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人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计
年级组 九年级 学科组 数学 主备人
审阅人 授课教师 授课时间
课 题 29.2.1 圆的对称性——垂径定理（第1课时） 课 型 新授课
教学 目标 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，能准确运用定理进行证明和计算。 2.经历折叠操作、观察猜想、推理论证的过程，掌握"半径—半弦—弦心距"构成直角三角形的方法，培养几何推理能力。 3.在探究垂径定理的过程中，体会对称美和转化思想，培养严谨的逻辑推理素养。 ★核心素养：逻辑推理（定理证明）、几何直观（图形分析）、数学运算（勾股定理计算）
重点 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ★关键：定理的三个条件——①直径（过圆心）；②垂直于弦；③结论：平分弦+平分弧
难点 理解垂径定理的证明思路，灵活运用"半径、半弦、弦心距"构成直角三角形解决计算问题。 ★突破策略：①通过折叠实验直观验证；②构造直角三角形（半径为斜边）；③牢记公式r =d +()
教学 方法 操作实验法、定理归纳法、应用训练法、小组合作探究法 ★学法指导：操作—猜想—证明—应用，利用轴对称性理解定理本质
教学过程设计
教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课
一、情境导入 1.生活情境： ①把一张圆形纸片沿任意一条直径对折，两边能完全重合吗？这说明圆具有什么性质？ ②赵州桥是世界闻名的石拱桥，它的桥拱是圆弧形。工匠们是如何保证桥拱的对称性的？ ③自行车的车轮辐条为什么都交汇于中心？车轮转动时为什么能保持平稳？ 2.互动提问： ①圆是轴对称图形吗？如果是，它有多少条对称轴？ ②如果在圆中作一条弦，再作一条垂直于这条弦的直径，会发现什么特殊性质？ 3.揭示课题：今天我们学习圆的轴对称性的重要应用——垂径定理。
任务驱学 任务1：将圆形纸片沿直径CD折叠，观察圆的两部分是否重合，验证圆是轴对称图形，直径所在直线是对称轴。 任务2：在圆中作弦AB，再作直径CD⊥AB，垂足为E。沿CD折叠，观察点A与点B是否重合，AE与EB是否相等，弧AC与弧BC是否相等。 任务3：尝试用几何推理证明折叠中发现的结论，思考为什么垂直于弦的直径能平分弦和弦所对的弧。 【设计意图】通过动手折叠让学生直观感知垂径定理，再从直观感知上升到理性证明，培养几何推理能力。 二次备课
二、合作探究 探究1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 ★深度剖析： ①对称轴是"直径所在的直线"，不是直径本身（直径是线段，对称轴是直线）； ②圆的对称轴有无数条，每一条过圆心的直线都是对称轴； ③圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。 探究2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E。 求证：AE=EB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。 证明：连接OA、OB。∵OA=OB（半径相等），∴△OAB是等腰三角形。 ∵CD⊥AB，∴OE是等腰三角形底边AB上的高，∴AE=EB（等腰三角形三线合一）。 又∵圆沿CD折叠时A与B重合，∴弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合， 即弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。 探究3 垂径定理的推论 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 ★注意：被平分的弦不能是直径！因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。 ★易错点提示： ①垂径定理的条件是"直径垂直于弦"，缺一不可；只有直径没有垂直不行，只有垂直没有过圆心也不行； ②推论中"弦不是直径"这个条件不可省略，否则结论不成立； ③利用垂径定理计算时，常作辅助线：连接半径（构造直角三角形）或作弦心距。 ★数学思想渗透： 转化思想：将圆的问题转化为直角三角形问题（半径—半弦—弦心距）； 对称思想：利用圆的轴对称性理解定理的本质。
