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《 6.4.3 正弦定理（第一课时）》教学设计
本节(课)教学目标 知识目标： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，并会运用正弦定理解三角形； 能力目标：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作； 情感目标：经历正弦定理的探索过程，体会向量方法的深刻性与本源性，感悟数学抽象、逻辑推理等数学思想的作用；通过对正弦定理多角度探寻的过程理解定理，体会定理涉及等式的结构特征及其意义，增强对数学思维方法的理解。
本节(课) 教学内容 的分析 正弦定理是人民教育出版社（2019 A 版）必修第二册第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理中的第 2 课时。根据新课程标准，本课时在上一课时学习探讨余弦定理的基础上进一步探寻并定量地揭示三角形边角之间的数量关系。正弦定理与余弦定理是三角函数和三角恒等变形的延伸，是三角函数与平面几何的完美结合．新教材将其作为平面向量的应用引入，强调学生在已有知识的基础上，基于向量运算的高度抽象性，对任意三角形边角关系探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数学量化思想，发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程．本节是解三角形定理内容的收官，教材中通过初中对直角三角形边角关系的研究发现正弦定理这一优美对称的关系式，经历由特殊到一般的归纳思想，体会发现数学规律的一般思路。因此，本课的学习过程可以有效提升学生的逻辑推理素养及数学运算素养，为进一步通过解三角形解决与测量和几何计算有关的实际问题打基础的作用。
与本节 (课)相关的学生特征的分析 认知分析：学生已经学面几何、解直角三角形、三角函数、平面向量及其基本运算等知识，并对直角三角形边角数量关系有了一定的了解，这为正弦定理的发现和推导奠定了基础。 能力分析：一方面，高一学生具备了独立思考问题、发现问题、解决问题的能力，对于较为困难的问题，能够通过合作交流共同解决；另一方面，学生对新旧知识的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，并且不同层次的学生之间仍存在着一定的差异，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上。 因此，在新课中，教师应基于学生的最近发展区，设计问题支架，并在充分的生生互动、师生互动中引导学生思维的“上路 ”，让学生积极投入到问题探究过程中去，引导学生经历观察、思考、归纳、类比、交流的活动，不断体
会向量工具的深刻与高效。
学法指导 在学法上，采用自主探究、教师讲解、学生小组讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习， 自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生的自主探究，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。
教学方法 问题情境式教学模式、启发探究式教学模式
教学重点 1.正弦定理的生成和发现过程； 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
教学难点 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．
教学手段 □普通教室 □多媒体教室 □网络教室 □专用教室 □实验室 □其他：
板书设计 1.正弦定理的内容 2. 正弦定理的几何意义 3.正弦定理的应用类型 （教师板演区）例 1 例 2 （学生板演区）变式 1 变式 2
教学过程 一、引地月之距离，探正弦之定理 “ 明月几时有，把酒问青天，不知天上宫阙，今夕是何年。”在我国古代，通过描写月亮以遥寄思念之情的诗词不在少数。在我国，古有嫦娥奔月的神话故事，今有“玉兔 ”探月的惊世壮举，明月高悬，我们仰望星空会有无限遐想，不禁会问：遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？ 【设计意图】：用宋代诗人苏轼的一首古诗作为本节课开端，能够瞬间抓住学生的注意力，引起学生的关注；用嫦娥奔月的神话故事、“玉兔 ”探月的惊世壮举来引出人们对“地月距离 ”的好奇与测量早就开始并完成了，这样不仅可以激发学生的兴趣，还能引导学生用数学的眼光观察世界。
