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第07讲 函数的应用
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命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
函数的零点与方程的解 / 秋考第21题 春考17题
函数与方程的综合运用 / 春考第8题 春考16、21题
函数模型的应用 秋考第17题 春考第11题 /
考情分析 命题四大核心规律（上海卷独有） 1. 情境本土化、跨学科化 生活经济：销售提成、出租车计价、生产利润 理工跨学科：物理运动、化学浓度、生物种群、机械周期 城市热点：环保减排、工业制造、城市基建，贴合本土素材 2. 重建模、轻复杂计算 命题导向：先读懂题意，再翻译数学式子，阅读量逐年提升；不刻意设置超复杂运算，核心区分点在 “建对模型、找准定义域”。 3. 思想方法固定考查 函数应用全程三大核心思想： 数学建模：文字→函数解析式（核心素养） 数形结合：零点、交点、最值全依赖图像辅助 分类讨论：分段函数、含参函数、区间最值必考 4. 春考 + 秋考互补命题 春考：侧重分段计费、基础零点、简单指数模型，难度偏低 秋考：19 题偏向三角 / 指数复杂建模，21 题新定义 + 导数综合，难度拔高
复习目标 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用。 3.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 4.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 函数的零点与方程的解
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.【谨记三个相关性质】
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实数解.
(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
4.【谨防两个易错易混】
(1)连续函数f(x)在区间[a,b]上,若满足f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零点,反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时,不要忽略对二次项系数的讨论.
自主检测
1．（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________.
2．（25-26高三上·上海·期末）方程的实根的个数为__________个．
知识点2 函数模型的应用
1.三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0)
在(0,＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k,b为常数,k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
自主检测
3．（25-26高三下·上海·阶段检测）开学后，朱老师打算用1000元压岁钱购买某个基金10个月，若以月收益率10%的复利计算收益，则10个月后能获得的收益（注意收益不含本金）约为_________元．（精确到整数）
题●型●破●译
题型1 函数零点所在区间的判定
例1-1设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．不能确定
例1-2设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y＝f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【变式训练1-1】函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式训练1-2】有两个关于函数（为自然对数的底）的命题：①该函数在定义域上是单调函数；②该函数在区间上不存在零点，其中（ ）
A．①真 ②真 B．①假 ②假 C．①真 ②假 D．①假 ②真
【变式训练1-3】已知，函数的零点从小到大依次为，若），请写出所有的所组成的集合___________.
题型2 函数零点个数的判定
例2-1（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．1013 B．2026 C．3039 D．4052
例2-2（25-26高三上·上海徐汇·期中）设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有______个零点.
方法技巧
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
【变式训练2-1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意，都有，则方程的解的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练2-2】（25-26高三上·上海金山·阶段检测）已知函数的定义域为，且，．
(1)，求A与；
(2)证明：函数是偶函数且是周期函数；
(3)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明在区间上有个零点，且是等差数列．
题型3 函数零点的应用
例3-1（24-25高三上·上海·阶段检测）函数在所有零点之和为________．
例3-2（25-26高三上·上海·期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
例3-3（2026·上海浦东新·三模）已知
(1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值；
(2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围．
方法技巧
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式训练3-1】（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中.集合，其中，集合，现有以下两个命题：
①存在实数、，使得集合中恰好有5个元素；
②若实数、是方程的两个不同实根，则存在实数、，使得集合中恰好有4个元素.
那么（ ）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【变式训练3-2】（24-25高三上·上海松江·期中）设函数，若函数的零点为4，则使得成立的整数的个数为______.
【变式训练3-3】（24-25高三上·上海·期中）已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则__________.
【变式训练3-4】（2026·上海·模拟预测）已知函数（）.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.
题型4 由零点分布求值(范围)
例4-1已知为定义在上的奇函数，当，，且关于直线对称，设方程的正数解从小到大依次为、、、、，且对无穷多个，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______.
例4-2（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）.
(1)若函数的图象过点，求不等式的解集；
(2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.
方法技巧
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴,主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式,决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值.
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海·期中）已知．
(1)当时，求函数的定义域及不等式的解集；
(2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）设二次函数，且函数图象与轴交于.
(1)求函数的解析式；
(2)求的图象在点处的切线方程；
(3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
【变式训练4-3】已知函数.
(1)当时，确定是否存在，使得的图象关于原点中心对称；
(2)对于任意给定的非零常数，的图象与轴负半轴总有公共点，求的取值范围；
(3)当时，函数的图象与图象关于点对称，若对任意：，恒成立，求的取值范围.
题型5 复合函数的零点
例5-1（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是______.
例5-2已知，且，则函数的零点为______.
方法技巧
对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题,求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3,…,n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3,…,n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
【变式训练5-1】已知函数，①若函数有最大值，并将其记为，则a的最大值为，的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为，则函数为偶函数（ ）
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【变式训练5-2】已知函数，给出下列命题：
（1）无论取何值，恒有两个零点；
（2）存在实数，使得的值域是；
（3）存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对；
（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-3】已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当，；若函数，则函数在上零点个数是____
题型6 常见的函数模型
例6-1（24-25高三下·上海·阶段检测）研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系：
56 11.9 0.213 16.0 0.00510
64 13.4 0.209 21.9 0.00535
72 15.2 0.211 28.2 0.00544
80 16.7 0.209 36.0 0.00563
89 18.6 0.209 45.3 0.00572
97 20.1 0.207 55.5 0.00590
105 21.9 0.209 67.2 0.00610
用表中比例系数与的平均数作为参数、的估计值．那么根据上表数据，估计时，刹车距离约为_________．（结果精确到0.1）
例6-2（25-26高三上·上海·阶段检测）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆／时）与汽车的平均速度（千米／时）之间的函数关系为.
(1)该时段内当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？
(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆／时，则汽车的平均速度应在什么范围？
（以上两小题结果均精确到个位）
例6-3（25-26高三上·上海·期中）在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量.
(1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）；
(2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.
【变式训练6-1】（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数）
【变式训练6-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元.
(1)求函数的解析式；
(2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1）
【变式训练6-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；
(2)求面积S关于x的函数解析式；
(3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米）
题型7 已知函数模型的实际问题
例7-1（25-26高三下·上海·阶段检测）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________.
例7-2（25-26高三上·上海·期中）某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是__________．
（1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型；
（2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟；
（3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短.
