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第08讲 导数的运算与几何意义
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
导数的概念 秋考第11题 / /
导数的几何意义 秋考第19题 春考第19题 / 秋考第21题
导数的计算 / / 春考第16题
考情分析 必考核心内容：八大基本初等函数求导、四则运算、复合链式求导；曲线上定点切线、曲线外过点切线两大核心题型；切线平行、垂直的斜率应用。 上海卷命题特色：弱化超纲技巧（不考洛必达法则、高阶导数、复杂极限推导），侧重解题规范、定义域细节、逻辑严谨性。 高频命题陷阱：混淆两类切线题型、忽略函数定义域、复合求导漏乘内层导数、解题步骤不规范导致阅卷扣分。 2027届一轮备考预测 基础切线计算题持续常态化考查；中档题型重点考查过点多解切线、简单双曲线公切线、切线求参；压轴题型侧重切线结合恒成立不等式、参数范围、零点问题，综合性进一步提升。
复习目标 1. 基础保底目标（全员必达成，零失分） 熟练背诵所有求导公式与运算法则，零计算失误；精准区分“在点切线”与“过点切线”；规范完成切线方程书写，熟练解决切线平行、垂直基础题型，小题、大题基础问不丢分。 2. 中档提分目标（100–130分学生突破重点） 熟练掌握过点切线通用设切点解法，能独立求解切点参数、判断切线条数；快速完成复合函数、指对分式混合函数求导；掌握基础公切线模型，结合数形结合思想分析切线与曲线位置关系。 3. 压轴拔高目标（130+满分冲刺） 突破含参切线分类讨论问题；适配上海新定义切线类题型，掌握基础切线放缩技巧，精准取舍定义域内有效根，攻克压轴。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'. f'(x0)＝.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f'(x)＝y'＝.
自主检测
1．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设函数在上处处存在导数，其导函数为.已知点、，在曲线上如图，则在下列选项中正确的是（ ）

A．;
B．函数在处附近的平均变化率均小于;
C．点是函数的一个极值点;
D．函数在区间上不存在驻点.
【答案】D
【详解】A：根据导数几何意义可知：，因此本选项说法不正确；
B：由函数的图象可知： ，因此本选项说法不正确；

C：点左右两侧的单调性都是单调递增，所以点不是函数的极值点，
因此本选项说法不正确；
D：由图象可知函数在区间上不存在导函数为零的点，所以不存在驻点，因此本选项说法正确，.
故选：D
知识点2 导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0).
自主检测
2．函数在处的切线斜率为________.
【答案】
【详解】，当时，，
所以函数在处的切线斜率为.
知识点3 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f'(x)＝cos x
f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f'(x)＝axln a
f(x)＝ex f'(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f'(x)＝
f(x)＝ln x f'(x)＝
自主检测
3．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，存在驻点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，求导可得，则函数不存在驻点；
对于B，求导可得，令，解得，则是函数的驻点；
对于C，求导可得，则函数不存在驻点；
对于D，求导可得，则函数不存在驻点.
故选：B.
知识点4 导数的运算法则
若f'(x)，g'(x)存在，则有[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)； [f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)；
'＝(g(x)≠0)； [cf(x)]'＝cf'(x).
自主检测
4．（2025·上海·模拟预测）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________.
【答案】
【详解】由，得，
所以，
因为为奇函数，定义域为，
所以，所以，
即，，满足；
所以，
故答案为：
知识点5 复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
自主检测
5．函数导数为_________．
【答案】
【详解】函数的定义域为 ，
可看作由与复合而成，
则.
题●型●破●译
题型1 导数的运算
例1-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则______.
【答案】
【详解】因为，则，
所以，，故.
故答案为：.
例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过______分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟）
【答案】104
【详解】易知，则，
则分钟.
故答案为：104
例1-3（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
对于A：但是不是奇函数，所以A错误；
对于B：，且，定义域为，
所以是奇函数，所以B正确；
对于C：，是偶函数，所以C错误；
对于D：,是奇函数，所以D错误；
例1-4（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________．
【答案】
【详解】因为，
，
，
，
.
所以.
设，
则.
所以，
所以.
方法技巧
标准解题流程：优先书写定义域→判断函数结构（和差/乘积/分式/复合）→逐层求导→化简整理、优先因式分解（便于后续判号）
高效提速技巧：复合对数函数 求导直接写 ；分式函数优先拆分简化，规避复杂商法则计算失误。
【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，则_________.
【答案】
【详解】由题意得，，
所以，
解得，
故答案为：.
【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）设，函数的导函数为，则__________.
【答案】
【详解】由函数，得，则.
故答案为：
【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________.
【答案】1
【详解】根据导数的定义可得.
因为，所以.
则由导数的定义可得.
故答案为：1.
【变式训练1-4】（2026·上海·三模）已知，则________．
【答案】
【详解】，
所以，
，
所以为.
【变式训练1-5】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为__________.
