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26.2.2 二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质
（第1课时 二次函数 y=ax +k 的图象和性质）教学设计
课题 26.2.2 二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质（第1课时 y=ax +k） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）会用描点法绘制 y=ax +k 的图象，熟练说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值；掌握 y=ax +k 与 y=ax 的图象平移规律，能运用性质解决基础辨析、求值、比较函数值大小等问题； （2）经历「列表—描点—画图—对比—归纳」的完整探究过程，体会数形结合、类比迁移、从特殊到一般的数学思想，提升图象观察、规律总结和知识迁移能力； （3）在自主探究和小组合作中感受二次函数图象的对称美与变化规律美，培养严谨的数学思维和主动探究的学习习惯。
教学重点 二次函数 y=ax +k 的图象特征和核心性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；y=ax +k 与 y=ax 的图象平移规律。
教学难点 准确理解常数 k 的几何意义，区分 k>0 与 k<0 时图象的平移方向；结合图象灵活运用性质比较函数值、求最值。
教学方法 启发提问、动手作图、小组探究、信息技术演示、变式对比 教学准备 多媒体课件、方格纸、几何画板等绘图工具
课后练习 必做：课本习题26.2第2题(1)；探究性作业：教材第26.2节巩固题（大门丝带问题见课件） 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景，
引入新课 复习回顾：二次函数 y=2x 的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当 x 取何值时函数有最值、增减性如何？ 学生集体回顾作答，教师板书 y=ax 的核心性质。 追问：如果在 y=2x 的基础上变形为 、，函数图象会发生什么变化？由此引出课题。 明确目标：本节课研究「解析式中加常数 k」后，图象如何平移、性质如何变化。 回顾 性质，猜想 、 的图象变化 唤醒对 y=ax 性质的记忆，通过设问变形制造认知冲突，激发探究欲望，自然导入 y=ax +k 的研究课题。
二、探究点1：
配方过渡
先探 y=ax +k 探究点1：由一般式 y=ax +bx+c 到特殊形式 y=a(x-h) +k 的过渡。 追问1：上一章是如何通过配方法解一元二次方程 ax +bx+c=0 的？由此得到什么启发？ 学生（平行于知识提纲）：通过配方，可以把「ax +bx+c」转化为「a(x-h) +k」的形式，即将二次函数 y=ax +bx+c 转化为 y=a(x-h) +k 的形式。 当分别讨论 h、k 的取值时，就可以建立起 y=ax +bx+c 与 y=ax 的联系了。 追问2：用 a、b、c 表示，这里的 h 和 k 分别是什么？ 学生口头尝试：由 ，体会 h、k 与 a、b、c 的关系（此处仅作了解，重在引出特殊形式）。 过渡：先讨论最简单情形——当 h=0、k≠0 时，二次函数 y=ax +k 的图象和性质。 由配方体会 ，明确先研究 让学生体会二次函数三种形式间的联系，明确本课时研究对象与研究方法，为后续讨论 h、k 逐一突破做铺垫。
三、探究点2：
画 y=ax +k 图