(
c
=
)早在 17 世纪，法国天文学家拉卡伊和他的学生拉朗德首次测出了地月距离约为 385400 km 。他们是怎么做到的呢？ 他们选取了几乎位于同一子午线上的柏林和好望角为 A、B 两点，以及月球上的被观测点 C，在当时的条件下，只能测出上A, 上B 以及AB 之间的距离，他们仅凭这三个量就测出来地月距离。 【设计意图】：通过数学家对“地月距离 ”的测量工作，进一步牢牢抓住学生对课堂的注意力，并指出：“地月距离 ”的测量实际上就是解三角形中的“ 已知两角和一边，求其余各边 ”的问题，将实际问题抽象为数学模型，引出本节课所要探究的主题。 二、问题驱动学习，探索数学知识 纵观整个数学史以及数学学习的过程，数学定理的发现大都遵循着从特殊到一般的过程。那么我们就从特殊的直角三角形开始探究吧，然后再探究更为一般的锐角三角形和钝角三角形。 【探究 1】 ：直角三角形 ΔABC 中， 上A，上B，上C 所对的边长分别为用 a，b，c 表示，怎样用a，b，c 表示角A，B，C 的正弦？由正弦函数的定义得： sin A = a sin B = b sin C = 1 = c c c c (
a
b
c
=
=
sin
A
sin
B
sin
C
) 【学生活动】：学生回顾直角三角形中的三角函数知识，然后作答，发现问题，顺理成章进入下一阶段的探究学习。 【设计意图】：在此环节上，教师突破难点（正弦定理的发现）的方法是引导学生从熟悉的求直角三角形各角的正弦入手，鼓励、引导学生积极主动地思考，在学生的最近发展区附近创造有意义学习的条件。对正弦定理的发现采用的是由特殊到一般的思想方法。 【追问】：在特殊的锐角三角形和钝角三角形中，验证上述结论是否成立呢？比如：边长为 2 的等边三角形，腰长为 1、底边边长为 、顶角为120 的
(
方法
1：作高法，构造直角三角形
证明：
在
Rt
Δ
ABD
中
，
sin
B c
在
Rt
Δ
ACD
中
，
sin
C
:
AD
=
b
sin
C
=
c
sin
B
同理可得
)等腰三角形。 发现：等式依然成立. 【学生活动】：以小组为单位合作探究、动手实验后，填写完整下表。 【设计意图】：在特殊的锐角三角形和钝角三角形中，通过验证发现边角关系 = = 依然成立，在验证过程中提高学生数学运算能力，让学生学会用数学的语言表达世界，同时体现和学生一起“做数学 ”的过程。验证结束后，大胆猜想：对于任意三角形 ΔABC ，也成立，再一次体现从特殊到一般以及数形结合的数学思想方法. 【 猜 想 】 ： 对 于 任 意 的 斜 三 角形 ， 也 存 在 以 下 边 角数 量 关 系： 【探究 2】：（小组 1 和小组 2）受直角三角形边角关系的启发，请尝试证明：在锐角三角形中，角与所对的边满足关系
【探究 3】：（小组 3 和小组4）请尝试证明：在钝角三角形中，角与所对的边满足关系
方法 1：作高法，构造直角三角形 证明：在RtΔADC 中， = sin C 在RtΔACB 中， sin = sin B (
:
=
): AD = bsin C = c sin B b c sin B sin C 同理可得： = 【学生活动】：在对直角三角形边角关系的探究中发现问题，学生受此启发，会在锐角三角形和钝角三角形中作辅助线构造直角三角形，再以小组为单位，合作探究，突破思维障碍，得出答案正解。 【设计意图】：教师引导学生积极跟随问题思考，并积极作答，完善用作高法证明正弦定理的过程，从而全面严谨的推证得到正弦定理，体会从特殊到一般的数学思想方法。 总结正弦定理，解决情境问题 1.正弦定理的内容（学生归纳表述） （1）文字语言： 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等. （2）符号语言： （3）注意点： ①结构特点：各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的和谐美，对称美； ②方程观点：正弦定理中包含了三个方程， , 每个含有 4 个量，列方程可“知三求一 ”； ③功能特点：刻画了边角的对应关系，可应用于某些解三角形问题（至于是哪类解三角形问题，后面待探究）。 【学生活动】：学生归纳表述正弦定理的内容，在理解正弦定理证明过程的基础上，熟记定理内容，夯实基础知识。 【设计意图】：剖析定理、加深理解，熟悉定理的基本量及结构特征，识记定理，从而突出本节课的重点。 2.应用正弦定理，解决地月距离 查 阅 相 关 资 料 ，在 地 月距 离 问 题 中： sinA≈0.7293287 ， ∠C= 180 。 -A-B≈57’, sinC≈0.0165799，AB=c=1.37519r（r=6371km 为地球半径）
