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第09讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
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命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
导数与函数的单调性 / 春考第21题 /
导数与函数的极值 / 秋考第19题 /
单调性、极值、最值综合应用 秋考第19题 / 秋考第16题 秋考第21题
利用导数研究不等式恒成立问题 / / 春考第21题
考情分析 导数是上海高考数学核心重难点，总分占比32–36分，题型覆盖小题、中档解答题（T19，14分）、压轴题（T21，18分）。其中单调性、极值、最值是导数所有题型的底层核心工具，是一轮复习的重中之重，直接决定中档题满分率与压轴题得分上限。 整体命题特点：基础题重规范、中档题重含参分类讨论、压轴题重综合转化与逻辑分析。 2027届高考命题趋势预判 1. 基础性不变：单调性、极值、最值为导数题通用解题工具，不单独压轴，但贯穿所有导数综合题型。 2. 逻辑性强化：弱化机械求导计算，重点考查含参分类讨论的完整性、定义域约束、临界值判定。 3. 综合性提升：融合新定义、零点、不等式证明、函数图像分析，侧重知识迁移应用。 4. 规范性严格：阅卷聚焦定义域书写、区间开闭、极值验证、最值对比步骤，步骤疏漏直接扣分。 5. 载体稳定：以多项式、指数、对数混合函数为核心，无超复杂复合求导。
复习目标 （一）基础目标（全员达标，保底得分） 1. 熟练掌握基本初等函数导数公式及四则、复合求导法则，计算零失误。 2. 精准掌握单调区间、极值、最值的基础定义，厘清概念区别。 3. 熟练套用标准化解题流程，独立完成无参函数的单调性、极值、最值求解。 4. 达成效果：基础小题满分，导数大题第一问零失分。 （二）中档目标（冲120分，攻克T19解答题） 1. 熟练掌握含参导函数分类讨论逻辑，做到分类不重不漏、边界清晰。 2. 掌握极值逆向问题解法，能够验证参数取值的合理性，规避命题陷阱。 3. 熟练运用参变分离方法，将恒成立、存在性问题转化为最值问题求解。 4. 达成效果：完整拿下14分中档导数解答题，步骤规范无逻辑漏洞。 （三）压轴目标（冲135+，突破T21综合题） 1. 具备函数图像分析能力，依托单调性、极值预判函数走势、零点与取值范围。 2. 掌握隐零点代换、函数构造、简单放缩等高阶方法，解决最值与不等式证明问题。 3. 熟练运用分类讨论、数形结合、转化与化归思想，适配新定义陌生题型。 4. 达成效果：压轴题前两问稳定得分，第三问可完成核心逻辑推导。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 导数与函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的定义域；
第2步，求出导数f'(x)的零点；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
3.谨防四个易误点
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.
(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验.
(4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.
自主检测
1．（25-26高三上·上海黄浦·期中）函数的严格减区间是______ .
知识点2 导数与函数的极值、最值
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f'(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
自主检测
2．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，集合存在，使得．若使得，则（ ）
A．可能为奇函数 B．可能在处取最小值
C．可能是增函数 D．可能在处取极小值
题●型●破●译
题型1 无参函数单调性、极值、最值常规题型
例1-1函数在上的最大值为__________．
例1-2已知函数的导函数，则是的极__________值点．（选填“大”或“小”）
方法技巧
求导后优先因式分解，避免复杂整式运算；区间判断采用“列表法”，清晰直观，规避逻辑疏漏；无参函数计算为主，重点保证求导、运算零失误。
易错分析
绝对不能省略定义域；单调区间严禁合并不同区间；极值必须验证导数变号，不可直接认定导函数零点为极值点。
【变式训练1-1】已知函数的导函数的图像如图所示，则在内有（ ）
A．3个驻点 B．4个极值点
C．1个极小值点 D．1个极大值点
【变式训练1-2】设函数的定义域为，（）是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）．
A．对任意， B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
【变式训练1-3】已知函数
(1)求函数在处的切线；
(2)求函数的单调区间和极值（结果保留e）．
题型2 含参函数单调性分类讨论题型
例2已知函数，其中，，其中，
(1)在条件①；②中选择一个，研究函数的单调性；
(2)当时，若和在上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．
方法技巧
固定“先整体、后局部”的讨论思路，先确定参数大范围，再细化临界情况；所有分类以“导函数符号是否变化”为核心依据，不做无意义分类；临界值单独验证，避免漏解、多解。
【变式训练2-1】已知.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围.
【变式训练2-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程：
(2)讨论函数的单调性；
(3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【变式训练2-3】已知函数，，令
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当a为正数且时，，求a的最小值；
(3)若对一切都成立，求a的取值范围.
题型3 极值逆向参数求解题型
例3（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知是函数的极大值点，那么的取值范围是______.
方法技巧
先由f’(x)=0求出参数初步范围，再反向验证参数能否使导数左右变号；若参数导致导函数无变号零点，则无极值，直接舍去该范围。
易错分析
杜绝只列式不验证，上海高考高频扣分点；严格区分“极值点存在”和“导函数有零点”两个概念。
【变式训练3-1】（24-25高三下·上海浦东新·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【变式训练3-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，其中.
(1)若，求函数，的值域；
(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.
【变式训练3-3】已知函数.
(1)若存在极小值，且极小值为0，求；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围.
题型4 闭区间最值与恒成立题型
例4-1（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中．
(1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围；
(2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
例4-2（25-26高三上·上海·期中）已知,
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围；
(3)记（是自然对数的底数），若对任意，且，均有成立，求实数的取值范围．
例4-3已知函数为自然常数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数在区间上有最小值，求实数的值；
(3)在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
方法技巧
任意型不等式优先求最小值，存在型不等式优先求最大值；含参无法分离时，直接分类讨论函数单调性，锁定区间最值。
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·期中）已知.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)设，对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【变式训练4-3】（24-25高三上·上海虹口·阶段检测）已知为实数，记.
(1)当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式；
(2)若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围；
(3)求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件.
题型5 压轴综合题型
例5-1（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“一类函数”.
(1)试判断是否为其定义域上的“一类函数”，并说明理由；
(2)若函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的最大整数值.
