资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第10讲 三角函数
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
同角三角函数与诱导公式 / 秋考第21题 春考第5题 /
三角函数的图象与性质 秋考第11题 春考第19题 秋考第5题 春考第16题 秋考第14题 春考第17题
三角函数的应用 春考第12题 秋考第11题 /
考情分析 1. 三年高频考点频次统计（上海秋考为主） 超高频考点（年年必考）：诱导公式化简求值、同角三角关系知一求二、正弦型函数周期/对称轴/单调区间、图像平移伸缩变换、给定区间值域最值。 中频考点（两年一考）：扇形弧长面积计算、三角函数奇偶性判定、对称中心综合应用、齐次式求值。 压轴考点（逐年升温）：含参ω范围问题（区间单调性、零点个数限制）、φ多解取舍问题，为上海高三一模、高考小题核心拉分点。 2.上海卷专属命题特色 不考复杂恒等变形：弱化多公式叠加难题，聚焦基础定义、图像逻辑与参数分析，难度温和但陷阱极多。 范围约束是核心考点：所有三角求值、参数求解题目，几乎均附带角度、区间限制，专门考查符号判断与多解舍去能力。 ω参数压轴常态化：上海小题压轴偏爱考查正弦型函数含参范围，依托单调性、零点、最值条件列不等式，是区分度核心题型。 3.2027命题预判：延续近三年命题风格，以【基础化简+图像性质+含参小题压轴】为核心，重点规避惯性易错点，侧重考查解题思维严谨性，无偏题怪题。
复习目标 1. 基础目标（全员必达，保底满分） 吃透三角函数定义、象限符号、同角关系、诱导公式，实现化简求值零失误；熟练掌握三类基础三角函数的定义域、值域、周期、对称、单调性质，基础填空选择题不丢分，杜绝符号、角度、公式低级错误。 2. 中档目标（稳拿中档题型分值） 熟练掌握正弦型函数图像变换、解析式求解、区间值域最值通用解法，固化【换元+画图+判范围】的标准解题流程；能独立解决图像综合、性质应用常规题型，适配上海一模中档题难度。 3. 拔高目标（冲刺小题压轴） 攻克含参ω范围、初相φ多解取舍、区间零点/最值个数约束等难点题型，熟练数形结合与不等式列写技巧，具备解决上海高考三角小题压轴的能力，实现本模块全题型满分。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角
相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α
终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2.弧度制的定义及公式
定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad
弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示，半径用r表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°≈57.3°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α＝tan α(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝cos α＝tan α＝(x≠0).
4.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
自主检测
1．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
知识点2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
3.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝；
cos2α＝.
4.谨防两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
(2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意.
自主检测
2.如果，那么___________
知识点3 三角函数的图象与性质
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)(π，0)(2π，0).
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)(π，－1)(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2kπ－π，2kπ]
单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
3.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论
(1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).
(3)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z).
4.谨防两个易误点
(1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆.
(2)对于y＝tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数.
自主检测
3．已知函数在上的最小值为，则的最小值为__________．
知识点4 函数y＝Asin(ωx＋φ)
1.简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
4.熟记下列常用结论
(1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
(2)若直线x＝a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x＝a处取得最值.
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
5.谨防两个易误点
(1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度.
(2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系.
自主检测
4．已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为________．
题●型●破●译
题型1 三角函数定义与扇形公式应用
例1-1已知角，的终边关于原点O对称，则______．
例1-2（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________．
例1-3（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________.
方法技巧
1. 判断三角比符号优先用单位圆象限规律，避免出错；
2.扇形公式统一使用弧度制：，；
易错分析
角度制必须先转化为弧度制，再代入公式计算。
【变式训练1-1】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________．
【变式训练1-2】（2026·上海黄浦·二模）底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______．
【变式训练1-3】（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米.
题型2 同角关系「知一求二」
例2设满足，请用下列两种方法证明：
(1)运用任意角的三角比定义证明；
(2)运用同角三角比关系证明．
方法技巧
1. 优先定范围：根据题干条件确定角α所在象限，锁定三角比正负（上海阅卷核心扣分点）；
2.平方关系求解未知三角比，严格遵循符号规则；
3.齐次分式求值：上下同除，转化为整体代入；
4.和差积互化：利用平方变形公式，实现、、知一求二。
【变式训练2-1】若，，其中，则_________.
【变式训练2-2】（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为_____________.
【变式训练2-3】已知，且为第二象限角，则______.
【变式训练2-4】（1）已知角的终边落在直线上，求；
已知，求的值；
题型3 诱导公式化简与求值
例3-1已知为锐角，若，则________．
例3-2始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________.
例3-3（2026·上海·三模）若角的终边经过，则__________.
方法技巧
函数名不变，函数名互换，全程用「奇变偶不变，符号看象限」推导，无需死记硬背。
【变式训练3-1】（2025·上海宝山·三模）已知，则__________.
【变式训练3-2】（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则______．
【变式训练3-3】化简：
(1)；
(2).
【变式训练3-4】已知角终边上一点，
(1)求、的值；
(2)化简并求值．
题型4 三角函数图像变换
例4-1（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则__________.
例4-2（2026·上海杨浦·二模）已知函数（常数）.
(1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小；
(2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围.
例4-3已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为.
(1)求函数的所有零点；
(2)当时，且，求的值；
(3)设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围.
方法技巧
1.先平移后伸缩：
2.先伸缩后平移：
易错分析
先伸缩后平移时，平移量为，绝非！
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海·期末）将的图像向右平移__________个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）.
【变式训练4-2】将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的函数解析式为______．
【变式训练4-3】已知函数（，）为奇函数，且的周期为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域；
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值．
题型5 由图像求正弦型函数解析式
例5-1已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为__________.
