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26.3 二次函数与一元二次方程 教学设计
课题 26.3 二次函数与一元二次方程 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）理解二次函数图象与 x 轴公共点的横坐标就是相应一元二次方程的根，能通过二次函数的图象讨论一元二次方程根的情况；由一元二次方程根的情况确定相应二次函数图象与 x 轴的位置关系； （2）经历用二次函数图象观察、解决一元二次方程的解（含近似解）问题的探究过程，体会数形结合、函数与方程思想，感受从特殊到一般的研究方法，提升分析问题、解决问题的能力； （3）通过二次函数与一元二次方程的联结，从函数视角更宏观地认识方程，激发探究兴趣，培养严谨推理、规范画图的数学学习习惯。
教学重点 理解二次函数图象与 x 轴公共点与对应一元二次方程根的关系，能通过根的判别式判断二次函数图象与 x 轴公共点的个数。
教学难点 理解当二次函数中给定函数值求自变量的值，可以看作解相应一元二次方程的过程（即图象与常函数交点横坐标的求解过程）。
教学方法 情境引入、类比探究、数形结合、讲练结合、归纳提升 教学准备 多媒体课件、方格纸、描点作图工具
课后练习 必做：课本习题26.3第3、4题；探究性作业：课本习题26.3第5、6题 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景，
引入新课 复习回顾，类比引入： 前面我们学习了一次函数与一元一次方程的关系，请同学们说说一次函数的图象与方程的根有什么关系？ 学生回顾：求一次函数 y=kx+b 当 y=1 或 y= 2 时对应的自变量，就相当于解一元一次方程；把方程两边的式子看作两个函数，两者函数值相等，交点的横坐标即为方程的解。 教师追问：今天我们要共同学习二次函数与一元二次方程的关系，你能说说该从哪些角度、按怎样的思路来展开研究吗？ 师生活动：类比一次函数的研究过程，明确「给出函数解析式→画出图象→观察与 x 轴（或常函数）位置→取点定解」的基本路径，将未知转化为已知。 顺势引入：今天我们沿这条路来探索二次函数与一元二次方程的密切关系。 回顾一次函数与对应一元一次方程的关系，类比提出研究二次函数与一元二次方程的思路 以一次函数的旧知为类比源，唤醒函数与方程思想，帮学生搭建研究框架，把未知问题转化为已知方法，为后续探究做思维铺垫。
二、探究点1：
利用函数图象求一元二次方程的解 探究点1：利用函数图象求一元二次方程的解。 问题：如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线。不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）满足函数关系 h=20t 5t 。 （1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ 将 h=15 代入解析式，得 ，整理得 ，解得 、。当小球飞行 1 s 和 3 s 时，高度为 15 m。 让学生在图 22.2-1 上标出这两点，观察：常函数 y=15 与抛物线 y=20t 5t 的图象相交于两点（t=1 与 t=3），这两个交点的横坐标就是方程的解。 （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 将 h=20 代入，得 ，即 ，解得 。当小球飞行 2 s 时，高度恰好达到 20 m。 （3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ 将 代入，整理得 ，判别式 ，方程无实数根，因此小球的飞行高度达不到 20.5 m。 从图象看：常函数 y=20.5 位于抛物线最高点上方，二者没有公共点，也可判断达不到 20.5 m。 （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 落地时 h=0，代入得 ，即 ，解得 、。表明小球从飞行到落地要用 4 s。 追问1：从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切。例如，已知二次函数的值为 3，求自变量的值，可以看作解哪个一元二次方程？ 即 h=3（常函数）与抛物线交点问题，也就是解方程 3=20t 5t 。 追问2：解方程 0=20t 5t 又可以看作哪个二次函数的值为 0、求自变量的值？ 可看作二次函数 h=20t 5t 的值为 0 时，求自变量 t 的值。 归纳：已知二次函数中 h 的值求 t，就是把 h 换成常数，求一元二次方程的解；反过来，一元二次方程的解也可看作求二次函数与常函数（含 x 轴 y=0）图象交点的问题。 代入 解四问，观察常函数交点，归纳已知函数值求自变量即解方程 通过四个递进的实际问题，让学生直观体会二次函数与一元二次方程的对应关系，理解已知函数值求自变量可看作解方程，渗透数形结合思想。