例5-2（24-25高三上·上海·期中）已知定义域均为的函数，，是的非空子集. 若对任意 当 时，总有 则称 是 的一个“S关联函数”.
(1)求 的所有{1}关联函数；
(2)若 是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围；
(3)已知是定义在上的函数．若存在定义在上的函数，使得对任意正整数，都满足是的一个“关联函数”，求证：是上的严格增函数．
方法技巧
熟练运用隐零点代换，不强行求解零点，利用极值点方程化简最值和不等式；复杂不等式优先作差构造新函数，依托单调性证明。
【变式训练5-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”．
(1)若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由；
(2)是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围．
【变式训练5-2】对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.
(1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；
(2)若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围；
(3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件.
【变式训练5-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”．
(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
(2)若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求；
(3)设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
二、解答题
2．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
3．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
4．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
5．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.
(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；
(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？
(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.
6．（2024·上海·高考真题）记
(1)若，求和;
(2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得.
(3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.
7．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．
(1)若正整数，证明；
(2)若正整数，试比较与大小；
(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．如图①为一个圆锥形酒杯，圆锥的顶角（即过圆锥的轴的平面截圆锥所得等腰三角形的顶角）为，向酒杯中注水．

(1)写出注入杯中的水量V（单位：mL）关于水面高度h（单位：cm）的函数关系式；
(2)图②的图象是否能反映第（1）问中的函数关系？说明理由．
2．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．
(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；
(2)随着x的变化，y的变化有何规律？
(3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？
3．一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出：购买时的费用12万元；保险费、养路费、燃油费等各种费用每年1万元；维修费用万元；使用x年后，汽车的价值为万元．显然，在这辆汽车上的年平均支出y（单位：万元）是使用时间x（单位：年）的函数．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)随着x的增加，函数值y的变化有何规律？
4．求解下列问题
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
5．已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)若有两个极值点b，c，记过两点，的直线斜率为．是否存在a使？若存在，求a的值；若不存在，试说明理由．
6．已知函数的导函数的图象如图所示，在标记的点中：
(1)在哪一点处导函数取到极大值？
(2)在哪一点处导函数取到极小值？
(3)在哪一点处函数取到极大值？
(4)在哪一点处函数取到极小值？
7．一个电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为．
(1)求当t从1s变到2s时，电路中流过的电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求，并解释它的实际意义；
(3)求，并讨论的变化规律；
(4)当t为何值时取得最大值？何时取得最小值？
8．对数函数与指数函数的图象与性质．

(1)求对数曲线过点的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象．
(2)观察（1）中的图象，你发现切线在切点附近非常接近曲线吗？当很小时，你能得出近似公式吗？试用此近似公式计算以及的近似值．
(3)再观察（1）中的图象，你可以发现切线行在曲线上方，即对所有的，不等式恒成立．试通过理论推导证明这个不等式．（提示：求函数的最小值．）
(4)对数曲线：关于直线的轴对称图形是什么函数的图象？对数曲线的切线的轴对称图形是曲线的切线吗？试写出它的方程，并判断该切线是在曲线的上方还是下方．你能得出什么不等式？
(5)为什么对数曲线在点处的切线的斜率“正好”等于1？
因为当时，斜率．
又因为当，，因此．若将对数的底数取，则切线的斜率．
试仿此求出曲线在点处的切线方程．形式上复杂吗？
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2026·上海长宁·二模）已知.
①存在，使得函数在上严格增；
②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.
对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误； B．①错误，②正确；
C．①正确，②正确； D．①错误，②错误.
2．（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度）
3．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______.
4．（2026·上海·模拟预测）设函数，．
(1)若，求函数的所有单调区间；
(2)若方程有两个虚根和，且．求的值．
5．（2026·上海黄浦·二模）已知．
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围．
6．（2026·上海闵行·二模）已知.
(1)当时，解方程；
(2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点.
重难·创新演练
1．（2026·上海杨浦·二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（ ）.
A．0是的极大值点，也是的极大值点
B．0是的极小值点，也是的极小值点
C．0是的极大值点，也是的极小值点
D．0是的极小值点，也是的极大值点
2．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（ ）
A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假
3．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______．
4．（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______.
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________．
6．（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由；
(3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数．
7．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数．
(1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心；
(2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数；
(3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有．
8．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数.
(1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由；
(2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值；
(3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围.
9．（2026·上海·三模）设函数，其中，定义：对于给定的一组有序实数，若对任意，都有，则称为函数的“魅力数组”．
(1)若，判断是否为函数的“魅力数组”，并说明理由；
(2)已知为的导函数，讨论函数的单调性；
(3)若对任意，都是函数的“魅力数组”，求实数的取值范围．
10．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合．
(1)若，，求；
(2)若，，且，求的最小值；
(3)已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：．
11.已知函数
(1)当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围.
(2)当在有解，求实数k的取值范围.
(3)当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
12．（25-26高三上·上海杨浦·期末）设，.
(1)求证：在上恒成立；
(2)若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围；
(3)设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个.