例5-2（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处．
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式：
(2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？
方法技巧
1. 求A、B：，；
2.求ω：由图像周期T，得；
3.求φ：优先代入最高点、最低点（避免零点多解问题）；
4.检验：结合图像单调性、对称性验证，剔除增根。
【变式训练5-1】函数的图象上相邻两个最高点的距离为，其中一个最高点坐标为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间．
【变式训练5-2】（25-26高三上·上海·期末）已知函数在一个周期的闭区间上的图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)求这个函数的对称中心和对称轴；
(3)若是偶函数，求的一个可能取值．
【变式训练5-3】已知，其中，.
(1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间；
(2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式.
题型6 正弦型函数性质综合（单调、对称、奇偶）
例6-1三角函数的单调增区间为________．
例6-2（25-26高三上·上海·期末）若直线是函数的一条对称轴，则__________．
例6-3若为偶函数，且，则的值为______．
方法技巧
1. 单调区间：整体换元法（核心通用方法）
令，结合的单调区间列不等式求解；若，先利用诱导公式化为，避免单调性颠倒。
2. 对称性速记结论
对称轴（取最值）：
对称中心（函数值为0）：
3. 奇偶性快速判定
：奇函数，偶函数
：偶函数，奇函数
【变式训练6-1】已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小正值是___________
【变式训练6-2】（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心．
(1)求的值；
(2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间．
题型7 给定区间求函数值域与最值
例7-1（2026·上海长宁·二模）函数，的值域为________.
例7-2已知向量 .
(1)当时，求的值；
(2)设函数，已知在中，内角的对边分别为 ，若，求的取值范围.
方法技巧
1.换元：令，根据x的取值范围，精准求出t的取值区间；
2.画图：画出在对应t区间内的图像；
3.判最值：结合图像走势，确定函数最大值、最小值，得出值域。
易错分析
不可直接套用，区间不一定包含波峰、波谷！
【变式训练7-1】函数在上的最大值为4，则实数的值为______.
【变式训练7-2】已知向量，，且．
(1)求及；
(2)记，求函数的最小值．
【变式训练7-3】设向量，，．
(1)求函数在上的最大值、最小值，并写出取得最大值、最小值时x的值；
(2)在中，若满足，且边，求周长的最大值．
【变式训练7-4】设．
(1)当时，证明：是上的严格增函数．
(2)当时，求在上的所有极值点．
题型8 三角函数的应用
例8-1（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为__________
例8-2（2025·上海金山·一模）上海护珠塔，俗称斜塔，始建于北宋元丰年间（1078-1085年），是世界上倾斜程度最大的佛塔之一，其倾斜角（塔身所在直线与铅垂线的夹角）超过意大利比萨斜塔．如图，护珠塔前有一条笔直的山路，山路所在直线与水平面夹角为．康同学为了测量护珠塔的倾斜程度，实施如下方案：从塔底沿着山路往下走至，此时测得长度为10米，观察塔顶的仰角（视线与水平面的夹角）为，继续往下走至，测得长度为25.9米，观察塔顶的仰角为．根据康同学的数据，可得该塔的倾斜角为___________．（精确到）
（参考数值：）
【变式训练8-1】（2025·上海金山·三模）我校南门有条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有120个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加__________个．
【变式训练8-2】（2025·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时，__________．（结果精确到）
【变式训练8-3】如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．

(1)求关于的函数表达式；
(2)求的最大值，并求此时的值．
题型9 含参ω范围问题
例9-1（25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为__________.
例9-2（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________．
例9-3（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，，其中.
(1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标；
(2)是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
方法技巧
常见设问方式
函数在给定区间单调，求ω的取值范围；
函数在区间内恰有N个零点、N个最值，求ω范围。
通用解题通法
1.整体换元，转化为的区间范围；
2.将问题转化为基础正弦函数在固定区间的性质问题；
3.结合图像边界、周期长度关系，列不等式求解参数范围。
【变式训练9-1】已知函数在区间上严格增，则的最大值是__________.
【变式训练9-2】已知．
(1)若，求函数在上的值域；
(2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
【变式训练9-3】已知函数，其中实数．
(1)若的最小正周期为π，求在处的切线方程；
(2)若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
【变式训练9-4】已知函数，实数，；
(1)若该函数的最小正周期为，函数图象经过点，求该函数的表达式；
(2)在（1）的条件下，若时，该函数与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；
(3)若存在实数，使得函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围；
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）．
A．0 B．338 C．674 D．1012
二、填空题
3．（2025·上海·高考真题）已知，则__________．
4．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________．
5．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
6．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
7．（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到）
三、解答题
8．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
9．（2026·上海·高考真题）已知函数.
(1)当，，求函数在处的切线方程；
(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.
10．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（ ）
A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（ ）
A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
3．函数一个周期的图象如图所示，试确定A，ω，φ的值．

4．求下列函数的最大值、最小值以及达到最大（小）值时x的值的集合：
(1)； (2)．
5．画出下列函数在一个周期上的图象，并讨论其性质．
(1)； (2)．
6．已知，是方程的两根，求下列各式的值：
(1)； (2)； (3).
7．在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间上的图象，并回答下列问题．
(1)写出满足的x的值；
(2)写出满足的x的取值范围；
(3)写出满足的x的取值范围；
(4)当时，分别写出满足，，的x值的集合．
8．在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题：
(1)写出这两个函数图象的交点坐标；
(2)写出使成立的x的取值范围；
(3)写出使成立的x的取值范围；
(4)写出使成立的x的取值范围；
(5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间．
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为_______
2．（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______．
3．（2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为________.
4．（2025·上海黄浦·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为_______．
5．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______．
6．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，．
(1)，求的值；
(2)若，，依次成等比数列，求的值．
7．已知向量 ，，函数 .
