资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第二十二章
课标要求 1. 了解图形相似的概念，识别相似图形，理解相似多边形的定义；掌握相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质，能利用性质求边长、角度。 2. 理解成比例线段、比例的基本性质、合分比、等比性质；掌握黄金分割的定义、黄金比，能识别并简单计算黄金分割相关线段。 3. 探索三角形相似的判定定理：平行线分线段成比例定理及推论、两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边对应成比例，能灵活选用判定方法证明三角形相似。 4. 掌握相似三角形的性质：对应高、中线、角平分线、周长、面积的比与相似比的关系；能结合性质完成线段、周长、面积计算。 5. 理解位似图形概念，掌握位似图形的性质，会利用位似将图形放大或缩小；能在平面直角坐标系中根据坐标变化作位似图形。 6. 运用相似三角形、位似模型解决测量高度、宽度、影子、镜面反射等实际问题；感悟数形结合、转化、建模**思想，发展几何直观、逻辑推理素养，提升几何证明与运算能力。 7. 经历观察、操作、猜想、证明、应用的探究过程，建立 “图形判定 — 性质运用 — 实际建模” 的几何学习范式，体会图形变换中不变的比例关系。
内容分析 本章是平面几何图形变换核心内容，承接全等三角形、四边形、勾股定理，是全等图形的延伸（全等是相似比为 1 的特殊相似），也是高中解三角形、立体几何的基础，为中考几何综合必考模块。 比例线段是相似图形的代数基础，搭建几何线段与分式比例计算的桥梁；黄金分割是相似的经典应用，体现数学美学。相似三角形本章重中之重，四类判定定理是几何证明核心，相似比衍生出周长、面积、对应线段的系列性质，常与直角三角形、四边形、圆综合出题。特殊的相似，兼具图形变换与坐标运算双重属性，衔接平面直角坐标系，实现几何图形代数化。利用相似建立测量模型，将现实测量问题转化为相似三角形计算，落实数学建模。
学情分析 九年级学生已掌握全等三角形、平行线及分式运算，具备基础几何推理能力。但易混淆全等与相似，找不准图形对应边角；比例变形、面积比等于相似比平方易出错，复杂图形难构造相似辅助线，难以将测量实景转化为几何模型，抽象图形变换思维有待提升。
单元目标 （一）教学目标 1. 能辨别相似图形、相似多边形，复述相似多边形性质；熟练进行比例线段计算，掌握比例基本性质，会计算黄金分割线段长度。 2. 熟记平行线分线段成比例定理及推论，能运用四类判定定理证明三角形相似，根据已知条件灵活选择判定方法。 3. 熟练运用相似三角形对应线段、周长、面积的比例关系，完成边长、高、周长、面积求解；能结合直角三角形、四边形进行综合计算。 4. 识别位似图形，掌握位似图形性质；能手动作图、借助坐标完成图形放大缩小，写出位似变换后的点坐标。 5. 能从测量、投影、镜面反射等实际情境中抽象相似三角形模型，列比例式解决高度、距离测量问题。 （二）教学重点、难点 重点： 1. 成比例线段、比例性质；三角形相似的四大判定定理。 2. 相似三角形对应线段、周长、面积的性质及计算。 3. 位似图形的作图与坐标变换；利用相似解决实际测量应用题。 难点： 1. 复杂图形中找准相似三角形的对应边、对应角，添加辅助线构造相似三角形。 2. 区分相似比、周长比、面积比，避免面积比直接等于相似比的常见错误。 3. 从生活情境抽象相似几何模型，建立比例方程求解实际问题。 4. 平面直角坐标系中不同位似中心下的坐标缩放规律。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数22.1 相似多边形122.2 比例线段422.3相似三角形的判定522.4相似三角形的性质222.5简单的位似图形2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1相似多边形 1. 认识生活当中的相似图形，掌握相似多边形的定义，清楚对应角相等、对应边成比例两大性质。 2. 可以准确找出相似多边形的对应边角，完成边长、角度的基础运算。 3. 区分全等图形和相似图形，初步建立图形缩放变换的几何思维。4. 能够利用相似多边形性质解决简单的填空、计算题。1. 可以完整复述相似多边形概念以及两条核心性质，分清对应边、对应角。 2. 可以辨别生活与几何图形里的相似多边形，不会混淆全等和相似。 3. 依托对应边角关系，顺利完成线段长度、内角度数的计算。