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第06讲 幂指对函数
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命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
二次函数 春考第15题 / /
幂函数 / 春考第14题 /
对数函数 / 春考第21题 春考第1题 秋考第18题
指数函数 秋考第13题 秋考第14题 /
考情分析 应用题固定绑定指对函数:第 19 解答题（14 分）近 6 年 4 次考指数 / 对数实际模型，二次函数应用题极少，是上海独有特色。 二次函数是全卷通用工具:导数、数列不等式、解析几何最值、复合函数内层都会嵌入二次，不单独大题但无处不在。 幂函数只做基础辨析，不深挖综合:对比全国卷，上海极少考复杂幂函数含参，仅考 5 个基础图像。 压轴 21 偏爱对数复合 + 参数论证:结合单调性、值域、方程根的存在性，考察分类讨论与代数说理。 大小比较必考混合三类函数：选择高频一题同时出现幂、指、对数值，用 0、1 分界快速判断
复习目标 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 3.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 4.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 5.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 6.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 7.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 指数运算与对数运算
1.根式
(1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
(2)式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(3)()n＝a.
当n为奇数时＝a,
当n为偶数时＝|a|＝
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂：(a>0,m,n∈N*,n>1).
正数的负分数指数幂：(a>0,m,n∈N*,n>1).
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r,s∈R).
4.对数的概念
一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数,记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数,记作ln N.
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1＝N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝(a>0,且a≠1；b>0；c>0,且c≠1).
6.灵活应用化简指数幂常用的技巧
(1)(ab>0)；
(2)a＝()m＝()n(式子有意义)；
(3)1的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝(a>0)等；
(4)乘法公式的常见变形,如()()＝a－b(a,b>0),
(±)2＝a±2＋b(a,b>0),
()( )＝a±b(a,b>0).
7.【谨防两个失误点】
(1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化.
自主检测
1．已知，将化为有理数指数幂形式，则________.
【答案】
【详解】.
故答案为：
2．（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________.
【答案】
【详解】因为，所以，即，
又因为，所以，所以，
因为，所以，，
所以.
知识点2 二次函数与幂函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
3.【注意】
(1)当α<0时,幂函数在区间(0,＋∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于＋∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限.
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(－1,1),(－1,－1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.
4.【谨防3个易误点】
(1)幂函数f(x)＝(m,n互质),当m为偶数时,函数为偶函数；当m为奇数,n为偶数时,函数为非奇非偶函数；
(2)二次函数在区间单调,求参数取值范围时等号的处理；
(3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论.
自主检测
3．（2026·上海杨浦·二模）若幂函数的图像经过点，则实数______.
【答案】3
【详解】代入，即，解得.
4.已知向量，，则函数的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据向量数量积的坐标运算得函数解析式，然后分，，讨论即可.
【精细解析】因为，所以.
当时，，故A符合题意；
当时，二次函数的图象开口向上，
由，解得或，
所以，的零点为0和，且，故B符合题意，C与题意不符；
当时，二次函数的图象开口向下，的零点为0和，且，故D符合题意.
故选：C.
知识点3 指数函数
1.指数函数及其性质
(1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0,＋∞)
性质 过定点(0,1),即x＝0时,y＝1
当x>0时,y>1； 当x<0时,01； 当x>0时,0增函数 减函数
2.掌握指数函数图象的三个特点
(1)指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a)依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
(2)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中03.【谨防一个失误点】
讨论指数函数的单调性及值域问题时,当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0自主检测
5．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________
【答案】
【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点.
知识点4 对数函数
1.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0,＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x＝1时,y＝0
当x>1时,y>0； 当01时,y<0； 当00
增函数 减函数
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称.
3.掌握三个对数函数图象的特点
(1)不论a>1还是00,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交.
(2)不论a>1还是00,且a≠1)的图象都经过点(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的大致图象.
(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,其中图象(C1,C2,C3,C4对应的底数依次为a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中04.【谨防两个失误点】
(1)凡涉及对数型函数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在解决对数型复合函数时,当底数a的范围没有明确时,必须分01两种情况讨论.
自主检测
6．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】的图象如下图所示
由图象可知，当时，单调递减，所以，此时，
当时，，，
，即，化简可得，解得，
综上所述，因为，所以的取值范围为.
题●型●破●译
题型1 指数运算
例1-1（2025·上海·模拟预测）已知为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【详解】已知为正数，则或，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
例1-2已知，将化为分数指数幂形式，则__________.
【答案】
【详解】.
故答案为：.
例1-3（24-25高三上·上海·期中）已知函数为奇函数，则_________．
【答案】
【详解】函数的定义域为，且为奇函数，
，得.