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导数与函数的极值 / 秋考第19题 /
单调性、极值、最值综合应用 秋考第19题 / 秋考第16题 秋考第21题
利用导数研究不等式恒成立问题 / / 春考第21题
考情分析 导数是上海高考数学核心重难点，总分占比32–36分，题型覆盖小题、中档解答题（T19，14分）、压轴题（T21，18分）。其中单调性、极值、最值是导数所有题型的底层核心工具，是一轮复习的重中之重，直接决定中档题满分率与压轴题得分上限。 整体命题特点：基础题重规范、中档题重含参分类讨论、压轴题重综合转化与逻辑分析。 2027届高考命题趋势预判 1. 基础性不变：单调性、极值、最值为导数题通用解题工具，不单独压轴，但贯穿所有导数综合题型。 2. 逻辑性强化：弱化机械求导计算，重点考查含参分类讨论的完整性、定义域约束、临界值判定。 3. 综合性提升：融合新定义、零点、不等式证明、函数图像分析，侧重知识迁移应用。 4. 规范性严格：阅卷聚焦定义域书写、区间开闭、极值验证、最值对比步骤，步骤疏漏直接扣分。 5. 载体稳定：以多项式、指数、对数混合函数为核心，无超复杂复合求导。
复习目标 （一）基础目标（全员达标，保底得分） 1. 熟练掌握基本初等函数导数公式及四则、复合求导法则，计算零失误。 2. 精准掌握单调区间、极值、最值的基础定义，厘清概念区别。 3. 熟练套用标准化解题流程，独立完成无参函数的单调性、极值、最值求解。 4. 达成效果：基础小题满分，导数大题第一问零失分。 （二）中档目标（冲120分，攻克T19解答题） 1. 熟练掌握含参导函数分类讨论逻辑，做到分类不重不漏、边界清晰。 2. 掌握极值逆向问题解法，能够验证参数取值的合理性，规避命题陷阱。 3. 熟练运用参变分离方法，将恒成立、存在性问题转化为最值问题求解。 4. 达成效果：完整拿下14分中档导数解答题，步骤规范无逻辑漏洞。 （三）压轴目标（冲135+，突破T21综合题） 1. 具备函数图像分析能力，依托单调性、极值预判函数走势、零点与取值范围。 2. 掌握隐零点代换、函数构造、简单放缩等高阶方法，解决最值与不等式证明问题。 3. 熟练运用分类讨论、数形结合、转化与化归思想，适配新定义陌生题型。 4. 达成效果：压轴题前两问稳定得分，第三问可完成核心逻辑推导。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 导数与函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的定义域；
第2步，求出导数f'(x)的零点；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
3.谨防四个易误点
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.
(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验.
(4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.
自主检测
1．（25-26高三上·上海黄浦·期中）函数的严格减区间是______ .
【答案】
【详解】因为，所以，，
令，可得，
所以的严格减区间是
故答案为：
知识点2 导数与函数的极值、最值
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f'(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
自主检测
2．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，集合存在，使得．若使得，则（ ）
A．可能为奇函数 B．可能在处取最小值
C．可能是增函数 D．可能在处取极小值
【答案】B
【详解】对于A：若函数为奇函数，由题意存在，使得，
则，所以，所以，而，不合题意，A选项错误；
对于B：令满足题意，此时在处取最小值，B选项正确；
对于C： 函数，如果是增函数，则当时，存在，使得得出，不合题意，C选项错误；
对于D：由题意，若在处取极小值，则在附近左侧，
若存在使得，则至少存在一个，但是，不合题意，
若不存在使得，即，与题意不符，所以D选项错误.
故选：B.
题●型●破●译
题型1 无参函数单调性、极值、最值常规题型
例1-1函数在上的最大值为__________．
【答案】
【详解】由题可知，，
令，
解得，（舍去负数），
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以最大值在两个端点处，
代值计算可得，，
因为，
所以，
故最大值为.
例1-2已知函数的导函数，则是的极__________值点．（选填“大”或“小”）
【答案】大
【详解】导函数的定义域为，
当时，且，因此，故在上单调递增；
当时，且，因此，故在上单调递减，
因此是的极大值点.
方法技巧
求导后优先因式分解，避免复杂整式运算；区间判断采用“列表法”，清晰直观，规避逻辑疏漏；无参函数计算为主，重点保证求导、运算零失误。
易错分析
绝对不能省略定义域；单调区间严禁合并不同区间；极值必须验证导数变号，不可直接认定导函数零点为极值点。
【变式训练1-1】已知函数的导函数的图像如图所示，则在内有（ ）
A．3个驻点 B．4个极值点
C．1个极小值点 D．1个极大值点
【答案】C
【详解】由题图知：从左到右依次分为5个区间，
区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点，
即有4个驻点，综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点，
所以C正确，A、B、D错误.
【变式训练1-2】设函数的定义域为，（）是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）．
A．对任意， B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
【答案】D
【详解】对于A，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上是否最大，故A错误；
对于B，函数与函数的图像关于轴对称，因此是的极大值点，故B错误；
对于C，函数与函数的图像关于轴对称，因此是的极小值点，故C错误；
对于D，函数与函数的图像关于原点对称，因此是的极小值点，故D正确．
【变式训练1-3】已知函数
(1)求函数在处的切线；
(2)求函数的单调区间和极值（结果保留e）．
【详解】（1）由求导得，则，又，
所以函数在处的切线方程为；
（2）因，
由得或，由得，
所以函数的递增区间是和，递减区间是，
故该函数的极大值为，极小值为．
即的单调递增区间为和，单调递减区间为；
极大值为，极小值为．
题型2 含参函数单调性分类讨论题型
例2已知函数，其中，，其中，
(1)在条件①；②中选择一个，研究函数的单调性；
(2)当时，若和在上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．
【详解】（1）选择①：，则，
当时，，在上严格递减，
当时，，在上严格递增；
选择②：，则，
当时，，在上严格递减；
（2），，
所以在上严格递减，
由题意设，得在上严格递减，
由在上恒成立，
即在上恒成立，
因为单调递减，所以，
得.
方法技巧
固定“先整体、后局部”的讨论思路，先确定参数大范围，再细化临界情况；所有分类以“导函数符号是否变化”为核心依据，不做无意义分类；临界值单独验证，避免漏解、多解。
【变式训练2-1】已知.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围.
【答案】(1)增区间为，减区间为
(2)
【详解】（1）的定义域为，
，
因为，所以在区间上恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以的增区间为，减区间为.
（2）由（1）可知，当，为函数的极大值点，不合题意；
下面分析的情形：
当时，在区间上恒成立，不合题意；
当时，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则为函数的极大值点，不合题意；
当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
为函数的极小值点，符合题意；
综上，.
【变式训练2-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程：
(2)讨论函数的单调性；
(3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为.
(3)
【详解】（1）当时，，则，所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，，
当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为；
当时，由可得，由可得，
此时函数的单调递增区间为，单调减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为.
（3）对任意的，，可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，解得，
因此实数的取值范围是.
【变式训练2-3】已知函数，，令
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当a为正数且时，，求a的最小值；
(3)若对一切都成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)1
(3)
【详解】（1）当时，，，
故，则，
故函数在处的切线方程为，即；
（2）因为，，
则，
因为，
当时，恒成立，故在上单调递减，
故，
又，故，解得，
其中，故不合要求，舍去；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在取得极小值，也是最小值，
故，
令，整理得，
令，，可得看出，
又恒成立，故在上单调递减，
所以上不能成立，
当时，恒成立，故在上单调递增，
故，
综上，要想满足当为正数且时，，
的取值范围是，的最小值为1；
（3）由，，变形为，
令，则在上单调递增，
其中，，
则，
若，此时在上恒成立，
则在上单调递增，满足要求，
若，此时要满足在恒成立，
令，对称轴为，
故要满足，解得，
综上：，即的取值范围是.
