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25.2.3因式分解法解一元二次方程
学习目标和重难点
1、理解核心原理：理解因式分解法解一元二次方程的理论依据，即“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0（零因子律）”，体会“降次”与“转化”的数学思想。
2、掌握解题步骤：熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的标准四步程序：移项（使右边为0）→ 分解（左边化为两个一次因式之积）→ 转化（令各因式为0）→ 求解。
3、灵活选择方法：能根据一元二次方程的结构特征（如缺项型、完全平方式型等），灵活选择提公因式法、平方差公式、完全平方公式或十字相乘法进行分解，并建立“观察结构、优先选用因式分解法”的解题意识。
学习重点
1、标准步骤的掌握：熟练掌握并规范书写因式分解法解方程的四个基本步骤，确保运算过程严谨。
2、常用分解方法的运用：能够准确运用提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）对一元二次方程的左边进行因式分解。
学习难点
1、思维定势的破除（防漏根）：深刻理解不能直接在方程两边同时除以含有未知数的代数式，避免因“随意约分”而导致丢失方程的根。
2、结构识别与符号处理：能够准确识别方程中潜在的因式分解结构（如移项整理后才能发现的结构），并在提取公因式或运用公式时，正确处理正负号，避免符号变换出错。
教材◆核心知识
知识点1：因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法的定义
解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若，则＝ 0 或＝ 0 。
2.因式分解具体方法
①提公因式法： ；
②逆用公式法：平方差公式： ；
完全平方公式： ；
③十字相乘法：分解，若且，则 。
3.因式分解法解一元二次方程的步骤
①移项：将方程的右边化为0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
知识点2：换元法解一元二次方程
换元法解方程
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
知识点3：换元法解一元二次方程
1.解一元二次方程的基本思路
先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程。
2.解一元二次方程方法的特点
（1）配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；
（2）因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0；
（3）配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便。
方法 特点 举例
直接开方法 解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为的形式,则宜选用直接开平方法求解
配方法 解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可以推出求根公式
公式法 解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程
因式分解法 解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式分解法求解
核心题型◆归纳
【题型1】 利用乘积为零解方程 【题型2】 利用提公因式法解方程
【题型3 】 利用因式分解法解方程 【题型4】用合适的方法解方程
【题型5】用因式分解法解方程的过程出错问题 【题型6】因式分解法进行求值
【题型7】因式分解法的应用 【题型8】新定义问题
【题型9】含绝对值的一元二次方程 【题型10】利用十字相乘法解方程
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
题型解析◆精准备考
【题型1 】 利用乘积为零解方程
1．方程的解是　　
A． B．， C．， D．无实数根
【答案】
【分析】根据已知方程得到两个关于的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：，
或，
解得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：方程，
可得或，
解得：，，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【题型2 】 利用提公因式法解方程
3．一元二次方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
故选：．
【点睛】本题考查一元二次方程因式分解法，熟练掌握直因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
4．一元二次方程的根是　　
A． B．， C．， D．
【答案】
【分析】把方程右边的部分移到左边，再利用提取公因式法分解因式，然后转化成两个一元一次方程求解即可．
【详解】解：，
，
，
或，
，，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握利用分解因式法解一元二次方程．
【题型3 】 利用因式分解法解方程
5．用因式分解法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）先移项，然后提公因式即可解答本题；
（2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
或，
解得，；
（2），
，
，
，
或，
解得，．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
6．运用平方差解方程：．
【答案】，．
【分析】方程移项后，左边利用平方差公式分解，再利用两数相乘积为0两数至少有一个为0转化为两个一元一次方程求出解即可．
【详解】解：方程移项得：，
分解因式得：，
整理得：，
所以或，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【题型4】用合适的方法解方程
7．用适当的方法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：（1）分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（2）分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（3）分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（4）方程整理得：，即，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．用合适的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），．
（4），．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用直接开方法解方程即可；
（3）利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）原方程可化为，即，
或，
，；
（2）原方程可化为，
或，
，；
（3）原方程可化为，其中，，，
△，
，
，．
（4）原方程可化为，
，
或，
，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征正确寻找解方程的方法．
【题型5 】用因式分解法解方程的过程出错问题