经检验符合题意.
故答案为：.
方法技巧
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意：
①必须同底数幂相乘,指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【变式训练1-1】若，用有理数指数幂的形式表示______．
【答案】
【详解】由题意.
故答案为：
【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·期中）设，若，则_____.
【答案】
【详解】由题意知，
所以，
所以.
故答案为：.
【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）定义“真指数”，，（为自然对数的底数），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A： 由定义可知：，
所以当时，有，当且仅当时取等号， 显然成立，
当时，，显然成立，
当中有一个为负数时，不妨设，
当时， 所以有，
因为，所以，
所以成立，
当时，，所以成立，
故本选项成立；
B：当， ，
显然不成立，故本选项不成立；
C：当时，，显然不成立，故本选项不成立；
D：当时，，
显然不成立，
故选：A
题型2 对数运算
例2-1（2025·上海金山·一模）已知，则___________．（用和表示）
【答案】
【详解】因为，可得.
故答案为：.
例2-2（25-26高三上·上海·期中）方程的解集为__________．
【答案】
【详解】已知：，根据换底公式可得：，
化简得：，约分整理得：，即：，
因此可得：或，即：或.
故方程的解集为.
故答案为：
方法技巧
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
【变式训练2-1】（25-26高三上·上海·期中）已知，用表示__________.
【答案】
【详解】.
故答案为：.
【变式训练2-2】（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为为等比数列，
所以，
因为，，
令，则，整理得，
所以，，，
所以，该数列的公比为.
【变式训练2-3】（25-26高三上·安徽·阶段检测）若正数，满足，则的最小值为________.
【答案】3
【详解】正数，满足，则，
所以，即，所以.
所以.
所以.
因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以.所以的最小值为当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
题型3 指对运算的应用
例3-1（2025·上海崇明·三模）已知，则___________．
【答案】1
【详解】由已知，则，
所以.
故答案为：1.
例3-2（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，若，则_______.
【答案】
【详解】已知，则，又且，
由此可得：，解得.
故答案为：
【变式训练3-1】（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）若，且，则______________.
【答案】
【详解】由，
可得：，
所以，
即，即，
而，所以，
故答案为：
【变式训练3-2】（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）已知，，且，则___
【答案】或4
【详解】令，因为，，所以，
原方程可变形为，整理得，即，
解得或.
当时，，则；
当时，，则，
故或4.
【变式训练3-3】（24-25高三下·上海·阶段检测）设集合，，则集合中元素的个数为________.
【答案】
【详解】因为，令，
则即为，解得或；
当，则，又，，
令且，解得且，
所以，则有个；
当，则，又，，
令且，解得且，
又，，所以，
所以，则有个；
所以集合中元素的共有个.
故答案为：
题型4 幂函数的图象与性质
例4-1（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________．
【答案】
【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除，
图象关于轴对称，故函数是偶函数，
时，，定义域为，满足，是偶函数；
时，，定义域为，满足，是奇函数；
．
例4-2（25-26高三下·上海·阶段检测）函数在上的值域为______．
【答案】
【详解】函数，故函数的定义域为，
根据函数的性质可知，当时，，
又函数在上单调递增，函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，
又当时，；当时，，
故函数在上的值域为.
例4-3（24-25高三上·上海·期中）幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【详解】当时，，则，且，函数是奇函数，不符合题意；
当且时，关于数0不对称，此时幂函数是非奇非偶函数，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
例4-4（25-26高三上·上海·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的解集为_____.
【答案】
【详解】依题意设幂函数，因为已知幂函数的图象过点，
所以，解得，所以，
显然是偶函数，且在上单调递增，
所以，
即有，解得或，
所以的解集为.
故答案为：.
方法技巧
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x＝1,y＝1,y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1,α＝1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
【变式训练4-1】（2026·上海浦东新·三模）若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________．
【答案】
【详解】由题意，
在中，图象经过点，
∴，
解得：.
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）若幂函数为严格增函数，则m的值为__________.
【答案】
【详解】由题意，幂函数为严格增函数，则，可得，此时满足题意.
故答案为：
【变式训练4-3】已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则______.
【答案】或
【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数，
所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数.
故答案为：或
题型5 二次函数的解析式
例5已知是二次函数，且，，则________．
【答案】
【详解】因为，是二次函数，所以设，
又因为，
所以，
所以，解得.
故答案为：.
方法技巧
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式.
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式.
【变式训练5-1】已知，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为-1和2，且该二次函数图像过点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)已知，解关于的不等式.
