资源简介

26.2.2 二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质
（第2课时 二次函数 y=a(x-h) 的图象和性质）教学设计
课题 26.2.2 二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质（第2课时 y=a(x-h) ） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）会用描点法画出 y=a(x-h) 的图象，精准掌握其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等性质；熟练掌握抛物线 y=ax 与 y=a(x-h) 的左右平移规律，能根据函数解析式判断图象的变换方式、求增减区间与最值； （2）通过自主描点画图、小组对比探究、归纳总结的过程，培养数形结合分析问题、类比推理、归纳概括的能力，体会函数图象变换中「变与不变」的数学规律； （3）感受二次函数图象的对称美、变换美，体会数学知识的连贯性与逻辑性，在自主探究与合作交流中提升学习主动性，树立严谨的数学思维。
教学重点 二次函数 y=a(x-h) 的图象特征与核心性质；抛物线 y=a(x-h) 与抛物线 y=ax 的平移变换规律。
教学难点 准确理解并记忆抛物线左右平移规律（左加右减），区分左右平移与上下平移的解析式变化差异；根据函数解析式快速判断图象的平移过程、增减区间及最值。
教学方法 启发提问、动手作图、小组探究、信息技术演示、变式对比 教学准备 多媒体课件、方格纸、几何画板等绘图工具
课后练习 必做：课本习题26.2第2题(2)；探究性作业：含参二次函数 y=(m+1)x^(m +m) 的 m 值与图象性质（见课后作业） 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景，
引入新课 复习回顾：（1）二次函数 y=2x 、y=ax +k 的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当 x 取何值时函数有最值、增减性如何？ 学生集体回顾作答，教师板书 y=ax 、y=ax +k 的核心性质。 （2）抛物线 y=ax 与 y=ax +k 的变换规律是什么？ k>0 向上平移，k<0 向下平移，平移不改变开口大小和方向（上加下减）。 情境设问：我们已经掌握了二次函数图象的上下平移，如果不做上下平移而将抛物线 进行左右平移，会得到什么新的二次函数？新函数的解析式、图象和性质又会怎样变化？ 引出课题：今天共同探究二次函数 y=a(x-h) 的图象和性质。 回顾 、 性质，猜想左右平移得到的新解析式 复习旧知衔接已学的二次函数平移知识，构建知识连贯性；通过递进式设问引发认知冲突，激发探究新知兴趣，为左右平移探究铺垫，自然导入新课。
二、探究点1：
画图对比
感知左右平移 探究点1：画图对比，感知特殊 y=ax 与 y=a(x-h) 图象间的联系。 活动1：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=- (x+1) 与 y=- (x-1) 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点。 列表（取对称自变量并列表如下）：以 为例，当 x= 3、 2、 1、0、1 时对应的 y 值分别为 2、 0.5、0、 0.5、 2。 描点画图，就得到 （图中蓝色抛物线）和 （图中粉色抛物线）的图象。 观察图象：抛物线 的开口向下，对称轴经过 ( 1,0) 且垂直于 x 轴的直线（记作 x= 1），顶点是 ( 1,0)；抛物线 的开口向下，对称轴为直线 x=1，顶点是 (1,0)。 活动2：观察抛物线 y=- (x+1) 、y=- (x-1) 与 y=- x （虚线）有什么关系？相同点和不同点是什么？ 可以发现：把抛物线 向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把 向右平移 1 个单位长度，就得到抛物线 。 画 、，对比 归纳左右平移 让学生亲手操作画图，直观感知图象变化，落实学生主体地位；通过小组合作观察对比，培养观察分析与合作交流能力，从具象图象中提炼抽象平移规律。
三、探究点2：
信息技术
归纳 y=a(x-h) 性质 探究点2：归纳函数 y=a(x-h) 的核心规律与性质。 活动3：利用信息技术工具画函数 y=a(x-h) 的图象（改变 h 的值），观察图象变化。 改变 h 的值可以发现：随着 h 的变化，二次函数 的图象向左或向右平移，即把抛物线 向左（）或向右（）平移 个单位长度，就可以得到抛物线 （如图）。 活动4：梳理总结 y=a(x-h) （a≠0）的完整性质和平移规律。 图象共性：图象为抛物线，形状、开口大小、开口方向与 y=ax 完全一致。 核心要素：对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；平移规律：抛物线 左右平移得到 ，左加右减——h>0 向右平移 h 个单位，h<0 向左平移 个单位。 增减性与最值：a>0 时开口向上，顶点为最低点，xh 时 y 随 x 增大而增大，当 时函数有最小值 0；a<0 时开口向下，顶点为最高点，xh 时 y 随 x 增大而减小，当 时函数有最大值 0。 拖动 h 观察，归纳 对称轴 、顶点 、左加右减及增减性最值 通过学生自主探究加教师精准总结，突破本节课重点知识，系统化梳理函数性质和平移规律，构建完整知识框架，突破「左右平移」认知难点。