(1)若 ，且，求满足条件的 取值的集合；
(2)若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
重难·创新演练
1．（25-26高三上·上海·期末）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·上海虹口·三模）若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（ ）．
A． B． C． D．
3．（25-26高三下·上海·开学考试）已知函数为图像的对称中心，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的对称轴方程为
B．的图像关于轴对称
C．函数在区间上是严格增函数
D．若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极小值点
4．（25-26高三下·上海·阶段检测）对于定义在上的函数，若存在一个向量，使得对于任意，都有成立，则称是函数的同生向量．下列两个命题中，真命题是（ ）
①函数存在无穷多个同生向量；
②若是函数的同生向量，且当时，，则使得成立的最大的是．
A．只有①是真命题
B．只有②是真命题
C．①和②都是真命题
D．①和②都不是真命题
5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或．有如下两个命题：①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，则函数至少存在2025个严格减区间；②若对任意满足条件的函数，方程都有解，则实数存在4051个可能的取值；则（ ）
A．①正确；②正确 B．①正确；②错误
C．①错误；②正确 D．①错误；②错误
6．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______
7．（2026·上海崇明·二模）设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
8．已知，若对任意的，都存在，使得成立，则正实数的取值范围是_____．
9．（2025·上海金山·一模）已知（其中），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于两点，点为线段上一动点．
(1)求函数的表达式，并写出其严格增区间；
(2)设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值．
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)分别求在上的严格递增区间、对称中心、最大值，及取得最大值时x的值；
(3)把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到曲线，试问当，时，，，能否作为的三边长？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．
11.设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量”．
(1)设函数，求的“相伴向量”；
(2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有4个不同的交点，求实数的取值范围；
(3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第10讲 三角函数
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
同角三角函数与诱导公式 / 秋考第21题 春考第5题 /
三角函数的图象与性质 秋考第11题 春考第19题 秋考第5题 春考第16题 秋考第14题 春考第17题
三角函数的应用 春考第12题 秋考第11题 /
考情分析 1. 三年高频考点频次统计（上海秋考为主） 超高频考点（年年必考）：诱导公式化简求值、同角三角关系知一求二、正弦型函数周期/对称轴/单调区间、图像平移伸缩变换、给定区间值域最值。 中频考点（两年一考）：扇形弧长面积计算、三角函数奇偶性判定、对称中心综合应用、齐次式求值。 压轴考点（逐年升温）：含参ω范围问题（区间单调性、零点个数限制）、φ多解取舍问题，为上海高三一模、高考小题核心拉分点。 2.上海卷专属命题特色 不考复杂恒等变形：弱化多公式叠加难题，聚焦基础定义、图像逻辑与参数分析，难度温和但陷阱极多。 范围约束是核心考点：所有三角求值、参数求解题目，几乎均附带角度、区间限制，专门考查符号判断与多解舍去能力。 ω参数压轴常态化：上海小题压轴偏爱考查正弦型函数含参范围，依托单调性、零点、最值条件列不等式，是区分度核心题型。 3.2027命题预判：延续近三年命题风格，以【基础化简+图像性质+含参小题压轴】为核心，重点规避惯性易错点，侧重考查解题思维严谨性，无偏题怪题。
复习目标 1. 基础目标（全员必达，保底满分） 吃透三角函数定义、象限符号、同角关系、诱导公式，实现化简求值零失误；熟练掌握三类基础三角函数的定义域、值域、周期、对称、单调性质，基础填空选择题不丢分，杜绝符号、角度、公式低级错误。 2. 中档目标（稳拿中档题型分值） 熟练掌握正弦型函数图像变换、解析式求解、区间值域最值通用解法，固化【换元+画图+判范围】的标准解题流程；能独立解决图像综合、性质应用常规题型，适配上海一模中档题难度。 3. 拔高目标（冲刺小题压轴） 攻克含参ω范围、初相φ多解取舍、区间零点/最值个数约束等难点题型，熟练数形结合与不等式列写技巧，具备解决上海高考三角小题压轴的能力，实现本模块全题型满分。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角
相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α
终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2.弧度制的定义及公式
定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad
弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示，半径用r表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°≈57.3°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α＝tan α(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝cos α＝tan α＝(x≠0).
4.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
自主检测
1．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设扇形半径（即圆锥母线长）为，扇形的圆心角为.
由题意，，.
扇形的面积.
，当且仅当，即时取等号.
故扇形面积最大时，，.
由，可得圆锥的底面半径.
所以圆锥的高.
圆锥的体积.
知识点2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
3.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝；
cos2α＝.
4.谨防两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
(2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意.
自主检测
2.如果，那么___________
【答案】
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
知识点3 三角函数的图象与性质
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)(π，0)(2π，0).
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)(π，－1)(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2kπ－π，2kπ]
单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
3.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论
(1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).
(3)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z).
4.谨防两个易误点
(1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆.
(2)对于y＝tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数.
自主检测
3．已知函数在上的最小值为，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】由，可得：，
令
由题意可知：在可取到，
结合余弦函数的性质可知需满足：，
解得，
所以的最小值为，
故答案为：
知识点4 函数y＝Asin(ωx＋φ)
1.简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
4.熟记下列常用结论
(1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
(2)若直线x＝a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x＝a处取得最值.
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
5.谨防两个易误点
(1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度.
(2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系.
自主检测
4．已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为________．
【答案】1
【详解】函数的图象向右平移后得到函数的图象，
则，所以.
题●型●破●译
题型1 三角函数定义与扇形公式应用
例1-1已知角，的终边关于原点O对称，则______．
【答案】
【详解】角，的终边关于原点O对称，
，
.
故答案为：.
例1-2（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________．
【答案】
【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为，
所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为.
故答案为：
例1-3（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________.
【答案】
【详解】设底面半径为，母线长为l
由，得，
又，由勾股定理，
所以，解得，
底面圆周长，扇形中心角，
故答案为：
方法技巧
1. 判断三角比符号优先用单位圆象限规律，避免出错；
2.扇形公式统一使用弧度制：，；
易错分析
角度制必须先转化为弧度制，再代入公式计算。
【变式训练1-1】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________．
【答案】
【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以，
所以，
所以．
故答案为：.
