【详解】由可得，
所以，
故答案为：
6．（2022·上海·高考真题）已知，则_________.
【答案】
【详解】，
故答案为：
7．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______
【答案】
【详解】三角形中，，
，
由正弦定理，，，
得．
故答案为：．
8．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．
【答案】
【详解】方法1：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
方法2：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
故答案为：
9．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
【答案】
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．若，则________．
【答案】
【详解】因为，所以.
故答案为：
2．已知，角的终边在第一象限，求的值．
【答案】
【详解】解：因为，角的终边在第一象限，
所以，
所以.
3．已知，，求，，．
【答案】，，
【详解】因为，故，则，
由可得，解得，
由可得，解得，
故.
4．在中，已知，，求，．
【答案】，
【详解】中，，则角必为锐角，，
，
，
又（负舍），此时应舍去，，
，
.
5．求证：（1）；
（2）.
【详解】（1）由两角和与差的正弦、余弦函数公式，
可得：
，
即.
（2）由
，
即.
6．已知，是方程的两根，求下列各式的值：
(1)； (2)； (3).
【详解】（1）由是的两根，可得，
（2）=
（3）== =
7．把下列各式化成积的形式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【详解】（1）解：
.
（2）解：
.
（3）解：
.
（4）解：
.
8．把下列各式化成和或差的形式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【详解】（1）解：∵，
，
两式相加得：，
∴
.
（2）解：∵，
，
两式相加得：，
∴
.
（3）解：.
（4）解：∵，
，
两式相减得：，
∴
.
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】因为，所以，所以，
所以，异号，
所以在第二、四象限，
又，所以在第二象限.
故选：.
2．（2025·上海嘉定·一模）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
【答案】C
【详解】，
所以函数为奇函数，最小正周期.
故选：C
3．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是________.
【答案】
【详解】，
其中，
则其值域为
故答案为：.
4．已知，则________.
【答案】
【详解】因为，所以.
5．（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为____________．
【答案】
【详解】，
故最小正周期为.
故答案为：
6．已知，则______．
【答案】
【详解】由得，解得，
所以.
7．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________．
【答案】
【详解】设，则以为终边的角为，
又，，
所以，
所以点的横坐标为

8．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________
【答案】
【详解】在方向上的数量投影为，
，，.
9．（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________．（精确到0.001）
【答案】1.172
【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接，
令圆的半径为，则，解得，设，
因此，
当且仅当时取等号，
所以步行道、长度之和的最小值是.
故答案为：
10．（2025·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】
连接，由，
知，
设，则为锐角，且，
所以
，
由于，所以，
即的取值范围为.
故答案为：
11．（2025·上海静安·一模）已知函数().
(1)将函数化为的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位；
(2)若函数的最小正周期为，求的值并求函数的值域.
【详解】（1），
这个函数的振幅为2，初始相位为.
（2）由的最小正周期为，且 ，故.
函数的值域为.
12．（2025·上海长宁·一模）已知函数．
(1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间；
(2)设，求函数在区间上的值域．
【详解】（1）因为函数的最小正周期为，
所以，解得.
所以.
要求的单调递减区间，令，
解得，即的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
所以.
由得，
由正弦函数的性质可得，所以，
所以函数在区间上的值域为．
13．已知函数两个相邻零点的距离为，且.
(1)求、的值；
(2)设，求的单调递增区间.
【详解】（1）因为函数两个相邻零点的距离为，
故函数的最小正周期为，所以，即，
又因为，故.
（2）因为
，
由可得，
故函数的单调递增区间为.
重难·创新演练
1．（2026·上海徐汇·二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
由，.
因为函数在上没有最大值和最小值，
所以函数的半个周期的区间长度不小于，即.
结合正弦函数性质，则有或，
解得或.
即的取值范围为：.
2．（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如下图建系，令双曲线为，且，则，，
如图，，，则，故，
将代入，得，可得，故渐近线为，
若它们的夹角为，且，则，故.

故选：D
3．（2025·上海黄浦·一模）如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A，B，C，D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边EF，FG，GH，HE分别经过点A，B，C，D，则该展览区的最大面积约为_______平方米（精确到1平方米）．
【答案】
【详解】设，又因为，所以,
所以，所以，
所以，
，
进而得出
为锐角，
当时，.
