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27.1 反比例函数的概念
教学设计
课题 27.1 反比例函数的概念 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）理解反比例函数的概念，能识别反比例函数的形式，会根据已知条件确定反比例函数的表达式； （2）通过对实际问题的分析、探究，经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，培养观察、分析、归纳和概括的能力，体会函数思想； （3）感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣，在探究中培养合作交流意识与勇于探索的精神。
教学重点 理解反比例函数的概念，识别反比例函数的形式，会根据已知条件确定反比例函数的表达式。
教学难点 通过对实际问题的分析、探究，理解反比例函数的本质特征“两个变量的乘积是一个定值”，并会由已知条件确定反比例函数的表达式。
教学方法 情境导入、观察归纳、讲练结合、待定系数法 教学准备 多媒体课件、三个实际情境数据表、方格纸
课后练习 必做：习题27.1第1、2、3题；选做：习题27.1第4、5题；实践：自创一个反比例关系实例并写出解析式 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、情景导入 【情景导入】根据下列具体情景回答问题： （1）京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化。 教师提问：这里有几个变量？变量之间具有函数关系吗？ 学生回答：有两个变量 v 与 t，当 t 变化时 v 随着变化，且对 t 的每一个确定值，v 都有唯一确定的值与之对应，所以变量间具有函数关系。 函数解析式为 。 （2）某住宅小区要种植一个面积为 1000 m 的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的变化而变化。 函数解析式为 。 （3）已知北京市的总面积为 1.68×10^4 平方千米，人均占有的土地面积 S（单位：平方千米/人）随全市总人口 n（单位：人）的变化而变化。 函数解析式为 。 教师引导学生比较：这三个解析式在结构上有什么共同点？（右边都是分式，分子是常数，分母是自变量的一次式）。 (设计意图：由实际问题引入，让学生体会数学来源于生活、服务于生活，倡导学有用的数学。) 分析三个情境写出 、、，并观察共同点 用贴近生活的三个情境唤起已有函数经验，在“列解析式—观察共同点”中自然引出反比例函数的生成，激发兴趣并渗透建模与从特殊到一般的思想。
二、新知探究：
反比例函数的定义与三种表达 【新知探究】 观察 、、 这三个函数解析式，它们有什么共同点？ 学生回答：右边的结构都是分式，其中分子是常数，即 y 与 x 的乘积是一个定值。 一般地，形如 （k 为常数且 k≠0）的函数称为反比例函数。其中 x 是自变量，y 是函数，k 叫比例系数。 教师提问 1：反比例函数 （k≠0）的自变量 x 的取值范围是什么？ 学生回答：自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。 教师提问 2：反比例函数除了用 （k≠0）表示，还有其他表达方式吗？ 反比例函数的三种表达方式（注意 ）： 一般式 ； 负指数形式 ； 乘积形式 。 教师强调：三种形式本质相同，建立方程时要注意系数 k 与自变量的指数要符合定义（k≠0、x 的指数为 1）。 (设计意图：从具体实例出发，让学生通过观察归纳得到反比例函数的一般形式，从而理解定义，知识生成自然。) 归纳定义 （k≠0），说出三种表达与自变量 x≠0 以具体实例自然生成定义，突出本质“两个变量乘积为定值”，通过三种表达方式帮助学生多角度理解反比例函数，发展归纳与建模能力。
三、典例精讲：
例1 识别反比例函数 【典例精讲】例1：下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？如果是，请指出 k 的值： （1）；（2）xy=2；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。 解：（1）是，； （2）xy=2 可化为 ，是，k=2； （3），即 y=2x，不是反比例函数，是正比例函数； （4），是，； （5）y=3x 可化为 ，是，k=3； （6），x 的指数为 2，不是反比例函数； （7） 含常数项 1，不是反比例函数； （8），可化为 ，是，。 方法小结：判断一个函数是否为反比例函数，关键看它能否化成 （k≠0）的形式，或等价地 xy=k 的形式。 将各项化为 或 xy=k 判断并说理由，指出 k 值 通过正反例辨析，帮助学生抓准反比例函数定义的本质特征（乘积为定值、x 指数 1、k≠0），突破“识别形式”的难点，巩固概念辨析能力。
四、典例精讲：