【答案】
【详解】因为，所以，所以，
，所以，
，所以，
以此类推，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
记数列前项的和为，
则.
故答案为：.
【变式训练1-6】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为．
(1)求的值以及函数的单调减区间；
(2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．
【答案】(1)，
(2)最小值为，对应的取值为
【详解】（1）由题意得，，∴.
由得，，
∴函数的单调减区间为.
（2）由（1）得，，
∴，
∴函数的最小值为，
由得，，
综上得，函数的最小值为，对应的取值为.
题型2 曲线在定点处的切线
例2-1（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知，则曲线在处的切线方程是___________.
【答案】
【详解】易知，可得；
又，所以切点坐标为；
因此切线方程为，即.
故答案为：
例2-2（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的图像在点处的切线方程为________.
【答案】
【详解】函数的定义域为，.
所以.
函数的图像在点处的切线方程为：，即.
故答案为：.
例2-3（25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线在处的切线，则直线的倾斜角为________.（结果可用反三角形式表示）
【答案】
【详解】因为，所以，
当时，即直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，则，
则直线的倾斜角为.
故答案为：
例2-4（24-25高三上·上海浦东新·期中）（1）设、为实数，比较与的值的大小；
（2）已知，求曲线在点处的切线方程．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1），
当且仅当时等号成立，
所以；
（2），则，
因此，曲线在点处的切线斜率为，
于是，所求切线方程为，即.
方法技巧
四步满分模板
1. 核验切点横坐标是否在函数定义域内；2. 求导代入 ，得切线斜率 ；3. 计算切点纵坐标 ；4. 点斜式列式，整理为整式方程。
核心特征：已知点为切点，有且仅有一条切线，解题无多解。
【变式训练2-1】（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______
【答案】
【详解】已知抛物线方程，将其变形为.
因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成.
，切线过点，则斜率.
根据点斜式方程可得切线方程为，即.
故答案为：.
【变式训练2-2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________．
【答案】
【详解】由，所以，
所以曲线在处的切线斜率为：.
【变式训练2-3】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为_____.
【答案】
【详解】设切线的倾斜角为，
，
所以，
所以在点处的切线斜率，
所以，
故答案为：
【变式训练2-4】（25-26高三上·上海·期中）设 .
(1)求函数的定义域；
(2)当时，求函数在点处的切线方程
【详解】（1）要使函数有意义，须满足真数，
所以函数的定义域为；
（2）当时，，则，
所以，又，
所以函数在点处的切线方程为.
题型3 过平面定点的曲线切线（高频重难点、区分度题型）
例3经过点且与曲线相切的直线方程为__________.
【答案】或
【详解】设切点为，由，得，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
化简得，解得或，
所以切线方程为或，
即切线方程为或.
故答案为：或
方法技巧
万能通用解法（必考模板）
1. 设切点 ，严格标注 满足函数定义域；2. 写出含参切线方程：；3. 将已知定点 代入方程，构造关于 的方程；4. 求解方程，舍去定义域外无效根，有效根的个数即为切线条数。
应试口诀：题干见“在”直接代点，题干见“过”必设切点。
【变式训练3-1】过点且与曲线相切的直线方程为______．
【答案】或
【详解】由题意，设切点坐标为，则，
又由函数，可得，可得，所以，
根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，
解得或，所以切线的斜率为或，
所以切线方程为或，即或.
故答案为：或.
【变式训练3-2】直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
【详解】因为，
所以，
不妨设直线l与的切点为，斜率为，
则，解得或或，
当时，直线l为；
当时，直线l为，即；
当时，直线l为，即；
综上：直线l的方程为或或.
故答案为：（答案不唯一）.
【变式训练3-3】已知函数的导函数是，且．
（1）求的解析式；
（2）求经过点且与曲线相切的直线方程．
【详解】解：因为，
所以，
则，
解得，
所以．
设该切线的切点坐标为，
因为
所以该切线方程为，
将代入方程整理得，
解得，
当时，切线方程为；
当时，切线方程为，
所以经过点且与曲线相切的直线方程为或.
题型4 切线与直线平行、垂直问题
例4-1（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则______．
【答案】
【详解】由求导得，则，
因为函数的图像在处的切线与直线平行，
所以，即，解得．
例4-2若函数，其中，函数上某一点处的切线，且与①直线垂直，②直线平行，这两个条件中任选1个，求切点的坐标．
【答案】
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则
【分析】不管选哪个条件都有，从而求导建立方程即可求解.
【详解】设该切点，设在该点处切线的斜率为k．
①因为切线与直线垂直，所以，解得．
所以，由导数的几何意义知，
所以，，
所以切点的坐标为；
②因为切线与直线平行，所以．所以，
由导数的几何意义知，
所以，，
所以切点的坐标为．
方法技巧
平行问题：切线斜率与已知直线斜率相等，求解切点或参数，注意排除直线重合情况。
垂直问题：斜率均存在时，满足 ；若直线为水平线（），切线为竖直线 ，禁止使用乘积公式。
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________．
【答案】3
【详解】，求导得，
曲线在处的切线斜率，
曲线在处的切线与直线即平行，
．
故答案为：3．
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为___________.