【详解】（1）因为二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为-1和2，
所以二次函数，
又函数的图象过点，
所以，解得，所以.
（2）由，结合（1）可得，
所以，所以，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【变式训练5-2】二次函数满足对任意的，恒成立．
(1)求证：为定值；
(2)若，求二次函数的表达式；
(3)求的取值范围．
【详解】（1）对任意的，恒成立，则，
所以，为定值.
（2）由（1）知，，由，得，则，
，不等式，
依题意，一元二次不等式恒成立，则，
解得，此时，恒成立，
所以.
（3）由（1）知，，，
不等式，
依题意，一元二次不等式恒成立，
则，且方程有相等的实数根，因此，
不等式，
同理，且方程有相等的实数根，因此，
从而，，
所以的取值范围是.
题型6 二次函数的图象与性质
例6-1（24-25高三上·上海·阶段检测）若函数，，若的最小值为2，则______
【答案】2
【详解】根据题意，函数，
根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，
则的最小值为.
故答案为：2
例6-2函数的严格增区间是__________.
【答案】
【详解】因为关于单调递减，若函数关于单调递增，
则由复合函数单调性可知只需单调递减即可，
而的单调递减区间为，
所以函数的严格增区间是.
故答案为：.
方法技巧
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
【变式训练6-1】已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】由题意，解得，
故答案为：．
【变式训练6-2】已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】因为对于任意，，，
所以，即，
构造函数，则，
所以函数在上的增函数，
当时，函数是上的增函数，符合题意；
当时，函数图象的对称轴为直线，
当时，要使得函数是上的增函数，只需要符合题意；
当时，要使得函数是上的减函数，只需要.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式训练6-3】已知函数
(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值：
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值.
【详解】（1）因为，
所以关于的不等式等价于，
即关于的不等式的解集为，
所以关于的方程的两根是，，且，
所以，解得.
（2）令，则，，
因为，所以二次函数开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，
所以，即，解得.
题型7 指数函数的概念与图象
例7-1（25-26高三上·上海·阶段检测）已知指数函数的图象经过点，则______．
【答案】8
【详解】设（且）．
则．解得，所以，
所以.
故答案为：8.
例7-2在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】由得，所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项；
对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确；
故选：C.
例7-3（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为___________．
【答案】
【详解】因为在定义域上单调递增，
又的图像不经过第二象限，
所以当时，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
方法技巧
对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
【变式训练7-1】函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】若，为增函数，
且，与图象不符，
若，为减函数，
且，与图象相符，所以，
当时，，
结合图象可知，此时，所，则，所以，
故选:C.
【变式训练7-2】（25-26高三上·上海·期中）函数（且）的图像过定点A，则点A的坐标是__________.
【答案】
【详解】对于指数函数，当时，；
所以对于函数，当时，；
所以定点的坐标是.
故答案为：.
【变式训练7-3】（25-26高三上·上海松江·期中）不等式对任意都成立，则实数a的取值范围______．
【答案】
【详解】设，
则原不等式转化为对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
又因为，
所以，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
【变式训练7-4】如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成.若方程存在实数解，求的取值范围.
【答案】
【详解】方程存在实数解，即方程存在实数解，
则的取值范围即为函数的值域，
由题图可知，函数的值域为，
而函数可理解为将函数的图象向右平移个单位，
故函数的值域也为.
所以，即，
解得或，
因此，实数的取值范围是.
题型8 指数函数的性质及应用
例8-1已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据函数在R上单调递减可知，
根据函数在上单调递增可知，
故，
故选：A
例8-2（25-26高三上·上海闵行·期中）若函数（）在上最大值比最小值大，则实数__________．
【答案】
【详解】因为，故在上为减函数，
故，，
故，故或（舍），
故答案为：
例8-3（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数．
(1)若函数为奇函数，求实数的值；
(2)若，解不等式．
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即
.
化简得，
所以，即.
（2）时，原不等式可化为，设，则.
所以不等式变为，化简得，
因为，所以，所以要使得不等式成立，则.
即，即，根据指数函数的性质可知.
所以不等式的解集为.
方法技巧
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【变式训练8-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知集合，，则______．
【答案】
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
【变式训练8-2】设为实数，函数，的最小值__________.
【答案】
【详解】因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时在上单调递增，所以，即；
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，即；
综上可得.
故答案为：
【变式训练8-3】如果在不断的裂变中，每天所剩质量与前一天剩留质量相比，按同一比例减少，且经过天裂变，剩余的质量是原来的，至少经过__________天裂变，其剩余质量才小于原来的.（参考数据：）
【答案】
【详解】设每天剩下的量是原来的，所以，可得，
设它经过天裂变，剩余质量才小于原来的，所以，
可得，
即至少经过天裂变，其剩余质量才小于原来的.