9．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程，
解：方程两边同时除以得，
第一步，
第二步，
第三步，
（1）嘉嘉的解答过程从第　第一　 步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
【答案】（1）第一；
（2）见解析．
【分析】（1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
（2）根据因式分解法解答即可．
【详解】解：（1）根据解一元二次方程的计算的步骤可知：
嘉嘉是第一步，
故答案为：第一；
（2）原方程移项得：，
分解因式，
即或，
所以，．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
10．小李与小王两位同学解方程的过程如下框：
小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程．
【答案】；；，．正确的解答过程见解析．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：两个都错：；
，
，
，
，
，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．
【题型6】因式分解法进行求值
11．已知是实数，且满足，则的值为　　
A．3 B．3或 C．或6 D．6
【答案】
【分析】把看作一个整体，将已知方程左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：，
分解因式得：，
可得或，
而中，△，无解，
则．
故选：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
12．已知，，则的值为　2　．
【答案】2．
【分析】将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
或，
（舍去）或，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【题型7】因式分解法的应用
13．已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为　　
A．48 B．24 C．24或 D．48或
【答案】
【分析】解，可得，，如图，，，则，由，可得，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：，
，
解得，，，
如图，，，则，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，菱形的性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　　
A．24或 B．24 C． D．或24
【答案】
【分析】先解方程得到或，当第三边长为10时，则可利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，据此利用三角形面积公式求解即可；当第三边长为6时，如图所示，不妨设，，过点作于，则，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：解方程得或，
该三角形的第三边的长为10或6，
当第三边长为10时，
，
该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，
该三角形的面积为；
当第三边长为6时，如图所示，不妨设，，
过点作于，则，
，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或24，
故选：．
【点睛】此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【题型8】新定义问题
15．现定义运算“★”，对于任意实数，，都有★，如：3★，若★，则实数的值是　　
A． B．4 C．或4 D．1或
【分析】原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果．
【详解】解：对于任意实数，，都有★，
★，
即：，
，
，
或，
，．
故选：．
【点睛】此题考查了用因式分解的方法解一元二次方程，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题．
16．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，，则方程2☆★6的解为 　，　 ．
【答案】，．
【分析】根据新运算法则列出一元二次方程，然后求解即可．
【详解】解：☆★6，
，
，
，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，理解题中的新定义运算法则是解题的关键．
【题型9】含绝对值的一元二次方程
17．先阅读例题，再解答问题．
例：解方程．
解：当时，，
解得（不合题意，舍去），；
当时，，
解得（不合题意，舍去），．
综上所述，原方程的解为或．
依照上述解法解方程：．
【答案】或．
【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案．
【详解】解：当时，，
，
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；
当时，，
，
解得，．
综上所述，原方程的解为或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元二次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏．
【题型10】利用十字相乘法解方程
18．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，即
所以．
我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．
依照上面的方法，解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
【详解】解：（1），
或，
所以，；
（2），
或，
所以，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19．用十字相乘法解方程：
（1）；（2）．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）；
，
，，
，．
（2）
，
，，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生
一、系统分组_加入顺序
1．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．无实数根
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】利用因式分解法即可解答．
【详解】∵
移项得
提取公因式得
∴或
解得．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：，
则或，
解得：，．
3．一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
4．一元二次方程的解为_________．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】解：，
因式分解得：，
可得或，
解得：，．
5．方程的根是__________．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解∶∵，
∴或，
解得，．
6．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可．
【详解】解：，
移项，得：，