【答案】或
【详解】设平行于直线且与曲线相切的切点为，
由，可得曲线在点处的切线斜率为，
由切线与直线平行，得，解得，
当时，切点为，此时切线方程为，即；
当时，切点为，此时切线方程为，即，
故所求切线方程为或.
故答案为：或
【变式训练4-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是_____.
【答案】
【详解】当时,，，
，，
在处的切线方程为，即，
令可得，；
当时，，，
所以，，
所以在处的切线方程为：，即，
令可得，，
两条切线互相垂直，，，，
令，，
设，，
因为在上单调递增，，即，
所以．
故答案为：.
【变式训练4-4】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数，若点是函数图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点是该函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为；
(1)若，，求；
(2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)若，记函数图象上的所有点组成的集合为，若，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意存在两条互相垂直的切线，不妨设为和处的切线，且，
由于，则，
为使得、处切线垂直，即，
又，必然，，即，，
当时，，切线方程为，即；
当时，，切线方程为，即，
两切线和的交点为，
所以.
（2），则，
设、处切线垂直，则，得，即.
在处切线方程为，即，
在处切线方程为，即，
联立，解得，，
即切线的交点为，
所以函数的所有“特征点”在定直线上.
（3）设曲线上处的切线经过曲线上的点.
，，，
则在处切线方程为，即，
代入后，可得，
因式分解可得，
即或，
这两处的切线经过曲线上的点，
由于该点不属于，则，
设，
其中满足，即，所以的取值范围是.
可化为.
故方程在上无解，
即在上无解，
的对称轴为，所以，得，解得，
所以的取值范围是.
【变式训练4-5】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”.
(1)已知，，求的“优点”坐标；
(2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围．
【详解】（1）因为， 所以 ，
设两条互相垂直的切线的切点横坐标为，
则它们的斜率分别为，
由两直线垂直得，即，
因为，，故或，
即或，
当时，，，则两切点为，，
则切点处的切线方程：，
切点处的切线方程： ，即，
当时，结果同上，
联立方程：，解得，即“优点”为 .
（2）因为，所以，
设两切点横坐标为，斜率，
由垂直条件得到，解得，
两个切点分别为，
过的切线方程为，即，
过的切线方程为 ，即，
联立，
两式相减：，
因为，所以，
将代入得到，
由，故，因此所有“优点”都在直线上.
故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为.
（3）因为，所以，
设两切点横坐标为，则斜率，
两个切点分别为，，
则过的切线方程为
，
过的切线方程为
，
联立两切线方程，令交点为，两式相减，
得到，
左边因式分解： ，
右边因式分解： ，
因为，所以 ，
令，则上式变为，
且满足，
由得到 ，
得到 ，
即，
要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程，
将其视为关于的二次方程，
则有，
即，即，即，
这说明存在实数使得 ，
即或有解，
当时，可取任意实数，故只要，总能找到满足不等式；
当时，， ，两条切线斜率均非负，
无法满足乘积为，故不成立，
故实数的取值范围是：.
题型5 公切线（中档压轴题型）
例5-1（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，直线l与抛物线、单位圆分别相切于两点，当最小时，p的值等于___________．
【答案】
【详解】解：令，根据则，
,则直线的斜率为，
切线为，化简得，
即，
直线又与单位圆相切，则，
即，
则
，
当且仅当，
即，即，时取“”．
故答案为：．
例5-2若函数和的图象有公共点P，各自过点P的切线均存在，则称两函数在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角．若两切线重合，则将重合的切线称为两函数在点P处的公切线．
(1)若和在处有公切线，求实数a、b、c的值；
(2)若，求和的公共点P及在点P处的夹角．
【详解】（1）因为函数的图像都经过点，，
即，解得；，
又因为在点处有相同的切线，所以.
而，，，即，
代入中，因此，故、、.
（2）因为函数和的图像都经过点，，
即，，故点，而，，
，，设在点P处的夹角为，
故有，代入，计算得，
故夹角为.
方法技巧
双切点联立模型：设曲线 切点 ，曲线 切点 ，联立两组核心条件：1. 斜率相等：；2. 截距相等：，解出切点参数即可求切线方程。
【变式训练5-1】直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为________．
【答案】
【详解】设曲线的切点为：，
所以过该切点的切线斜率为，
因此过该切点的切线方程为：
设曲线的切点为：，
所以过该切点的切线斜率为，
因此过该切点的切线方程为：，
则两曲线的公切线应该满足：，可得,
构造函数
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以函数有最大值为，当时，，当，函数的图象如图所示：
示想有设曲线设曲线的公切线有两条，
则的取值范围为，即.