故答案为：.
题型9 对数函数的概念与图象
例9-1（2026·上海·模拟预测）已知函数，则的定义域是________．
【答案】
【详解】由题意，得，即，
则的定义域是.
例9-2已知，为的反函数.若，那么与在同一坐标系内的图像可能是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】原函数与反函数的图象关于直线对称，则A，D不符合；因为，，所以，由此判断选C
例9-3（24-25高三下·上海·阶段检测）已知则____________．
【答案】
【详解】因为则．
故答案为：.
方法技巧
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
【变式训练9-1】（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）函数的值域是_____________.
【答案】
【详解】因，则，
又函数在上是增函数，故，
即函数的值域是.
故答案为：.
【变式训练9-2】（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）已知常数且，假设无论取何值，函数的图象恒过一个定点，则此定点坐标是_________.
【答案】
【详解】由于且，故，因此令，则，
故经过的定点为
故答案为：
【变式训练9-3】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为__________.
【答案】
【详解】当时，为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为有四个不同的解，
所以图象与图象有四个不同的交点，如图所示
根据二次函数的对称性可得，即，
又，
所以，解得，
又，所以，
当时，，解得，所以，
则所求，
因为在单调递减，则最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：
题型10 对数函数的性质及应用
例10-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数 在区间上的最大值为________.
【答案】0
【详解】因为在区间上单调递减，
所以当时，函数 在区间上的最大值.
故答案为：0.
例10-2（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【详解】令，等价于，可得，解得，
可知函数的定义域为，
因为，即，
可知函数为奇函数，
且，
因为在内单调递增，则在内单调递减，
且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减，
若，则，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
例10-3（2026·上海·模拟预测）已知（且）．
(1)若，解方程；
(2)若，求的取值范围．
【详解】（1）当时，则，
因为，
所以，
化简可得，
即，
化简得，
所以，
所以或，解得或；
（2）由，且，
若，则，，
若，则，，
综上，的取值范围是．
方法技巧
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.
【变式训练10-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）若，则x的取值范围为________．
【答案】
【详解】设，则在上单调递增，
所以不等式为，且，
即得，又在上单调递增，
所以，则x的取值范围为.
【变式训练10-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中常数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，试比较与的大小.
【详解】（1）时，，易知，
所以，
则不等式等价于，
即，解之得或，
结合定义域知不等式解集为；
（2）易知当时，，
若，则，所以，
则，即；
若，则，
所以，
则，即；
综上所述：.
【变式训练10-3】（2026·上海虹口·三模）设．
(1)解不等式：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）的定义域为且在单调递增.
，，解得.
故不等式的解集为.
（2）.
恒成立等价于恒成立，，.
令，.
令，则，在单调递减.
又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减.
，，即的取值范围是
题型11 反函数
例11-1设，则其反函数必过定点的坐标为___________．
【答案】
【详解】当时，，故过定点，
根据反函数的性质可得，过定点对应反函数必过定点.
故答案为：.
例11-2（25-26高三上·上海·期末）函数，的反函数为__________．
【答案】
【详解】因为，所以，，
因为，，令，
则，所以，即，
解得，将互换，得到反函数，，
故答案为：.
【变式训练11-1】已知和它的反函数的图像都经过，则______．
【答案】
【详解】因为函数的反函数的图像经过，
所以函数的图像经过，
又的图像经过，
所以.
故答案为：
【变式训练11-2】设，则的反函数__________.
【答案】
【详解】因为，
所以
，
可得，所以.
故答案为：
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，则.
2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【详解】∵，∴，
当时，定义域上严格单调递减，
此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；
当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.
故选：D
3．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误；
对于A，若，则，当时，，
所以幂函数过点，故A错误；
对于B，若，则，当时，，
所以幂函数过点，故B正确.
故选：B.
4．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象.
按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为，
则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项；
当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移，
的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意.
方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧，
等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意.
故选：A.

5．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.
【答案】
【详解】由题意可得，即的定义域为.
故答案为：.
6．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______；
【答案】
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知，
当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为：.
7．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________
【答案】
【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，，
则，
当时，
故答案为：.
8．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________．
【答案】
【详解】当时，，解得：，
当时，，解得：（舍去），
所以方程的解为.
故答案为：.