题型3 极值逆向参数求解题型
例3（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知是函数的极大值点，那么的取值范围是______.
【答案】
【详解】，
令，得或，
①当，即时，则当时，，
当或时，，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意；
②当，即时，则，
所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
③当，即时，则当时，，
当或时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上：的取值范围是.
方法技巧
先由f’(x)=0求出参数初步范围，再反向验证参数能否使导数左右变号；若参数导致导函数无变号零点，则无极值，直接舍去该范围。
易错分析
杜绝只列式不验证，上海高考高频扣分点；严格区分“极值点存在”和“导函数有零点”两个概念。
【变式训练3-1】（24-25高三下·上海浦东新·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【详解】当时，的值域为，
函数的值域为，
当时，是的值域的子集，
又，令，或(舍去)，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，取得极大值，
故的值域为，
，.
故答案为：.
【变式训练3-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，其中.
(1)若，求函数，的值域；
(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
因此，函数值域为.
（2）由题，应为极小值点的右侧第一个零点，
即，，因此.
又由区间长度可知，
其中，代入后解得.
因此.
【变式训练3-3】已知函数.
(1)若存在极小值，且极小值为0，求；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【详解】（1）因为，
当时，，所以函数无极值，
当时，，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，
令，所以，
由有，有，
所以在单调递增，在单调递减，且，
所以.
（2）因为不等式恒成立，即，得，
即.
令，则，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以，则，
所以的取值范围为.
题型4 闭区间最值与恒成立题型
例4-1（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中．
(1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围；
(2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，
其定义域为，且.
令，则，
所以在上单调递增，所以在上是增函数，
而，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为.
当（从右侧趋于）时，；
当时，且的增长速度比快很多，所以.
由存在零点知的图象与直线有交点，
由上知，即实数的取值范围是.
（2）令，
则，令，
则.
因为，，所以，所以，即在上单调递增，
所以.
（i）当，即时，，在上单调递增，
所以，即，满足题意；
（ii）当，即时，，，
若，则，在上单调递减，
所以，即，不满足题意；
若，则，使得，当时，，单调递减，
所以，即，不满足题意.
综上，实数的取值范围是.
例4-2（25-26高三上·上海·期中）已知,
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围；
(3)记（是自然对数的底数），若对任意，且，均有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【详解】（1）当时，，则，则，
故函数在处的切线方程为，即.
（2）依题意，在处有极值，
因，由解得，
则，，
由可得或，由，可得，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
则在时取得极大值为，在时，取得极小值为，
当时，，当时，.
由题意关于的方程有3个不同的实根，则必有，即，
故实数的值为，实数的取值范围为.
（3）因是上的减函数，则对任意，且，
必有，即.
对于，其等价于，
即，即函数在上单调递减，在上单调递增.
① 根据函数在上单调递减，可得在上恒成立，
即得，也即在上恒成立，
设，则，由可得，
由，则得，由，则得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则，故可得，即；
② 根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，
即，也即在上恒成立，
因在上单调递增，则，故得，即.
综上可得，.
例4-3已知函数为自然常数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数在区间上有最小值，求实数的值；
(3)在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由题设，则，故，，
所以函数在处的切线方程为，
整理得；
（2）由题设且，
当时，，即在上单调递减，
此时，在区间上有最小值，可得；
当时，时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合；
若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合；
若，即时，在区间上有最小值，不符合；
综上，；
（3）由题设且，
对于，有，则时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以恒成立，则在上恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增，
故，易知在上单调递增，且，
所以时，即，时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
综上，.
方法技巧
任意型不等式优先求最小值，存在型不等式优先求最大值；含参无法分离时，直接分类讨论函数单调性，锁定区间最值。
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知：；
与在上均为增函数，在上单调递增，
.
（2）当时，由得：，
若存在，使得成立，则；
令，则，
当时，，在上单调递增，，
，即实数的取值范围为.
（3）由得：，
若对于任意的，总存在，使得成立，则；
在上单调递增，，，，
当时，，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
，即实数的取值范围为.
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·期中）已知.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)设，对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）由函数，可得其定义域为，
且，所以，，
即切线的斜率为，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）知：且定义域为，
令，可得，函数在区间单调递增；
令，可得，函数在区间上单调递减，
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为.
（3）因为对任意的，总存在，使得不等式成立，
即，
由（2）知，函数在上是增函数，可得的最大值为，
所以对任意的恒成立，
又因为函数为一次函数，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
【变式训练4-3】（24-25高三上·上海虹口·阶段检测）已知为实数，记.
(1)当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式；
(2)若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围；
(3)求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件.
【详解】（1）当时，，
所以当时，.
所以.
（2）当函数为偶函数时，必有，解得，
经检验，此时确为偶函数.
此时，令，解得，
故当时，，函数是严格减函数；
当时，，函数是严格增函数，
结合函数为偶函数，所以等价于.
化简得，即对恒成立.
令，
则有当时，为严格减函数，
当时，为严格增函数，
结合，
可知
解得.
（3）充分性：当时，在上是严格增函数，
且，
，设在时恒大于零，
故在上是严格增函数，故，故.
又由于的图象是连续曲线，由零点存在性定理，可知存在，使得，由在上是严格增函数，
可知函数有且只有一个零点，
且当时，是严格减函数，
当时，是严格增函数，
函数在处取到最小值.
必要性：
当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有，
当时，在上是严格增函数，不存在最小值，故，
所以在上是严格增函数，
由于，所以，即，
故.
因此，“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件.
题型5 压轴综合题型
例5-1（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“一类函数”.
(1)试判断是否为其定义域上的“一类函数”，并说明理由；
(2)若函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的最大整数值.
【详解】（1）函数不是其定义域上的“M一类函数”.
理由如下：
的定义域为，存在，
使得，
故不是其定义域上的“M一类函数”
（2），所以.