任务一：相似图形实例观察，归纳相似多边形定义 任务二：识图训练，找准多边形的对应边角 任务三：利用相似多边形性质开展基础计算 任务四：全等、相似图形辨析以及题型综合练习22.2.1比例线段 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会计算两条线段的长度之比。 2. 掌握比例的基本性质，可以对比例式进行变形推导。 3. 能够从图形当中识别成比例线段，完成基础计算题。 4. 初步搭建线段比例和后续相似知识之间的联系。1. 可以准确说出线段比、成比例线段含义，熟记比例基本性质。 2. 可以规范进行比例式、等积式之间的互相转换。 3. 可以根据已知线段长度，判定四条线段是否成比例任务一：结合实例认识线段的比、成比例线段 任务二：探究、推导比例的基本性质 任务三：比例式变形、基础线段比值计算 任务四：识图判断成比例线段，随堂巩固训练 |22.2.2比例线段 1. 掌握合比性质、等比性质，能够独立完成公式推导 2. 熟练进行多种比例形式的变形运算，理清比例式与等积式的转换。 3. 可以运用比例性质求解线段长度、代数式求值。 4. 借助例题感悟转化思想，为平行线分线段成比例做好铺垫1. 能够完整叙述合比、等比性质，独立推导公式。 2. 可灵活完成比例变形，规避等比性质分母不为零的易错点。 3. 熟练利用比例性质完成线段、数值类计算题。任务一：复习比例基本性质，导入新课探究 任务二：自主推导合比、等比性质，辨析易错条件 任务三：分层例题训练，开展比例变形和数值计算 任务四：线段综合求值，知识点巩固拓展 22.2.3比例线段 1. 理解黄金分割、黄金分割点、黄金比的概念，熟记黄金比数值。 2. 掌握线段黄金分割点的作图方法，可以计算分割之后两条线段的长。 3. 欣赏生活、艺术里的黄金分割实例，体会比例的数学美感。 4. 结合比例线段知识完成黄金分割相关综合计算题。1. 能够准确表述黄金分割定义，牢记黄金比，分清线段两个黄金分割点。 2. 可以动手作出一条线段的黄金分割点，熟练进行线段长度运算。 3. 可以识别现实场景中的黄金分割模型，灵活列式求解。任务一：借助五角星实例引入，认识黄金分割定义 任务二：推导黄金比，学习黄金分割点的尺规作图 任务三：基础线段黄金分割求值训练 任务四：生活实例辨析与黄金分割综合计算题22.2.4 比例线段1. 理解平行线分线段成比例定理以及两条推论，认识 A 型、X 型基础模型。 2. 能够结合图形写出对应的比例线段关系式。 3. 可以利用定理完成线段长度的计算、简单证明。 4. 建立线段比例和三角形相似之间的联系，搭建相似知识基础。1. 能够完整口述定理及其推论，可以在图形中标注出对应成比例线段。 2. 精准区分A型、X 型模型，准确列出比例式。 3. 借助定理求解线段长，规范书写解题步骤。任务一：动手作图探究，归纳平行线分线段成比例定理 任务二：推导三角形当中的两条推论，识别 A、X 型几何模型 任务三：基础题型，利用比例式计算线段长度 任务四：识图辨析、几何证明的综合训练22.3.1相似三角形的判定 1. 理解相似三角形的定义，掌握由平行线判定三角形相似的定理，识别 A 型、X 型基本模型。 2. 能依据平行线条件写出比例式，判定两个三角形相似。 3. 会在图形中找出由平行产生的相似三角形，规范书写简单推理过程。 4. 感受图形变化，为后续判定定理学习做好铺垫。1. 能说出相似三角形定义，准确表述平行线判定相似的定理，识别 A 型、X 型模型。 2. 能根据平行线条件，正确找出对应边、对应角。 3. 能利用平行线判定相似，完成简单证明与线段计算。任务一：复习相似多边形，引出相似三角形概念 任务二：探究平行截线，归纳平行线判定相似定理，识别 A、X 型模型 任务三：基础识图，判定三角形相似，书写简单推理 任务四：结合模型进行线段计算的变式训练22.3.2相似三角形的判定1. 掌握 “两角分别相等的两个三角形相似” 判定定理，理解定理的推导思路。 2. 能在图形中找到两组相等角，会利用公共角、对顶角、等角代换寻找条件。 3. 运用两角相等判定定理完成相似证明与简单线段计算。 4. 提升识图能力，学会从复杂图形中剥离出基础相似三角形。1. 能够完整叙述两角分别相等的相似判定定理，准确识别图形中的等角条件。2. 能区分全等 AAS 与相似两角判定的异同，找准对应边角。 3. 可以规范书写证明过程，利用定理完成证明和简单计算。任务一：复习平行线判定相似，猜想两角判定相似的方法 任务二：探究证明两角分别相等的判定定理，辨析等角常见模型 任务三：基础证明训练，规范相似证明书写格式 任务四：含有公共角、对顶角的变式图形综合练习22.3.3相似三角形的判定1. 掌握 “两边对应成比例且夹角相等”判定定理，理解推导逻辑。 2. 能区分两条判定定理的适用条件，找准成比例边与夹角，规避 “SSA” 易错误区。 