资源简介

第二单元 三角形的再认识
《探索内角和的奥秘》
《探索内角和的奥秘》是北师大版五年级上册第二单元《三角形的再认识》的后续探究课，是在学生已经掌握“三角形内角和是180°”并认识四边形及常见多边形基本特征的基础上开展的拓展性学习。本课对应课标第三学段“图形与几何”领域要求：通过观察、操作、测量、分割、推理等实践活动，探索多边形内角和的规律，能运用已有知识解决简单的几何问题，并在操作验证、观察比较和说理表达中发展几何直观、推理意识和应用意识。学生前面已经经历了通过测量、撕拼、折叠等方法验证三角形内角和的过程，积累了“猜想—验证—归纳”的探究经验，为本课进一步研究四边形及多边形内角和奠定了知识与方法基础。
本课是由“三角形内角和”向“多边形内角和”拓展的重要探究课，遵循“提出问题→尝试探究→转化分割→计算验证→观察比较→归纳规律→应用拓展”的学习路径展开。教材首先从“四边形的内角和是多少”这一问题切入，引导学生通过量一量、拼一拼、分一分等活动进行自主探索；在发现直接测量可能存在误差的基础上，进一步引导学生把四边形分割成两个三角形，借助“三角形内角和是180°”求出四边形内角和，从而体会把新问题转化为已学问题解决的数学思想。在此基础上继续研究五边形、六边形等多边形，通过观察“边数—分成的三角形个数—内角和”之间的数量关系，逐步发现并归纳出：多边形可以从一个顶点分成(边数-2)个三角形，多边形的内角和为180°×(边数-2)。整个学习过程由具体图形走向一般规律，由操作验证走向推理概括，使学生进一步经历猜想、转化、验证、归纳和应用的完整数学探究过程，感受知识之间的内在联系，发展几何直观、模型意识和逻辑推理能力。
1.通过测量、剪拼、分割转化成三角形等活动，体会转化的数学思想，提升动手操作与推理归纳能力。
2.经历探索四边形内角和的过程，知道四边形内角和是360°，能运用四边形内角和解决简单计算问题。
3.体会转化数学思想，发展几何直观与逻辑推理意识。
重点：经历多种方法探究四边形内角和的过程，掌握四边形内角和是360°，并能运用它解决角度计算问题。
难点：理解把四边形分割转化成三角形计算内角和的推理方法，感悟“转化”这一数学思想。
复习导入
师：同学们，我们先来回顾旧知识，直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的内角和分别是多少度？
生1：直角三角形的内角和是180°。
生2：锐角三角形的内角和是180°。
生3：钝角三角形的内角和是180°。
师：大家掌握得非常扎实！我们知道所有三角形内角和都是180°，那大家心中有没有新的疑问？
生4：四边形的内角和是多少度呢？五边形、六边形又会是多少度？
师：今天就让我们一起探究多边形内角和蕴藏的秘密。
设计意图：以复习三角形内角和作为课堂导入，唤醒学生已有的知识经验，通过递进式提问引发学生猜想与思考，形成认知悬念，调动学生探究四边形、多边形内角和的积极性。
效果评价：学生能够牢固回忆三角形内角和相关知识，跟随提问主动产生思考，萌发探究多边形内角和规律的兴趣，顺利进入新课学习。
探究新知
活动一：探索四边形的内角和
课件出示教材情景图：
师：同学们仔细观察画面，谁能找出藏在图片里的平面图形？
生：我看到很多四边形！
师：大家观察得很准确。这些形状各不相同的四边形，它们的内角和是多少度呢？大家心中有什么猜想？
生1：这些四边形形状不同，内角和是不是也不一样？
生2：我们之前研究过三角形内角和，四边形内角和会不会也是固定数值，和它的形状、大小没有关系？
师：大家提出的猜想很有价值！想要验证猜想，算出四边形的内角和，我们可以用哪些方法？请四人小组相互讨论，讨论时间5分钟，结束后分享你们的想法。
（学生小组交流讨论，思考探究方案）
师：哪个小组先来分享你们想到的办法？