例7-3（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；
(2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？
方法技巧
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
【变式训练7-1】（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01）
【变式训练7-2】为了提高员工的工作积极性，某公司想修订新的“员工激励计划”.新的计划有以下两点需求：
①奖金随着销售业绩的提高而提高；
②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；
公司规定销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为2千元.设业绩为万元时奖金为千元，现给出三个函数模型：①；②；③.其中，.
(1)请选择合适的函数模型符合该公司新的“员工激励计划”，并给出合理的解释；
(2)试根据（1）选择的函数模型计算销售业绩为200万元时的奖金为多少千元？
【变式训练7-3】（25-26高三上·上海黄浦·期中）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间分钟 0 1 2 3 4 5
水温摄氏度 100 91 82.9
设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③，
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.
题型8 构造函数模型的实际问题
例8-1甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则_______（精确到0.01）
例8-2（25-26高三上·上海浦东新·期中）某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为，整个矩形版面的面积为.
(1)试用的代数式表示；
(2)当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到）
方法技巧
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
【变式训练8-1】某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米．
(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式；
(2)如何设计与的长度，使得最大？
【变式训练8-2】上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设：
1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；
2.所有人员排成单列行进撤离；
3.队列中人员的间隔是均匀的；
4.队列匀速地撤离建筑物．
(1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；
(2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型．
题型9 函数与方程的综合应用
例9-1（2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
例9-2（2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且.
(1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由；
(2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值.
【变式训练9-1】（2025·上海长宁·一模）已知．
(1)求函数的驻点；
(2)设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围：
(3)定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值．
【变式训练9-2】（25-26高三上·上海·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知，试判断是否为“类函数”.
(2)设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围.
【变式训练9-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”．
(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
(2)若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求；
(3)设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、填空题
1．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________．
2．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________
3．（2020·上海·高考真题）设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为______.
4．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

二、解答题
5．（2020·上海·高考真题）已知：，，且，
（1）若，求的取值范围；
（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.
6．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
7．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
8．（2023·上海·高考真题）已知为正比例系数，定义：为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的（用表示）；
(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出，为层数，层高为3米，其中，试求当取第几层时，该建筑体最小？
9．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
10．（2021·上海·高考真题）已知函数.
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.
11．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
一、填空题
1．设m为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则m的取值范围是__________.
2．方程的实数根个数是______．
二、解答题
3．讨论函数在区间内零点的个数．
4．函数在区间和内各有一个零点，求实数的取值范围.
5．已知定义在上的函数的图象是一条不间断的曲线，，其中，设，求证：函数在区间上有零点.
6．设函数，其中.
（1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围；
（2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围.
7．（1）求二次函数的零点个数；
（2）已知二次函数在区间上的最小值大于0，求该函数的零点个数．
8．经过市场调查分析，某地区一年的前n个月，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系：
，．
(1)求这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？
(2)若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初最少投放多少万件？
9．为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m．
(1)写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数；
(2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？
10．生成于大西洋的强烈热带气旋被称为飓风．中心风速178~209km/h对应于3级飓风，中心风速210~249km/h对应于4级飓风，中心风速超过250km/h对应于5级飓风．以下数据是大西洋流域从1921年到2010年每十年的主要飓风数量（含第3，4，5级）．

时间/年 主要飓风数量
1921—1930 1 17
1931—1940 2 16
1941—1950 3 29
1951—1960 4 33
1961—1970 5 27
1971—1980 6 16
1981—1990 7 16
1991—2000 8 27
2001—2010 9 33
(1)绘制“带平滑线和数据的散点图”；
(2)借助图象，尝试求出形如正弦型函数的解析式；
(3)使用数学软件找到最佳拟合的正弦型函数．
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2025·上海·三模）函数，的零点是______．
2．（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______
3．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是_____________.
4．（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________.
5．（24-25高三下·上海虹口·期中）1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数是随着时间连续变化的函数；②人口增长率为常数，且单位时间内的人口增长量与成正比，进而建立了人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，不是常数，因此改进了马尔萨斯的假设②，并添加了1条假设：②是随着时间连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率，使，且仅与和有关；③存在最大人口数，当人口数达到时，.那么在这些假设下建立的人口增长模型______.（用含有、、的式子表示）
6．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为.
(1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值；
(2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围.
重难·创新演练
1．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的零点的个数一定是3个
B．若集合的解集是，则实数对有2对
C．函数必存在极值
D．函数在处的切线方程为，则
2．（2025·上海静安·一模）已知函数；现有下述两个结论：
①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是；
②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（ ）
A．结论①和②均正确 B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确 D．结论①和②均错误
3．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________．
4．（2025·上海静安·一模）设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是___________．
5．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中.
(1)若，求函数的最小正周期及严格增区间；
(2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围.
6．（2026·上海杨浦·模拟预测）某区连续几年的GDP（国内生产总值）情况，如下表所示：
年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■
(1)表中前4年数据的极差为_________，方差为_________，第20百分位数为_________；
(2)我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析．
假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，这是数学建模中拟合函数的思想．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即拟合误差，来进行模型分析，一般拟合误差越小越适宜．）
例如，分析直线AB，即上的点：可知，求得拟合误差．
①：请依据以上方式，求出关于直线的拟合方差值：______；
②：请你在直线与直线进行预测的两个方案中选择合适的那个预估，预估该区第五年的GDP．
7．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”．
(1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由；
(2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值；
(3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点．
8．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的．
(1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的；
(2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围；
(3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件．
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第07讲 函数的应用
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
函数的零点与方程的解 / 秋考第21题 春考17题
函数与方程的综合运用 / 春考第8题 春考16、21题
函数模型的应用 秋考第17题 春考第11题 /
考情分析 命题四大核心规律（上海卷独有） 1. 情境本土化、跨学科化 生活经济：销售提成、出租车计价、生产利润 理工跨学科：物理运动、化学浓度、生物种群、机械周期 城市热点：环保减排、工业制造、城市基建，贴合本土素材 2. 重建模、轻复杂计算 命题导向：先读懂题意，再翻译数学式子，阅读量逐年提升；不刻意设置超复杂运算，核心区分点在 “建对模型、找准定义域”。 3. 思想方法固定考查 函数应用全程三大核心思想： 数学建模：文字→函数解析式（核心素养） 数形结合：零点、交点、最值全依赖图像辅助 分类讨论：分段函数、含参函数、区间最值必考 4. 春考 + 秋考互补命题 春考：侧重分段计费、基础零点、简单指数模型，难度偏低 秋考：19 题偏向三角 / 指数复杂建模，21 题新定义 + 导数综合，难度拔高
复习目标 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用。 3.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 4.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 函数的零点与方程的解
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.【谨记三个相关性质】
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实数解.