故答案为：2136
4．（2025·上海·模拟预测）如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1 km，且，为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设：假设1：观景台的观景范围为四边形；假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中；假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则________.(结果精确至0.01)
【答案】
【详解】设，则，由题意知，
则，
如图，连接.
在中，，则，；
在中，同理可得，；
故四边形的面积
，.
令，，即.
由，则，
令，则，即，
解得， 由，
故不妨设，且，
当，即时，
，即，在单调递增；
当，即时，
，即，在单调递减；
故，即当时取到最大值.
由，可得，
则
.
此时，
故答案为：.
5．（2025·上海·三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为______．
【答案】
【详解】因为，
则由题意可得或，
则①令，，解得，，
又，要求的最大值，只需令，则，令，则，
所以的最大值为．
②令，，解得，，
又，要求的最大值，只需令，则，令，，
所以的最大值为，
综上， 的最大值为．
故答案为：.
6．（2026·上海黄浦·三模）设，，，满足．若的值与、无关，则的取值范围为________．
【答案】
【详解】实数x，y满足, 可设,
则,
, 令，则，
则原问题变为的值与t无关，
由于，故，则，
要使得的值与t无关，需满足对所有的恒成立，
即，即对所有的恒成立，故
当时，，符合题意，
实数a的取值范围是.
7．（2026·上海闵行·二模）定义：平面内图形上的所有点在直线上的射影所组成的图形称为在上的射影.若存在边长为的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】解：根据题意，正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和，
等价于正三角形在轴、轴上投影之和的两倍，
设与轴正半轴的夹角为，
正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为，
则，，
当时，正三角形在轴、轴上投影分别为、，
则
，
或时，取得最小值，
时，取得最大值为；
当时，正三角形在轴、轴上投影分别为、，
，
当时，取得最小值，当时，取得最大值为；
时，正三角形在轴、轴上投影分别为、，
当时，取得最小值，当时，取得最大值为；
由对称性可证，其它象限最值情况一样，
综上，的最小值为，最大值为，
，解得，
则的取值范围为．
8．已知三棱锥的体积为，，，，与的周长均为10，则______．
【答案】
【详解】因为，与的周长均为10，
所以=6 ，=6 ，
所以在以为焦点的椭球上，
因为，
所以在椭球的截面圆上，设截面圆的圆心为，则，
所以三棱锥的体积为，
所以，又因为，
所以，
解得：，
由题意，设以为焦点过的椭圆的标准方程为，
设代入解得，
所以
.
故答案为：
19．（2025·上海·模拟预测）已知，.
(1)若函数的最小正周期为，求的值；
(2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围.
【详解】（1）
，
因为且函数的最小正周期为，故.
（2）当时，.
若时，，
当时，函数取得最大值，即.
而函数与存在相同的最大值，
故当时，函数在内取得最大值，
因此可得，
①当时，可得，则有，解得；
②当时，可得，则有，解得.
当时，，此时，，
当时，，此时，.
综上所述，的取值范围为.
10.已知函数的最小正周期为8．
(1)求的值及函数的单调减区间；
(2)若，且，求的值．
【详解】（1）由已知可得，，
∵的最小正周期，∴，
∴，
由得，
∴f(x)的单调递减区间为[](k∈Z)；
（2）∵，由(1)有，
即，
由，知；
∴，
故
﹒
11.设常数，已知函数，其中.
(1)当时，求在上的取值范围；
(2)若为偶函数，求的值；
(3)若，求方程在区间上的解.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以在上的取值范围为，
（2）因为，
所以，
因为为偶函数，所以，
所以，
所以，
所以；
（3）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，，或，，
所以，，或，，
因为，
所以或或或.