四、典型例题 【典型例题】 例1：已知二次函数 y= 2(x+1) ，完成下列问题。 （1）说出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）说明该抛物线是由抛物线 y= 2x 经过怎样的平移得到的； （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，函数取得最值？最值是多少？ 【分析】解题关键：先标准化解析式，将 转化为 ，确定 a= 2、h= 1；再根据 a 的符号判断开口方向、增减性和最值，根据 h 的值确定对称轴、顶点坐标和平移方式，严格套用本节课归纳的规律解题。 【详解】解：将函数解析式标准化：，可得 、。 （1）∵ ，∴抛物线开口向下；对称轴为直线 ；顶点坐标为 。 （2）根据平移规律「左加右减」，抛物线 是由抛物线 向左平移 1 个单位得到的。 （3）∵ ，抛物线开口向下、对称轴为直线 ，当 时 y 随 x 的增大而增大；顶点为最高点，当 时函数取得最大值，最大值 。 教师强调：解析式为 x+h 时，务必改写为 x ( h) 再判断 h、对称轴与平移方向，避免符号错误。 将 标准化为 ，求性质与平移、增减最值 例题覆盖本节课核心知识点，通过标准化解析式的解题技巧纠正学生直接看错 h 符号的易错点；完整的分析加详解流程规范解题步骤，强化对重点知识的应用能力。
五、当堂检测 课本课堂练习（P39）。 1. 如图，抛物线的顶点为 A，与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OA=OB。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点在该抛物线上，求 b 的值； （3）若点 P、Q 在此抛物线上，比较 y 与 y 的大小。 答案提示：（1）由顶点在 x 轴的负半轴上，可设解析式为 y=a(x-h) （a<0），结合 OA=OB 求出 a、h 后即可确定解析式；（2）将点的坐标代入解析式求出参数值；（3）a<0、开口向下，结合对称轴及增减性比较两点函数值的大小。 中考真题（变式）讲练。 2.（2026·徐州统考变式）关于二次函数 y=(x 1) ，下列说法正确的是（　　）。 A. 图象的对称轴是直线 x=0　　B. 图象与 x 轴有两个交点 C. 当 x>1 时，y 的值随 x 的增大而增大　　D. 当 x=1 时，y 取得最大值，且最大值为 1 答：C。由 a=1>0 知开口向上、对称轴为直线 x=1，当 x>1 时 y 随 x 增大而增大；当 x=1 时取最小值 0，与 x 轴只有一个交点，故 A、B、D 均错误。 3.（2025·宁波联考变式）已知二次函数 ，当 x<2 时 y 随 x 增大而减小，当 x>2 时 y 随 x 增大而增大，则 h 的值为（　　） A. 2　　B. 0　　C. 4　　D. 2 答：D。开口向上时对称轴左侧 y 随 x 增大而减小、右侧增大，对称轴为直线 x=h=2。 4.（2026·盐城校考变式）关于二次函数 y= (x+3) 的图象，下列说法正确的是（　　）。 A. 开口向上，对称轴是直线 x=3　　B. 开口向下，对称轴是直线 x=3 C. 开口向上，对称轴是直线 x= 3　　D. 开口向下，对称轴是直线 x= 3 答：D。由 a= 1<0 得开口向下，对称轴是直线 x= 3。 ——教师巡视，随堂检测自学效果。 完成 P39 顶点式求解析式，辨析 对称轴、增减性与最值 课本练习与中考真题结合，巩固性质辨析、平移与比较函数值，及时反馈学习效果，明确考试方向、提升应考能力并增强学习动力。
六、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 知识技能：（1）y=a(x-h) 的图象是抛物线，开口方向由 a 决定，对称轴为直线 x=h，顶点坐标为 (h,0)；（2）平移规律：抛物线 y=ax 左右平移得 y=a(x-h) ，左加右减；（3）增减性与最值：a>0 开口向上、左减右增、有最小值 0；a<0 开口向下、左增右减、有最大值 0。 2. 思想方法：（1）数形结合：通过图象直观分析性质，以形助数、以数释形；（2）类比推理：类比 y=ax 、y=ax +k 的探究方法探究新函数；（3）分类讨论：根据 a>0 与 a<0 分类讨论增减性与最值。 3. 易错提醒：（1）平移规律混淆——上下平移改 k（上加下减）、左右平移改 h（左加右减），切勿混淆；（2）h 的符号易错——解析式中是 x h，若为 x+h 需先转化为 x ( h) 再判断平移方向、对称轴；（3）增减区间混淆——必须以对称轴 x=h 为分界区分左右区间的增减变化。 核心口诀：左加右减看 h，顶点挂在 (h,0) 上，h 定对称轴，a 定开口与增减。 梳理 顶点 、左加右减规律与易错点 对本课知识进行结构总结，强化左右平移与上下平移的区分、h 符号及 a 的作用等易混要点，增强学习主动性与连贯性。
七、课后作业 必做题：课本习题 26.2 第 2 题(2)。 探究性作业：已知函数 是关于 x 的二次函数。 （1）求 m 的值； （2）当 m 为何值时，该函数图象的开口向下？ （3）当 m 为何值时，该函数有最小值，此时 x 的值是多少？ 【详解】（1）∵ 函数是二次函数， 且 ，解得 或 ； （2）开口向下需 ，即 ，故当 时该函数图象开口向下； （3）要有最小值需 ，即 ，结合（1）取 ，此时 ，当 时函数有最小值。 求解 的 m 值并判断开口与最值 通过分层练习巩固平移规律与性质，并借含参问题强化对 a 的符号决定开口方向、最小值与 a 正负关系的理解，提升分类讨论与综合运用能力。
板书设计
26.2.2 二次函数 y=a(x-h)
（第2课时）的图象和性质 主板书 一、核心解析式 y=a(x-h) （a≠0，k=0 的顶点式） 变形技巧：x+h → x-(-h) 二、图象平移规律（左加右减） y=ax → 右移 h 个单位（h>0） → 左移 |h| 个单位（h<0） 三、函数性质 1. 开口方向：a>0 上、a<0 下 2. 对称轴：直线 x=h 3. 顶点坐标：(h, 0) 4. 增减性与最值：分 x=h 讨论 a>0 左减右增 min=0；a<0 反之 max=0 四、易错点 上下(改k)/左右(改h)混淆；h 符号看错； 增减区间未以对称轴 x=h 为界 副板书 典型例题（标准化、性质、平移、最值） 例题、学生练习板演 学生板演区
教学反思

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