(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
4.【谨防两个易错易混】
(1)连续函数f(x)在区间[a,b]上,若满足f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零点,反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时,不要忽略对二次项系数的讨论.
自主检测
1．（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________.
【答案】0
【详解】令，即，解得，
所以函数的零点是0.
2．（25-26高三上·上海·期末）方程的实根的个数为__________个．
【答案】3
【详解】的值域为；的定义域为，且当时，；
因此，只需在范围内寻找交点，再观察图象可得3个交点.

故答案为：3.
知识点2 函数模型的应用
1.三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0)
在(0,＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k,b为常数,k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
自主检测
3．（25-26高三下·上海·阶段检测）开学后，朱老师打算用1000元压岁钱购买某个基金10个月，若以月收益率10%的复利计算收益，则10个月后能获得的收益（注意收益不含本金）约为_________元．（精确到整数）
【答案】
【详解】10个月后能获得的收益为：元.
题●型●破●译
题型1 函数零点所在区间的判定
例1-1设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【详解】因为函数为增函数且在区间内连续，又，
所以方程的近似解在区间.
故选：B.
例1-2设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，函数的定义域为，且的零点为，
即，解得，
又因为，
可得中，有1个负数、两个正数，或3个都是负数，
若中，有1个负数、两个正数，
可得，即，
根据零点的存在定理，可得或；
若中，3个都是负数，则满足，
即，此时函数的零点.
故选：C.
方法技巧
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y＝f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【变式训练1-1】函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【详解】由得，
又函数的图象是连续不断的，且单调递增
根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点，且唯一，
即方程的根所在的区间是，
故选：B
【变式训练1-2】有两个关于函数（为自然对数的底）的命题：①该函数在定义域上是单调函数；②该函数在区间上不存在零点，其中（ ）
A．①真 ②真 B．①假 ②假 C．①真 ②假 D．①假 ②真
【答案】B
【详解】因为函数，其定义域为，
则恒成立，故函数在上是单调递增,在单调递增，
当，，，故函数在定义域内不具有单调性；
当时，，故该函数在区间上不存在零点，
当时，，
故时，，又，
故存在，使得，
所以①假，②假，
故选：
【变式训练1-3】已知，函数的零点从小到大依次为，若），请写出所有的所组成的集合___________.
【答案】
【详解】
的零点可以转化为函数和图象交点的横坐标，图象如上所示，由图可知共三个零点，
，，所以在上存在一个零点；
，则在上存在一个零点；
，，则在上存在一个零点；
所以.
故答案为：.
题型2 函数零点个数的判定
例2-1（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．1013 B．2026 C．3039 D．4052
【答案】B
【详解】因，则函数是周期函数，其最小正周期为.
令，当时，单调递增，单调递增，所以单调递增；
又在上单调递减，故函数 在上单调递增；
又因，所以函数在上有一个零点.
当 时， ，，则，函数在上无零点.
当时， ，则 ，.
令，在 上单调递增，单调递增，所以单调递增；
在 上单调递增，且增长速度逐渐增快.
若，则，而，所以；
若，则，，所以 ；
若，则，，所以 ；
又 ，所以在上恰有一个零点.
综上，函数 在有两个零点.
所以函数 有 个零点.
例2-2（25-26高三上·上海徐汇·期中）设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有______个零点.
【答案】
【详解】∵是关于的奇函数，
∴关于对称，∴关于对称；
∴，
又是关于的奇函数，
∴关于对称，∴关于对称；
∴，
∴，∴，
即的周期为.
又易知，∴，
∴，，
即，的一个零点恰为．
∵，令，解得，
又，所以，
所以在区间至少有个零点．
故答案为：
方法技巧
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
【变式训练2-1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意，都有，则方程的解的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】因为对任意，都有，
令，则有，
解得，从而得；
令，
则有，
所以，
即，
所以对任意恒成立，
所以，
所以，
所以当时，，
又因为，
所以当时，方程无解；
所以，
所以的值域为，
当时，，
此时方程无解；
作出和的部分图象，如图所示：
当时，令，解得或，
此时方程有2个解.
由此可得两函数图象有7个交点，
即方程有7个解.
故选：B.
【变式训练2-2】（25-26高三上·上海金山·阶段检测）已知函数的定义域为，且，．
(1)，求A与；
(2)证明：函数是偶函数且是周期函数；
(3)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明在区间上有个零点，且是等差数列．
【详解】（1），
令，，可得，
，，
，
，解得．
由得，即，解得，
，，．
（2）由（1）得，，
，令，可得，即，
已知函数的定义域为，
函数为偶函数；
令，，
①，
把替换为得，②，
式①加②得，
把替换为得，
，即．
函数是一个周期为的周期函数．
（3）由(1)得，，
在中，
令，可得，解得，
在上是减函数，
，，故，
在上有且仅有一个零点．
在中，
令，则，解得．
在区间上有且仅有一个零点，
又是偶函数，
在上有且仅有一个零点，
在一个周期内有且仅有2个零点．
，
在内的零点为和，
，，，
对任意，在上有且仅有两个零点：
，．
在上有个零点：
，，，，…，，，
其中，
是等差数列．
题型3 函数零点的应用
例3-1（24-25高三上·上海·阶段检测）函数在所有零点之和为________．
【答案】
【详解】由可得，
令，则或，
，由可得或，
由可得，
则所有的零点之和为.
故答案为：
例3-2（25-26高三上·上海·期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对任意的，，故函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
若函数存在一个非零的零点，则也必为函数的零点，这与已知条件矛盾，
由于函数有且只有一个零点，则该零点必为，即，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的值域为，
因为方程无解，故，即实数的取值范围是.
故选：A.