例2 待定系数法求解析式 【典例精讲】例2：已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时，y=6。 （1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x=4 时，求 y 的值。 解：（1）设 ，∵当 x=2 时，y=6，， 解得 k=12。∴ y 关于 x 的函数解析式为 。 （2）把 x=4 代入，得 。 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： （1）设，即设所求的反比例函数解析式为 （k≠0）； （2）代，即将已知条件中对应的 x、y 值代入 中得到关于 k 的方程； （3）解，即解方程，求出 k 的值； （4）定，即将 k 值代入 中，确定函数解析式。 口诀：设、代、解、定。 设 代 (2,6) 得 k=12，再代 x=4 求 y，复述四步法 通过例2建立“由条件求反比例函数解析式”的通法——待定系数法，把求解析式程序化（设代解定），为学生用反比例函数解决问题奠基。
五、典例精讲：
例3 含参函数求值 【典例精讲】例3：已知函数 y=(2m +m 1)x^(2m +3m 3) 是反比例函数，求 m 的值。 教师引导：反比例函数的一般形式要求系数 k≠0、自变量 x 的指数为 1。 由题意可得 ，且 。 由 ，解得 或 ； 当 时，（舍去）；当 m= 2 时，。故 m= 2。 求解析式中参数的取值方法总结： ① 确定反比例解析式的表达形式；② 根据不同形式确定系数和自变量的指数；③ 建立方程求解；④ 检验：主要考虑系数不为 0，即 。 (设计意图：含参问题是中考常见题型，通过例3强化“系数 k≠0 与 x 指数为 1”双重条件的检验意识。) 列 且 ，求解并舍去不合条件者 针对“含参函数字母求解易忽略系数不为0”的难点，通过例3训练双重条件的检验，渗透方程思想，增强含参问题的严谨性。
六、典例精讲：
例4 与 x+1 成反比例 【典例精讲】例4：已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x=3 时，y=4。 （1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x=7 时，求 y 的值。 解：（1）设 ，∵当 x=3 时，y=4，， 解得 k=16。∴ y 关于 x 的函数解析式为 。 （2）当 x=7 时，。 教师强调：反比例关系中的“成反比例的量”可以是自变量的一个式子（如 x+1），设解析式时要把分母整体设为 x+n。 (设计意图：由“与 x 成反比例”拓展到“与 x+1 成反比例”，培养学生将定义迁移到复合形式的能力，避免机械套用。) 设 代 (3,4) 求 k=16，再代 x=7 求 y 把“成反比例”的对象由 x 推广到 x+1，训练待定系数法在变式情境中的灵活运用，提升迁移与解决问题的能力。
七、当堂检测 当堂检测： 1. 已知点 A( 4,2) 在反比例函数 （k≠0）的图象上，则 k=_____。 解：由 xy=k，得 。 2. 已知点 A(x ,y ) 和 B(x ,y ) 都在反比例函数 的图象上，若 x x =4，则 y y =______。 解：。 3. 口答判断：下列函数中哪些是 x 的反比例函数？若是，指出 k 的值：、xy= 3、。 解： 是，k=1；xy= 3 即 ，是，k= 3； 是正比例函数，不是反比例函数。 (设计意图：通过当堂检测巩固 k 的求法、用反比例函数性质算乘积以及识别反比例函数的能力。) 计算 、，并口答判断反比例函数 通过检测及时检验对定义的识别、用待定系数求 k、以及由图象上点算乘积的能力，反馈学情，巩固概念运用。
八、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 反比例函数的定义：形如 （k 为常数且 k≠0）的函数；自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数； 2. 反比例函数的三种表达方式：一般式、负指数形式、乘积形式； 3. 用待定系数法求反比例函数解析式的四步：设、代、解、定； 4. 易错提醒：判断是否反比例函数要看能否化为 或 xy=k 的形式，勿忘 k≠0、x 的指数为 1。 知识结构图：“反比例函数”的定义—三种表达—待定系数法四步法，可借助上图整体回顾。 (设计意图：通过课堂小结，使学生对本节课知识进行系统回顾与梳理，形成清晰的认知脉络。) 对照知识结构图，复述定义、三种表达与“设代解定”四步法 通过小结与知识结构图把零散知识点整合为“定义—表示—方法”的完整体系，帮助学生建构结构化认知，深化理解与记忆。
九、课后作业 课后作业： 必做：习题27.1第1、2、3题； 选做：习题27.1第4、5题； 实践作业：自创一个生活中反比例关系的实例，写出 y 关于 x 的解析式，并说明比例系数 k 的实际意义。 要求：规范书写“设—代—解—定”的解题过程。 完成必做与选做题，自创一个反比例关系实例并写解析式 分层作业既巩固基础知识，又通过“自创实例·解释系数”的实践性任务引导学生把反比例函数与现实情境联系，发展模型观念。
板书设计
27.1 反比例函数的概念 主板书 一、反比例函数的定义 y=k/x（k≠0） 自变量 x 的取值范围：不等于 0 的实数 k 叫比例系数 二、三种表达 一般式 y=k/x 负指数形式 y=kx 乘积形式 xy=k 三、待定系数法四步 设 → 代 → 解 → 定 四、易错提醒 识别要看能否化为 xy=k 形式 勿忘 k≠0、x 指数为 1 副板书 例题（例1—例4） 学生练习板演 学生板演区
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