数学问题：已知在 ΔABC 中，已知上A, 上B, AB ，求BC 的长. 解： : a ≈ 385400km 【学生活动】：应用正弦定理，解决问题情境中的历史问题——地月距离。 【设计意图】：回扣引例，首尾呼应，形成知识闭环。教师引导学生自己动手解决生活中的数学问题,完成教学目标。通过创设情境来生成问题，通过问题驱动来探索定理，应用定理来解决问题，这样一来，定理的价值作业得以体现，突出了重点，提炼了方法。 三、辅助几何画板，探寻证明新思路 【思考】：小组合作思考，在 ABC 外接圆中，如何证明正弦定理？ 【锦囊 1】:类比作高法，在圆中做辅助线，构造直角三角形； 【锦囊 2】:在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等. 证明：作△ABC 的外接圆 O,设它的半径为 R.过 B 作直径 BD,连 AD, 上BAD = 90o, 上C = 上D : sin C = sin D = ，即 = 2R同理可得R 【学生活动】：借助教师给出的两条锦囊妙计，以小组为单位，通过合作探究的方式，探寻正弦定理证明新方法——辅助直径法（外接圆法）。 【设计意图】：通过比较作高法和辅助直径法的异同，我们发现：作高法易想易证明，学生容易掌握，符合学生的认知发展规律，但需要分类讨论，证明过程较为繁琐；辅助直径法学生不易联想，需要借助教师的引导和帮助，但证明过程简单明了，省时省力。通过多角度、多方法来感受正弦定理不同的证明方法，从而拓展学生的数学思维，提高学生的数学能力，发展学生的核心素养。
【微视频】：用几何画板制作成动画视频，带领学生再次直观感受正弦定理中的不变关系与定值 2R，将枯燥刻板化的定理的形象动态化，帮助学生加深记忆和深刻理解。 四、正弦定理再认识，变形公式藏其中 1.正弦定理的几何意义 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： = = = 2R （其中 R 为△ABC 外接圆的半径） 2.正弦定理的常用变形 （1）a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC (边化角) （2）sinA=a/2R, sinB=b/2R, sinC=c/2R (角化边) （3）a:b:c=sinA: sinB:sinC (边长之比等于对应角的正弦比，大边对大角) 【学生活动】：学生在理解“辅助直径法 ”证明正弦定理次方法的基础上，熟记定理内容的变形，夯实基础知识。 【设计意图】：剖析定理、加深理解、熟练变形、灵活运用，从而突出本节课的难点。 五、典型例题多练习，学以致用见真章 例 1.在 ΔABC 中，已知BC = 12, A = 60 , B = 45 ，则AC 的长为多少？ 解：由正弦定理得： = 12 AC : = sin 60 sin 45 : AC = 4、/6
变式 1 ：在 ΔABC 中，已知c = ·、 , A = 75 , B = 60 ，则b 等于（ A ）. A B C. 解： A = 75 ，B = 60 : C = 45 由正弦定理得： = 例 2.（1）在 ΔABC 中，已知a = ·、 , b = ·, A = 45 ，解三角形. 解：由正弦定理得： 又 a < b, A < B :B = 60 或120 （1）当B = 60 时，C = 180 一 45 一 60 = 75 （2）当B = 120 时，C = 180 一 45 一120 = 15 综上所述：B = 60 , C = 75 , c 或B = 120 , C = 15 , c 例 2.（2）在 ΔABC 中，已知a = 2, b = ·、, A = 45 ，解三角形. 解：由正弦定理得： : sin B 又 a > b, A > B :B = 150 (舍去), B = 30