例3-3（2026·上海浦东新·三模）已知
(1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值；
(2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围．
【详解】（1）因为函数在区间上是严格增函数，
所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到，
即，
化简得，即，
解得．
因此，实数的值为2．
（2）由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解，
即关于的方程在有两个不同的实数解，
因为，
因此．
由题意得，即
综上，实数的取值范围为．
方法技巧
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式训练3-1】（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中.集合，其中，集合，现有以下两个命题：
①存在实数、，使得集合中恰好有5个元素；
②若实数、是方程的两个不同实根，则存在实数、，使得集合中恰好有4个元素.
那么（ ）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【答案】A
【详解】，
集合，其中，取不同元素时，
集合的元素可能为，共个可能.
①若集合中恰好有5个元素，则当时，必然能找到a，b，
例如：当，可取，此时,共个元素.
所以①是真命题.
②依题意，若存在实数a、b是方程的两个不同实根，
所以，.
因为，,
若恰有4个不同的元素，则必定与中的两个相同，
而，，故，
若不符；
若（*），
设，
，
所以，有零点，即（*）有解，
即存在，满足，使得中恰好有个元素.
所以实数k、t，使得集合中恰好有4个元素，②是真命题.
故选：A.
【变式训练3-2】（24-25高三上·上海松江·期中）设函数，若函数的零点为4，则使得成立的整数的个数为______.
【答案】10
【详解】因为函数的零点为，所以，
又，所以，所以，
所以，.
因为在上单调递减，在上单调递增；
所以在上单调递减，且；
由得，即，所以，
故，又，
故，故整数的个数为.
故答案为：.
【变式训练3-3】（24-25高三上·上海·期中）已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则__________.
【答案】
【详解】由是函数的零点，可得，即，，取（正半轴的第一个零点）可得；
又是函数的零点，由，得，，
取（正半轴的第四个零点）得，所以，.
故答案为：.
【变式训练3-4】（2026·上海·模拟预测）已知函数（）.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域为.
求导：.
令，解得（舍去，因）.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
极大值为，无极小值.
（2），，
①当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
此图像恒在轴下方，没有零点，故不符合题意，
②当时，因为，所以恒成立，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
若即，其最大值小于0，无零点，不符合题意，
若即，其最大值为，此时有且仅有这一个零点，符合题意，
若即，其最大值大于0，
由于时，时，
由零点存在性定理，函数在和上各有一个零点，共两个零点，不合题意.
③当时，令，解得，
，时，因为二次项系数，所以，
③-①当即时，此时，在上单调递增，
且当时，时，
由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，符合题意，
③-②当即，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因此是极大值点，，说明在恒负，没有零点，
在上，单调递增，且时，
由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，共有1个零点，符合题意，
③-③当即时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因此是极小值点，是极大值点，， 且时，
由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，
，
因为，所以，从而，且，
所以极大值，则在上没有零点，
则此时仅有1个零点，符合题意. 即当时符合题意，
综上，的取值范围是.
题型4 由零点分布求值(范围)
例4-1已知为定义在上的奇函数，当，，且关于直线对称，设方程的正数解从小到大依次为、、、、，且对无穷多个，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______.
【答案】
【详解】因为函数为定义在上的奇函数，则，且，
又因为函数的图象关于直线对称，则，
所以，，
所以，函数是周期为的周期函数，
作出函数和的图象如下图所示：
方程的正数解从小到大依次为、、、、，
则的几何意义为函数两条渐近线的距离，由图可知，，
故对任意的，，
对无穷多个，总存在实数，使得成立，则，
即的最小值为.
故答案为：.
例4-2（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）.
(1)若函数的图象过点，求不等式的解集；
(2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.
【详解】（1）将代入，可得，得，
故，该对数函数为定义在上的减函数，
故由可得，解得，
故不等式的解集为
（2）由已知可得，
即，故，
整理可得，故，得，
由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于，
设，
当时，，即函数在区间上有两个零点，
故，解得，
当时，，即函数在区间上有两个零点，
故，不等式无解，
综上可得实数的取值范围为
方法技巧
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴,主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式,决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值.
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海·期中）已知．
(1)当时，求函数的定义域及不等式的解集；
(2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
【详解】（1），，，，
，的定义域，中，，
的定义域.
，，，，，
不等式的解集为.
（2），
，
函数只有一个零点，
只有一解，，，
，，，
，恒成立，关于的方程只有一个正根，
当时，转化为，符合题意；
当时，若有两个相等的实数根，则，解得，
此时方程的根为，符合题意；
当时，若有两个相异的实数根，则，解得，
此时设方程的两个根为，则有，
方程的两个根只能异号，，，此时方程只有一个正根，符合题意.
综上可知，实数的取值范围为或.
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）设二次函数，且函数图象与轴交于.
(1)求函数的解析式；
(2)求的图象在点处的切线方程；
(3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
【详解】（1）由函数的图象与轴交于可得，
由可得，解得，
所以函数；
（2）由（1）可知，
求导可得，
所以函数在点切线斜率为，
故切线方程为；
（3），在上有两个不同零点，
需满足：① 判别式；② 对称轴在区间内；③ 区间端点函数值非负；
所以，解得或；
对称轴为，故，即；
（恒成立）；，解得；
综上，.
【变式训练4-3】已知函数.
(1)当时，确定是否存在，使得的图象关于原点中心对称；
(2)对于任意给定的非零常数，的图象与轴负半轴总有公共点，求的取值范围；
(3)当时，函数的图象与图象关于点对称，若对任意：，恒成立，求的取值范围.
【详解】（1）时，，若的图象关于原点中心对称，则，，
此时 ，
,是奇函数，图象关于原点对称，满足题意．
所以存在，使得的图象关于原点中心对称；
（2）由，因为，所以，
由题意，则，即，
所以时，，时，；
（3）当时，，
函数的图象与图象关于点对称，若对任意，恒成立，则对任意，恒成立，
时，，，
，则，所以．
题型5 复合函数的零点
例5-1（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是______.
【答案】
【详解】令，则，或，
解得，或，
则函数的零点是.
故答案为：.
例5-2已知，且，则函数的零点为______.
