资源简介

26.4 实际问题与二次函数
（第1课时）教学设计
课题 26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）能分析运动、几何面积类实际问题，找出变量之间的二次函数关系式；熟练运用配方法、公式法求二次函数顶点，解决实际问题的最大、最小值； （2）经历从实际问题抽象二次函数、求顶点最值、结合自变量取值范围确定实际最值的完整过程，体会建模、化归、数形结合思想，掌握靠墙矩形面积最值这一数学模型的一般解题思路； （3）经历建系、建模、求解、检验的实际应用过程，体会数学与生活的联系，发展模型观念与运算素养，养成先定范围、再求最值的严谨习惯。
教学重点 根据实际情境建立二次函数解析式，掌握靠墙矩形面积最值模型的解题思路（建模→定范围→求顶点→取最值）；能区分纯函数最值与受取值范围限制的实际最值。
教学难点 结合实际意义确定自变量的取值范围，区分纯函数最值（顶点处）与受取值范围限制时的实际最值（端点或增减性处）。
教学方法 情境导入、类比探究、讲练结合、数形结合、模型归纳 教学准备 多媒体课件、方格纸、直尺
课后练习 必做：完成镶嵌与面积最值的针对性练习；探究性作业：设计一个可围成最大面积的靠墙围栏方案 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、复习回顾，
聚焦工具 复习回顾，聚焦工具： 教师出示两道复习题： （1）（配方法）求二次函数 的顶点坐标与最值；（2）（公式法）求二次函数 的顶点坐标与最值。 师生共同订正： （1）配方得 ，顶点 ，开口向上，取得最小值 3； （2），，，对称轴 ，顶点纵坐标 ，顶点 ，开口向下，取得最大值 5。 教师提问：二次函数顶点的作用是什么？学生齐答：顶点是最值点，开口向上有最小值，开口向下有最大值。 过渡导入：生活中很多运动、面积问题都存在最大值、最小值，今天我们就用二次函数来解决实际最值问题。 用配方法、公式法求 与最值，明确顶点即最值点 复习配方法与公式法求顶点、最值，为本课实际求最值做工具铺垫；通过提问聚焦「顶点=最值」核心，自然引出新课主题。
二、探究1：
运动类实际问题（例1） 【探究新知】 探究1：运动类实际问题。 【典型例题】例1（教材P51）：某跳水运动员进行跳水训练，从高台上竖直起跳，她的重心高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间满足关系 h= 0.4t +0.8t+11，抛物线开口向下，存在最高点。 师生活动： （1）教师出示题目，带领学生审题：变量——时间 t 为自变量，重心高度 h 为因变量，函数为二次函数 h= 0.4t +0.8t+11，开口向下，故其图象为开口向下的抛物线，存在最高点（最大值）。 （2）分层提问引导转化： 问题1：“何时达到最高点”对应数学问题是什么？→ 求顶点横坐标； 问题2：“最大高度是多少”对应数学问题是什么？→ 求顶点纵坐标。 （3）学生独立计算顶点：对称轴 ，将 代入解析式，求得 。 （4）教师规范板书解题步骤，统一结果保留一位小数。 （5）结合图象深度探究：教师出示图象，提问小组讨论：①顶点坐标的实际含义是什么？②描述从起跳至入水完整的运动过程。 小组代表发言，教师总结： t=0 时 h=11：起跳，重心高度 11 m；01 后高度持续下降；当 时运动员入水。 入水：令 ，即 ，解得正根 ，故运动员约 6.3 s 后入水。 由图象分析可知：小球轨迹关于对称轴 t=1 对称，顶点 (1,11.4) 就是最高点，其纵坐标即最大高度。 审题找变量，用 求顶点横纵坐标得最大高度，结合图象描述运动全过程 以体育场景激发兴趣，引导学生把「最高、最远」等生活语言转化为顶点最值问题；结合图象解读顶点现实意义，强化数形结合，建立运动类二次函数应用题解题模板。
三、探究2：
几何面积类问题（例2） 探究2：几何面积类问题。 【典型例题】例2（教材P51）：用总长为 20 m 的篱笆靠墙围成的矩形场地，垂直于墙的一边长为 x m，平行于墙的一边长为 (20 2x) m，设场地面积为 S m 。求 x 为何值时矩形场地的面积最大，并求出最大面积。 师生活动： （1）教师出示图形，引导学生设未知数：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的篱笆长度是多少？ 学生思考回答：总篱笆 20 m，用去两条垂直边 2x m，所以平行于墙的边长为 (20 2x) m。 （2）师生共同列面积关系式：。 （3）关键提问：x 能取任意实数吗？为什么？ 学生小组讨论：边长必须大于 0，即 x>0 且 20 2x>0，解得 0四、当堂检测 当堂检测： 变式1：用总长为 16 m 的篱笆靠墙围成一个矩形菜园，垂直于墙的一边长为 x m，平行于墙的一边长为 (16 2x) m，菜园面积为 S m （墙足够长）。当 x 为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 【详解】，由边长>0 得 ；对称轴 ，在范围内，，故 x=4 m 时面积最大为 32 m 。 变式2：一小球竖直上抛，离地高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）满足 h= 5t +30t（图象如图）。求小球能到达的最大高度以及落地的时间。 【详解】，对称轴 ，最大高度 （m），即 t=3 s 时达到最高 45 m；落地时 h=0，由 得 或 ，故落地时间 6 s。 (设计意图：通过变式题检验建模、定范围、求最值的方法，强化知识迁移，巩固运动与面积两类最值问题。) 独立完成两道变式：定范围、求 、代入最值，数形结合检验结果 通过当堂变式训练检验学生学习效果，巩固运动与面积两类最值问题的建模、定范围、求最值流程，强化知识迁移与运算规范。
五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 两类实际问题：运动高度最值、几何图形面积最值； 2. 解题核心流程：建模 → 确定自变量取值范围 → 求顶点 → 结合实际取最值； 3. 重要提醒：若顶点横坐标不在自变量取值范围内，需利用函数增减性（在范围端点）来求最值，不能直接取顶点。 核心口诀：先建模、再定范，求顶点、看增减，结合实际取最值。 回顾两类问题与四步流程，明确顶点不在范围内时用增减性在端点取最值 系统总结本课方法模型，突出「先定自变量范围、再取最值」的关键点，帮助学生形成稳定的问题解决程序，强化模型意识。
六、课后作业 必做题：教材P51练习（靠墙矩形最值问题）、配套习题中运动高度最值题各 1 道。 实践作业：用 24 m 长的篱笆靠墙围矩形鸡舍，任选一种分割方案（单矩形或停车棚式），结合二次函数求出最大面积，并说明自变量的取值范围。 要求：规范书写建模、求范围、求顶点、取最值的完整过程，生活方案需先画示意图再建模。 独立完成教材与配套练习，设计靠墙鸡舍方案并用 求最大面积 通过分层练习巩固运动与面积两类最值的建模方法，实践性作业鼓励学生在真实情境中应用二次函数，发展模型观念与探究能力。
板书设计
26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 主板书 一、两类实际问题 1. 运动高度最值（例1 跳水） 2. 几何面积最值（例2 靠墙矩形） 二、解题核心流程 1. 建模：设未知数、列函数式 2. 定范围：由实际意义取 x 范围 3. 求顶点：对称轴 x=-b/2a 与最值 4. 取最值：结合范围、增减性判断 三、核心公式 对称轴 x=-b/2a；顶点纵坐标 S=x(20-2x)=-2x +20x（0教学反思

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