生1：我们可以先从长方形、正方形这类特殊四边形入手，算出它们的内角和，再大胆猜想普通四边形的内角和。
生2：可以准备普通四边形，仿照探究三角形内角和的方法，用量角器测量每个内角，相加求出内角和。
生3：还能把四边形的四个内角撕下来，拼在一起，看看拼成什么角，以此推断内角和。
生4：三角形内角和是180°，我们可以把四边形分割成若干个三角形，借助三角形内角和计算。
师：大家想出了多种可行的探究思路，接下来我们分组动手操作，验证猜想。
师：我们先研究长方形，请大家观察长方形四个角有什么特点？
生：长方形四个角全部是直角，每个直角都是90°。
师：那大家试着算一算长方形内角和是多少？
生：90°×4=360°。
师：特殊四边形的内角和是360°，普通四边形也是这样吗？请大家拿出四边形纸片，用量角器测量四个内角，再把度数相加。
生：我测量得到四个角度相加大约是360°，测量出现一点点差值，应该是量角带来的误差。
师：除了测量，我们还可以用拼角的办法。大家把四边形的四个内角全部撕下来，顶点对齐拼在一起，仔细观察拼成了什么角？
生：四个角拼在一起刚好形成一个周角，周角是360°，说明四边形内角和是360°。
师：还有一种转化的方法，怎样把四边形转化成三角形进行计算？
生：从四边形的任意一个顶点出发，连接到它对面的顶点，画一条直线。把四边形分成两个三角形。
师：大家试着算一算。
生：一个三角形内角和180°，180°+180°=360°。
师：回顾我们今天完整的探究过程，大家有哪些收获？
生：三角形的内角和是180°，四边形可以分割成两个三角形，所以内角和是360°。
生1：研究三角形内角和的方法给了我启发，所有多边形的内角和是不是都与大小、形状无关？与什么有关呢？
生2：五边形、六边形……它们的内角和分别是多少度呢
生3：根据三角形内角和是180°，可以把要研究的图形转化为三角形，把新的问题转化为已有的知识研究。
设计意图：通过生活中的四边形情境引出探究问题，组织小组讨论自主猜想探究方案，通过量角测量、撕角拼接、分割转化三角形多种方式开展动手验证，由特殊四边形过渡到一般四边形，渗透转化的数学思想；在层层探究活动中引导学生自主归纳结论，发展几何直观与推理意识。
效果评价：学生能够主动观察情境、大胆提出猜想，积极参与小组交流与动手实践，熟练运用多种方法验证四边形内角和为360°，感悟转化思想，并且主动延伸思考多边形内角和问题，持续保持探究热情。
活动二：求多边形的内角和
课件出示题目：画一画，算一算，你发现了什么？
图形 ……
边数 3 4 5
分成三角形的个数 1
内角和 180°×1
师：请大家观察表格中的图形，动手连线分割图形，完成表格填空，同桌之间互相讨论，限时2分钟，结束后分享你们的发现。
（学生画图、填表、同桌交流探究）
师：如果要把多边形转化成三角形，该怎么分割呢？
生：可以从多边形的一个顶点出发，连接和它不相邻的顶点，就能分出相应的三角形。
师：谁愿意分享你的计算结果？
图形 ……
边数 3 4 5 6 7
分成三角形的个数 1 2 3 4 5
内角和 180°×1 180°×2 180°×3 180°×4 180°×5
生1：分成的三角形个数=边数 2。
生1：四边形内角和是180°×2，五边形是180°×3，六边形180°×4，七边形180°×5。
师：仔细观察，多边形的内角和与分成的三角形个数有什么关系？
生3：多边形内角和= 180° ×分成的三角形个数= 180°×(边数 2)。
设计意图：借助表格引导学生动手画图分割多边形，通过自主计算、同桌交流，自主归纳多边形内角和通用公式。让学生进一步感受转化思想，发展归纳推理能力。
效果评价：学生能够独立完成图形分割与计算，顺利总结多边形内角和计算公式；由四边形内角和到多边形内角和，推理意识得到进一步发展。
巩固练习
师：我们一起来检验一下学习效果吧!