9．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
【详解】（1），则，
，，，
，定义域为，
要解不等式，则，．
又在定义域内是严格增函数，
由，则，解得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列，
则在方程中，应满足，
由，解得，问题转化为时，方程有实数解．
又，则，
即．
为严格单调函数，
，
，两边同除以得，．
令，由，则，
在有解．
又在上是严格增函数，
，即，
又，则.
10．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
【详解】（1）由定义得，.
（2）证明：
必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，
对任意，若，即，则，
所以，所以对任意，是对称集.
充分性：若对任意，是对称集，
因为对任意，，所以，即①，
又，所以，即②.
由①②得，对任意，，
所以函数是偶函数.
综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.
（3）因为对于任意，都有，
所以若，则，即若，则，
所以，所以在上单调不减，
所以对任意，恒成立.
当时，显然成立，；
当时，恒成立，令，，
所以在单调递减，单调递增，所以；
当时，恒成立，此时
因为在上单调递减，当时，，
时，，
所以；
综上，.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】最大值为9；最小值为.
【详解】解：令，
则原函数转化为，
当，即时，函数取得最小值为；
当，即时，函数取得最大值为.
2．对数函数，，（，，，且a，b，c均不为1）的图象如图，试比较a，b，c的大小．

【答案】
【详解】当时，，，
如图①，②，③，

由图可知
3．已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，）
【答案】约经过年后其剩余的质量为原来的
【详解】设这种放射性物质最初的质量是，经过百年后，剩余量是，
依题意()，令，两边取对数，得，
解得，
所以约经过年后其剩余的质量为原来的．
4．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围．
【答案】
【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限，
所以，即，所以，解得，
即实数的取值范围为.
5．求使下列不等式成立的实数x的集合：
(1)； (2).
【详解】（1）因为，且函数为定义域上的单调递增函数，
所以，所以，所以使成立的实数x的集合为.
（2）因为函数为定义域上的单调递减函数，且，
所以，所以，所以使成立的实数x的集合为.
6．已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
【详解】（1）把，代入，
得，结合且，解得，
所以.
（2）由（1）知可化为，
故在上恒成立，
则在上的最小值不小于.
由指数函数的单调性可知函数在上为减函数，
所以当时，有最小值2，故，
故的取值范围为.
7．地震的强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中100km处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅．

(1)若一次地震测得，，该地震的震级是多少（计算精确到0.1）？
(2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍？
【详解】（1）．
因此该地震的震级约为里氏4.4级．
（2）设里氏8级和5级地震的最大振幅分别为，．由题意，得
由上可得，．
因此里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的1000倍．
8．（1）在同一个直角坐标系中画出下列个函数在区间上的图象：，，，.
结合这个函数的图象，比较它们随着的增大函数值增长的快慢，并指出：当的值足够大（）的时候，这个函数的值的大小关系；
（2）先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想.
①与；②与.
（3）借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在（2）中的猜想.
①与；②与.
【详解】（1）这个函数的图像如图所示.

由图可知：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
对应地，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
可以发现：当的值足够大（）时，这个函数值的大小关系是
；
（2）①可以想象，在区间上，函数与的图象都是随着的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：
当时，；
当时，，
例如，当时，，，
显然，
当时，，
例如，当时，，，
显然；
②可以想象，在区间上，函数与的图象都是随着的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：
当时，；
当时，，
例如，当时，，，
显然；
当时，；
当时，，
例如，当时，，，
显然，
因此，我们可以得到更一般的猜想：
对于指数函数（），幂函数（）和对数函数（），当足够大时，总有.
（3）借助图形计算器或计算机，观察函数，的图像，可以发现：当的值从开始增大时，随着的增大，当时，；之后很快有，直到时，总有.

同样，借助图形计算器或计算机，观察函数，的图像，

可以发现：当从开始增大时，一直有，直到时，总有.
由此，我们进一步验证了（2）中的猜想：当x足够大时，总有.
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误；
对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误；
对于选项C，因为，所以，
可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到，
所以，选项C正确；
对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误；
2．（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，得，
在同一直角坐标系内作出函数的图象，
则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标，
设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，，
当时，，当时，，
所以ABD是可能的，C不可能.
3．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______.
【答案】
【详解】已知，且是幂函数：
根据幂函数的定义，可得，解得；
将条件代入得，解得，即函数解析式为；
将代入解析式得.
4．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______.
【答案】
【详解】由题意可知，，，，，，
则，，
若，则定义域为，符合题意；
若，则定义域为，符合题意；
若，则定义域为，符合题意，
所以整数n的取值集合为
5．（2025·上海杨浦·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______.
【答案】
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得.
又因为为偶函数，所以，.
因为，所以.
故答案为：.