若函数在上为“M一类函数”，
则在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以在上恒成立.
令，
因为，，所以当时，的最小值为，
所以，所以实数a的取值范围为.
（3），
依题意有对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，，即；
当时，，
令，则，
令，则，
易知时，时，，
即在上是减函数，在上是增函数，
而，
即时，，于是，则在上是减函数，
故，从而.
综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为0.
例5-2（24-25高三上·上海·期中）已知定义域均为的函数，，是的非空子集. 若对任意 当 时，总有 则称 是 的一个“S关联函数”.
(1)求 的所有{1}关联函数；
(2)若 是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围；
(3)已知是定义在上的函数．若存在定义在上的函数，使得对任意正整数，都满足是的一个“关联函数”，求证：是上的严格增函数．
【详解】（1）设是的关联函数，
对于，当时，，
因为，所以，
设，则，
令，则，所以，
所以的关联函数为.
（2）因为是其自身的一个关联函数.
对于，当时，.
设，（），则，
整理得，
又因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，（）
设，则，
令，则；，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以.
(3)因为存在定义在上的函数，使得对于任意正整数，都满足是的一个关联函数.
所以对任意，当时，有，
取，则，
取，则，
取，则，
因为
所以
若，则存在，使得，此时，矛盾，
所以，
所以对任意，对于任意正整数，当时，
有，
可得当时，，
则对于任意整数，在上单调递增，
当时，存在整数，使得，
则可得，
则是上的严格增函数.
方法技巧
熟练运用隐零点代换，不强行求解零点，利用极值点方程化简最值和不等式；复杂不等式优先作差构造新函数，依托单调性证明。
【变式训练5-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”．
(1)若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由；
(2)是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围．
【详解】（1）若，则，
因为在上严格增，则在上严格增，
函数不存在极值点，此时函数不是“极值差比函数”
所以，
根据正弦函数的性质可知，存在极大值，，
极小值，，则，
因此是“极值差比函数”.
（2）的定义域为，求导可得，
假设存在使的极值差比系数为，
则，是方程的两个不相等的正实数根，
则，解得，
不妨设，则，
因为
，
所以，从而，得（*）
令（），求导可得，
所以在上是严格增函数，所以，
因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为.
（3）由（2）知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，则极值差比系数可化为，
，
因为，解得，
令（），求导可得，
设（），
求导可得，
所以在上单调递减，
因此当时，，
从而，所以在上单调递增，
所以，即，
所以的极值差比系数的取值范围为.
【变式训练5-2】对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.
(1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；
(2)若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围；
(3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件.
【详解】（1）函数的导函数为，
因为函数是“跃点”函数，
所以方程有解，即有解，
又，所以.
（2）函数的导函数为，
由题意可得方程，即在R上有3个不同的解，
令，则，令，得或，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
又，，，当时，，当时，，
所以，即实数的取值范围为.
（3）函数的导函数为，
因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，
所以方程，即在R上恰有两根，
令，则，
当时，，在R上单调递增，此时最多只有一个实根，不合题意；
当时，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，且，
又当时，，当时，，
要使得在R上恰有两根，仅需，即.
综上，实数满足的条件为且.
【变式训练5-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”．
(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
(2)若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求；
(3)设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
【答案】(1)是与在区间上的“分割函数”； 不是与在区间上的“分割函数”
(2)
(3)
【详解】（1）因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在区间上的“分割函数”；
又因为，当与1时，其值分别为1和，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在区间上的“分割函数”.
（2）设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数恒成立，
因为，当时，它的值为4，
可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，如图：
所以，可得，
所以对一切实数恒成立，
可得且，即，
又因为时，与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.
（3）关于函数，令，可得，
当与时，，
当与时，，
可知是函数的极小值点，0是极大值点，
该函数与的图象如图所示：
若函数是与在区间上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标，
此时切线方程为，即，
设直线与的图象交于点，
则由，可得，
所以
令，，（当且仅当时，），
所以严格减，故的最大值为，
可知的最大值为，所以的最大值为.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
【答案】B
【详解】对于A选项：时，，
当时，， 任意的，恒成立，
若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若函数图像如下：
当时，，时，，当，，
∴存在在处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
二、解答题
2．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)且.
【详解】（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
3．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，.在与中，
，解得，∴，
∵，
∴，解得或或，
∴不等式的解集为.
（2）由题意知，由，得，
∴.
∵直线为在点的切线，
∴直线的方程为，即，
∵是过点且垂直于的直线，
∴直线的方程为：，即，
对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点，
∴与无正实数解，
分离参数得，，，
∴直线与与曲线在内均无交点，
而，
当时，解得（舍）或，
∴当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴在处取最小值，.
当时，，当时，，
∴且，即或，
∴实数的取值范围为.
4．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
【详解】（1）由定义得，.
（2）证明：
必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，
对任意，若，即，则，
所以，所以对任意，是对称集.
充分性：若对任意，是对称集，
因为对任意，，所以，即①，
又，所以，即②.
由①②得，对任意，，
所以函数是偶函数.
综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.
（3）因为对于任意，都有，
所以若，则，即若，则，
所以，所以在上单调不减，
所以对任意，恒成立.
当时，显然成立，；
当时，恒成立，令，，
所以在单调递减，单调递增，所以；
当时，恒成立，此时
因为在上单调递减，当时，，
时，，
所以；
综上，.
5．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.
(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；
(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？
(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.
【详解】（1）当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）由题设可得，
则，
因为均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，
故在点处的切线方程为.
而，故，
故直线与在点处的切线垂直．
（3）设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③+④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.
6．（2024·上海·高考真题）记
(1)若，求和;
(2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得.
(3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.
【答案】(1)；
(2)
由题意知，记，有或2，
0 2
正 0 负 0 正
极大值 极小值
现对分类讨论:
当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件;
当时，，先减后增，，
因为取等号)，所以，
此时，符合条件，且时，；
当时，，在严格增，在严格减，在严格增，
，因为，
此时，，则，则成立;
综上可知，对于任意，都有，且存在，使得.