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第11讲 三角恒等变换
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命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
二倍角公式 秋考第3题 / 秋考第14题
辅助角公式 / 秋考第12题 /
两角和与差公式 / 春考第5题 春考第5题
考情分析 必考核心公式三件套：两角和差公式、二倍角公式（余弦三形式）、辅助角公式，其中二倍角逆用的降幂公式是高频化简工具，贯穿绝大多数考题。 两大核心考法：一是给角求值、给值求值，核心为角度配凑变换；二是复杂三角式化简，标准化为单一正弦型函数，进而求解周期、单调性、最值、对称轴等性质。 上海卷特色要求：不考查复杂公式证明，侧重运算化简能力；结合角的范围判定三角比符号是固定失分点；正切和差公式逆用、“1的代换”常用于填空中档题；积化和差、和差化积无需背诵，不做考查要求。 2027高考命题预判 1. 题型稳定：以5分填空/选择小题为主要考查形式，无独立解答大题； 2. 高频考点：二倍角降幂+辅助角公式综合化简、区间最值求解； 3. 重点题型：角度配凑型给值求值问题，持续高频考查； 4. 综合趋势：常作为中间步骤，结合解三角形、平面向量题型综合考查。
复习目标 1. 基础目标（全员必过关） 熟练推导、精准默写两角和差、二倍角、辅助角核心公式，零符号错误；掌握辅助角公式标准形式，能快速求解振幅、初相；掌握基础化简逻辑，可完成常规给角求值、简单三角式化简。 2. 能力目标（冲刺110+） 熟练实现公式正用、逆用、变形用，掌握降幂、升幂、切化弦等常规变换；精通角度配凑技巧，独立解决给值求值核心题型；可将任意常规三角式标准化为 标准形式，为后续性质求解铺垫。 3. 培优目标（冲刺130+） 快速识别齐次式、平方嵌套等复杂三角结构，完成多公式嵌套化简；精准结合角的范围分类讨论，规避多解、符号错误陷阱；在向量、解三角形综合题中，快速选择最优变换路径，简化运算、提升解题速度。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 两角和与差公式（基础核心）
1.两角和与差公式
（1）
（2）
（3）
记忆口诀：正弦同名异号，余弦异名同号
高频逆用变形：
2.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－－1.
自主检测
1．（2026·上海徐汇·二模）若，则______.
知识点2 二倍角公式（化简重中之重）
1.二倍角公式
（1）
（2）
（3）
核心逆用：降幂公式（高考化简万能工具）
2.半角公式(不要求记忆)
sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定.
3.熟记常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2 1＋cos α＝2cos2 .(升幂公式)
(2)1±sin α＝.(升幂公式)
(3)sin2α＝cos2α＝
tan2α＝.(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tan.
(5)万能公式
sin α＝cos α＝
tan α＝.
自主检测
2.若，则__________．
知识点3 积化和差与和差化积
1.积化和差公式
(1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)].
2.和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sincos；
(2)sin θ－sin φ＝2cossin；
(3)cos θ＋cos φ＝2coscos；
(4)cos θ－cos φ＝－2sinsin.
3.三角平方差公式
sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β).
自主检测
3.已知，则_______________.
知识点4 辅助角公式（上海高考最高频）
其中：，也可变形为余弦型：
易错提醒： 象限由 符号决定；求解最值、值域可直接用振幅 ，无需精准求解 。
自主检测
4.（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ．
题●型●破●译
题型1 两角和与差的三角函数公式
例1（25-26高三下·上海·阶段检测）已知是第二象限角，且，则___________．
方法技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【变式训练1-1】（25-26高三上·上海·期末）求值：__________．
【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·期中）已知，则________．
【变式训练1-3】（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示）
题型2 二倍角公式
例2-1（2026·上海静安·二模）若，则______．
例2-2（2026高三下·上海·专题练习）已知，则__________.
例2-3已知是第三象限角，则（ ）.
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2026个零点，则满足条件的正整数的值的个数共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【变式训练2-2】（25-26高三下·上海·期中）已知函数，若函数在区间上恰有2026个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合是______．
【变式训练2-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________.
题型3 积化和差与和差化积公式
例3-1已知，则______.
例3-2若对满足的任何都有，则数组______．
【变式训练3-1】已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________.
【变式训练3-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______.
题型4 降幂与辅助角公式
例4-1（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知,
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若,求函数的值域.