6．（24-25高三上·上海·期中）已知函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若函数的最大值是，求的值.
【详解】（1）由题意，则，可得，即；
（2）令，而在定义域内单调性递增，
所以，最大值是，则只需，令，
所以在上最大值为，
根据二次函数性质有，则函数的图象开口向下，对称轴为，
所以，则，
整理得，可得或（舍）.
7．（2026·上海·模拟预测）设函数，．
(1)若，求函数的所有单调区间；
(2)若方程有两个虚根和，且．求的值．
【详解】（1）当时，，则，定义域为.
求导得.
令得.
当时，，故；当时，.
因此在上单调递减，在上单调递增.
（2）方程有两个虚根，故判别式，
整理得，解得或.
设两根为，则，.
，解得或.
因为或，所以排除，即.
8．（2026·上海浦东新·三模）已知
(1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值；
(2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围．
【详解】（1）因为函数在区间上是严格增函数，
所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到，
即，
化简得，即，
解得．
因此，实数的值为2．
（2）由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解，
即关于的方程在有两个不同的实数解，
因为，
因此．
由题意得，即
综上，实数的取值范围为．
重难·创新演练
1．（2025·上海虹口·一模）若，则实数的取值范围是：___________
【答案】
【详解】由题意可知：方程有解，可化为，
并且或，令，，，
当时，，单调递增，
当或时，在上单调递减，
且当时，，，，
所以的大致图像如图所示，因为，，，
所以在上的值域为，
即的取值范围是.
故答案为：
2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，．
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，
则，得，
故不等式的解集为.
（2），则，
得且，
若，则，得满足；
若，则或且，
若，即，此时方程的根为，满足；
若即，
因为，所以由题意可知，得，
综上，的取值范围为.
3．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知.
(1)若，求的值；
(2)当时恒成立，求的取值范围.
【详解】（1）已知，.
由，代入得：.
因为，所以，即， 得，解得.
（2）由 得 .
当 时, 单调递增, 不等式等价于 , 且真数 .
即 , 且 对 恒成立.
由 得 .
结合 得 .
故 且 对 恒成立.
令 , .
令 ,由 ,得 ,且 .
于是.
这是关于 的二次函数,开口向下,对称轴为.
对称轴 在区间 的左侧,因此函数 在 上单调递减。
又 在 上单调递增,根据“同增异减”可得 在 上单调递减.
所以 , .
故 又 对一切 恒成立.
则需大于 在 上最大值即 .
因为 与 不能同时成立. 故 时无解.
当 时, 单调递减，不等式等价于 , 且真数 .
即 , 且 对 恒成立.
由 得 或 . 结合 , 只需 恒成立.
故 对 恒成立. 由上述分析知 在 上最大值为 , 所以 .
又需 对 恒成立, 即 , 右边最大值为 , 所以 ,结合 得 .
综上所述, 的取值范围是 .
4．（2026·上海·三模）已知连续函数和，设，集合.
(1)若指数函数的图像过点，且，求M；
(2)若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由.
【详解】（1）设指数函数(且)，因为其图像过点，代入得，，则，
因此，因此，
而集合，其中，
令，则，
由于，故，即，
因为指数函数在上单调递增，所以，
因此，集合.
（2）函数的定义域为，
对原函数求导得，，
因为在上存在极值点，所以在上有解，
即，故，
设，，则，
当时，且，故，即在上单调递增，
因为，，因此在上的值域为，
所以，实数的取值范围是，
由于在上单调递增，对于任意，
存在唯一的使得，即，
当时，，即，故，单调递减，
当时，，即，故，单调递增，
因此，是在上的极小值点，
，
将代入上式，，
故，
设，求导得，，
令，得，即，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
因此，在处取得最大值，，
当时，，故，
当时，，
综上，对任意，，
因此，，
即成立，故.
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第06讲 幂指对函数
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
二次函数 春考第15题 / /
幂函数 / 春考第14题 /
对数函数 / 春考第21题 春考第1题 秋考第18题
指数函数 秋考第13题 秋考第14题 /
考情分析 应用题固定绑定指对函数:第 19 解答题（14 分）近 6 年 4 次考指数 / 对数实际模型，二次函数应用题极少，是上海独有特色。 二次函数是全卷通用工具:导数、数列不等式、解析几何最值、复合函数内层都会嵌入二次，不单独大题但无处不在。 幂函数只做基础辨析，不深挖综合:对比全国卷，上海极少考复杂幂函数含参，仅考 5 个基础图像。 压轴 21 偏爱对数复合 + 参数论证:结合单调性、值域、方程根的存在性，考察分类讨论与代数说理。 大小比较必考混合三类函数：选择高频一题同时出现幂、指、对数值，用 0、1 分界快速判断
复习目标 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 3.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 4.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 5.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 6.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 7.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 指数运算与对数运算
1.根式
(1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
(2)式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(3)()n＝a.