(3)
必要性:若为偶函数，则，
当，因为，故;
充分性：若对于任意正实数，均有，其中，
因为有最小值，不妨设，
由于任意，令，则，
故最小元素为，中最小元素为，
又 则对任意成立，则 ，
若，则对任意成立是偶函数，
若，此后取，
，
综上，任意，即是偶函数.
故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.
7．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．
(1)若正整数，证明；
(2)若正整数，试比较与大小；
(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
【详解】（1），则在处的切线为，
当时，，即，
所以当正整数时，；
（2）作差得，
令，，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
，故，
所以当正整数时，；
（3），令，
与单调性相同，由（2）得，
当时，，当时，，
故至多有两解，
若成等差数列，则，
故最多项成等差数列，此时，．
而，，
令，，显然时，，
故在上单调递增，
而，，，故有唯一解，
存在使得，此时，故存在最多项成等差数列，
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．如图①为一个圆锥形酒杯，圆锥的顶角（即过圆锥的轴的平面截圆锥所得等腰三角形的顶角）为，向酒杯中注水．

(1)写出注入杯中的水量V（单位：mL）关于水面高度h（单位：cm）的函数关系式；
(2)图②的图象是否能反映第（1）问中的函数关系？说明理由．
【详解】（1）

如图所示，由题意可知：该酒杯的纵截面为等腰三角形，
又顶角，所以，
设水面半径为，则，
所以；
(2)符合，理由如下：
由（1）知，所以定义域内单调递增，
令，即定义域内单调递增，
故增加的越来越快，即图象②可以反映这一函数关系.
其实杯子下窄上宽，高度每增加一厘米显然容量增加变大.
2．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．
(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；
(2)随着x的变化，y的变化有何规律？
(3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？
【详解】（1）由题意可知与原有墙壁垂直的新墙长度为：，
则，
所以y关于x的函数解析式为，；
（2）由（1），
显然当时，，即此时随着x的增大，y也增大；
当时，，即此时随着x的增大，y减小；
（3）由（2）可知，当时，y可取得极小值也是最小值，此时，
所以长和宽分别为32，16时最省料，此时长宽比为.
3．一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出：购买时的费用12万元；保险费、养路费、燃油费等各种费用每年1万元；维修费用万元；使用x年后，汽车的价值为万元．显然，在这辆汽车上的年平均支出y（单位：万元）是使用时间x（单位：年）的函数．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)随着x的增加，函数值y的变化有何规律？
【详解】（1）依题
（2）由，，
令，得，
在，随着x的增加，函数值减少，，随着x的增加，函数值增加.
但，当时，，当时，，
所以，在，随着x的增加，函数值减少，时，值相同，，随着x的增加，函数值增加.
4．求解下列问题
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【详解】（1），
所以在区间递增；
在区间递减.
所以当时，取得极大值.
当时，取得极小值.
当时，取得极大值.
（2），
所以在区间递增；
在区间递减.
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
.
所以在区间上的最大值为，最小值为.
5．已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)若有两个极值点b，c，记过两点，的直线斜率为．是否存在a使？若存在，求a的值；若不存在，试说明理由．
【详解】（1）对求导得，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
所以当时，有，
所以此时在上单调递增；
当时，令，解得，
又，所以，
所以此时、随的变化情况如下表：
由上表可知：此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其中.
(2)不存在符合题意的使，理由如下：
由（1）可知当且仅当时，有两个极值点，，
由题意，
又由（1）可知是方程即方程的两根，
所以由韦达定理有，所以，
由题意若，所以有，
且注意到，所以，
又因为，
所以有，
不妨设，则，
求导得，
所以函数在上严格单调递减，
且注意到，
所以只能
又，
所以，
注意到且，
所以不可能成立，
综上所述：不存在符合题意的使.
6．已知函数的导函数的图象如图所示，在标记的点中：
(1)在哪一点处导函数取到极大值？
(2)在哪一点处导函数取到极小值？
(3)在哪一点处函数取到极大值？
(4)在哪一点处函数取到极小值？
【详解】（1）由导函数的图象知，函数在的左侧增右侧减，
所以导函数在处取极大值；
（2）由导函数的图象知，函数在和的左侧减右侧增，
所以导函数在和处取极小值；
（3）由导函数的图象知，导函数在处，
左侧，右侧，
所以函数在处取到极大值；
（4）由导函数的图象知，导函数在处，
左侧，右侧，
所以函数在处取到极小值；
7．一个电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为．
(1)求当t从1s变到2s时，电路中流过的电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求，并解释它的实际意义；
(3)求，并讨论的变化规律；
(4)当t为何值时取得最大值？何时取得最小值？
【详解】（1）当t从1s变到2s时，电路中流过的电荷量Q关于t的平均变化率为：
，
其实际意义为当时间从1s变到2s变化时平均电流为
（2），则
它表示时瞬时电流为
（3）由，令，，
则，故为增函数.
（4）由（3）可得没有最大值和最小值.
8．对数函数与指数函数的图象与性质．

(1)求对数曲线过点的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象．
(2)观察（1）中的图象，你发现切线在切点附近非常接近曲线吗？当很小时，你能得出近似公式吗？试用此近似公式计算以及的近似值．
(3)再观察（1）中的图象，你可以发现切线行在曲线上方，即对所有的，不等式恒成立．试通过理论推导证明这个不等式．（提示：求函数的最小值．）
(4)对数曲线：关于直线的轴对称图形是什么函数的图象？对数曲线的切线的轴对称图形是曲线的切线吗？试写出它的方程，并判断该切线是在曲线的上方还是下方．你能得出什么不等式？
(5)为什么对数曲线在点处的切线的斜率“正好”等于1？
因为当时，斜率．
又因为当，，因此．若将对数的底数取，则切线的斜率．
试仿此求出曲线在点处的切线方程．形式上复杂吗？
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴由导数的几何意义知曲线在点处的切线斜率为
，
则曲线在点处的切线方程为，
即.
对数曲线和所求切线的图象如下图：

（2）解：观察（1）中的图象，可以发现切线在切点附近非常接近曲线.
即有，当很小时，.
∴；
.
（3）证明：设，
则，由可得：.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，；
由（1）中的图象知当时，.
∴函数大致图像如下图：

∴是函数的最小值.
∴当时，，即有.
∴对所有的，不等式恒成立．
（4）解：∵由可解得：，
∴对数曲线关于直线的轴对称图形是指数函数的图象.