: C = 180 — 45 — 30 = 105 例 2.（3）在 ΔABC 中，已知a A = 45 ，解三角形. 解：由正弦定理得： : sin B = 2 2 > 1 :无解 【注意】：例 1 由教师在黑板上进行板书，并借助 PPT 呈现规范步骤的书写过程，变式 1 和例2 的各问各请一位学生到黑板进行解答并简单讲解，其余学生用草稿本计算，最后订正答案，教师给出点评. 【思考】：例 2 的三问中三角形的解分别为两组、一组、无解，这是为什么呢？是什么影响了解的个数呢？试从“形 ”的角度分析：当 A 为锐角时，为什么解的个数不一样？留作课后思考，也为下节课内容的学习做好铺垫。 【学生活动】：两位同学在黑板上板书变式 1 和变式 2 的解题过程，其余同学在学案上练习，学以致用。通过练习，发现三角形解的个数不同，思考解个数不同的原因。 【设计意图 1】：知题善任，题尽其责。通过动手练习来巩固、加深学生对正弦定理的理解，让学生在熟悉的数学情境中运用知识，达到活学活用、举一反三的效果，培养学生动手解决问题的能力。 【设计意图2】：通过两道例题一道变式的巩固练习，进一步深化学生对正弦定理的理解，突出重点；通过对两道例题和一道变式的观察总结，归纳出应用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：一是已知两角和任一边，求其余的两边和一角；二是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其余的边和角。 从而培养学生养成及时进行归纳的意识，提高其总结能力。 【追问】：正弦定理可以解决哪些类型的解三角形的问题？？？ 【答】：（1）已知两角一边，求其它边和角；（2）已知两边及其中一边的对角，求其它边和角. 例 3. （ 1 ） 已知圆 O 为 ΔABC 的外接圆 ，角 上BAC = 60o , BC = 2、 ，则 u u→ uuu→ OB . OC = ( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解：由已知得2R = = 23 = 4 ，即R = 2 2
Q 上BOC = 2上BAC = 120o 例 3.（2）在 ΔABC 中，角A, B 所对的边分别是a、b ，若a cosB = b cosA ，则 ΔABC 的形状为？ 解：法一：利用余弦定理，角化边Q a cos B = b cosA : a2 = b2 , 即a = b :△ABC 为等边三角形 法二：利用正弦定理，边化角 设 R ，则a=2Rsin A, b = 2Rsin B, c = 2Rsin C Q a cos B = b cos A :k sin AcosB = k sin B cos A : sin AcosB —sin B cos A = 0 :sin(A — B) = 0 Q A, B ∈(0, π ) : A = B ， △ABC 为等边三角形 变 式 3. 在 ΔABC 中 ， 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是 a、b、c ， 设(sin B —sinC)2 =sin2 A—sinBsinC ，求A ？ 解：Q (sin B —sinC)2 =sin2 A—sinBsinC :(b—c)2 = a2 —bc 整理得：b2 +c2 —a2 = bc 【学生活动】：体会正弦定理的几何意义以及应用正弦定理实现边角互化
的技巧和过程。 【设计意图】：通过例 3 和变式 3 的练习，使学生更加明晰对正弦定理实现边元与角元互化的认识，从而学会灵活应用余弦定理和正弦定理解决解三角形的有关问题，体会两个定理之间的联系与区别，有助于学生进一步深化对定理的认识和理解，掌握正弦定理在解三角形中的综合应用。 六、课堂学习需总结，分层作业促落实 通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想方法等 方面谈谈。 1.正弦定理： 2.两个题型： （1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形. 3.三种思想方法：从特殊到一般、数形结合、方程思想 4.结束语： 近测高塔远看山，量天度海只等闲。 古有九章勾股法，今看三角正余弦。 边角角边细推算，周长面积巧周旋。 小小三角奥妙多，品味佳酿越千年。
分层作业 一、基础性作业： 1.必修第二册，课本P48，第 2、3 题，写到作业本上； 2.《6.4.3 课时作业》，1-6 题； 二、探究性作业： 1. 探究需深入 结合课后习题，运用数形结合的思想方法，合作探究：已知 a，b，A 时，三角形解的个数情况，并完成表格的填写； 2.继往希开来 查阅资料，了解《平三角举要》中正弦定理的梅文鼎证法，学习数学史，发展数学素养. 【设计意图】：布置分层作业，在体现作业的巩固性和发展性原则的同时，又充分考虑到学生的个体差异性。弹性作业不做统一要求，供学有余力的学生课后研究，从而满足学生的个体发展，做到因材施教。教学之道，贵在使“有疑者无疑，无疑者生疑 ”，本环节旨在促使同学们基于本节课的探讨，走向更宽阔的远方。

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