故答案为：
【变式训练5-2】若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．
(1)分别求和在交点处的切线方程；
(2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．
【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为．
对求导，可得，将代入，得切线斜率．
切线方程，即.
对求导，，将，得切线斜率．
切线方程，即.
所以交点处的切线方程为，.
（2）设公切点．
对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率．
对求导，可得，则在点处的切线斜率.
因为两函数在点处存在公切线，所以，即①．
又因为点在两函数图象上，所以②．
由①得，将其代入②可得：，即，解得.
将代入（1）得：，解得.
将代入得.
所以，点的坐标为．
【变式训练5-3】定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”.
(1)已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值；
(2)设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值；
(3)定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【详解】（1），所以曲线在点处的切线方程为，
即，
因为圆与曲线在点处“一线切”，
所以直线与圆在点处相切，
所以，所以.
（2）设，，
由题意，，所以，
解得.
(3)不存在点满足条件，理由：假设存在满足题意，
则有，对函数求导得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，
则有，从而，显然，
于是，即与恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点满足条件
题型6 切线含参综合问题（压轴）
例6-1已知函数，及点.
(1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；
(2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值.
【详解】（1）由点在的图象上，得，
求导得，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由点P在的图象外，得，则，
设过点的直线与的图象切于点，
则切线的斜率，
由过点P与的图象相切的直线斜率是1，
得，解得，
所以的值为.
例6-2已知函数，其中．
(1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a、b的值；
(2)若在R上是严格增函数，求实数a的取值范围．
【详解】（1）由，
得，
由题意得，，即，
解得，；
（2），由题意得，在R上恒成立，
则，
化简得，解得．
方法技巧
核心逻辑：切点同时满足“在曲线上”“切线斜率等于导数值”两个条件，联立方程求解参数；通过方程实根个数分类讨论切线条数、参数取值范围。
【变式训练6-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，，为自然常数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数在区间上有最小值，求实数的值．
【详解】（1）当时，，则，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，
即.
（2），
易得当时，，在上单调递减，
所以；
当时，令，
若，则在上单调递增，
所以，矛盾舍去；
若，即，则在上单调递减，
所以，矛盾舍去；
若，即，则在上单调递减，在上递增，
，矛盾舍去.
综上.
【变式训练6-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）设二次函数，且函数图象与轴交于.
(1)求函数的解析式；
(2)求的图象在点处的切线方程；
(3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
【详解】（1）由函数的图象与轴交于可得，
由可得，解得，
所以函数；
（2）由（1）可知，
求导可得，
所以函数在点切线斜率为，
故切线方程为；
（3），在上有两个不同零点，
需满足：① 判别式；② 对称轴在区间内；③ 区间端点函数值非负；
所以，解得或；
对称轴为，故，即；
（恒成立）；，解得；
综上，.
【变式训练6-3】（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中．
(1)若函数在处的切线与轴平行，求的值；
(2)求的极值点；
(3)若在上的最大值是0，求的取值范围．
【详解】（1）函数的定义域为，
，
因为函数在处的切线与x轴平行，
所以，解得．
（2）函数的定义域为，
．
令得或，
所以当，即时，
的解集为，的解集为，
所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增，
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点；
当，即时，
的解集为，的解集为，
所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增，
是函数的极小值点，是函数的极大值点；
综上，当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点；
当时，函数在区间上严格减，无极值点；
当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点．
（3）由（2）知，当时，函数在区间上严格减，
在区间上严格增，故函数在上的最大值是，
与已知矛盾；
当时，函数在区间上严格减，最大值，满足条件；
当时，函数在区间上严格减，最大值是，满足条件；
综上，a的取值范围是．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在与有无穷个交点
（2）存在与有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.
【答案】D
【详解】当时，，则，
又，则由延展函数定义可得；
同理可得，当，；；
任意，当时，.
当时，，则，则；
同理可得，当时，；；
当时，；
当，；当，；；
则任意时，当.
如图，作出与大致图像，
因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立；
又因为当，，
故当时，
直线与的图象在区间的函数部分重合，
即有无穷个交点，故（2）成立；
故选：D.
二、填空题
2．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
【答案】
【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，
又，
所以，解得，故；
已知初速度为0，则，解得，
已知，则，
速度第一次达到4时用时秒，则，即，
此时．
三、解答题
3．（2026·上海·高考真题）已知函数.
(1)当，，求函数在处的切线方程；
(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.
【详解】（1）当时，则，
根据可得，故，故，
由于，故，故，
，则，
故函数在处的切线方程为，故，
（2）函数的最小正周期为，故，所以，
令，当，则，
令，则或，
当时，要使得有1351个实数根，则，解得，
当时，要使得有1351个实数根，则，解得，
当时，要使得有1351个实数根，则，无解，
综上可得或.
4．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
【详解】（1）由题意，.在与中，
，解得，∴，
∵，
∴，解得或或，
∴不等式的解集为.
（2）由题意知，由，得，
∴.