对数曲线的切线的轴对称图形是，即.
点关于直线的轴对称点是，该点在指数曲线上.
∵，.
∴，，
∴由导数的几何意义知曲线在点处的切线斜率为
，
则曲线在点处的切线方程为，
即.
∴对数曲线的切线的轴对称图形是是曲线的切线.
如下图

曲线的切线在曲线的下方，由此可得出：
对所有的，不等式恒成立．
（5）解：当时，斜率．
又因为当，，因此．
将对数的底数取，则切线的斜率．
∴曲线在点处的切线方程为，
即.
切线方程在形式上不复杂，但求解过程比利用导数求切线斜率的求解过程复杂.
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2026·上海长宁·二模）已知.
①存在，使得函数在上严格增；
②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.
对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误； B．①错误，②正确；
C．①正确，②正确； D．①错误，②错误.
【答案】C
【详解】对求导得：
因为，对，的最小值为，
若取，则，即对任意恒成立，
此时在上严格递增，结论①正确；
设直线与曲线的切点为,
切线斜率等于直线斜率:，
代入导数得，
因为,故，得,
切点同时在曲线和直线上：，
得,同时满足的解为，
对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点，
当时，，
所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确.
2．（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度）
【答案】
【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，，
则，，
所以公园产生的净收益为，
则，
令，得，而，
则（近似值），即此时函数单调递增；
令，得，而，
则（近似值），即，此时函数单调递减，
则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，.
3．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【详解】若函数为偶函数，则为奇函数，
而为偶函数，则,即，
，故，
当时，，即函数在单调递减，
由为偶函数，则，
结合单调性可知，即，解得或,
故不等式的解集为.
4．（2026·上海·模拟预测）设函数，．
(1)若，求函数的所有单调区间；
(2)若方程有两个虚根和，且．求的值．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【详解】（1）当时，，则，定义域为.
求导得.
令得.
当时，，故；当时，.
因此在上单调递减，在上单调递增.
（2）方程有两个虚根，故判别式，
整理得，解得或.
设两根为，则，.
，解得或.
因为或，所以排除，即.
5．（2026·上海黄浦·二模）已知．
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为
(2)
【详解】（1）因为，
所以函数的最小正周期为，
由，可得，
所以函数的单调增区间为．
（2）由（1）知，
将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象，
所以，
由的图象关于点对称，可得，
所以，解得，
又，可知，故，
当时，，
由②知，解得，
故的取值范围是．
6．（2026·上海闵行·二模）已知.
(1)当时，解方程；
(2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点.
【答案】(1)方程的解集为
(2)，极值点为极大值点.
【详解】（1）当时，，
令，得，即，，解得,
故方程的解集为.
（2）由题意得，
在区间上，，，
令，则，
在上单调递增，且，
若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解，
即有唯一解，故的取值范围为，
设为该极值点，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以极值点为极大值点.
重难·创新演练
1．（2026·上海杨浦·二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（ ）.
A．0是的极大值点，也是的极大值点
B．0是的极小值点，也是的极小值点
C．0是的极大值点，也是的极小值点
D．0是的极小值点，也是的极大值点
【答案】D
【详解】 对A，若取，，两个函数的零点只有，时恒有，且是两个函数的极大值点，故A可能；
对B，若取，，两个函数的零点只有，时，且是两个函数的极小值点，故B可能；
对C，，，两个函数的零点只有，时，且是的极大值点，也是的极小值点，故C可能；
对D， 若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，；
又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，；
此时必有，即，与题设时不符，故D不可能.
2．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（ ）
A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假
【答案】A
【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间，
不妨令函数，易知,
因此当时，，当或时，，
可知在上单调递增，在和上单调递减，
此时函数满足在上单调递减，满足题意，
即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真.
3．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______．
【答案】平方米
【详解】由题意知，，，，，
所以.
过点作，垂足为，则.
记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.
如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则.
易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，，
所以.
的最大面积为.
由圆的对称性，不妨令.
设，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减.
令，得，
即，化简得.
因为，所以，所以.
所以当时，，；当时，，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以在处取得极大值，即最大值，最大值为.
所以的最大面积为平方米.
4．（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______.
【答案】
【详解】因为不等式，
则或，
即得(1)或(2)，
令，，
所以当单调递增；当单调递减；
所以，
因为，且，所以时，，
当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意；
当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意；
当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意；
当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意；
当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意；
综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是，
所以的最小值为.
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】函数的定义域为，
求导得，
因为是函数的极值点，所以是方程的两不等正根，
则有，，，
所以，，即，且有，，
令，则，则，
求导得，
当，，所以在上单调递减，
当，，所以在上单调递增.
所以的最小值为.
6．（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由；
(3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数．
【详解】（1）为减函数，则即恒成立，所以.
(2)不存在，理由：因为为减函数，取任意实数，设，则有，
又为偶函数即有，可得，
同时根据单调性由可得，所以
即对任意实数成立，所以为常值函数，设，
则，
当时，不成立，所以不存在满足条件的函数.
(3)证明：设函数的正周期为即对任意都有，
因为，根据为减函数可知，所以，
那么有，因为，
所以即，于是可得，从而，
而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数，
所以在上为常值函数.
7．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数．
(1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心；
(2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数；
(3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有．
【答案】(1)由 ，得 ，求和可得：，
则对任意实数x，有，
即图像的对称中心为： ；
（2）由题意可得：
，
求导得：，
要使得在 上是减函数，则，
因为，所以，即，
又因为，所以；
(3)构造，，
则，
所以在上单调递减，
又因为，，
且在上连续递减，结合零点存在定理，
可知存在唯一实数，使得，
再由，当且仅当时取等号，
根据拉格朗日中值定理，对任意有：，
又因为，，所以对任意，恒有不等式成立，
则由迭代法，结合不等式性质可得：
，
因为，即，，
所以，
因此，即问题得证.
8．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数.
(1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由；
(2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值；
(3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围.