例4-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ．
(1)若是三角形中一内角，且 ，求的值；
(2)若，且，求的值．
方法技巧
标准解题流程：原式 一次正余弦混合式
上海真题固定套路：只要出现三角平方项，第一步优先降幂，再用辅助角归一。
【变式训练4-1】已知，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为________．
【变式训练4-2】设函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，的最小值为2，求函数的最大值及对应的的值．
【变式训练4-3】已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调区间；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
题型5 给角求值型问题
例5化简并求值.
； （2）；
； （4）.
方法技巧
① 优先拆分角度为30°、45°、60°等常规特殊角；② 先观察式子结构，优先逆用和差、二倍角公式，避免盲目展开运算；③ 结果化为最简特殊角三角比值。
【变式训练5-1】已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】化简，求值
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【变式训练5-3】近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
(1)若，求矩形的面积；
(2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
题型6 给值求值型问题
例6-1已知，则___________．
例6-2已知，则的取值范围是______．
方法技巧
经典配凑模型：、、
满分关键：先根据题干条件判定目标角的取值范围，确定三角函数正负，杜绝符号失分。
【变式训练6-1】已知函数，若，且，则___________．
【变式训练6-2】已知，，且，，求：
(1)的值；
(2)的值.
【变式训练6-3】已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求.
题型7给值求角型问题
例7-1已知，且满足，则___________．
例7-2已知，均为锐角，且，，则的值是_____．
方法技巧
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
②若角的范围是选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为选正弦较好.
【变式训练7-1】若，且为锐角，为钝角，则___________
【变式训练7-2】已知，，，，则__________．
【变式训练7-3】已知 ．
(1)设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围；
(2)画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合．
题型8 三角恒等式证明
例8-1（1）求证：
（2）在中，求证：
例8-2求证：
（1）；
（2）.
【变式训练8-1】（1）已知，，求的值；
（2）证明：.
【变式训练8-2】证明下列三角恒等式：
(1)；
(2).
【变式训练8-3】（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）证明：是无理数．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海·高考真题）函数的周期为___________；
3．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________.
4．（2026·上海·高考真题）已知，则__________．
5．（2025·上海·高考真题）已知，则__________．
6．（2022·上海·高考真题）已知，则_________.
7．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______
8．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．
9．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．若，则________．
2．已知，角的终边在第一象限，求的值．
3．已知，，求，，．
4．在中，已知，，求，．
5．求证：（1）；
（2）.
6．已知，是方程的两根，求下列各式的值：
(1)； (2)； (3).
7．把下列各式化成积的形式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
8．把下列各式化成和或差的形式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·上海嘉定·一模）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
3．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是________.
4．已知，则________.
5．（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为____________．
6．已知，则______．
7．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________．
8．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________
9．（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________．（精确到0.001）
10．（2025·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为__________．
11．（2025·上海静安·一模）已知函数().
(1)将函数化为的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位；
(2)若函数的最小正周期为，求的值并求函数的值域.
12．（2025·上海长宁·一模）已知函数．
(1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间；
(2)设，求函数在区间上的值域．
13．已知函数两个相邻零点的距离为，且.
(1)求、的值；
(2)设，求的单调递增区间.
重难·创新演练
1．（2026·上海徐汇·二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）．

A． B． C． D．
3．（2025·上海黄浦·一模）如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A，B，C，D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边EF，FG，GH，HE分别经过点A，B，C，D，则该展览区的最大面积约为_______平方米（精确到1平方米）．
4．（2025·上海·模拟预测）如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1 km，且，为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设：假设1：观景台的观景范围为四边形；假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中；假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则________.(结果精确至0.01)
5．（2025·上海·三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为______．
6．（2026·上海黄浦·三模）设，，，满足．若的值与、无关，则的取值范围为________．
7．（2026·上海闵行·二模）定义：平面内图形上的所有点在直线上的射影所组成的图形称为在上的射影.若存在边长为的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则的取值范围为______.
8．已知三棱锥的体积为，，，，与的周长均为10，则______．
19．（2025·上海·模拟预测）已知，.
(1)若函数的最小正周期为，求的值；
(2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围.
10.已知函数的最小正周期为8．
(1)求的值及函数的单调减区间；
(2)若，且，求的值．
11.设常数，已知函数，其中.
(1)当时，求在上的取值范围；
(2)若为偶函数，求的值；
(3)若，求方程在区间上的解.
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