【答案】3
【详解】因为，则，所以，
令，则，
当时，，令，解得：；
当，，令，解得：(舍去)，
故函数的零点为
故答案为：3
方法技巧
对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题,求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3,…,n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3,…,n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
【变式训练5-1】已知函数，①若函数有最大值，并将其记为，则a的最大值为，的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为，则函数为偶函数（ ）
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【答案】B
【详解】令，求导得，
当或时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
令，即，整理得，解得，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由函数有最大值，得，则，；
当时，函数在上的最大值为2，
若，则，因此当时，；
当时，，恒成立，而在上单调递减，，
显然，有，因此当时，，
于是，此时a的最大值为，
显然在上单调递减，，
在上单调递减，，
所以函数在上有最小值，命题①成立；
当时，，由，得或，
解得，即函数只有一个零点，因此，
当时，，由，得或，
解得或，即函数有3个零点，因此，显然，
所以不是偶函数，命题②不成立.
故选：B
【变式训练5-2】已知函数，给出下列命题：
（1）无论取何值，恒有两个零点；
（2）存在实数，使得的值域是；
（3）存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对；
（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】对于命题（1），当时，由，得到，所以在上有一个零点，
当时，，当，得到，此时在上没有零点，所以命题（1）错误，
对于命题（2），当时，，要使值域为，
则当时，的值域应包含，所以，
此时对称轴，所以在区间上单调递增，又，
因此不存在，使值域为，所以命题（2）错误，
对于命题（3），当时，，其关于原点对称函数为，
要存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对，
即当时，与有两个交点，
当时，，其图象开口向下，又时，，
此时与有两个交点，如图1，所以存在使命题成立，所以命题（3）正确，
对于命题（4），对于时，，其图象如图2所示，
又过点，由，消得到，
由，得到，由图知，当时，与在上有2个交点，
又由，得到，当时，，所以在处的切线方程为，
又的图象与直线有且只有三个公共点，由图可知，所以命题（4）正确，
故选：B.
【变式训练5-3】已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当，；若函数，则函数在上零点个数是____
【答案】6
【详解】因为函数在R上零点的个数等于函数和图象交点的个数，
又的定义域为，又，
所以是周期为的周期函数，
当时，，
作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象，
同时作出，的图象，
因为，，
所以函数在上有三个交点，在上无交点，
又，，则，
则函数是偶函数，图象关于轴对称，
所以结合图形知的图象的交点的个数为6.
故答案为：6.
题型6 常见的函数模型
例6-1（24-25高三下·上海·阶段检测）研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系：
56 11.9 0.213 16.0 0.00510
64 13.4 0.209 21.9 0.00535
72 15.2 0.211 28.2 0.00544
80 16.7 0.209 36.0 0.00563
89 18.6 0.209 45.3 0.00572
97 20.1 0.207 55.5 0.00590
105 21.9 0.209 67.2 0.00610
用表中比例系数与的平均数作为参数、的估计值．那么根据上表数据，估计时，刹车距离约为_________．（结果精确到0.1）
【答案】
【详解】设刹车距离为，由题意可得，
由表格中的数据可得，
，
所以，，故.
所以，当时，刹车距离约为.
故答案为：.
例6-2（25-26高三上·上海·阶段检测）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆／时）与汽车的平均速度（千米／时）之间的函数关系为.
(1)该时段内当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？
(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆／时，则汽车的平均速度应在什么范围？
（以上两小题结果均精确到个位）
【详解】（1）当时，，为单调递增函数，
此时当汽车的平均速度为30（千米/时）时，车流量最大，最大值为（千辆/时）.
当时，，
根据基本不等式的性质可得，
当且仅当时，即时等号成立.
所以，所以时车流量最大，最大值为12（千辆/时）.
又，所以该时段内当汽车的平均速度为35（千米/时）时，车流量最大，最大车流量为12（千辆/时）.
（2）当时，，令，解得，
此时汽车的平均速度的范围是；
当时，，
因为，所以不等式变为，
解得，结合前置条件可得.
综上，若要求该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在范围.
例6-3（25-26高三上·上海·期中）在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量.
(1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）；
(2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.
【详解】（1）解：由题意知，移动时单位时间内淋雨量为，
所以总淋雨量的表达式，其中.
（2）解：当且，设，
由（1）得，总淋雨量的表达式，
当时，可得；
当时，可得，
所以，
当时，函数是关于的减函数，所以当时，；
当时，函数是关于的函数，在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，，
综上，当时，；若时，.
【变式训练6-1】（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数）
【答案】24.30
【详解】设利润，
则设，
当时，，
则，
则，
令，解得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，取到极大值也是最大值.
当时，此时，
则，
则，令，得，
当时，，此时单调递减，
所以.
又因，所以生产万台设备时，全年利润最大.
故答案为：.
【变式训练6-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元.
(1)求函数的解析式；
(2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1）
【详解】（1）设，代入可得，所以，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以万元，
所以当时有最大利润为万元.
【变式训练6-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；
(2)求面积S关于x的函数解析式；
(3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米）
【答案】(1)
(2)
(3)当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大
【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，.
设曲线段BC所在抛物线的方程为.
由题意可知，点和在此抛物线上，
故，
所以曲线段BC的方程为：
（2）由题意，线段AC的方程为.
当点D在曲线段BC上时，.
当点D在线段AC上时，.
所以
（3）当时，，令，得，（舍去）.
当时，；当时，.
因此当时，是极大值，也是最大值
当时，
当时，是最大值
因为
所以当时，S取得最大值，此时
所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大
题型7 已知函数模型的实际问题
例7-1（25-26高三下·上海·阶段检测）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________.
【答案】600
【详解】因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，则，
即，又因，
所以.
例7-2（25-26高三上·上海·期中）某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是__________．
（1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型；
（2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟；
（3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短.
【答案】（2）（3）
【详解】对于（1），由于，
得，整理得，所以（1）错误；
对于（2），时，所以（2）正确；
对于（3），设壶水从到所需时间为，则
设壶水从到所需时间为，则，
，所以，故（3）正确；
故答案为：（2）（3）．
例7-3（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；
(2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？
【详解】（1）当时，
；
当时，
，
所以，其中.
（2）当时，
当时，取得最大值900万元；
当时，
，
当且仅当，即时，
取得最大值950万元，
所以当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950万元
方法技巧
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
【变式训练7-1】（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01）
【答案】85.83
【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示，
，由双曲线定义可得，轨迹为双曲线的右支，故，，
故轨迹方程为：，
故由题意修建的三条公路总费用，
由图形可知，当，，三点共线，即在点处时，最小值，
由题意，所以，所以.