【变式训练1-2】（2026·上海黄浦·二模）底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______．
【答案】
【详解】设侧面展开图中扇形的中心角为，
由题意可得：，解得，
所以侧面展开图中扇形的中心角为.
【变式训练1-3】（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米.
【答案】
【详解】过点作垂足为，可得，，
设,，在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又由阴影部分的面积：
，其中，
令，
可得，
令，可得，解得
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形，
因为，所以.
故答案为：

题型2 同角关系「知一求二」
例2设满足，请用下列两种方法证明：
(1)运用任意角的三角比定义证明；
(2)运用同角三角比关系证明．
【答案】(1)设与单位圆的交点为，由题意可知：，且，
左边右边；
(2)左边右边.
方法技巧
1. 优先定范围：根据题干条件确定角α所在象限，锁定三角比正负（上海阅卷核心扣分点）；
2.平方关系求解未知三角比，严格遵循符号规则；
3.齐次分式求值：上下同除，转化为整体代入；
4.和差积互化：利用平方变形公式，实现、、知一求二。
【变式训练2-1】若，，其中，则_________.
【答案】3
【详解】，
故答案为：
【变式训练2-2】（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为_____________.
【答案】
【详解】，
所以，
则.
故答案为：7.
【变式训练2-3】已知，且为第二象限角，则______.
【答案】
【详解】因为为第二象限角，所以，所以.
对两边同时平方得
，即，
所以，所以.
所以，
所以（负值舍去）.
【变式训练2-4】（1）已知角的终边落在直线上，求；
（2）已知，求的值；
【详解】（1）因为已知角的终边落在直线上，所以设点在直线上，
则，则，同理，则
（2），因为，则.
题型3 诱导公式化简与求值
例3-1已知为锐角，若，则________．
【答案】
【详解】，所以，
因为为锐角，所以，，
故答案为：
例3-2始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________.
【答案】
【详解】始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，
则，
故．
故答案为：．
例3-3（2026·上海·三模）若角的终边经过，则__________.
【答案】
【详解】根据三角函数的定义得，又因为，所以.
方法技巧
函数名不变，函数名互换，全程用「奇变偶不变，符号看象限」推导，无需死记硬背。
【变式训练3-1】（2025·上海宝山·三模）已知，则__________.
【答案】
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
【变式训练3-2】（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则______．
【答案】
【详解】因为，所以，由同角三角函数的平方关系，
代入可得，
.
【变式训练3-3】化简：
(1)；
(2).
【详解】（1）原式.
（2）原式.
【变式训练3-4】已知角终边上一点，
(1)求、的值；
(2)化简并求值．
【详解】（1）由角终边上一点，则，．
（2）．
题型4 三角函数图像变换
例4-1（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则__________.
【答案】
【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，
再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得，
即
故答案为：
例4-2（2026·上海杨浦·二模）已知函数（常数）.
(1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小；
(2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围.
【详解】（1）时，函数，，，
中，，所以，
，由正弦定理可得，，
由，所以.
（2）函数（常数），的最小正周期为π，
所以，得，即，
所以，
时，，则有，此时，
当时恒有，则有，解得，
所以的取值范围为.
例4-3已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为.
(1)求函数的所有零点；
(2)当时，且，求的值；
(3)设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围.
【详解】（1）因为图象的相邻两个最高点间的距离为，
则函数的最小正周期，解得，
所以，
令，解得，
所以函数的所有零点可以表示为；
（2）由，得 .
由 得 ，
又，则 ，.
故.
（3）将函数的图象向左平移个单位可得，
再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即，
当时，，故，
所以当时，函数有最大值为，
当时，函数有最小值为，
若对任意，都有，
则，即，
所以的取值范围为.
方法技巧
1.先平移后伸缩：
2.先伸缩后平移：
易错分析
先伸缩后平移时，平移量为，绝非！
【变式训练4-1】（25-26高三上·上海·期末）将的图像向右平移__________个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）.
【答案】（答案不唯一，符合表达式即可）
【详解】设的图像向右平移个单位得到的图像，
则，
由于正切函数的周期是，所以，
可得，
取，可得.
故答案为：（答案不唯一，符合表达式即可）
【变式训练4-2】将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的函数解析式为______．
【答案】
【详解】，将函数沿轴平移向右平移个单位，
平移后的解析式为.
故答案为：
【变式训练4-3】已知函数（，）为奇函数，且的周期为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域；
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值．
【详解】（1）因为函数周期，且，所以，解得，
又由函数为奇函数，可得，所以，
又，所以，所以函数.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当，即时，函数取得最小值，最小值为，
当，即时，函数取得最大值，最大值为，
故函数在区间上的值域为．
（3）由方程，即，得，
因为，所以，
设，则，，作出正弦函数的图象如图所示，

由图可知方程在区间上有3个根，所以，
其中，，
即，，
解得：，，
所以．
题型5 由图像求正弦型函数解析式
例5-1已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为__________.
【答案】
【详解】对于①：因为，由题意可得：，则；
对于②：可得，解得，
且，可得或，则或；
对于③：因为，则，
且在内单调递增，可知在内单调递增，
可知不合题意，符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
例5-2（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处．
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式：
(2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？
【详解】（1）中心点距地面40m，则，摩天轮的半径为30m，即，，，
最低点到地面距离为10 m，
所以，，又，则，
所以所求表达式为；
（2），，
取一个周期内，有，，．
所以在摩天轮转动一圈内，点有4分钟的时间距离地面超过55m．
方法技巧
1. 求A、B：，；
2.求ω：由图像周期T，得；
3.求φ：优先代入最高点、最低点（避免零点多解问题）；
4.检验：结合图像单调性、对称性验证，剔除增根。
【变式训练5-1】函数的图象上相邻两个最高点的距离为，其中一个最高点坐标为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间．
【详解】（1）由题意得，，，
解得，注意到，所以只能，，
所以函数的解析式为.