教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 如图1，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，求证：AE=EB，弧AC=弧BC。 证明：连接OA、OB。 ∵OA=OB（同圆半径相等），∴△OAB是等腰三角形。 ∵CD⊥AB于E，即OE⊥AB， ∴OE是等腰△OAB底边AB上的高， ∴AE=EB（等腰三角形三线合一）。 又∵CD是直径所在直线，是圆的对称轴， 沿CD折叠，点A与点B重合， ∴弧AC与弧BC重合，即弧AC=弧BC。 同理弧AD=弧BD。 【方法总结】垂径定理证明的关键是连接半径构造等腰三角形，利用"三线合一"证明平分。 例2 如图2，在⊙O中，弦AB=8，圆心O到弦AB的距离OE=3，求⊙O的半径。 解：连接OA。 ∵OE⊥AB（已知），由垂径定理得AE=EB==4。 在Rt△OAE中，OA =OE +AE =3 +4 =9+16=25， ∴OA=5，即⊙O的半径为5。 【方法总结】垂径定理计算的核心是构造直角三角形：半径r为斜边，半弦长和弦心距d为直角边，满足r =d +() 。知二可求一。 例3 已知⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，求圆心到弦AB的距离。 解：作OE⊥AB于E，由垂径定理得AE=3cm。 在Rt△OAE中，OE =OA -AE =25-9=16，∴OE=4cm。 答：圆心到弦AB的距离为4cm。 【方法总结】"知半径求弦心距"与"知弦心距求半径"方法相同，都是利用直角三角形勾股定理。 二次备课
展示交流，深化理解 1.学生板演例2、例3的解题过程，小组互评解题步骤是否规范。 2.讨论问题： ①在垂径定理中，如果把"垂直于弦"改为"平分弦"，结论还成立吗？需要附加什么条件？（成立，但弦不能是直径） ②为什么说"半径—半弦—弦心距"构成的直角三角形是解决圆中计算问题的关键？ 3.教师强调： ①垂径定理是圆中最重要的定理之一，是证明线段相等、弧相等的重要依据； ②常见辅助线：过圆心作弦的垂线（弦心距），或连接半径； ③计算时牢记r =d +() 这个基本关系式。 ★拓展思考：如果两条弦平行，它们所夹的弧有什么关系？（为后续学习做铺垫）
教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：垂直于弦的直径____这条弦，并且____弦所对的两条弧。 （答案：平分；平分） 2.填空：在⊙O中，弦AB=6，弦心距OE=4，则半径OA=____。 （答案：5） 3.选择：下列说法正确的是（　） A.平分弦的直径垂直于弦 B.垂直于弦的直线平分弦 C.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 D.弦的垂线必过圆心 （答案：C） 4.解答：如图2，若⊙O半径为13，弦AB=24，求圆心到弦AB的距离。 （答案：OE=√(13 -12 )=√25=5） 5.拓展：在⊙O中，直径CD=10，弦AB⊥CD于E，OE=3，求弦AB的长。 （答案：AE=√(5 -3 )=4，AB=8） 【分层设计】1-3题为基础题，4题为中档题，5题为稍难题 二次备课
课 堂 小 结 1.圆的轴对称性：任何一条直径所在直线都是对称轴，有无数条。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧。 4.核心公式：r =d +() （r半径，d弦心距，a弦长）。 5.常见辅助线：作弦心距（过圆心作弦的垂线），连接半径构造直角三角形。 ★知识网络：圆轴对称→垂径定理→构造直角三角形→勾股定理计算
课后 作业 1.必做：课本29.2.1练习第1、2题；习题29.2第1题。 2.选做： ①用垂径定理测量一个圆形物体（如圆盘）的直径，写出测量方案； ②思考：如果圆中有两条互相垂直的弦，能得到什么结论？ 3.预习：阅读课本29.2.1第2课时内容，了解垂径定理在实际问题中的应用。
板 书 设 计 29.2.1 垂径定理 一、圆的轴对称性 直径所在直线都是对称轴（无数条） 二、垂径定理 条件：CD是直径，CD⊥AB于E 结论：AE=EB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 三、推论 平分弦（非直径）的直径⊥弦，且平分弧 四、计算模型 Rt△：r =d +() 辅助线：作弦心距、连半径
课 后 反 思 教学反思 1.折叠实验直观有效，学生通过动手操作能快速感知垂径定理的内容，参与度高。 2.定理证明中连接半径构造等腰三角形是关键，部分学生一开始想不到这条辅助线，需要教师引导。 3."半径—半弦—弦心距"直角三角形模型是本节课的核心计算工具，通过例2、例3的训练学生基本掌握。 4.推论中"弦不是直径"这个条件容易被忽略，需要通过反例（两条直径互相平分但不垂直）强化。 5.部分学生在计算时忘记先由垂径定理得出半弦长，直接用全长代入勾股定理，需强调步骤规范。 6.改进方向：可增加更多变式训练（如知弦长和半径求弦心距、知弦心距和半径求弦长），让学生熟练掌握知二求一。

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