【变式训练7-2】为了提高员工的工作积极性，某公司想修订新的“员工激励计划”.新的计划有以下两点需求：
①奖金随着销售业绩的提高而提高；
②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；
公司规定销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为2千元.设业绩为万元时奖金为千元，现给出三个函数模型：①；②；③.其中，.
(1)请选择合适的函数模型符合该公司新的“员工激励计划”，并给出合理的解释；
(2)试根据（1）选择的函数模型计算销售业绩为200万元时的奖金为多少千元？
【详解】（1）选择模型③，理由如下：
当时，
由题意得①，②，③
①②③函数均随增加而增加，满足第一点需求，
但①②函数模型随增加，的值不变或减小，
即增加的幅度不变或减小，不满足第二点需求；
而③函数模型随着增加，增加，即增加的幅度增大，
满足第二点需求， 故选择模型③；
（2）由题意得，，
，解得：，故，
所以.
故销售业绩为200万元时的奖金为266千元.
【变式训练7-3】（25-26高三上·上海黄浦·期中）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间分钟 0 1 2 3 4 5
水温摄氏度 100 91 82.9
设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③，
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.
【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，
选模型②，则，
即，可得，
所以且；
（2）令，
则，
所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为；
（3）由，即，所以进行实验时的室温约为
题型8 构造函数模型的实际问题
例8-1甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则_______（精确到0.01）
【答案】
【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为，
所以出租车空驶率，
对于甲，，满足题意；
对于乙，，满足题意；
所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为，即.
故答案为：.
例8-2（25-26高三上·上海浦东新·期中）某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为，整个矩形版面的面积为.
(1)试用的代数式表示；
(2)当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到）
【详解】（1），，
.
（2）（当且仅当，即时取等号），
当时，整个版面的面积最小.
方法技巧
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
【变式训练8-1】某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米．
(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式；
(2)如何设计与的长度，使得最大？
【详解】（1）由得，
由且得，
所以防蚊液的体积，.
（2）由，.
所以，
令得；令得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有最大值，此时，，
所以当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.
【变式训练8-2】上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设：
1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；
2.所有人员排成单列行进撤离；
3.队列中人员的间隔是均匀的；
4.队列匀速地撤离建筑物．
(1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；
(2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型．
【详解】（1）四个模型假设都合理．理由如下：
假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况；
假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应；
假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法；
假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法．
（2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为，
先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间 ；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为．
在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考）
情况一：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为；
情况二：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为，
.
题型9 函数与方程的综合应用
例9-1（2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象，
依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为，
则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.
由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：；
当直线在②位置时，显然有：；
当直线在③位置时，显然有：，故D错误.
例9-2（2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且.
(1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由；
(2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值.
【详解】（1）由题意知：，
分母不等于得：，
解得：，
所以函数的定义域为，
要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称，
则，解得，
当时，，定义域为，
此时，满足奇函数的定义，
所以存在正数，使得函数为奇函数.
（2）由题意知：，
则等价于，其中且，
化简得：，
令，，
原命题等价于：的解集为单元素集合，
①方程有两相等实根，且不等于，
所以，
化简得：，
解得：，
验证根是否等于，
当时，根，满足题意，
当时，根，满足题意，
②方程有两不等实根，且其中一个根为，
则将代入方程：，
当时，此时方程为，
解得：（舍）或，满足题意.
综上所述：正数的取值为或或.
【变式训练9-1】（2025·上海长宁·一模）已知．
(1)求函数的驻点；
(2)设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围：
(3)定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值．
【详解】（1）函数定义域为，，
令，解得，
所以函数的驻点为；
（2），
则，
，
，
又关于的方程在区间内有解，
所以在区间内有解，
即，
，，
，
即，
解得；
（3）由题意可得，
则，
即，
又是增函数，
由（1）知在单调递减，在单调递增，
又，且存在实数，使得，
所以不单调，，解得，
即在单调递增，在单调递减，在单调递增，
，又，
，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，
故，
即实数的最小值为．
【变式训练9-2】（25-26高三上·上海·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知，试判断是否为“类函数”.
(2)设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
若在定义域内存在实数，满足，则，
解得或1，所以是“类函数”；
（2）因为是定义在上的“类函数”，
所以存在实数满足，
即方程在上有解，
令，则，
因为在上递增，在上递减，
所以当或时，取最小值；
（3）由对恒成立，得，
因为若为其定义域上的“类函数”，
所以存在实数，满足
①当时，，
所以，所以，
因为函数是增函数，所以；
②当时，，所以，矛盾；
③当时，，所以，所以，
因为函数是减函数，所以，
综上所述，实数的取值范围是.
【变式训练9-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”．
(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
(2)若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求；
(3)设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
【详解】（1）因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在区间上的“分割函数”；
又因为，当与1时，其值分别为1和，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在区间上的“分割函数”.
（2）设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数恒成立，
因为，当时，它的值为4，
可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，如图：
所以，可得，
所以对一切实数恒成立，
可得且，即，
又因为时，与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.
（3）关于函数，令，可得，
当与时，，
当与时，，
可知是函数的极小值点，0是极大值点，
该函数与的图象如图所示：
若函数是与在区间上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标，
此时切线方程为，即，
设直线与的图象交于点，
则由，可得，
所以
令，，（当且仅当时，），
所以严格减，故的最大值为，
可知的最大值为，所以的最大值为.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、填空题
1．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________．
【答案】
【详解】.
当时，令得；
当时，恒成立；
当时，令得.
综上所述，方程的解集为.
故答案为：.
2．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________
【答案】2
【详解】解：因为为奇函数，所以，且，
又关于直线对称，所以，
所以，
则，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出函数和的图像如图所示：
由的正数解依次为、、、、、，
则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，
所以.
故答案为：2.
3．（2020·上海·高考真题）设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】因为对于任意，的值为或，可得且，
又因为关于的方程无实数解，则且，
可知函数的图象是由函数和函数的图象分段拼接而成的，
若，只需取，则无解；
若，只需取，则无解；
若，只需取，则无解；
所以的取值范围是.
故答案为：．
4．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

【答案】
【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，
则，，设方程为：，
所以，，方程为：，
令矩形面积为，
当时，，
当，设，则，
所以，
则，
令，则，在上递增，
令，则或，在上递减，
又，，，
所以当的长为时，该矩形面积最大.