对比找规律 探究点2：画具体函数 y=ax +k 图象，对比找规律。 活动1：用描点法在同一坐标系中画出 y=x 、y=x +2、y=x 2 的图象。 步骤指导：1. 列表：选取对称自变量 x= 2、 1、0、1、2，分别计算三个函数对应的 y 值并列表；2. 描点；3. 连线：用平滑曲线连接各点，得到三条抛物线。 小组讨论问题： （1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？ （2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？ （3）y=x +2、y=x 2 的图象可由 y=x 的图象如何平移得到？ 活动2：画函数图象、观察图象性质（用 y= x 的平移深化理解）。 在同一个坐标系中画出 、、 的图象，指出开口方向、对称轴和顶点；并说明它们之间的关系。 观察可得：抛物线 的开口向上、对称轴是 y 轴、顶点是 （注：图中 y= x +2 的顶点即为 (0,2)）；把虚线抛物线往上平移 2 个单位即得 ，往下平移 2 个单位即得 。 小结：将 向上平移 2 个单位得 ，向下平移 2 个单位得 。 画并比较 、、 与 让学生在动手画图与对比中亲身经历「上加下减」规律的产生过程，认识图象形状不变、仅上下平移的本质，培养动手作图与归纳推理能力。
四、探究点3：
信息演示
归纳 y=ax +k 性质 探究点3：画函数 y=ax +k 图象并归纳总结性质。 活动3：利用信息技术工具画函数 y=ax +k 的图象（不妨令 a= 和 a= ，改变 k 的值），观察图象上下平移的动态变化。 可以发现：随着 k 的变化，抛物线 在向上或向下平移，即把抛物线 向上（）或向下（）平移 个单位，就得到抛物线 。 师生归纳总结（图象共性、差异与平移规律）： 1. 图象共性：y=ax +k 与 y=ax 的形状、开口大小、开口方向、对称轴完全相同，对称轴均为 y 轴（直线 x=0）。 2. 图象差异：顶点坐标不同——y=ax 顶点为 (0,0)，y=ax +k 顶点为 (0,k)。 3. 平移规律：上加下减，k>0 时由 向上平移 k 个单位；k<0 时向下平移 个单位。 函数 y=ax +k 性质系统归纳： 开口方向：a>0 开口向上、a<0 开口向下；对称轴：直线 （y 轴）；顶点坐标：。 最值：a>0 时 x=0 处，函数有最小值 、无最大值；a<0 时 x=0 处，函数有最大值 、无最小值。 增减性：a>0 时，x<0 则 y 随 x 增大而减小、x>0 则 y 随 x 增大而增大；a<0 时反之。 拖动 k 观察，归纳 对称轴 、顶点 、最值 及上加下减规律 以动态演示直观呈现 k 的几何意义，突破「K正负对应平移方向」难点；系统归纳共性、差异、平移规律与性质的完整图表，帮助学生建立有序知识框架。
五、典型例题 【典型例题】 例1：已知二次函数 y= 3x +4。 (1) 说出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；(2) 说明该函数图象与 y= 3x 的图象的平移关系；(3) 当 x= 2、x=2 时，比较对应函数值 y 与 y 的大小。 【分析】先由 a 的正负判开口与增减性，由 k 定顶点与平移方式，再结合对称性比较函数值。 (1) ∵ 、k＝4，抛物线开口向下，对称轴为直线 （y 轴），顶点坐标为 ；当 x=0 时函数有最大值，最大值为 ，无最小值。 (2) 根据上加下减规律：函数 y= 3x +4 的图象可由抛物线 y= 3x 向上平移 4 个单位得到。 (3) a<0，抛物线开口向下、对称轴为 y 轴，x>0 时 y 随 x 增大而减小； 关于 y 轴的对称点为 ，故 。 教师总结：比较函数值时先看 a 定开口与增减，再结合对称性把非对称自变量转化到同一支讨论。 由 、 判性质，由对称性知 综合例题整合性质、平移与增减性应用，规范解题步骤，让学生掌握利用对称性与增减性比较函数值的技巧。