三、典例分析（例1） 【典例分析】 例1：某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 y= 0.25x +x+1.25（如图），其中出球点 B 离地面的距离是 1.25 米，球落点的水平距离是多少？ 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，根据抛物线与 x 轴的交点得出球落点的水平距离。 【详解】令 y=0，则 ，整理得 ，解得 ，（舍去）。 因此球落点的水平距离是 5 米。 强调：解题关键是令 y=0（落地点高度为 0），将求落点转化为解一元二次方程并舍去负根。 令 解 并舍负根，得落点水平距离5米 通过范例呈现求落点水平距离的规范步骤，巩固「令 y=0 求与 x 轴交点横坐标」的建模方法，落实二次函数与方程关系的应用。
四、探究点2：
利用二次函数图象求一元二次方程的解 探究点2：利用二次函数图象求一元二次方程的解。 追问1：下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （1）；　（2）；　（3）。 （1）有，公共点的横坐标是 2 和 1；（2）有，公共点的横坐标是 3（相切于 x 轴）； （3）因为判别式 ，所以二次函数 的图象与 x 轴没有公共点。 追问2：上述三个二次函数中，当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应一元二次方程的根吗？ 当 x 取公共点的横坐标时，函数值都是 0；能，相应一元二次方程的根就是这些公共点的横坐标。 归纳结论： （1）如果抛物线与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x ，那么当 x=x 时，函数值是 0，因此 x 是方程 ax +bx+c=0 的一个根； （2）二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点、有一个公共点、有两个公共点，这对应着一元二次方程 ax +bx+c=0 根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不等的实数根。 辨析三组函数与 x 轴公共点情况，用判别式判断，归纳公共点横坐标即方程根 由三组函数分层辨析抽象出一般结论，让学生建立公共点个数与方程根的情况的一一对应，理解判别式与图象位置的关联，实现从特殊到一般的归纳。
五、典例分析（例2） 例2：已知二次函数 y=x 2mx+m +2（m 是常数）。 （1）若该函数的图象的对称轴为直线 x=3，求 m 的值； （2）求证：不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴没有公共点。 【分析】此题考查二次函数的性质及与 x 轴的交点问题，熟练掌握对称轴公式与判别式同图象与 x 轴交点个数的关系是解题关键。 【详解】（1）由对称轴公式 ，又对称轴为 ，故 ； （2）判别式 ，因此不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴没有公共点。 强调：利用 Δ 的符号判断图象与 x 轴公共点的个数是解决此类问题的通法；当 Δ<0 时抛物线与 x 轴无公共点，对应方程无实数根。 用对称轴公式求 ，算判别式 Δ=-8<0 证无公共点 通过含参二次函数强化对称轴公式与判别式求值、判交点个数的规范，归纳 Δ>0、=0、<0 与交点个数的三种对应关系。
六、探究点3：
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 探究点3：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解。 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根一般只是近似值。 问题：利用函数图象求方程 的实数根（结果保留小数点后一位）。 追问1：利用函数图象求方程 x 2x 2=0 的实数根，先要画出什么函数的图象？怎样画？ 用描点法画出函数 y=x 2x 2 的图象（如图）。 追问2：从图象中可以求出 x 2x 2=0 的近似实数根是什么？ 二次函数 y=x 2x 2 的图象与 x 轴的公共点的横坐标大约是 0.7 和 2.7，所以方程 x 2x 2=0 的实数根约为 x ≈ 0.7，x ≈2.7。 讨论：你能求出更准确的近似根吗？ 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。观察图象：当自变量为 2 时函数值小于 0（点 (2, 2) 在 x 轴下方），当自变量为 3 时函数值大于 0（点 (3,1) 在 x 轴上方），因为抛物线是连续不断的曲线，所以这段抛物线必经过 x 轴，即方程在 2、3 之间有根。 