当n为奇数时＝a,
当n为偶数时＝|a|＝
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂：(a>0,m,n∈N*,n>1).
正数的负分数指数幂：(a>0,m,n∈N*,n>1).
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r,s∈R).
4.对数的概念
一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数,记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数,记作ln N.
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1＝N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝(a>0,且a≠1；b>0；c>0,且c≠1).
6.灵活应用化简指数幂常用的技巧
(1)(ab>0)；
(2)a＝()m＝()n(式子有意义)；
(3)1的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝(a>0)等；
(4)乘法公式的常见变形,如()()＝a－b(a,b>0),
(±)2＝a±2＋b(a,b>0),
()( )＝a±b(a,b>0).
7.【谨防两个失误点】
(1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化.
自主检测
1．已知，将化为有理数指数幂形式，则________.
2．（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________.
知识点2 二次函数与幂函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
3.【注意】
(1)当α<0时,幂函数在区间(0,＋∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于＋∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限.
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(－1,1),(－1,－1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.
4.【谨防3个易误点】
(1)幂函数f(x)＝(m,n互质),当m为偶数时,函数为偶函数；当m为奇数,n为偶数时,函数为非奇非偶函数；
(2)二次函数在区间单调,求参数取值范围时等号的处理；
(3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论.
自主检测
3．（2026·上海杨浦·二模）若幂函数的图像经过点，则实数______.
4.已知向量，，则函数的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 指数函数
1.指数函数及其性质
(1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0,＋∞)
性质 过定点(0,1),即x＝0时,y＝1
当x>0时,y>1； 当x<0时,01； 当x>0时,0增函数 减函数
2.掌握指数函数图象的三个特点
(1)指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a)依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
(2)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中03.【谨防一个失误点】
讨论指数函数的单调性及值域问题时,当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0自主检测
5．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________
知识点4 对数函数
1.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0,＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x＝1时,y＝0
当x>1时,y>0； 当01时,y<0； 当00
增函数 减函数
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称.
3.掌握三个对数函数图象的特点
(1)不论a>1还是00,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交.
(2)不论a>1还是00,且a≠1)的图象都经过点(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的大致图象.
(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,其中图象(C1,C2,C3,C4对应的底数依次为a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中04.【谨防两个失误点】
(1)凡涉及对数型函数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在解决对数型复合函数时,当底数a的范围没有明确时,必须分01两种情况讨论.
自主检测
6．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________．
题●型●破●译
题型1 指数运算
例1-1（2025·上海·模拟预测）已知为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
例1-2已知，将化为分数指数幂形式，则__________.
例1-3（24-25高三上·上海·期中）已知函数为奇函数，则_________．
方法技巧
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意：
①必须同底数幂相乘,指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【变式训练1-1】若，用有理数指数幂的形式表示______．
【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·期中）设，若，则_____.
【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）定义“真指数”，，（为自然对数的底数），则（ ）
A． B．
C． D．
题型2 对数运算
例2-1（2025·上海金山·一模）已知，则___________．（用和表示）
例2-2（25-26高三上·上海·期中）方程的解集为__________．
方法技巧
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
【变式训练2-1】（25-26高三上·上海·期中）已知，用表示__________.
【变式训练2-2】（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（25-26高三上·安徽·阶段检测）若正数，满足，则的最小值为________.
题型3 指对运算的应用
例3-1（2025·上海崇明·三模）已知，则___________．
例3-2（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，若，则_______.
【变式训练3-1】（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）若，且，则______________.
【变式训练3-2】（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）已知，，且，则___
【变式训练3-3】（24-25高三下·上海·阶段检测）设集合，，则集合中元素的个数为________.
题型4 幂函数的图象与性质
例4-1（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________．
例4-2（25-26高三下·上海·阶段检测）函数在上的值域为______．
例4-3（24-25高三上·上海·期中）幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是________.
例4-4（25-26高三上·上海·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的解集为_____.
方法技巧
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x＝1,y＝1,y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1,α＝1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
【变式训练4-1】（2026·上海浦东新·三模）若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________．
【变式训练4-2】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）若幂函数为严格增函数，则m的值为__________.
【变式训练4-3】已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则______.
题型5 二次函数的解析式
例5已知是二次函数，且，，则________．
方法技巧
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式.
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式.