（2）当时，，
令或，解得或，
所以由复合函数单调性可知，函数在区间上的单调递增区间为.
【变式训练5-2】（25-26高三上·上海·期末）已知函数在一个周期的闭区间上的图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)求这个函数的对称中心和对称轴；
(3)若是偶函数，求的一个可能取值．
【详解】（1）由图，，
又，解得，所以，
因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
（2）由，得；由，得，
所以的对称中心；对称轴：；
（3），
若是偶函数，则，解得.
所以的一个可能取值为.
【变式训练5-3】已知，其中，.
(1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间；
(2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式.
【详解】（1）由题，，解得，故.
令，
所以的单调减区间为.
（2）由题，可得，，
因此，，又，得.
由，得.
再将代入，即.
由，解得.
因此的解析式为.
题型6 正弦型函数性质综合（单调、对称、奇偶）
例6-1三角函数的单调增区间为________．
【答案】
【详解】正弦函数的单调增区间为.
令，由，
解得，
所以函数的单调增区间为.
例6-2（25-26高三上·上海·期末）若直线是函数的一条对称轴，则__________．
【答案】
【详解】因为，
所以的最大值为，最小值为.
又直线是函数的一条对称轴，
所以在时取得最值，即.
故答案为：.
例6-3若为偶函数，且，则的值为______．
【答案】或
【详解】为偶函数，，
，或.
方法技巧
1. 单调区间：整体换元法（核心通用方法）
令，结合的单调区间列不等式求解；若，先利用诱导公式化为，避免单调性颠倒。
2. 对称性速记结论
对称轴（取最值）：
对称中心（函数值为0）：
3. 奇偶性快速判定
：奇函数，偶函数
：偶函数，奇函数
【变式训练6-1】已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小正值是___________
【答案】/
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式
【详解】由题意得，，其图象关于轴对称，
则，得，
故的最小正值是.
【变式训练6-2】（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心．
(1)求的值；
(2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间．
【详解】（1）已知点是对称中心，则有，
解得，又因为，所以当时，.
（2）由(1)知，
则
即
因为，所以的最大值为
由题意可知.
所以，所以的最小值是.
解得，
所以单调递增区间为
题型7 给定区间求函数值域与最值
例7-1（2026·上海长宁·二模）函数，的值域为________.
【答案】
【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有最小值，当时，函数有最大值.
所以函数在上值域为.
例7-2已知向量 .
(1)当时，求的值；
(2)设函数，已知在中，内角的对边分别为 ，若，求的取值范围.
【详解】（1）当时，则存在非零实数，使得，
当时，则，与时矛盾，舍去.
当时，，即，
所以.
（2）而，
由正弦定理可知，即，
∵且，∴.
得到,
而，得到，
∴.
方法技巧
1.换元：令，根据x的取值范围，精准求出t的取值区间；
2.画图：画出在对应t区间内的图像；
3.判最值：结合图像走势，确定函数最大值、最小值，得出值域。
易错分析
不可直接套用，区间不一定包含波峰、波谷！
【变式训练7-1】函数在上的最大值为4，则实数的值为______.
【答案】
【详解】函数在上单调递增，
则当时，，
因此，解得，
所以实数为.
故答案为：.
【变式训练7-2】已知向量，，且．
(1)求及；
(2)记，求函数的最小值．
【详解】（1）由题意得，
由于，
则
，
因为，所以．
（2），
因为，则，则当，即时，该函数取得最小值．
【变式训练7-3】设向量，，．
(1)求函数在上的最大值、最小值，并写出取得最大值、最小值时x的值；
(2)在中，若满足，且边，求周长的最大值．
【详解】（1），
∵，∴，∴，
则当，即时，；
当时，即时，．
（2）解法一：由得，∴，
∵，∴，∴．
由余弦定理得，
∴，即，当且仅当时，等号成立．故周长最大值为．
解法二：由仿上同法求得 ．
由正弦定理，，∴，．
则周长为
∴当，即当时，周长取得最大值为．
【变式训练7-4】设．
(1)当时，证明：是上的严格增函数．
(2)当时，求在上的所有极值点．
【答案】(1)当时，，
则，
时，，，，，
对于，，当且仅当时，，
根据导数与函数单调性的关系，若导数在区间内非负且仅在有限个点处为零，
则该函数在该区间上严格单调递增，故是上的严格增函数．
（2）当时，，
则，
令，寻找驻点：
即，
在范围内，解得，，
时，，则，
故的符号由分子决定，
分别讨论在两个驻点附近的符号：
在附近：
当时，，此时，
，即；
当时，，此时，
，即，故是一个极大值点.
在附近：
当时，，此时，
，即；
当时，，此时，
，即，故是一个极小值点.
综上所述，在上的所有极值点为和.
题型8 三角函数的应用
例8-1（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为__________
【答案】12
【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，,
，两式相加得：，，
又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20，
一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解；
经检验：的值为和；
所以正整数的所有可能取值之和为.
故答案为：.
例8-2（2025·上海金山·一模）上海护珠塔，俗称斜塔，始建于北宋元丰年间（1078-1085年），是世界上倾斜程度最大的佛塔之一，其倾斜角（塔身所在直线与铅垂线的夹角）超过意大利比萨斜塔．如图，护珠塔前有一条笔直的山路，山路所在直线与水平面夹角为．康同学为了测量护珠塔的倾斜程度，实施如下方案：从塔底沿着山路往下走至，此时测得长度为10米，观察塔顶的仰角（视线与水平面的夹角）为，继续往下走至，测得长度为25.9米，观察塔顶的仰角为．根据康同学的数据，可得该塔的倾斜角为___________．（精确到）
（参考数值：）
【答案】
【详解】以为坐标原点，以水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，且山路所在直线与水平面夹角为，
可得，
设塔高的长为，倾斜角为，则，
因为在处观察塔顶的仰角为，可得，
在处观察塔顶的仰角为，可得，
代入，
整理得，解得，
又由，所以.
