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26.2.1 二次函数 y=ax 的图象和性质 教学设计
课题 26.2.1 二次函数 y=ax 的图象和性质 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）会用描点法规范绘制 y=ax 的图象，认识抛物线、顶点、对称轴等基本要素；熟练掌握 y=ax 的图象特征与核心性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值）；精准掌握系数 a 对开口方向、开口宽窄的影响，并利用性质解决基础辨析、求值、比较函数值大小等问题； （2）经历「列表—描点—连线—观察—归纳—对比」的完整探究过程，掌握函数图象的通用探究方法，提升几何直观、归纳概括和数形结合解题能力； （3）感受函数图象的对称美与规律美，体会数形结合思想的价值，培养严谨的作图习惯和主动探究的数学思维。
教学重点 用描点法画二次函数 y=ax 的图象；掌握 y=ax 的图象特征、增减性、最值等核心性质。
教学难点 结合图象准确理解二次函数的增减性（分对称轴左右两侧讨论）；理解 |a| 的大小对抛物线开口宽窄的影响，区分 a 的正负与绝对值的不同作用。
教学方法 启发提问、动手作图、小组探究、变式对比 教学准备 多媒体课件、方格纸、几何画板等绘图工具
课后练习 必做：课本习题26.2第1、2、3题；探究性作业：课本习题26.2第4题 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景，
引入新课 回顾提问：二次函数的最简形式是什么？（答：y=ax ，a≠0） 衔接旧知：研究一次函数、反比例函数的核心方法是什么？（答：画图象、看特征、归性质） 导入课题：本节课沿用函数通用探究方法「解析式→图象→性质」，研究最简二次函数 y=ax 的图象和性质。 过渡：图象是函数性质的直观载体，先学会规范作图，再由图观性质。 回顾 （）及「画图象、看特征、归性质」通法 复习二次函数知识与函数探究通法，搭建新旧知识桥梁，自然引出课题，为描点作图方法迁移做铺垫。
二、探究点1：
动手作图
探究 y=x 图象 探究点1：动手作图，探究 y=x 的图象。 活动1：动手画出函数 y=x 的图象，按三步法操作。 1. 列表：选取对称自变量 3、 2、 1、0、1、2、3，计算对应函数值： 2. 描点：在平面直角坐标系中精确描出对应坐标点； 3. 连线：用光滑曲线从左至右顺次连接各点，得到完整曲线。 观察归纳图象特征：y=x 的图象是一条曲线，形状类似投篮或掷铅球时球在空中的路线，开口向上；二次函数 y=ax +bx+c 的图象都是类似曲线，开口或向上或向下，我们把这样的曲线叫做抛物线。 图象形状：一条曲线，叫抛物线；对称性：关于 y 轴对称；顶点：图象最低点 是抛物线的顶点；开口方向：开口向上。 画 图象，归纳：抛物线、对称轴 y 轴、顶点最低点 、开口向上 让学生亲历完整的作图探究过程，认识抛物线、顶点、对称轴基本要素，体会从解析式到图象的转化，为后续性质探究与同类作图迁移奠基。
三、探究点2：
探究 y=x 性质 探究点2：探究 y=x 图象的性质（小组合作观察交流）。 y 轴是抛物线 y=x 的对称轴；抛物线与其对称轴的交点 (0,0) 叫做顶点，它是抛物线的最低点；每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。 增减性：在对称轴左侧（）抛物线从左到右下降，即 y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧（）抛物线从左到右上升，即 y 随 x 的增大而增大。 追问1：你能从坐标关系说明抛物线 y=x 的对称性吗？ 学生（平行于知识提纲）：任取一点 (m, m )，它关于 y 轴的对称点为 ( m, m )，也在抛物线 y=x 上，所以抛物线 y=x 关于 y 轴对称。 在抛物线 y=x 上取点 (1,1)、(2,4)、(3,9) 及其关于对称轴的对应点，验证图象对称。 由 图象归纳对称轴、顶点与两段增减性，并任取 验证轴对称 从图象直观到代数验证，理解二次函数增减性须分对称轴左右两侧讨论，渗透数形结合与由特殊到一般的思想，突破增减性理解难点。