∵直线为在点的切线，
∴直线的方程为，即，
∵是过点且垂直于的直线，
∴直线的方程为：，即，
对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点，
∴与无正实数解，
分离参数得，，，
∴直线与与曲线在内均无交点，
而，
当时，解得（舍）或，
∴当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴在处取最小值，.
当时，，当时，，
∴且，即或，
∴实数的取值范围为.
5．（2023·上海·高考真题）设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
(1)若，试问是否为的控制函数”；
(2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；
(3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．
【详解】（1）当时，令，
所以，令解得或，
所以在单调递减，
又因为，所以在上小于等于0恒成立，
即在上恒成立，所以由题意是的控制函数.
(2)当时，，，
所以，，
所以曲线在处的切线为，整理得，
令，则，
令解得，所以在单调递增，在单调递减，
又，所以在上小于等于0恒成立，
即在上恒成立，所以是的控制函数，
由题意.
(3)由题意
设在处的切线为，
则，因为 且，
所以，
所以，
，
所以，
则即恒成立，
所以函数必是函数的“控制函数”.
是函数的“控制函数”
此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点，
由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有，
所以或.
所以曲线在处的切线过点，且，
当且仅当或时，.
6．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．
(1)若正整数，证明；
(2)若正整数，试比较与大小；
(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
【详解】（1），则在处的切线为，
当时，，即，
所以当正整数时，；
（2）作差得，
令，，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
，故，
所以当正整数时，；
（3），令，
与单调性相同，由（2）得，
当时，，当时，，
故至多有两解，
若成等差数列，则，
故最多项成等差数列，此时，．
而，，
令，，显然时，，
故在上单调递增，
而，，，故有唯一解，
存在使得，此时，故存在最多项成等差数列，
7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.
(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；
(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？
(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.
【详解】（1）当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）由题设可得，
则，
因为均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，
故在点处的切线方程为.
而，故，
故直线与在点处的切线垂直．
（3）设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③+④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．函数的图象在点处的切线方程为__________________．
【答案】
【详解】因为，所以，则，即函数的图象在点处的切线方程为，即.
2．已知x轴为函数的图像的一条切线，求实数a的值．
【答案】
【详解】设切点为，，则，解得，．
3．设l是曲线的一条切线，证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
【详解】证明：由题意，设点，为图象上的任意一点，
且点的切线即为，很明显，

，
则．
故曲线在点，处的切线斜率为，
切线方程为：，
即，
当时，；当时，，
与坐标轴所围成的三角形的面积．
很明显与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值，与切点选取无关．
所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
4．求曲线的与直线平行的切线方程.
【答案】
【详解】设切点为，
因为，
所以，
因为曲线的切线与直线平行，
所以，
解得，
又点在曲线上，则，
所以切点坐标为，
所以曲线的与直线平行的切线方程为：
，
即
5．求下列函数在给定点处的切线方程：
(1)； (2)．
【详解】（1）解：因为，
所以，
则，
所以切线方程为：，即；
（2）解：因为，
所以，
则，，
所以切线方程为，即．
6．已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点.
(1)求出直线l与m的方程；
(2)指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离.
【详解】（1）解：因为，所以，所以，又，即切点为，所以切线的方程为，即，直线与直线平行，所以斜率为，且直线过点，所以直线的方程为，即，即直线：，直线：；
（2）解：依题意点到直线：的距离最短，最短距离
7．设质点M沿x轴做直线运动，且在时刻时，质点所在的位置为，且.
(1)求到这段时间内质点M的平均速度；
(2)求出质点M在什么时刻的瞬时速度等于（1）中求出的平均速度.
【详解】（1）解：由题意可知：
，
，
从到这段时间内质点的平均速度：．
（2）解：
所以质点在时刻的瞬时速度，
，
解得，
故从到这段时间内质点的平均速度，质点在的瞬时速度等于这段时间内的平均速度．
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________.
【答案】
【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为：，
根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率，
因为在处的切线方程为，所以切线斜率为，
所以.
2．（2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________．
【答案】12
【详解】
3．（2026·上海·模拟预测）函数的驻点为__________．
【答案】，
【详解】函数的定义域为.
，
令，得，
所以，即.
所以函数的驻点为.
4．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________.
【答案】
【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为.
故答案为：
5．（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为______.
【答案】
【详解】设切点坐标为，由得，
所以切线的斜率为：，
所以曲线在处的切线方程为：，
即，
所以，所以，所以.
故答案为：.
6．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为________.
【答案】
【详解】设切点坐标为，
，
由题意可得：，
整理可得，解得，
所以切点坐标为，切线的斜率，
所以切线方程为：，即.
故答案为：.
7．（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则______.
【答案】
【详解】由得，
因为函数在处的切线方程为，
所以，
所以，
所以，
当时，，即切点为，
将代入得，
所以.