提取公因式，因式分解得：，
或，
解得，．
7．解方程：．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
化简得：，
，
或，
，．
8．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】（1）解：
或
解得：；
（2）解：
或
解得：．
9．解一元二次方程时，先化为的方法是（ ）
A．因式分解法 B．配方法 C．公式法 D．直接开方法
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查解一元二次方程，将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使用的是因式分解法．
【详解】解：∵方程 被化为，这是将多项式分解为两个一次因式的乘积，
∴使用的是因式分解法，
故选：A．
10．方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练运用因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程是解本题的关键．
根据解一元二次方程的因式分解法，让每个因式为0，再进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
∵，
或，
∴，．
故选：C．
11．方程的解是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法得出，解方程，即可求解．
【详解】解：，
∴，
可得或，
解得：，
故选：A．
12．方程的根是_______．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
移项，得,
方程左边因式分解得
∴或
解得，．
13．方程的解是________．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】采用因式分解法求解，先提取公因式将方程左边分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”得到方程的解
【详解】解：对方程因式分解，得
得或
因此原方程的解为，
14．用适当的方法解方程：．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：，
∴ ，
∴或，
解得，．
15．解方程：．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：，
，
或，
或，
即原方程的根是，．
16．方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解．
【详解】解：∵
∴或
解得．
17．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示：
甲同学 乙同学
两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，．
其中完全正确的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可．
【详解】解：依题意，甲同学的解法错误，方程两边不能同时除以x，这样会漏解；
乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确，
因此完全正确的是乙同学．
18．如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（ ）
小卫同学解答过程： 解：， 第一步 ， 第二步 ， 第三步 或， 第四步 解得或． 第五步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：正确步骤如下：
，
，
，
或，
解得或．
∴第三步的提取公因式出错．
19．下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案．
【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解；
方程可变形为，故②能用分解因式法求解；
方程不能用因式分解法求解；
方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解．
综上，能用因式分解法求解的方程有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键．
20．方程：的解为__________．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可．
【详解】解：，
或
解得：．
故答案为：
21．方程的解是____________________．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程．移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】解：
移项得，
∴，
∴或，
解得，．
故答案为：，．
22．小明与小强两位同学解方程的过程如下：
小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得．
(1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”；
小明________，小强________；
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)，
(2)解：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】（1）小明：没有考虑的情况；小强：提取公因式时出现了错误；所以他们的解法都不正确；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确；
小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确．
（2）略
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）25.2.3因式分解法解一元二次方程
学习目标和重难点
1、理解核心原理：理解因式分解法解一元二次方程的理论依据，即“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0（零因子律）”，体会“降次”与“转化”的数学思想。
2、掌握解题步骤：熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的标准四步程序：移项（使右边为0）→ 分解（左边化为两个一次因式之积）→ 转化（令各因式为0）→ 求解。
3、灵活选择方法：能根据一元二次方程的结构特征（如缺项型、完全平方式型等），灵活选择提公因式法、平方差公式、完全平方公式或十字相乘法进行分解，并建立“观察结构、优先选用因式分解法”的解题意识。
学习重点
1、标准步骤的掌握：熟练掌握并规范书写因式分解法解方程的四个基本步骤，确保运算过程严谨。
2、常用分解方法的运用：能够准确运用提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）对一元二次方程的左边进行因式分解。
学习难点
1、思维定势的破除（防漏根）：深刻理解不能直接在方程两边同时除以含有未知数的代数式，避免因“随意约分”而导致丢失方程的根。
2、结构识别与符号处理：能够准确识别方程中潜在的因式分解结构（如移项整理后才能发现的结构），并在提取公因式或运用公式时，正确处理正负号，避免符号变换出错。
教材◆核心知识
知识点1：因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法的定义
解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若，则＝ 0 或＝ 0 。