【变式训练5-1】已知，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为-1和2，且该二次函数图像过点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)已知，解关于的不等式.
【变式训练5-2】二次函数满足对任意的，恒成立．
(1)求证：为定值；
(2)若，求二次函数的表达式；
(3)求的取值范围．
题型6 二次函数的图象与性质
例6-1（24-25高三上·上海·阶段检测）若函数，，若的最小值为2，则______
例6-2函数的严格增区间是__________.
方法技巧
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
【变式训练6-1】已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是_______.
【变式训练6-2】已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是__________．
【变式训练6-3】已知函数
(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值：
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值.
题型7 指数函数的概念与图象
例7-1（25-26高三上·上海·阶段检测）已知指数函数的图象经过点，则______．
例7-2在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ）
A．B．C． D．
例7-3（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为___________．
方法技巧
对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
【变式训练7-1】函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】（25-26高三上·上海·期中）函数（且）的图像过定点A，则点A的坐标是__________.
【变式训练7-3】（25-26高三上·上海松江·期中）不等式对任意都成立，则实数a的取值范围______．
【变式训练7-4】如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成.若方程存在实数解，求的取值范围.
题型8 指数函数的性质及应用
例8-1已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例8-2（25-26高三上·上海闵行·期中）若函数（）在上最大值比最小值大，则实数__________．
例8-3（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数．
(1)若函数为奇函数，求实数的值；
(2)若，解不等式．
方法技巧
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【变式训练8-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知集合，，则______．
【变式训练8-2】设为实数，函数，的最小值__________.
【变式训练8-3】如果在不断的裂变中，每天所剩质量与前一天剩留质量相比，按同一比例减少，且经过天裂变，剩余的质量是原来的，至少经过__________天裂变，其剩余质量才小于原来的.（参考数据：）
题型9 对数函数的概念与图象
例9-1（2026·上海·模拟预测）已知函数，则的定义域是________．
例9-2已知，为的反函数.若，那么与在同一坐标系内的图像可能是 （ ）
A． B．
C． D．
例9-3（24-25高三下·上海·阶段检测）已知则____________．
方法技巧
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
【变式训练9-1】（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）函数的值域是_____________.
【变式训练9-2】（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）已知常数且，假设无论取何值，函数的图象恒过一个定点，则此定点坐标是_________.
【变式训练9-3】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为__________.
题型10 对数函数的性质及应用
例10-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数 在区间上的最大值为________.
例10-2（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是_____.
例10-3（2026·上海·模拟预测）已知（且）．
(1)若，解方程；
(2)若，求的取值范围．
方法技巧
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.
【变式训练10-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）若，则x的取值范围为________．
【变式训练10-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中常数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，试比较与的大小.
【变式训练10-3】（2026·上海虹口·三模）设．
(1)解不等式：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
题型11 反函数
例11-1设，则其反函数必过定点的坐标为___________．
例11-2（25-26高三上·上海·期末）函数，的反函数为__________．
【变式训练11-1】已知和它的反函数的图像都经过，则______．
【变式训练11-2】设，则的反函数__________.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
3．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．3
4．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.
6．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______；
7．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________
8．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________．
9．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
10．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．求函数在区间上的最大值和最小值．
2．对数函数，，（，，，且a，b，c均不为1）的图象如图，试比较a，b，c的大小．

3．已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，）
4．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围．
5．求使下列不等式成立的实数x的集合：
(1)； (2).
6．已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
7．地震的强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中100km处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅．

(1)若一次地震测得，，该地震的震级是多少（计算精确到0.1）？
(2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍？
8．（1）在同一个直角坐标系中画出下列个函数在区间上的图象：，，，.
结合这个函数的图象，比较它们随着的增大函数值增长的快慢，并指出：当的值足够大（）的时候，这个函数的值的大小关系；
（2）先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想.
①与；②与.
借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在（2）中的猜想.
①与；②与.
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______.
4．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______.
5．（2025·上海杨浦·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______.
6．（24-25高三上·上海·期中）已知函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若函数的最大值是，求的值.
7．（2026·上海·模拟预测）设函数，．
(1)若，求函数的所有单调区间；
(2)若方程有两个虚根和，且．求的值．
8．（2026·上海浦东新·三模）已知
(1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值；
(2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围．
重难·创新演练
1．（2025·上海虹口·一模）若，则实数的取值范围是：___________
2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，．
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围．
3．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知.
(1)若，求的值；
(2)当时恒成立，求的取值范围.
4．（2026·上海·三模）已知连续函数和，设，集合.
(1)若指数函数的图像过点，且，求M；
(2)若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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