故答案为：
8．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．

(1)求的长和的正弦值；
(2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于．
【详解】（1），
由余弦定理得，
，
由正弦定理得，
．
（2）在中，，，
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
即；
求导得，
假设存在，使得在处的瞬时变化率等于，
则，即①，
，，
式①化简整理得，
在内有解，
存在这样的（）使得在处的瞬时变化率等于．
重难·创新演练
1．（2025·上海·三模）已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（ ）
A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假
C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为真.
【答案】C
【分析】命题，构造，利用导数讨论其在上的零点个数为3后可判断其正误，命题，利用导数可判断其正误.
【详解】命题：由消元法可得，所以，
当或时，或，故此时无解，
下面考虑上方程的解的个数，
设，所以，
设且，则，则，
所以，
又因为，
所以的解为，，
而，
故当或时，，当时，，
故在，上为减函数，在上为增函数，
而，且，
，而，故，
故，，故在有3个不同的实数根，故命题错误；
命题：由，可得，故，
对两边求关于的导数，又随的变化而变化，
则，
故当时，有，
当，，而直线的斜率为2，
故曲线与直线相切，命题正确.
故选：C.
2．（2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（ ）
命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数
命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【详解】为“级导同函数”，即，
若，则，满足，
若，则，，可得(其中是常数)，
所以（其中为常数），，
所以或.
命题①，充分性：为偶函数，
若，则，既不是奇函数，也不是偶函数，
所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足；
必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足.
所以命题①正确；
命题②，若经过一二象限，则，
由于且，故恒为正，其图像只经过第一、二象限；所以命题②错误.
3．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______．
【答案】
【详解】由函数，，知.
因为在上单调递增，所以.
由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零，
即曲线在处的切线的斜率小于零，
即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于.
此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象.
所以的最大值为.
4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】令，直线过定点，
若的图象经过四个象限，则时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负；
当时，与轴的公共点为，，
当时，，
设与相切于，且，
所以，解得或(舍去)，
此时，即切线的斜率为，
由图象可知，即实数的取值范围是，
故答案为：.
5．（25-26高三上·上海·阶段检测）设，为曲线上两点，B，C为曲线上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【详解】因为，
可知的图象是由的图象向右平移2个单位，再向上或向下平移个单位得到的，
当时，如图所示：

取，当的纵坐标趋向于正无穷大的时候，可以无限接近为一个矩形；
当时，若能成为一个矩形，则必有：，
因为，
上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大，
所以必有，这与矛盾；
当时，取，此时在处切线的斜率为6，取临界，
设，则，解得，
即当时，可以看成极限时候的矩形；

当时，若能成为矩形，必有，
上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大，
所以必有，这与矛盾；
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
6．（25-26高三上·上海·期中）如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由拋物线绕坐标原点旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影部分），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，给出以下结论：①；②的面积为；③；④直线被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为.其中正确结论的序号为_________.
【答案】②③
【详解】设抛物线绕坐标原点顺时针旋转，，后所得三条曲线分别为，，，
抛物线的焦点为，因此的焦点为，的焦点为，的焦点为，
因此，，，，
对于①选项，为曲线与的交点，联立方程，解得，即，
为曲线与的交点，联立方程，解得，即，
又，所以，因此，故①错误；
对于②选项，由上述过程，可得，，所以三角形面积，
故②正确；
对于③选项，根据题意，因为对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，因此只讨论第一象限部分，
第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线与直线围成的部分，如图，
设该阴影部分面积为，显然，
设，那么导函数，故过点的切线斜率为，
所以过点的切线为，该切线与轴交于点，因此，
则，因此，故③正确；
对于④选项，第二象限的“花瓣”图形由曲线和曲线围城，两者关于对称，
与曲线相交，联立方程化简得，且交点在第二象限，
因此，因此，交点坐标为，
所以“花瓣”图形仅限阴影部分区域，因此，即，
因为曲线和曲线关于对称，所以直线也关于对称，
因此与曲线的交点为，
因此弦长，
设，那么，所以，
因此当或时，即或时，直线与两曲线交于一点，弦长为，
当时，即时，弦长最长，此时，故④错误.
故答案为：②③
7．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”.
(1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由；
(2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：；
(3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且.
【答案】(1)当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由：
对求导，根据复合函数求导公式，
令，则.
若是“自导函数”，则，即，
因为，所以.
故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”.
(2)
因为函数是“自导函数”，所以，同时，
记，求导得，
由题干条件可知，（实数为常数），又，
所以，故，于是.
(3)
设，
由复合函数求导公式可得，
因为函数与是“共轭互导函数”，所以且，
于是，故（实数为常数），
而，所以.
下证且：
首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”，
接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法，
假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和，
即且，同时满足，
令，
则，
于是（实数为常数），又，所以，即①，
同理可令，则，
于是于是（实数为常数），又，所以，即②，
由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对，
所以且.
8．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为.
(1)若点在上，且，求点的坐标；
(2)若是上的任意一点，求的最小值；
(3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线.
