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正弦定理教学设计
一、教学目标
1、借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理；2、掌握正弦定理的特点和基本作用；3、通过正弦定理解三角形，加强数学运算的核心素养。
二、重难点
重点：掌握正弦定理的特点以及应用。
难点：借助向量探索正弦定理的形式。
三、内容解析
首先从初中利用锐角三角函数解决直角三角形中的边角关系入手，进而得到了正弦定理的形式，然后提出问题：在锐角三角形和钝角三角形中是否成立？由于涉及三角形的边角关系，并注意到探究余弦定理利用的是向量方法，因而教科书仍然采用向量方法来研究上述关系，以此体现向量的工具作用。在探究过程中，关键阐明其中的思维过程。当然正弦定理的证明方法有很多，可以让学生多角度证明，发散思维。获得正弦定理后，分析定理的本质即出现对边对角，然后就可以利用方程思想求解三角形。最后教科书中例 7 是“已知两角和一边”问题的应用，例8 是“ 已知两边和其中一边的对角 ”问题的应用，但是例8 有两组解，教科书中也设计了思考题。
四、教学过程设计
1、趣味情景
嫦娥五号的成功发射，标志着我们完成了一次意义非凡的太空之
旅，永远值得我们骄傲和自豪。那么，想要发射嫦娥五号探测器，首先需要知道地月距离，早在 1752 年，法国两位天文学家利用三角法则测出来，现把这一模型抽象出来，能否用已有知识解释？学生回答余弦定理，但是余弦定理需要列方程组，比较麻烦，进而引出直接求解方式：正弦定理。
2、问题模型
把刚才的问题抽象出来，相当于在ΔABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, C.已知B, C, a,求解三角形。
(
A
B
C
a
)
3、探究新知
（一）直角三角形中发现结论
问题：从熟悉的直角三角形入手，它的边角之间有哪些关系？
师生活动：教师引导，得到了a2 + b2 = C 2, A + B = 90o, sinA = sinB 这些边角关系。
追问：观察sinA sinB 有什么联系？
师生活动：都有C，得到
追问：对于锐角三角形和钝角三角形上述关系是否仍然成立？
师生活动：学生大胆猜想是成立的，但是数学中猜出来必须要证明。接下来我们以锐角三角形为例，先独立思考有哪些方法可以证明，
再小组内合作交流，一题多解。
（二）多种方法证明结论
问题：哪个小组可以和大家分享下你们的证明方法？
小组 1：通过做三角形的高，在锐角三角形和钝角三角形中转化出直角三角形，继续用锐角三角函数解决。因为sinA sinC
通过高线建立关系，得到结论的形式。 B
(
a
h
) (
C
) (
c
)
A b
小组 2：在平面几何中通过建立直角坐标系，得到了不管锐角三角形还是钝角三角形，B点的坐标不变，通过等面积法 S bCsinA，同
(
y
)y B(CcosA, CsinA)
B(CcosA, CsinA)
(
c
a
(0)
A
b
)c a
(
C
x
)(0) A b C x
理可得 S aCsinB absinC ，进而变形就可证明结论，并且还收获了一个三角形的面积公式，日后经常用。
追问：还有没有别的方法？
师生活动：学生想到向量。向量作为研究几何的工具，余弦定理
也是通过向量证明的，但是正弦定理学生遇到了困难。接着引导学生一起探究。
问题：三角形的边长和角度我们可以看成向量的模长和夹角。在数量积运算中刚好有模长和夹角，但是数量积是余弦值，如何转化成正弦值呢？
师生活动：通过诱导公式 来调整，进而想到了做一个与边垂直
的向量。所以，在三角形中首先有三角形法则，A--C (-→) + --→ = A--→ , 然后
做数量积 j . (A--C (-→) + --→) = j . A--→ , 由分配律和数量积运算展开可得
IjI IA--C (-→)Icos + Ij II--→ Icos = Ij|IIcos 这里关键是两
(
B
c
a
)个向量的夹角一定找对，为了方便 j 可以取成单位向量。最后通过变形得到结论的形式。同理在钝角三角形中也是一样的，学生课下可以
(
自行证明。
) (
j
)
A b C
师生活动：我们共同合作利用了三种方法证明了这一结论 在任意三角形中成立，称之为正弦定理，即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
问题：现在能否直接利用正弦定理解释刚才地月距离的测量？
师生活动：学生可以自行解释这一问题，进而引出了正弦定理的作用和特点。正弦定理可以解决已知两角和任一边解三角形或者已知两边和其中一边的对角解三角形的问题。其实两种形式都是正弦定理
本质的特征，即出现对边对角进而通过方程思想求解。
4、学以致用
例 1：在ΔABC中，已知A = 15。，B = 45。，C ，解三角形。
例 2：在ΔABC中，已知B = 30。，AC = 5，AB ，解三角形。
思考：为什么角 C 有两个值？
通过两个例题，分析对正弦定理形式的应用，顺便规范一下解题步骤。
5、当堂检测
1、在ΔABC中，已知 A = 45。，C = 30o ，AB = 10，解三角形。
2、在ΔABC中， 已知 A a = 1 ，C ，求ΔABC的面积。通过两个变式训练，巩固本节课所学的知识。
6、归纳总结
先请学生自己归纳一下本节课的收获，学生说出来的是知识层面的，然后教师补充本节课的思维过程以及体现的思维方法。
7、作业布置
1、课本习题 2、3 题
2、探究
作业既有对应知识点的练习题也有探究题，为下节课做好铺垫。

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