装修师傅测量四边形窗台的内角，已知三个角分别是直角、95°、75°，剩余一个角是( )。
A.10°　　B.90°　　C.100° 　D.360°
预设：C
四边形内角和：360°
360°－90°－95°－75°= 100°
把一个长方形框架拉成一个平行四边形框架后，四个内角的和（ ）
A.不变 B.变大 C.变小
预设：A
长方形和平行四边形都是四边形，则内角和不变。
3. 如图，∠B=70°，沿图中虚线剪去∠B，则∠1和∠2的度数和是多少？。
预设：250°
∠A ＋ ∠C ＝180°－70°＝110°
∠1 ＋ ∠2 ＝360°－110°＝250°
拓展演练
1.一个多边形的边数增加1条，它的内角和就增加( )° ；一个十二边形的内角和比九边形的内角和多( )° 。
预设：180，540。
解析：一个多边形的边数增加1条，就多增加一个三角形，内角和就增加180°；
十二边形内角和为：180°×(12-2)=1800°
九边形内角和为：180°×(9-2)=1260°
1800°-1260°=540°
2.下面是四种探究四边形内角和的思考过程。
180°×2 ① 180°×3 ② 180°×4-360°③ 一个周角④
列式错误的是图( )，应改为_____________。
预设：②，180°×3-180°
设计意图：设置分层递进的课堂练习，基础习题结合生活情境巩固四边形内角和360°的核心结论，辨析图形变化后内角和的规律；拓展演练聚焦多边形内角和公式的灵活运用，延伸到分割探究方法的正误辨析。在习题训练中深化转化思想的理解，推动学生由记住四边形内角和走向掌握多边形内角和的推导逻辑，夯实几何计算能力，发展推理思维。
效果评价：学生能够熟练运用四边形内角和进行角度计算，正确判断图形形变、裁切之后内角和的变化情况；能够辨别图形分割中的典型错误，理解多边形内角和推导原理；可以灵活套用多边形内角和公式完成角度计算，实现知识的拓展迁移。
课堂小结
师：今天的学习你有什么收获？
师：四边形的内角和是多少度？我们运用了哪些方法进行验证？
生：四边形内角和是360°。在课堂中我们通过测量法、撕拼法、分割法验证了四边形的内角和为360°，与四边形的形状、大小无关。
师：把四边形分割成三角形来求内角和，这里用到了什么数学思想？
生：用到了转化的数学思想，把不熟悉的四边形，转化成我们已经学过的三角形来解决问题。师： 知道了四边形内角和，你是怎样探究五边形、六边形的内角和的？
生：从一个顶点出发，连接不相邻的其他顶点，把五边形、六边形分割成若干个三角形，借助三角形内角和180°，算出多边形的内角和。
师：今天你的表现怎样呢？你的好朋友表现怎样呢？我们来回顾一下。（学生自由发言）再完成评价表。
设计意图：以层层递进的问题串开展课堂小结，引导学生回顾四边形内角和的多种探究方法，梳理四边形内角和结论的由来，深度理解探究方法内涵，提炼转化的核心数学思想。在问答交流中构建完整知识框架，推动学生由记住结论走向理解原理，巩固几何探究经验，提升归纳概括与知识迁移能力。
效果评价：学生能够清晰回顾四边形内角和的各类验证方法，准确说出四边形内角和是360°，并结合图形分割原理解答多边形探究思路；可以自主提炼出转化思想，能够将分割探究的方法迁移到五边形、六边形等新问题中。
课后实践
在家剪出五边形、六边形，分割成三角形，计算它们的内角和。
设计意图：布置动手实践类课后作业，鼓励学生自主剪出五边形、六边形，通过分割成三角形的操作再次验证多边形内角和规律。将课堂探究延伸至课外，借助实操加深学生对转化思想的理解，巩固多边形内角和推导方法，培养动手操作能力与自主探究习惯。
效果评价：学生能够主动完成剪纸、分割图形的实践任务，借助动手操作再次验证内角和计算方法，进一步内化多边形内角和推导逻辑。在自主实践中深化转化思想的感知，有效巩固课堂所学知识，发展几何直观能力。

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