【详解】（1）由题设，令，则，即，
所以，故或；
（2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
又抛物线的准线时，最小为，
所以的最小值为；

(3)证明：由题设，直线的斜率一定存在，设，，
而，则过的切线斜率为，对应切线为，即，
同理过的切线为，即，
联立，可得，整理得，
由题意，则，，
联立，得，且，
所以
，则，，
显然点在直线，即上，得证.
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第08讲 导数的运算与几何意义
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
导数的概念 秋考第11题 / /
导数的几何意义 秋考第19题 春考第19题 / 秋考第21题
导数的计算 / / 春考第16题
考情分析 必考核心内容：八大基本初等函数求导、四则运算、复合链式求导；曲线上定点切线、曲线外过点切线两大核心题型；切线平行、垂直的斜率应用。 上海卷命题特色：弱化超纲技巧（不考洛必达法则、高阶导数、复杂极限推导），侧重解题规范、定义域细节、逻辑严谨性。 高频命题陷阱：混淆两类切线题型、忽略函数定义域、复合求导漏乘内层导数、解题步骤不规范导致阅卷扣分。 2027届一轮备考预测 基础切线计算题持续常态化考查；中档题型重点考查过点多解切线、简单双曲线公切线、切线求参；压轴题型侧重切线结合恒成立不等式、参数范围、零点问题，综合性进一步提升。
复习目标 1. 基础保底目标（全员必达成，零失分） 熟练背诵所有求导公式与运算法则，零计算失误；精准区分“在点切线”与“过点切线”；规范完成切线方程书写，熟练解决切线平行、垂直基础题型，小题、大题基础问不丢分。 2. 中档提分目标（100–130分学生突破重点） 熟练掌握过点切线通用设切点解法，能独立求解切点参数、判断切线条数；快速完成复合函数、指对分式混合函数求导；掌握基础公切线模型，结合数形结合思想分析切线与曲线位置关系。 3. 压轴拔高目标（130+满分冲刺） 突破含参切线分类讨论问题；适配上海新定义切线类题型，掌握基础切线放缩技巧，精准取舍定义域内有效根，攻克压轴。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'. f'(x0)＝.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f'(x)＝y'＝.
自主检测
1．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设函数在上处处存在导数，其导函数为.已知点、，在曲线上如图，则在下列选项中正确的是（ ）

A．;
B．函数在处附近的平均变化率均小于;
C．点是函数的一个极值点;
D．函数在区间上不存在驻点.
知识点2 导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0).
自主检测
2．函数在处的切线斜率为________.
知识点3 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f'(x)＝cos x
f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f'(x)＝axln a
f(x)＝ex f'(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f'(x)＝
f(x)＝ln x f'(x)＝
自主检测
3．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，存在驻点的是（ ）
A． B． C． D．
知识点4 导数的运算法则
若f'(x)，g'(x)存在，则有[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)； [f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)；
'＝(g(x)≠0)； [cf(x)]'＝cf'(x).
自主检测
4．（2025·上海·模拟预测）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________.
知识点5 复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
自主检测
5．函数导数为_________．
题●型●破●译
题型1 导数的运算
例1-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则______.
例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过______分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟）
例1-3（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（ ）．
A． B．
C． D．
例1-4（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________．
方法技巧
标准解题流程：优先书写定义域→判断函数结构（和差/乘积/分式/复合）→逐层求导→化简整理、优先因式分解（便于后续判号）
高效提速技巧：复合对数函数 求导直接写 ；分式函数优先拆分简化，规避复杂商法则计算失误。
【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，则_________.
【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）设，函数的导函数为，则__________.
【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________.
【变式训练1-4】（2026·上海·三模）已知，则________．
【变式训练1-5】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为__________.
【变式训练1-6】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为．
(1)求的值以及函数的单调减区间；
(2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．
题型2 曲线在定点处的切线
例2-1（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知，则曲线在处的切线方程是___________.
例2-2（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的图像在点处的切线方程为________.
例2-3（25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线在处的切线，则直线的倾斜角为________.（结果可用反三角形式表示）
例2-4（24-25高三上·上海浦东新·期中）（1）设、为实数，比较与的值的大小；
已知，求曲线在点处的切线方程．
方法技巧
四步满分模板
1. 核验切点横坐标是否在函数定义域内；2. 求导代入 ，得切线斜率 ；3. 计算切点纵坐标 ；4. 点斜式列式，整理为整式方程。
核心特征：已知点为切点，有且仅有一条切线，解题无多解。
【变式训练2-1】（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______
【变式训练2-2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________．
【变式训练2-3】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为_____.
【变式训练2-4】（25-26高三上·上海·期中）设 .
(1)求函数的定义域；
(2)当时，求函数在点处的切线方程
题型3 过平面定点的曲线切线（高频重难点、区分度题型）
例3经过点且与曲线相切的直线方程为__________.