3. 能结合已知边长条件，选用合适定理证明三角形相似并计算线段。 1. 能完整表述两条判定定理，清晰区分夹角相等与任意对角的不同。 2. 能根据边长数据快速判断两边是否成比例，准确锁定两边夹角。 3. 规范完成证明步骤，灵活选择判定定理解决证明、计算题。任务一：回顾两角判定定理，类比全等 SAS猜想相似判定 任务二：动手验证、推理证明两条判定定理，辨析 SSA 易错陷阱 任务三：分层例题，分别运用两边夹一角解题 任务四：多条件变式训练，对比判定定理择优选用22.3.4相似三角形的判定1. 掌握 “三边对应成比例的两个三角形相似” 判定定理，理解定理推导思路。 2. 学会按大小顺序排列三角形三边，正确列出对应比例式，找准对应顶点。 3. 能利用三边成比例判定定理完成证明、边长计算类题型。 4. 类比全等 SSS 判定，区分全等与相似三边判定的联系与区别。1. 能完整口述三边成比例判定定理，会有序比对三边长度，找准对应边。 2. 可根据边长数据快速验证三边是否成比例，规避边不对应、比例列错的错误。 3. 规范书写证明步骤，独立完成判定证明与线段求值。任务一：复习两角、两边夹一角判定定理，类比全等 SSS 引入新知 任务二：探究验证三边成比例判定定理，学习有序匹配对应边方法 任务三：基础题型，给出三边长度判断三角形是否相似 任务四：含网格、不规则图形的三边相似判定变式训练22.3.5相似三角形的判定1. 掌握直角三角形相似专属判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 2. 整合直角三角形多种判定思路：两角相等、两边成比例夹角直角、HL 型相似判定。3. 能在直角三角形、射影定理模型中快速判定相似，完成线段计算。 4. 区分普通三角形与直角三角形相似判定的异同，灵活择优选用方法。1. 能准确表述直角三角形 HL 相似判定定理，清楚直角为固定等角的特殊优势。 2. 看到直角图形可快速梳理多种判定路径，不会混淆普通三角形与直角三角形判定条件。 3. 能结合射影模型，利用直角三角形相似完成边长、比例求解。任务一：复习一般三角形三种相似判定，结合直角特殊性猜想新判定 任务二：推导证明直角三角形斜边直角边成比例判定相似定理 任务三：基础题型，给直角边、斜边长度判断两直角三角形是否相似 任务四：直角三角形斜边上的高（射影模型）综合识图与计算训练22.4.1相似三角形的性质1. 掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比。2. 理解相似三角形周长之比等于相似比，可以独立完成定理推导。 3. 能够运用线段、周长的比例关系进行线段求值。 4. 体会类比推理思想，搭建判定和性质之间的知识关联。1. 能够复述相似三角形对应线段、周长的比例结论，可以完成逻辑推导。 2. 在复杂图形内找准相似三角形对应的高、中线、角平分线。 3. 依托相似比列式，准确求解线段长度、三角形周长。任务一：回顾相似三角形判定，猜想对应线段关系 任务二：推理证明对应线段、周长和相似比的关系 任务三：基础例题训练，完成线段、周长相关计算 任务四：变式识图，开展对应线段的综合题型练习22.4.2相似三角形的性质1. 理解相似三角形面积比等于相似比的平方，能够完成推导。 2. 区分周长比与面积比，厘清二者和相似比的关系。 3. 能利用面积比解决三角形及组合图形的相关计算。 4. 会结合对应线段、周长、面积性质解决综合性问题。1. 能准确说出面积比与相似比的关系，分清周长比、面积比的区别，规避易错点。 2. 已知相似比可求周长比、面积比；已知面积比能反求相似比。 3. 可以结合图形条件完成面积相关计算与求解。任务一：复习旧知，猜想相似三角形面积的数量关系 任务二：推导面积比等于相似比的平方，辨析易错陷阱 任务三：基础题型训练，周长、面积互求计算 任务四：图形组合情境下相似性质的综合应用训练22.5.1简单的位似图形 1. 理解位似图形、位似中心、位似比的概念，知晓位似是特殊的相似。 2. 掌握位似图形核心性质：对应点连线经过位似中心，对应边互相平行。 3. 能准确识别位似图形，区分普通相似图形与位似图形。 4. 能以图形内外点为位似中心，手动画出已知图形的位似放大、缩小图。1. 能完整复述位似相关概念，清晰说出位似与相似的从属关系。 2. 可在图形中快速找出位似中心，判断一组相似图形是否为位似图形。 3. 能按给定位似比规范作出位似图形，作图线条清晰、对应点连线完整。任务一：生活缩放图片导入，对比相似图形引出位似定义 任务二：动手画图探究，归纳位似图形两条核心性质 任务三：识图辨析，区分普通相似与位似图形 任务四：给定位似中心与位似比，尺规绘制位似图形基础练习22.5.2简单的位似图形1. 