四、探究点3：
探究 y=ax 性质 探究点3：探究 y=ax 图象的性质（含 a 对图象的影响）。 活动3：在同一平面直角坐标系中，画出下列函数图象： ① 　② 　③ （按列表、描点、连线三步法作图） 观察思考：②③ 的图象与 y=x 的图象（虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？（结论：同开口向上、同顶点原点；|a| 越大开口越窄、|a| 越小开口越宽） 利用信息技术：改变 a 的值（a>0），观察抛物线 y=ax 随 a 变化的规律。 活动4：在同一平面直角坐标系中，画出下列函数图象： ① 　② 　③ 活动5：观察以上图象，归纳 y=ax 图象的性质。 当 a>0 时：开口向上；对称轴为直线 x=0（y 轴）；顶点坐标 (0,0)；最值：当 x=0 时 y 有最小值 0，无最大值；增减性：x<0 时 y 随 x 增大而减小，x>0 时 y 随 x 增大而增大。 当 a<0 时：开口向下；对称轴为直线 x=0（y 轴）；顶点坐标 (0,0)；最值：当 x=0 时 y 有最大值 0，无最小值；增减性：x<0 时 y 随 x 增大而增大，x>0 时 y 随 x 增大而减小。 |a| 的作用：|a| 越大，抛物线开口越窄、图象越陡；|a| 越小，抛物线开口越宽、图象越平缓。 小结升华：a 的正负决定开口方向与最值类型，a 的绝对值大小决定开口宽窄，两者互不混淆。 归纳 性质：a>0 开口向上有最小值 0、a<0 开口向下有最大值 0，对称轴 、顶点 ，|a| 定开口宽窄 由特殊到一般、分类讨论归纳 y=ax 的完整性质，拆分 a 正负（定开口与最值）与 |a| 大小（定宽窄）的不同作用，突出重点、突破难点，澄清易混规律。
五、典型例题 【典型例题】 例1：已知二次函数 y= 3x ，下列说法正确的有哪些？① 图象开口向上；② 对称轴是 y 轴；③ 顶点坐标为 (0,0)；④ 当 x>0 时，y 随 x 增大而减小；⑤ 函数最小值为 0。 【分析】先判断 a 的正负确定开口方向与最值，再结合固定性质判断对称轴、顶点与增减性。由 ：① 开口向下，故①错；②③ 所有 的对称轴均为 y 轴、顶点均为原点，故②③对；④ a<0 且 x>0 时 y 随 x 增大而减小，故④对；⑤ 开口向下的抛物线取最大值 0 而非最小值，故⑤错。 所以正确的是 ②③④。 例2：已知点 A( 2, y )、B(1, y )、C(3, y ) 都在抛物线 y=x 上，比较 y 、y 、y 的大小。 【分析】两种思路：一是代入求值比较；二是利用对称性与增减性快速判断。抛物线 开口向上，图象上的点离对称轴（y 轴）越远，函数值越大。 【方法一】各点到 y 轴距离：A 距 2、B 距 1、C 距 3；距离越远函数值越大，故 。 【方法二】代入：、、，亦得 。 例3：抛物线 y=4x 、y=2x 、y= 2x 中，开口最宽和最窄的分别是哪一个？ 【分析】开口宽窄仅由 大小决定，与 a 的正负无关。 【详解】、、；，故 |a| 最大者开口最窄、即 最窄； 与 的 |a| 相等、开口一样宽。 结论：开口最宽的是 y=2x 与 y= 2x （|a| 相等且最小）；开口最窄的是 y=4x 。 教师总结：巧用「离对称轴远则函数值大」与「|a| 定宽窄」快速解题，数形结合突破易错点。 判 性质；比较 、、；由 |a| 判开口宽窄 例题分层递进，覆盖性质辨析、函数值比较、开口规律三大考点；结合数形结合技巧示范，规范解题思路，突破易错难点。