故答案为：
二、解答题
5．（2020·上海·高考真题）已知：，，且，
（1）若，求的取值范围；
（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.
【答案】（1）；（2）时，.
【详解】（1）当时，,即,；
当时，,此时无解.
综上所述，；
（2）当时，,解得,
当时，
当时，,
当 时取得最大值.
综上所述当 时取得最大值，.
6．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域为，
假设为奇函数，则，
而，则，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数为奇函数；
（2）图像经过点，则代入得，解得，
所以，定义域为，
令，则的图像与轴负半轴有两个交点，
所以，即，解得，
若，即是方程的解，
则代入可得，解得或.
由题意得，所以实数的取值范围是且.
7．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以令，
由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
（2）由题意得，所以，可得，
当时，，，即，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
所以，
即，故.
8．（2023·上海·高考真题）已知为正比例系数，定义：为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的（用表示）；
(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出，为层数，层高为3米，其中，试求当取第几层时，该建筑体最小？
【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
，，
所以.
（2）由题意可得，，
所以，令即，
解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的最小值在或取得，
当时，，
当时，，
所以在第6层时，该建筑体最小.
9．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.
（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，
又因为相关系数，故相关系数在区间上.
（3）采用方程时，2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为
，
所以，可得.
故采用方程时，
2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
10．（2021·上海·高考真题）已知函数.
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.
【详解】解：（1），∴，解得；
所以函数的定义域为.
（2）由题知有2个不同实数根，
所以，，
设，∴有2个不同实数根，
∴整理得，有2个不同实数根，同时，
∴；
（3）当，，在递减，
此时需满足，即时，函数在上递减；
当，，在上递减，
∵，
∴，即当时，函数在上递减；
综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减.
所以的取值范围是
11．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
【详解】（1）（1），，则不是中的元素.
（2）法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
（3）对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知.
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多7个零点，
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有3个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得6个零点，
以及在处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
一、填空题
1．设m为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则m的取值范围是__________.
【答案】
【详解】解：因为二次函数的对称轴为，且图像开口向上，
因为函数在区间上仅有一个零点，
所以当时，，解得.
故答案为：.
2．方程的实数根个数是______．
【答案】无数
【详解】函数的定义域为，
在每个区间是都单调递增，并且函数值集合为R，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象得，函数与的图象有无数个交点，
方程的实数根个数是无数个.
故答案为：无数
二、解答题
3．讨论函数在区间内零点的个数．
【答案】零点的个数为1．
【详解】结合幂函数的性质可知，函数在区间内单调递增，
由于，，
因此函数在区间内零点的个数为1．
4．函数在区间和内各有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】因为函数在区间和内各有一个零点，
所以，
解得.
5．已知定义在上的函数的图象是一条不间断的曲线，，其中，设，求证：函数在区间上有零点.
【详解】函数的图象是一条不间断的曲线，
是一条不间断的曲线，
，
，
，
，
，
由零点存在性定理可知：函数在区间上有零点
6．设函数，其中.
（1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围；
（2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围.
【答案】（1）或或；（2）或.
【详解】由题设，开口向上且对称轴为，，
（1）当，即或时，在区间上有唯一零点；
当，即或时，要使在上有唯一的零点，
若，解得或，
若，，则函数的另一零点为，不合题意，
若，，不满足，不合题意；
综上，或或时在上有唯一的零点.
（2）由题设，即或，
∴或，可得或.
综上，或时在上有两个零点.
7．（1）求二次函数的零点个数；
（2）已知二次函数在区间上的最小值大于0，求该函数的零点个数．
【答案】（1）2（2）0
【详解】（1）令，
由知方程有2个不等的实数根，
所以函数有2个零点.
(2) 的对称轴为，且开口向上，
故当时，时，二次函数，
由题意知，即，
此时，，
故函数的零点个数为0个.
8．经过市场调查分析，某地区一年的前n个月，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系：
，．
(1)求这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？
(2)若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初最少投放多少万件？
【答案】(1)5，6月份需求量超过1.3万件
(2)
【详解】（1）当时，一月份产量为，
当时，
第月的产量为，
令，即，
解得，由，可知，
即这年的5，6月份需求量超过1.3万件.
（2）设每月初最少投放万件，
要使产品全年不脱销，对第个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，
还有前几个月未销售完的商品，所以 恒成立，
恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
故为保证该产品全年不脱销，每月初最少投放万件.
9．为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m．
(1)写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数；
(2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？
【详解】（1）解：从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时小时，
则每小时通过的车辆为辆，
又因为当车速为60km/h时，安全车距为40m．
所以，解得，
所以某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数为：
，
（2）由，
当且仅当，即时，等号成立，
显然不行，因为没有达到高速公路提速的目的.
10．生成于大西洋的强烈热带气旋被称为飓风．中心风速178~209km/h对应于3级飓风，中心风速210~249km/h对应于4级飓风，中心风速超过250km/h对应于5级飓风．以下数据是大西洋流域从1921年到2010年每十年的主要飓风数量（含第3，4，5级）．

时间/年 主要飓风数量
1921—1930 1 17
1931—1940 2 16
1941—1950 3 29
1951—1960 4 33
1961—1970 5 27
1971—1980 6 16
1981—1990 7 16
1991—2000 8 27
2001—2010 9 33
(1)绘制“带平滑线和数据的散点图”；
(2)借助图象，尝试求出形如正弦型函数的解析式；
(3)使用数学软件找到最佳拟合的正弦型函数．
【详解】（1）绘制图象如下图示：

（2）由图，，
所以，
而，
则，不妨令，则，
所以.
（3）由（2），最佳拟合的正弦型函数，如下图：

课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（2025·上海·三模）函数，的零点是______．
【答案】，
【详解】令，则，，
当时，；当时，.
函数，的零点是，.
故答案为：
2．（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______
【答案】
【详解】由，得或，
由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根，
则，解得且，
所以实数a的取值范围是.
3．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
若存在实数，使得方程无解，可知函数的值域不为，
当时，在上单调递增，在上单调递增，
则，解得；
当时，在上的最小值为，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：
4．（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________.
【答案】
【详解】函数大致图象如下，
若，且，则
所以
∵，当且仅当，即时取等号，
当时，，当时，，
由双勾函数的单调性可知，
即，
∴.