故答案为：.
【变式训练8-1】（2025·上海金山·三模）我校南门有条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有120个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加__________个．
【答案】71
【详解】停车位相对道路倾斜的角度，，
依题意，，
则，而，于是，
整理得，又，因此，
化简得，由，得，则，，
设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线垂线，垂足为，如图，
则顶点到线段距离，
由各矩形停车位大小相等，得，，
于是，而，
因此，，又，
则，由，得，
解得，即改造后最大停车位数量为，
所以改造后的停车位比改造前增加个.
故答案为：71
【变式训练8-2】（2025·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时，__________．（结果精确到）
【答案】
【详解】

不妨以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则：，，设是圆上的点，设.
，，
结合图象，易知当最大时，点位于第一象限，且为钝角，设，
则两直线夹角的正切值公式为：
则：，
，
又因为在圆上，故，
因此，，
令，则，因为在圆上，因此可认为直线与圆有交点，
即圆心到直线的距离，解得.
由于点在第一象限的圆上，易知，因此，
故.
由于是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当时，取得最小，即最小，此时对应最大.
当时，结合，解得，即.
，
，
又因为，
解得，
故答案为：.
【变式训练8-3】如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．

(1)求关于的函数表达式；
(2)求的最大值，并求此时的值．
【详解】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，可知，，
由，，，可得，，
所以，，
所以
故S关于θ的函数表达式为．

（2）令，
则，即，
而，
由，则，
即，即，
所以，
函数开口向上，对称轴为，所以当时，即，
解得或，此时S取得最大值，最大值为．
题型9 含参ω范围问题
例9-1（25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为__________.
【答案】11
【详解】因为直线是一条对称轴，所以.
整理可得：，即，
由，得，
则函数在上单调递增，
因为函数在区间上不单调，所以，解得，
因为且，所以的最小值为11，
故答案为：11
例9-2（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】因为，所以，
由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点，
则，且，解得且，
所以的取值范围为.
例9-3（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，，其中.
(1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标；
(2)是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【详解】（1）函数的最小正周期为，可得，此时.
令解得，
所以图象的对称中心为，.
(2)不存在，理由如下：
极值点满足，
即，而.
考虑在附近的极值点、、，
需要，无解，
故不存在，使得函数在区间上恰有个极值点.
方法技巧
常见设问方式
函数在给定区间单调，求ω的取值范围；
函数在区间内恰有N个零点、N个最值，求ω范围。
通用解题通法
1.整体换元，转化为的区间范围；
2.将问题转化为基础正弦函数在固定区间的性质问题；
3.结合图像边界、周期长度关系，列不等式求解参数范围。
【变式训练9-1】已知函数在区间上严格增，则的最大值是__________.
【答案】
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简，再结合正弦函数性质得到不等式组，进而求出参数范围即可.
【详解】由辅助角公式得，
因为，所以，
而在区间上严格增，且，则，
解得，可得的最大值是.
【变式训练9-2】已知．
(1)若，求函数在上的值域；
(2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
【详解】（1），
当时，，令，
由得，故，
所以，
即函数在上的值域为．
（2）令，则，即，
设，当时，，
满足的解满足或，
前3个解依次是：，
已知函数在上恰有2个零点，则，
解得，故实数的取值范围是．
【变式训练9-3】已知函数，其中实数．
(1)若的最小正周期为π，求在处的切线方程；
(2)若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
【详解】（1）.
因为的最小正周期为，所以，解得.
所以.
则，所以切点为.
又，则，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由（1）知，，，，则，
又在区间上恰有两个零点，则，且，
即，解得.
故的取值范围为.
【变式训练9-4】已知函数，实数，；
(1)若该函数的最小正周期为，函数图象经过点，求该函数的表达式；
(2)在（1）的条件下，若时，该函数与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；
(3)若存在实数，使得函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围；
【详解】（1）由函数的最小正周期，可得，则得，
将点代入得，即，
则，又，则得，故；
（2）令，当时，，问题转化为：与直线在上有且仅有一个交点，
当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，，
当时，仅在处有 1 个交点，符合条件；
当时，仅在递减段有 1 个交点，符合条件；
当时，递增段和递减段各有 1 个交点，共 2 个，不符合；
当或时，无交点，不符合，
综上，的取值范围为；
（3）令，
方程的解为：或，
所以，解得.
故的取值范围为.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
2．（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）．
A．0 B．338 C．674 D．1012
【答案】D
【详解】由，即，
对于，周期为，
且，，
当或时，不等式在中无整数解；
当时，若不等式有在内只有1个整数解，
比如时，此时在内的整数解为，
而，
则在中可能有个整数解；
若不等式有在内只有2个整数解，
比如时，此时在内的整数解为或，
则在中可能有个整数解；
由于，
则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解.
故选：D.
二、填空题
3．（2025·上海·高考真题）已知，则__________．
【答案】
【详解】由可得，
所以，
故答案为：
4．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________．
【答案】
【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
5．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
【答案】
【详解】如图，在处，，在处满足，
（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），
故设，则，
由勾股定理，，解得，
于是
故答案为：
6．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
【答案】
【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，
又，
所以，解得，故；
已知初速度为0，则，解得，
已知，则，
速度第一次达到4时用时秒，则，即，
此时．
7．（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到）
【答案】
【详解】
设壶嘴最低点，最高点分别是，
图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为，
当水平液面经过点时，可将油倒出，
设倾斜角为，当液面经过点时，，
先考虑液面不超过点，即的情况，
设液面与分别交于点，
设的中点为，过作的垂线，垂足为，
则，，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
在中，，
即，
即，
即，所以，
即，
因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出.