六、当堂检测 课本课堂练习（P35）：已知二次函数 y= 2x ，解答下列问题： (1) 根据已知图象的部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）； (2) 判断点 是否在这个函数图象上，说明理由； (3) 求当 时对应的函数图象上的点的坐标。 参考答案与讲评： (1) 抛物线 关于 y 轴对称，依据已给部分补全另一侧，得开口向下、顶点在原点的完整抛物线（作图略）。 (2) 当 时，，恰好等于点纵坐标，故点 在这个函数图象上。 (3) 当 时，，故对应点的坐标为 。 中考真题（变式练习）讲练： ① 抛物线 y=x 、y= x 、y= x 共有的性质是（　　）。A. 开口向下　B. 对称轴是 y 轴　C. 都有最高点　D. y 随 x 的增大而增大 【讲解】y=x 开口向上、有最低点，y= x 开口向下、有最高点，y= x 开口向上、有最低点；三条抛物线对称轴均为 y 轴，而未限定自变量范围时增减性不一致，故选 B。 ② 已知点 A(y )、B(y )、C(y ) 都在抛物线 y=x 图象上，则 y 、y 、y 的大小关系为（　　）。 【讲解】三点的横坐标分别为 1、0、1，抛物线 y=x 在 x=0 处取最小值 0，且 ( 1) =1 =1，故 y =y ＞y ，故选对应选项 B。 ——教师巡视，随堂检测自学效果。 补画 ；验证 求 ；选对称轴/比较函数值 课本练习巩固作图与坐标验证，中考真题明确考试方向、熟悉题型，及时反馈学习效果，提升应考能力。
七、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 知识技能：（1）作图方法：用列表、描点、光滑曲线连线三步法画 y=ax 的抛物线图象（取对称自变量）；（2）图象要素：抛物线 y=ax 恒过原点，对称轴为 y 轴，顶点为 (0,0)；（3）核心性质：a>0 开口向上、顶点最低、x<0 减 x>0 增、有最小值 0；a<0 开口向下、顶点最高、x<0 增 x>0 减、有最大值 0；（4）a 的作用：正负定开口方向，|a| 大小定开口宽窄。 2. 思想方法：（1）数形结合：由图象得性质、用性质解代数题；（2）分类讨论：分 a>0、a<0 两类探究性质；（3）从特殊到一般：从具体函数图象归纳通用规律。 3. 易错提醒：（1）抛物线必须用光滑曲线连接，不能画成折线或直线，取值务必对称；（2）增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统描述；（3）开口宽窄只看 |a|，与 a 的正负无关；（4）最值：a>0 有最小值、a<0 有最大值，最值均为 0，切勿记反。 核心口诀：开口看 a 号，宽窄看 |a|，增减分左右，最值在顶点。 梳理 y=ax 图象三步法、两套性质与 |a| 定宽窄、易错点 对本课知识进行结构总结，强化数形结合、分类讨论思想，巩固 a 与 |a| 不同作用等易混要点，增强学习连贯性。
八、课后作业 必做题：课本习题 26.2 第 1、2、3 题。 探究性作业：课本习题 26.2 第 4 题；用软件改变 a 的值，观察抛物线 y=ax 随 a 变化的过程，记录开口宽窄规律。 完成分层作业并借助软件观察 随 a 变化的规律 通过分层练习巩固作图与性质，强化数形结合，规范步骤、查漏补缺。
板书设计
26.2.1 二次函数 y=ax
的图象和性质 主板书 一、作图步骤（三步法） 列表（取对称自变量）→ 描点 → 光滑连线 二、图象要素 抛物线、对称轴 y 轴、顶点 (0,0) 三、核心性质 a>0：开口向上、x<0 减 x>0 增、最小值 0 a<0：开口向下、x<0 增 x>0 减、最大值 0 四、a 的作用 a 正负→开口方向与最值；|a|→开口宽窄 五、核心易错点 光滑连线、增减分左右、最值勿记反 副板书 典型例题（性质辨析、比较函数值、开口宽窄） 例题、学生练习板演 学生板演区
教学反思

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