2.因式分解具体方法
①提公因式法： ；
②逆用公式法：平方差公式： ；
完全平方公式： ；
③十字相乘法：分解，若且，则 。
3.因式分解法解一元二次方程的步骤
①移项：将方程的右边化为0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
知识点2：换元法解一元二次方程
换元法解方程
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
知识点3：换元法解一元二次方程
1.解一元二次方程的基本思路
先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程。
2.解一元二次方程方法的特点
（1）配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；
（2）因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0；
（3）配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便。
方法 特点 举例
直接开方法 解一元二次方程最简单的方法.若方程可化为的形式,则宜选用直接开平方法求解
配方法 解一元二次方程最基本的方法,它适用于解所有的一元二次方程.配方法要先配方,再降次.通过配方法可以推出求根公式
公式法 解一元二次方程最通用的方法,它适用于解所有的一元二次方程.公式法是直接利用求根公式解方程
因式分解法 解一元二次方程较简单的方法.当方程的一边为0,另一边易化为两个一次因式的积时,就可优先选用因式分解法求解
核心题型◆归纳
【题型1】 利用乘积为零解方程 【题型2】 利用提公因式法解方程
【题型3 】 利用因式分解法解方程 【题型4】用合适的方法解方程
【题型5】用因式分解法解方程的过程出错问题 【题型6】因式分解法进行求值
【题型7】因式分解法的应用 【题型8】新定义问题
【题型9】含绝对值的一元二次方程 【题型10】利用十字相乘法解方程
A组 基础巩固 B组 拔高提升
C组 思维拓展
题型解析◆精准备考
【题型1】 利用乘积为零解方程
1．方程的解是　　
A． B．， C．， D．无实数根
2．方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【题型2】 利用提公因式法解方程
3．一元二次方程的解是　　
A． B． C．， D．，
4．一元二次方程的根是　　
A． B．， C．， D．．
【题型3 】 利用因式分解法解方程
5．用因式分解法解方程：
（1）； （2）．
6．运用平方差解方程：．
【题型4】用合适的方法解方程
7．用适当的方法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）．
8．用合适的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【题型5 】用因式分解法解方程的过程出错问题
9．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程，
解：方程两边同时除以得，
第一步，
第二步，
第三步，
（1）嘉嘉的解答过程从第　　 步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
10．小李与小王两位同学解方程的过程如下框：
小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程．
【题型6】因式分解法进行求值
11．已知是实数，且满足，则的值为　　
A．3 B．3或 C．或6 D．6
12．已知，，则的值为　　．
【题型7】因式分解法的应用
13．已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为　　
A．48 B．24 C．24或 D．48或
14．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　　
A．24或 B．24 C． D．或24
【题型8】新定义问题
15．现定义运算“★”，对于任意实数，，都有★，如：3★，若★，则实数的值是　　
A． B．4 C．或4 D．1或
16．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，，则方程2☆★6的解为 　　 ．
【题型9】含绝对值的一元二次方程
17．先阅读例题，再解答问题．
例：解方程．
解：当时，，
解得（不合题意，舍去），；
当时，，
解得（不合题意，舍去），．
综上所述，原方程的解为或．
依照上述解法解方程：．
【题型10】利用十字相乘法解方程
18．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，即
所以．
我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．
依照上面的方法，解下列方程：
（1）；
（2）．
19．用十字相乘法解方程：
（1）； （2）．
1．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．无实数根
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
3．一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
4．一元二次方程的解为_________．
5．方程的根是__________．
6．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________．
7．解方程：．
8．解方程：
(1)； (2)．
9．解一元二次方程时，先化为的方法是（ ）
A．因式分解法 B．配方法 C．公式法 D．直接开方法
10．方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
11．方程的解是(　　)
A． B． C． D．
12．方程的根是_______．
13．方程的解是________．
14．用适当的方法解方程：．
15．解方程：．
16．方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
17．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示：
甲同学 乙同学
两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，．
其中完全正确的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确
18．如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（ ）
小卫同学解答过程： 解：， 第一步 ， 第二步 ， 第三步 或， 第四步 解得或． 第五步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
19．下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．方程：的解为__________．
21．方程的解是____________________．
22．小明与小强两位同学解方程的过程如下：
小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得．
(1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”；
小明________，小强________；
(2)写出你的解答过程．
试卷第1页（共2页）
试卷第1页（共2页）

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