故答案为：.
5．（24-25高三下·上海虹口·期中）1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数是随着时间连续变化的函数；②人口增长率为常数，且单位时间内的人口增长量与成正比，进而建立了人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，不是常数，因此改进了马尔萨斯的假设②，并添加了1条假设：②是随着时间连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率，使，且仅与和有关；③存在最大人口数，当人口数达到时，.那么在这些假设下建立的人口增长模型______.（用含有、、的式子表示）
【答案】
【详解】根据假设，可得，
当时，，代入可得，解得，
由单位时间内的人口增长量与成正比，可得，
将，代入可得，
所以假设下建立的人口增长模型.
故答案：.
6．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为.
(1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值；
(2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
当函数右移个单位得，则 ，
由关于对称，可得： ，
整理得：，又，取得最小正数，
即的最小值为；
（2）由（1）可得：，
当，令，
再由的零点满足：或，，
再由的极值点为，，
若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，
则，
即所求实数m的取值范围.
重难·创新演练
1．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的零点的个数一定是3个
B．若集合的解集是，则实数对有2对
C．函数必存在极值
D．函数在处的切线方程为，则
【答案】B
【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错.
B：若满足条件，则在处为零，且在时，
由，得，即或，
当时，，为满足条件，，
当时，同理可得，
当时不满足题意，
所以实数对有对：和，B对.
C：求导，，接着判断，
把判别式看作关于的函数，则，，
当时，，，所以有两个零点，有极值，
当时，，
此时当，，有两个零点，有极值，
当，，恒成立，函数在定义域上单调递增，
所以当取值时，，无极值，所以C错.
D：在处的切线方程为，
求导 ， 得，
得或，D错.
2．（2025·上海静安·一模）已知函数；现有下述两个结论：
①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是；
②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（ ）
A．结论①和②均正确 B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确 D．结论①和②均错误
【答案】B
【详解】①，
当时，因为，所以，即，在定义域内单调递增；
当时，由； 由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在定义域内单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
当时，在内单调递增，且注意到，因此在区间上无零点；
当时，由可得仅有一解，
所以仅有一解，
令，则直线与的图象仅有一个交点，
因为，且直线过点，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，，
所以 ，结合 ，则的取值范围为 . 结论①正确
②由题，，记上式为 ，
由，则 ，
所以函数 在定义域内单调递减，因此 ，仅有一个解，至此可以判断结论②错误．
注意到待求方程 ，对中含的部分单独考察，即 ，
其中关于的多项式的解为 或（舍去），
因此时可消去.
当 时，有，满足题意；
综上，原方程的解为．
故选：B．
3．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】令，
令，因为，所以，
即，所以方程变为：，
若函数在区间有10个零点，
则等价于函数与函数在上有10个交点，
则需满足，解得：，
由，令 ，
即，由，则，
又，所以要使函数在区间有10个极值点，
即方程在上有10个实数解，
则需满足，解得：，
所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是.
4．（2025·上海静安·一模）设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为是定义在上的偶函数， 则， 函数图象关于轴对称，
且， 即的周期为4.
作出函数在上的图象，
根据的对称性及周期性， 可得出在上的图象，
若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点，
则在区间上关于的方程恰有 3 个不同的实数根，
则函数与函数在上恰有 3 个不同的交点；
所以，解得.
故答案为：
5．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中.
(1)若，求函数的最小正周期及严格增区间；
(2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围.
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）当时，，所以最小正周期.
由，得，
所以严格增区间为，.
（2）因为，，，
与相差个周期，与相差个周期，
所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于，
故，即，所以，又,
所以.
6．（2026·上海杨浦·模拟预测）某区连续几年的GDP（国内生产总值）情况，如下表所示：
年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■
(1)表中前4年数据的极差为_________，方差为_________，第20百分位数为_________；
(2)我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析．
假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，这是数学建模中拟合函数的思想．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即拟合误差，来进行模型分析，一般拟合误差越小越适宜．）
例如，分析直线AB，即上的点：可知，求得拟合误差．
①：请依据以上方式，求出关于直线的拟合方差值：______；
②：请你在直线与直线进行预测的两个方案中选择合适的那个预估，预估该区第五年的GDP．
【答案】(1)3.5；1.776875；10.0
(2)①0.0125；②直线更合适，14.8百亿元
【详解】（1）这组数据的极差为，
平均数为，
故方差为，
，故从小到大，选取第1个数作为20分位数，即10.0；
（2）①：设直线的表达式为，
根据题意，解得，
直线的表达式为，
分析直线，拟合误差，
②：，
直线更合适，
当时，，即第五年的GDP约为14.8百亿元
7．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”．
(1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由；
(2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值；
(3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点．
【详解】（1）假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”．
由定义可得，
取，则，矛盾．
故不存在这样的函数．
（2）因为是周期为的偶函数，且当时，
所以当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以．
又因为是的“关联函数”，所以．
由，得．当时，．
令，得，所以或．
当时，或，故方程无解．
当时，在区间内，方程有4个解，
分别为，
因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解．
要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解，
即需要6个这样的区间．第26个解为，
故的最小值为．
（3）由题意，存在函数及，使得且
若，则由可得；
若，则由可得．
因此与的零点相同．
所以求方程的解，等价于求方程的解．
当时，，
令，得，因为，所以.
当时，，于是
因为，所以.
又因为，所以，从而
故时，方程无解．
综上，方程的解为
8．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的．
(1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的；
(2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围；
(3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件．
【详解】（1），
由解得，
故A是“P－可见”的.
，
由解得或，
故B不是“P－可见”的.
（2）,，
则在有且仅有1解，
整理得，为此方程的解，
则在无解，
设，
对称轴，
当时，在单调递增，
由于，，则此时不符合题意，
当时，在单调递减，
由于，，则此时不符合题意，
当时，
由于，则需，
解得，
综上 .
（3）任取，，则，
设，，
则，
由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线.
必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的，
则在有且仅有1个零点，
则时，恒正或恒负，
若恒正，即任取，，
则，
则，
则函数在上严格增，
同理若恒负，可得函数在上严格减.
充分性：
若函数在上严格增，
则任取，有，
则，
即，
则在有且仅有1个零点，
则函数的图像上任意一点都是‘可见’的，
若函数在上严格减同理.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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