掌握平面直角坐标系中位似图形的坐标变化规律，分清位似中心在原点的两种缩放情况。 2. 能根据坐标变化判断图形是否为位似，依据位似比求变换后点的坐标。 3. 会在坐标系中根据坐标画出原图形的位似放大、缩小图形。 4. 结合坐标体会数形结合思想，建立代数坐标与几何位似变换的联系。1. 能准确说出原点为位似中心时坐标缩放规律，区分同向、反向位似坐标符号差异。 2. 已知原图坐标与位似比，可快速算出位似后各顶点坐标，不混淆正负符号。 3. 能依据坐标数据规范完成坐标系中位似图形作图。任务一：复习位似图形定义与性质，引入坐标系下的位似变换 任务二：探究位似中心在原点时顶点坐标的变化规律 任务三：基础计算，已知原图坐标求位似变换后的点坐标任务四：根据坐标在平面直角坐标系中绘制位似图形
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
22.4.1相似三角形的性质教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 22
课题 22.4.1相似三角形的性质 课时 1
教材分析 《相似三角形的性质 1》是沪科版几何重要内容，在学生掌握相似三角形定义、判定之后开展教学。既是对前面相似判定知识的延伸，也为后续相似多边形、位似学习打下基础。本课重点探究相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，体现几何推理思想，提升学生逻辑证明与应用能力。
学情 分析 学生已经掌握全等三角形性质，理解相似三角形概念与判定定理，具备基础几何证明能力。但学生容易混淆相似各类线段的比例关系，对性质的推导过程理解不够透彻，习惯机械记忆结论。部分学生推理书写不够严谨，综合运用性质解决计算、证明习题时容易出错，教学中要重视引导自主推导。
核心素养目标 1. 经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程，掌握相似三角形的性质 2. 能熟练运用相似三角形的性质解决相关问题 3. 在探索过程中体会类比思想、由特殊到一般的数学思想
教学重点 掌握相似三角形的性质
教学难点 能熟练运用相似三角形的性质解决相关问题
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1、什么是相似三角形？ 对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形. 2、如何判定两个三角形相似？ ①平行 ②两角分别相等 ③两边成比例且夹角相等 ④三边成比例 特别地，一条斜边和一条直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固相似三角形的判定相关知识
二、引新 创设情境，引入课题 相似的两个三角形，三个角分别对应相等，三条边对应成比例. 一个三角形有三条重要线段： 、 、 . 答案：高、角平分线、中线 猜想：如果两个三角形相似，那么，对应边上的高、对应角的角平分线、以及对应边上的中线，会有关系吗？ 学生思考问题 通过问题，自然引入课题
二、探究 合作探究，活动领悟 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的高. 求证： 证明：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B′． 又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形， ∴∠ADB=∠ A′D′B′ ∴△ABD∽△A′B′D′ ∴ 归纳： 相似三角形对应高的比等于相似比. 符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比是k 且AD⊥BC，A′D′⊥B′C′． ∴ ． 把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ (1) 已知 ：两个三角形相似比为k，即k. 求证：＝k. 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′，. 又AD，A′D′分别为对应边的中线， ∴. ∴ △ABD∽△A′B′D′. ∴ ＝ k . (2) 已知 ：两个三角形相似比为k，即＝k. 求证：＝k. 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′. 又BE，B′E′分别为对应角的平分线. ∴ ∠ABE＝∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. ∴＝＝ k . 归纳： 相似三角形的性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比，都等于相似比. 符号语言 ∵△ABC∽△ A′B′C′ ，相似比是k， 且AD、A′D′是对应边的高线， BF、B′F′是对应边的中线， CE、C′E′是对应角的角平分线， ∴ 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生通过自主发现与协作交流，深入理解相似三角形的性质定理1