【答案】(1)函数和函数为T函数，理由：，，
，，
，且，
所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数；
（2），，
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
函数和函数不是T函数，
所以，即，
又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是；
（3）是减函数，又，所以，
，，
是上的增函数，
依题意，存在，使得①且②，
由①得，代入②得，
整理得，即③，
设，则③式为，
易知是增函数，所以，，，
设，
则，时，，递增，时，，递减，
所以，又，
所以的取值范围是，
所以的取值范围是．
9．（2026·上海·三模）设函数，其中，定义：对于给定的一组有序实数，若对任意，都有，则称为函数的“魅力数组”．
(1)若，判断是否为函数的“魅力数组”，并说明理由；
(2)已知为的导函数，讨论函数的单调性；
(3)若对任意，都是函数的“魅力数组”，求实数的取值范围．
【详解】（1）由题可知，，将代入，得，
即 ，
当时， ，
则 ，
故不是为函数的“魅力数组”.
（2）由题意可得， 令
则，因为，故，讨论分子即可，
当，即，则，，
故在上单调递增；
当，即时，当时，即，，
故在上单调递增；
当时，即，，且，
故在上单调递减.
（3）由题可知，
构造辅助函数，
则 ，
由题目条件可得任意，当时，或，
当时，，故是的一个极值点且为最值点，
当时，则是的最小值点，故的左侧小于等于，右侧大于等于，
当时 ，当时 ，
得出在上单调递增；
当时，则是的最大值点，故的左侧大于等于，右侧小于等于，
当时 ，当时 ，
得出在上单调递减，
又因为任意，都是函数的“魅力数组”，
则必须在上单调，再根据小问（2）结论时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减，得出的取值范围为.
10．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合．
(1)若，，求；
(2)若，，且，求的最小值；
(3)已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：．
【详解】（1）由题意，.
因为 ，所以 .
当 时，等号成立．故 =.
（2）令 .
由题设可知， 的值域为非负实数集，从而其最小值为 .
设 时取到最小值，则 ，且 ，
因为所以.
又由 ，得即.
从而.
由 可得故
令 ，则当且仅当 时，等号成立.
此时 ，由 得 ，于是 ，又 ，故 ．所以 的最小值为 .
(3)法一：由 可知，对任意 ，都有.
而所以. (1)
已知存在正数 ，使得.
对任意整数 ，令.
由式（1）可得即.
所以 为常量，即对任意 ，都有.
于是. (2)
下面证明 .
先证 对任意 都成立．
任取 ，必存在 ，使.
因为 在 上为增函数，所以.
故对任意 ，都有 ． (3)
再由式（2）知且.
由于 的图像是连续曲线，且 在 上单调递增，因此 的值域为 ．
又因为所以
当 取遍 时， 也取遍 ．
故.
法二：
由 可知，对任意 ，都有.
而所以． (1)
已知存在正数 ，使得.
先证明：对任意整数 ，都有． (2)
当 时，由式（1）反复应用可得.
当 时，显然.
当 时，设 （），则由式（1）得,
故.
反复使用上式可得.
所以式（2）对任意整数都成立．
由式（2）知且.
又因为 在 上单调递增，且图像连续，所以.
由 ，可得.
于是.
法三：
由 可知，对任意 ，都有.
而所以． (1)
已知存在正数 ，使得.
由式（1）对正整数 反复迭代，可得.
从而.
同理，对负整数部分可得,
于是对任意 ，都有． (2)
由式（2）知且.
又因为 在 上连续且单调递增，所以.
再由可得.
故.
【分析】（1）先求出 的解析式，再转化为二次函数值域问题求解.
（2）由题设可知函数 的值域为非负实数集，从而其最小值为 ，再据此构造极值点并结合基本不等式求最小值.
（3）法一：由 得 ．取 ，构造 ，证明其为常量，从而得到 ．再结合单调性与连续性，求出 ，进而求得 .
法二：由 得 ．再分正整数、零、负整数三种情况迭代，证明 ．结合单调递增与图像连续，得到 ，从而求得 .
法三：先由 推出 ．再对正整数、负整数分别迭代，得到对任意 ，都有 ．最后结合连续性与单调性确定 的值域，进而求得 .
11.已知函数
(1)当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围.
(2)当在有解，求实数k的取值范围.
(3)当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，.
【详解】（1）当时，，令，解得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以在上的最小值为.
又，所以由对任意不等式恒成立，
即.
所以的取值范围为.
（2）令，因为，则，故，
令，则，
故当单调递减；当单调递增，
又，且，
故的值域为，则要满足题意，只需.
即的取值范围为.
（3）因为，
因为有两个极值点，故可得，
所以，且.
因为，故，
则，即，
因为，故上式等价于，即，
又当时，，当时，，
令，则，
当时，，故在单调递增，又，
故当时，，当时，，故不满足题意；
当时，令，
若方程对应时，即时，单调递减，
又，故当时，，当时，，满足题意；
若，即时，又的对称轴，且开口向下，
又，不妨取，
故当单调递增，又，
故此时，不满足题意，舍去，
综上所述，的取值范围为.
12．（25-26高三上·上海杨浦·期末）设，.
(1)求证：在上恒成立；
(2)若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围；
(3)设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个.
【答案】(1)令，，，，在上为单调递增函数，，
，所以在上恒成立，即在上恒成立.
（2）在曲线上，，， 设，
不同于坐标原点，，
，， 曲线在点 处的切线的斜率为，
切线方程为，即，
圆的圆心为，半径为 ，
曲线在点 处的切线与圆相切，
圆心到切线方程的距离，
即，
令，，，，解得，
则，，时 取最大值，且最大值为，
，， 实数 的取值范围.
(3)，，
当时，；当时，；
则点在曲线上，点在上，
当，，，
，
线段的方程为，
即，
在上任取一点，
设，
，
，，，
，，
，，，，
在上是单调递增函数，
，
， ，
线段均在曲线下方，
， 直线与的交点都在轴的上方.
令，则，
当时， ，则在上是单调递增函数，
当时， ，则在上是单调递减函数，
当时，取最小值，且最小值为.
当时，，故，即直线在曲线上方，与折线段无交点；
当时直线与曲线相切于点，与折线段无交点；
当时，，在范围内的根不影响交点个数，
故存在唯一使得.
当时，直线在曲线上方，与折线段无交点；
当时，在这段区间上只有有限条线段，交点个数有限.
综上，直线与的交点不可能有无穷多个.
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