方法技巧
万能通用解法（必考模板）
1. 设切点 ，严格标注 满足函数定义域；2. 写出含参切线方程：；3. 将已知定点 代入方程，构造关于 的方程；4. 求解方程，舍去定义域外无效根，有效根的个数即为切线条数。
应试口诀：题干见“在”直接代点，题干见“过”必设切点。
【变式训练3-1】过点且与曲线相切的直线方程为______．
【变式训练3-2】直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
【变式训练3-3】已知函数的导函数是，且．
（1）求的解析式；
（2）求经过点且与曲线相切的直线方程．
题型4 切线与直线平行、垂直问题
例4-1（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则______．
例4-2若函数，其中，函数上某一点处的切线，且与①直线垂直，②直线平行，这两个条件中任选1个，求切点的坐标．
方法技巧
平行问题：切线斜率与已知直线斜率相等，求解切点或参数，注意排除直线重合情况。
垂直问题：斜率均存在时，满足 ；若直线为水平线（），切线为竖直线 ，禁止使用乘积公式。
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________．
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为___________.
【变式训练4-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是_____.
【变式训练4-4】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数，若点是函数图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点是该函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为；
(1)若，，求；
(2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)若，记函数图象上的所有点组成的集合为，若，求实数的取值范围.
【变式训练4-5】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”.
(1)已知，，求的“优点”坐标；
(2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围．
题型5 公切线（中档压轴题型）
例5-1（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，直线l与抛物线、单位圆分别相切于两点，当最小时，p的值等于___________．
例5-2若函数和的图象有公共点P，各自过点P的切线均存在，则称两函数在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角．若两切线重合，则将重合的切线称为两函数在点P处的公切线．
(1)若和在处有公切线，求实数a、b、c的值；
(2)若，求和的公共点P及在点P处的夹角．
方法技巧
双切点联立模型：设曲线 切点 ，曲线 切点 ，
联立两组核心条件：1. 斜率相等：；2. 截距相等：，解出切点参数即可求切线方程。
【变式训练5-1】直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为________．
【变式训练5-2】若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．
(1)分别求和在交点处的切线方程；
(2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．
【变式训练5-3】定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”.
(1)已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值；
(2)设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值；
(3)定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
题型6 切线含参综合问题（压轴）
例6-1已知函数，及点.
(1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；
(2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值.
例6-2已知函数，其中．
(1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a、b的值；
(2)若在R上是严格增函数，求实数a的取值范围．
方法技巧
核心逻辑：切点同时满足“在曲线上”“切线斜率等于导数值”两个条件，联立方程求解参数；通过方程实根个数分类讨论切线条数、参数取值范围。
【变式训练6-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，，为自然常数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数在区间上有最小值，求实数的值．
【变式训练6-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）设二次函数，且函数图象与轴交于.
(1)求函数的解析式；
(2)求的图象在点处的切线方程；
(3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
【变式训练6-3】（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中．
(1)若函数在处的切线与轴平行，求的值；
(2)求的极值点；
(3)若在上的最大值是0，求的取值范围．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在与有无穷个交点
（2）存在与有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.
二、填空题
2．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
三、解答题
3．（2026·上海·高考真题）已知函数.
(1)当，，求函数在处的切线方程；
(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.
4．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
5．（2023·上海·高考真题）设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
(1)若，试问是否为的控制函数”；
(2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；
(3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．
6．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．
(1)若正整数，证明；
(2)若正整数，试比较与大小；
(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.
(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；
(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？
(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．函数的图象在点处的切线方程为__________________．
2．已知x轴为函数的图像的一条切线，求实数a的值．
3．设l是曲线的一条切线，证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
4．求曲线的与直线平行的切线方程.
5．求下列函数在给定点处的切线方程：
(1)； (2)．
6．已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点.
(1)求出直线l与m的方程；
(2)指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离.
7．设质点M沿x轴做直线运动，且在时刻时，质点所在的位置为，且.
(1)求到这段时间内质点M的平均速度；
(2)求出质点M在什么时刻的瞬时速度等于（1）中求出的平均速度.
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________.
2．（2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________．
3．（2026·上海·模拟预测）函数的驻点为__________．
4．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________.
5．（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为______.
6．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为________.
7．（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则______.
8．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．

(1)求的长和的正弦值；
(2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于．
重难·创新演练
1．（2025·上海·三模）已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（ ）
A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假
C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为真.
2．（2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（ ）
命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数
命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
3．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______．
4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______.
5．（25-26高三上·上海·阶段检测）设，为曲线上两点，B，C为曲线上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数的取值范围为_____________.
6．（25-26高三上·上海·期中）如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由拋物线绕坐标原点旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影部分），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，给出以下结论：①；②的面积为；③；④直线被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为.其中正确结论的序号为_________.
7．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”.
(1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由；
(2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：；
(3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且.
8．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为.
(1)若点在上，且，求点的坐标；
(2)若是上的任意一点，求的最小值；
(3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线.
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