故答案为：
三、解答题
8．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以令，
由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
（2）由题意得，所以，可得，
当时，，，即，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
所以，
即，故.
9．（2026·上海·高考真题）已知函数.
(1)当，，求函数在处的切线方程；
(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.
【详解】（1）当时，则，
根据可得，故，故，
由于，故，故，
，则，
故函数在处的切线方程为，故，
（2）函数的最小正周期为，故，所以，
令，当，则，
令，则或，
当时，要使得有1351个实数根，则，解得，
当时，要使得有1351个实数根，则，解得，
当时，要使得有1351个实数根，则，无解，
综上可得或.
10．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
【详解】（1）（1），，则不是中的元素.
（2）法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
（3）对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知.
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多7个零点，
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有3个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得6个零点，
以及在处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（ ）
A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
【答案】B
【详解】将函数的图象上的每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，即可得到函数的图象.
故选：B.
2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（ ）
A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】D
【详解】将函数的图象上的每个点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，即可得出.
故选：D.
3．函数一个周期的图象如图所示，试确定A，ω，φ的值．

【答案】，，.
【详解】由图象可知，
函数的周期，则，解得，
即，由五点对应法得，，，
则，由，所以.
4．求下列函数的最大值、最小值以及达到最大（小）值时x的值的集合：
(1)；
(2)．
【详解】（1）函数的最大值为，最小值为，
当时， 函数取最大值.
由，解得 ，
此时，x值的集合为；
当时， 函数取最小值.
由，解得 ，
此时，x值的集合为.
（2）函数的最大值为，最小值为，
当时， 函数取最大值.
由，解得 ，
此时，x值的集合为；
当时， 函数取最小值.
由，解得 ，
此时，x值的集合为.
5．画出下列函数在一个周期上的图象，并讨论其性质．
(1)；
(2)．
【详解】（1）设
列表
作出在区间上的图象如图1，

周期：，
单调性：
由可得，，
所以，在区间上单调递增；
由可得，，
所以，在区间上单调递减.
最值：
由可得，，
所以，当时，有最小值；
由可得，，
所以，当时，有最大值.
奇偶性：函数为非奇非偶函数；
对称性：
由可得，，
所以，的对称轴为；
由可得，，
所以，的对称中心为.
（2）设
列表
作出在区间上的图象如图2，

周期：，
单调性：
由可得，，
所以，在区间上单调递增；
由可得，，
所以，在区间上单调递减.
最值：
由可得，，
所以，当时，有最小值；
由可得，，
所以，当时，有最大值.
奇偶性：函数为非奇非偶函数.
对称性：
由可得，，
所以，的对称轴为；
由可得，，
所以，的对称中心为.
6．已知，是方程的两根，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由是的两根，可得，
（2）=
（3）== =
7．在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间上的图象，并回答下列问题．
(1)写出满足的x的值；
(2)写出满足的x的取值范围；
(3)写出满足的x的取值范围；
(4)当时，分别写出满足，，的x值的集合．
【详解】（1）两函数在同一坐标系中的图象如下：
，
由图象知，在内，当或时，.
（2）由图象知，在内，当时，，即x的取值范围是.
（3）由图象知，在内，当或时，，即x的取值范围是.
（4）当时，由正弦、余弦函数的周期性知：
若，则所求集合为或；
若，则所求集合为；
若，则所求集合为或.
8．在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题：
(1)写出这两个函数图象的交点坐标；
(2)写出使成立的x的取值范围；
(3)写出使成立的x的取值范围；
(4)写出使成立的x的取值范围；
(5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间．
【详解】（1）在同一坐标系内，作出函数和，的图象，如图，

由图象知，两个函数的交点坐标为.
（2）由图象知，当或时，，
所以使成立的x的取值范围是.
（3）由图象知，当或或时，，
所以使成立的x的取值范围是.
（4）由图象知，当或时，，
所以使成立的x的取值范围是.
（5）由图象知，当时，两个函数都为增函数，当时，两个函数都为增函数，
所以使这两个函数有相同的单调性的区间是，.
课后训练·分层突破
——突破核心考点，提升解题能力
模拟·基础演练
1．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为_______
【答案】
【详解】因为，所以角α的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，知，故角α的最小正值为．
故答案为：
2．（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______．
【答案】
【详解】因为，即，
且，可知角为第四象限角，
所以.
3．（2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为________.
【答案】3
【详解】已知，则.
可得：
因为的取值范围是，所以当时，取得最大值.
此时.
那么的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
4．（2025·上海黄浦·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为_______．
【答案】
【详解】设，由题意可知，所以，
所以，
故答案为：.
5．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______．
【答案】
【详解】由函数，，知.
因为在上单调递增，所以.
由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零，
即曲线在处的切线的斜率小于零，
即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于.
此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象.
所以的最大值为.
6．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，．
(1)，求的值；
(2)若，，依次成等比数列，求的值．
【详解】（1）由，，得，
则.
（2）由，，，
因成等比数列，故，
即，得；
若，，依次成等比数列，则；
所以，，又，故，此时，，依次
为，符合题意；
综上，.
7．已知向量 ，，函数 .
(1)若 ，且，求满足条件的 取值的集合；
(2)若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
【详解】（1）因为，所以存在，所以，，
即，当时，，，，，
零向量与任何向量平行，故成立
当时，即，故，则，
因为，解得，，综上.
（2）由题意可得，
即，
故时，单调递增，当时，单调递减，
因此，又因为，
故在上，
又因为存在 ，使，
所以，解得，
或者，解得，
综上.
重难·创新演练
1．（25-26高三上·上海·期末）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，是奇函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于B，，是偶函数，在上单调递减，不符合题意；
对于C，令，则，即，
所以定义域为，关于原点对称，
且，所以为偶函数，
当时，，所以在上单调递增，符合题意；
对于D，令，则，即，
所以定义域为，关于原点对称，且，
所以为偶函数，当时，，
所以在上单调递减，不符合题意.