三、变式 师生互动，变式深化 例 如图，一块三角形铁皮，它的边BC=80cm，高AD=60cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件的边长. 解：如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E. 设PS为xcm，则PQ为2xcm. ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽ △ABC. ∴，即 解这个方程，得x=24，2x=48. 答：这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm. 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　A　) A. B. C. D. 2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3. 若BD＝4 cm，则B′D′的长是(　C　) A. 3 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm 3.边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为____15____. 4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩短到原来的______． 5.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm．求EH的长． 解：∵△ABC∽△DEF， ∴＝， ∴＝， 解得，EH＝3.2(cm). 答：EH的长为3.2 cm. 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比，都等于相似比. 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书设计
作业设计 1. 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　A　) 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶9 2.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的点，∠BAC的平分线分别交DE，BC于点G，F. 若AD∶AB＝AE∶AC＝1∶2，则AG∶AF＝(　C　) 3. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'，设AB＝36cm，A'B'＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A'B'的距离为 20 cm. 4.如图，E是△ABC的中线AD的延长线上一点，EG∥AC交BC于点G. 若DG＝2BG，则 ＝____ 　 5. 两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线的长为x cm，则较长的长为(42–x)cm. 它们的相似比为6∶8 = 3∶4. 根据相似三角形的性质，得 解这个方程，得x=18，42–x=24. 答：这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
教学反思 本节课重点落实性质推导，但课堂上留给学生自主探究时间略显不足，部分学生被动接受结论。少数学生分不清相似比与线段比，解题时容易颠倒比例。后续教学应多给学生动手证明的机会，强化对比辨析，增加基础变式训练，规范几何书写，兼顾学困生理解，提升学生逻辑推理素养。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