取 2、3 的平均数 2.5，算得函数值为 0.75，与 3 处函数值异号，故根在 2.5、3 之间；再取 2.5、3 的平均数 2.75，函数值 0.0625，与 2.5 处异号，故根在 2.5、2.75 之间。重复上述步骤，根所在范围越来越小。 当要求根的近似值与准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于 ，可将 2.6875 作为根的近似值。你能用这种方法得出另一个根的近似值吗？这种求近似根的方法也适用于更高次的一元方程。 画 图象读近似根，用取中值二分逼近缩范围至精度达标 让学生掌握由图估根与不断缩根范围逼近近似根两种方法，体会连续函数值与零点的关系，培养数形结合与二分逼近思想。
七、典例分析（例3） 例3：已知二次函数 C：y=x 6x+5。 （1）将二次函数 C 化成 y=a(x h) +k 的形式； （2）在右图中画出二次函数 C 的图象； （3）当 y<0 时，利用图象直接写出 x 的取值范围；（4）当 0≤x≤3 时，利用图象直接写出 y 的取值范围。 【分析】本题主要考查把抛物线解析式化为顶点式、画抛物线函数图象、抛物线与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是关键。 【详解】（1）配方：，即 ； （2）列表（取 x=1、2、3、4、5，对应 y 值 0、 3、 4、 3、0），描点连线即得开口向上、对称轴 x=3、顶点 (3, 4)、与 x 轴交于 (1,0)、(5,0) 的抛物线； （3）由图象，当 y<0 时，图象位于 x 轴下方，对应 x 范围为 1八、当堂检测 1. 已知抛物线 C：y=x +bx+c 中，自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如表所示。 （x：… 0 1 2 3 4 …；y：… 3 0 · · 0 3 …） （1）直接写出该抛物线的对称轴：____；（2）直接写出抛物线的解析式____； （3）结合图象及表中数据，直接写出当 y<0 时 x 的取值范围：____；（4）当 0≤x≤4 时，y 的取值范围是____。 【详解】（1）由表中 x=0 与 x=4 处 y 相等，故对称轴为 x=2，顶点为 (2, 1)；（2）设 y=a(x 2) 1，由 x=0 时 y=3 得 4a 1=3，a=1，故 y=(x 2) 1=x 4x+3；（3）由对称轴 x=2、开口向上，且 y<0 时对应 1九、课堂小结 本节课我们研究了二次函数与一元二次方程的哪些联系？ 1. 知识要点：（1）抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的公共点，其横坐标就是方程 ax +bx+c=0 的根；（2）判别式 Δ 决定公共点个数：Δ>0 两个、Δ=0 一个、Δ<0 无公共点（对应方程根三种情况）；（3）给定二次函数中某函数值求自变量，可转化为解一元二次方程；通过作图象与 x 轴（或常函数）交点可求方程的根（含近似根，用二分逼近缩范围）。 2. 思想方法：数形结合（以形助数、以数解形）、函数与方程思想、转化与化归、从特殊到一般。 3. 易错提醒：（1）求近似根要明确精确程度，二分逼近时注意异号取中点、同号取相邻；（2）判断交点个数应正确计算 Δ 的符号；（3）读图求范围时先明确开口方向与关键点（顶点、端点）。 核心口诀：根即交点横坐标，Δ 定个数三情况；给定函数值求自变，化为方程来求解。 回顾公共点与根的对应、 定个数，归纳数形结合与二分逼近方法 系统回顾本节核心结论与方法，完善「图象—方程—取值范围」的认知链条，深化函数与方程思想，增强学习主动性与条理性。
十、课后作业 必做题：课本习题 26.3 第 3、4 题（利用图象求方程的根、判断抛物线与 x 轴公共点个数）。 探究性作业：课本习题 26.3 第 5、6 题（结合图象求近似根、实际情境应用题，鼓励多种方法）。 要求：规范配方、准确画图，写明利用 Δ 判断公共点个数的过程，探究题可结合图象与代数两种思路解答。 独立完成习题，规范配方画图并利用 判断公共点个数 通过分层练习及时巩固本课知识，帮助学生深化函数与方程思想，提升运算与数形结合、建模能力，实现课内课外衔接。
板书设计
26.3 二次函数与一元二次方程 主板书 一、图象与方程的根 1. 公共点横坐标 = 方程根 2. x 取公共点横坐标时 y=0 二、Δ 与公共点个数 1. Δ>0：与 x 轴两公共点 2. Δ=0：一个公共点（相切） 3. Δ<0：无公共点 三、求方程的解（含近似解） 1. 给定函数值求自变量 → 解方程 2. 图象法读交点横坐标 3. 二分逼近：异号取中点缩范围 四、致命易错 近似根精度、Δ 符号、读图范围 忽略从特殊到一般的归纳 副板书 典型例题（例1、例2、例3） 例题、学生练习板演 学生板演区
教学反思

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