故选：C.
2．（2026·上海虹口·三模）若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为对任意，都存在，使得成立，
所以，
因为，所以，，
若对任意，都存在，使得成立，
可知在内的值域包含，
只需，即可，
因为，则，
对于A：当时，，则，
因为，所以的取值不符合条件，故A错误；
对于B：当时，，则，
因为，所以的取值不符合条件，故B错误；
对于C：当时，，则，
因为，，取值符合条件，故C正确；
对于D：当时，，则，
因为，所以的取值不符合条件，故D错误；
3．（25-26高三下·上海·开学考试）已知函数为图像的对称中心，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的对称轴方程为
B．的图像关于轴对称
C．函数在区间上是严格增函数
D．若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极小值点
【答案】D
【详解】因为是对称中心，所以，
又因为是该图像上相邻的最高点和最低点，解得，
所以，得 ，所以，则.
对于A， ，解得，故A错误.
对于B，设，
则，
所以的图像不关于轴对称，故B错误.
对于C，，解得，
当时，，当时，，
当时，即为，
此时区间不是的子集，
综上，不是函数增区间的子区间，故C错误.
对于D，令，得到零点为，
因为有5个零点，所以在第五个零点与第六个零点之间，所以.
函数取极小值时，即，即，
因为，故，
令，解得，即，只能为，
当时，，此时确有两个极小值点，故D正确.
4．（25-26高三下·上海·阶段检测）对于定义在上的函数，若存在一个向量，使得对于任意，都有成立，则称是函数的同生向量．下列两个命题中，真命题是（ ）
①函数存在无穷多个同生向量；
②若是函数的同生向量，且当时，，则使得成立的最大的是．
A．只有①是真命题
B．只有②是真命题
C．①和②都是真命题
D．①和②都不是真命题
【答案】A
【详解】假设是的同生向量，
则对恒成立，
即（*），
令，则，则或；
若，则，
代入（*）中得，
则对恒成立，故；
若，则对恒成立，
令，则，即，则，
得，代入（*）中得，
即，显然对恒成立，
故符合题意的有，或，，故①是真命题；
因为是函数的同生向量，所以对恒成立，
即对恒成立，
当时，，
则当时，，
则，，
则使得成立的最大的位于内，
假设，且，则，，
则，得，但当时，单调递减，
故使得成立的最大的不是，故②是假命题.
5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或．有如下两个命题：①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，则函数至少存在2025个严格减区间；②若对任意满足条件的函数，方程都有解，则实数存在4051个可能的取值；则（ ）
A．①正确；②正确 B．①正确；②错误
C．①错误；②正确 D．①错误；②错误
【答案】B
【详解】由函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或．
①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，
由当时，，无意义，此时，
即对所有的，均有，
由题意有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，
说明当，且，时，
从而在区间内包含函数的2025个周期，必有2025个严格递减区间.
从而在区间内至少存在2025个严格递减区间.命题①为真.
②由与在内有4050个交点
由定义域内任意的，的取值为或，
对任意满足条件的函数，方程都有解，
只要实数取上述交点纵坐标，则不论取值为或，
方程都有解，
故存在4050个可能的取值，命题②为错误.
6．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______
【答案】
【详解】，振幅为，周期，
设点，则，，
，
，
解得，解得或（舍去），
，解得．
7．（2026·上海崇明·二模）设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点，
相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为；
，令，则，
故单调区间的分界点，
相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为.
两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和，
所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是.
8．已知，若对任意的，都存在，使得成立，则正实数的取值范围是_____．
【答案】或或
【详解】当时，函数的最小正周期小于等于，的值域为，的值域也为，符合题意；
当时，，且，故的值域为，
故的值域为，而，
则或，
所以或,结合可得或；
故此时对任意的，都存在，使得成立，
当时，此时且，故，
此时的值域为，
同理的值域为，其中，
由题设有或，
故或，故或.
故（舍）或（舍）或.
当时，且，故，
此时的值域为，
同理的值域为，其中，
故，故当时，不存在，使得成立，
故不合题意；
综上，或或.
9．（2025·上海金山·一模）已知（其中），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于两点，点为线段上一动点．
(1)求函数的表达式，并写出其严格增区间；
(2)设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值．
【详解】（1）设的最小正周期为，
则由题可知，，而，解得，则；
在处取得极大值，，，
又因为，故，
则.
令，
解得，即的严格增区间为.
（2）由题可知，为轴右侧最接近轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴，
因此易知，故，则.
，，.
因此.
设，，，.
设，
则，
当时，，即，因此在上单调递减；
当时，，即，因此在上单调递增，
因此在时取到最小值，，
故的最小值.
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)分别求在上的严格递增区间、对称中心、最大值，及取得最大值时x的值；
(3)把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到曲线，试问当，时，，，能否作为的三边长？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．
【详解】（1）可知函数最大值为，所以；
函数经过，所以，即，
因为，解得；
函数经过，所以，化简得，
由五点法可得，解得，
所以.
（2）令，故，
取，则；取，则；
取，则，而，
故在上的严格递增区间为，
当时，解得，
当时，，当时，，对称中心为，
当时，，
故当即时，取得最大值为；
（3）由向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的3倍，
纵坐标不变，得到曲线，
则，
因为，所以，且，
不妨设，当时，可知，
此时，
化简得 ，
此时，，能作为的三边长，
当时，可知，
，
因为，，所以 ，
即，此时，，能作为的三边长.
11.设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量”．
(1)设函数，求的“相伴向量”；
(2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有4个不同的交点，求实数的取值范围；
(3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1），
所以函数的“相伴向量”．
（2）由题知：，
，
因为时，；时，，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，
又，
所以的函数图象大致如图：
所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，，
所以，实数的取值范围为．
（3）由题得，
所以，
由题得，
所以，
因为，，
所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
设，当时，取到最大值，
所以，即的取值范围为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