六、当堂检测 课本课堂练习（P38）与中考真题。 1. 在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 的图象经过点 (1, 2)。 (1) 求这个函数的表达式；(2) 当 时，x 随 y 的增大而减小，求 x 的取值范围。 参考答案：(1) 所求表达式为 y=2x ；(2) 图象开口向上、对称轴为 x=0，当 x≤0 时 y 随 x 的增大而减小，故 x 的取值范围为 x≤0。 2. 中考真题（变式）讲练：下列说法正确的是（　　）。 ① 关于 y=2x +3 的图象：A. 开口向上、函数最大值是 3　B. 开口向下、函数最大值是 3　C. 开口向上、函数最小值是 3　D. 开口向下、函数最小值是 3（答：C，a>0 开口向上、最小值为 3）； ② 关于 y=x 2 的图象：A. 开口向下　B. 顶点坐标为 (0,2)　C. 当 x>0 时 y 随 x 增大而减小　D. 函数的最大值为 2（答：C，a>0 开口向上、顶点 (0, 2)、x>0 时 y 随 x 增大而增大、无最大值）； ③ 抛物线 y=3x 向下平移 2 个单位所得解析式为 y=3x 2（上加下减）。 3. 综合题：已知二次函数 y= x +2。 (1) 该抛物线的对称轴是直线 x=0（y 轴），顶点坐标为 。 (2) 补全列表（取 x=±1、±2、±4 等）：y( 4)= 6、y( 2)=0、y(0)=2、y(2)=0、y(4)= 6；并在下方直角坐标系内描点画出该抛物线。 (3) 若该抛物线上两点 A、B 的横坐标满足 ，则 与 的大小关系为：a<0 开口向下、在 y 轴右侧 y 随 x 增大而减小，故 。 ——教师巡视，随堂检测自学效果。 求 减小区间；补画 ，比较 课本练习与中考真题结合，巩固性质辨析、平移与比较函数值，通过作图题强化数形结合，及时反馈学习效果、提升应考能力。
七、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 知识技能：（1）y=ax +k 的图象是抛物线，对称轴为 y 轴，顶点坐标 (0,k)；（2）a 决定开口方向与开口大小，k 决定上下平移位置与函数最值（a>0 最小值 k、a<0 最大值 k）；（3）平移规律上加下减（k>0 上移、k<0 下移）；（4）增减性分对称轴左右两侧讨论，能比较函数值大小。 2. 思想方法：（1）数形结合：以形助数、以数释形；（2）类比迁移：类比 y=ax 的探究方法推导 y=ax +k 的性质；（3）从特殊到一般：由具体函数图象归纳通用规律。 3. 易错提醒：（1）混淆平移方向——牢记上加下减，k 为负时是向下平移；（2）忽略 a 的作用——判断开口、增减性必须先看 a 的正负；（3）顶点坐标误写——y=ax +k 的顶点是 (0,k)，不是 (0,0)；（4）比较函数值时忘记利用对称轴转化对称点而盲目判断。 核心口诀：上加下减看 k 值，顶点挂在 (0,k) 上，开口增减扫 a。 梳理 顶点 、上加下减规律与易错点 对本课知识进行结构总结，强化平移方向与 a、k 的不同作用等易混要点，增强学习主动性与连贯性。
八、课后作业 必做题：课本习题 26.2 第 2 题(1)。 探究性作业：教材第 26.2 节巩固题——一工厂大门为抛物线形，现量得地面的宽度 AB＝8 米，大门顶端距离地面 4 米。为迎接国庆节，需在大门 C、D 两点处拉一条与地面平行的彩色丝带作装饰；当丝带到大门顶端（0,4）的距离为 1 米时，求此彩色丝带需多长（提示：建系得 y= x +4，令 y=3 得 x=±2，故丝带长 CD=4 米）。 完成分层作业并求解大门丝带长度 4 米 通过分层练习巩固平移规律与性质，并结合生活情境提升应用能力。
板书设计
26.2.2 二次函数 y=ax +k
（第1课时）的图象和性质 主板书 一、平移规律（上加下减） y=ax → 上移 k 个单位（k>0） → 下移 |k| 个单位（k<0） 二、函数性质 1. 对称轴：直线 x=0（y 轴） 2. 顶点坐标：(0, k) 3. 开口方向：a>0 上、a<0 下 4. 最值：a>0 最小 k、a<0 最大 k 5. 增减性：分对称轴左右讨论 三、易错点 记反平移方向、顶点误写 (0,0)、 忽略 a 的作用、比较值忘用对称性 副板书 典型例题（性质、平移、比较函数值） 例题、学生练习板演 学生板演区
教学反思

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