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27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时 图象和性质）
教学设计
课题 27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时 图象和性质） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）理解反比例函数图象的性质，包括图象的形状、位置、对称性等；掌握反比例函数的增减性，并能根据解析式或图象判断增减情况； （2）经历反比例函数图象的绘制、观察、分析和总结性质的过程，培养探究与合作交流能力，体会类比、归纳等数学思想方法； （3）通过对图象与性质的探究，体验数学的探究乐趣，培养严谨的治学态度和勇于探索的精神。
教学重点 理解反比例函数图象的性质（形状、位置、对称性），掌握增减性，并运用图象与性质解决简单的数学问题（比较函数值大小、求取值范围等）。
教学难点 理解反比例函数的增减性与自变量取值范围的关系，能在“每一个象限内”的前提下判断并比较函数值的大小。
教学方法 描点作图、观察归纳、类比探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件、方格纸、直尺
课后练习 必做：习题27.2第1、2、3题；选做：习题27.2第4、5题；实践：运用k>0、k<0两种情形各画一个反比例函数的图象并说明性质 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、复习旧知 【复习旧知】 教师提问：回顾过去学过的知识，一般从哪些方面去研究一个函数？ 学生回答：从图象去研究函数。 教师提问 1：一次函数 （k≠0）和二次函数 （a≠0）的图象分别是怎样的？ 学生回答：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线。 教师提问 2：画函数图象的一般步骤有哪些？ 学生回答：① 列表；② 描点；③ 连线。 教师引导：既然我们从图象出发研究函数，反比例函数 （k≠0）的图象又是什么样的呢？ (设计意图：通过复习旧知引入，让学生明白新旧知识的联系。) 回忆一次、二次函数图象形状，说出画图象的三步，明确研究方向 把研究一次、二次函数的方法迁移到反比例函数，明确“先画图、再观察、后归纳”的研究路径，自然引出课题。
二、新知探究（一）
k＞0 的图象与性质 【新知探究（一）】k＞0 的情形 教师引导：类比一次、二次函数图象的画法，试着画一画反比例函数 和 的图象。按“列表—描点—连线”三个步骤进行。 ① 列表：在自变量取值（x≠0）范围内取若干对相反数，计算对应的函数值； ② 描点：在平面直角坐标系中描出相应的点； ③ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点。 教师提问 1：观察这两个反比例函数的图象，它们的形状是什么？ 学生回答：它们的图象是两条双曲线。 教师提问 2：这两条双曲线分别位于哪些象限？ 学生回答：它们的图象位于第一、三象限。 教师提问 3：你能否从它们的解析式出发解释“位于一、三象限”这一结果？ 因为 ，所以 ，x 与 y 同号得正，所以图象应位于第一、三象限。 教师提问 4：在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？ 学生回答：在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小。 教师提问 5：图象与 x 轴或 y 轴是否有交点？ 因为 x 与 y 的取值不能为 0，所以图象无限趋近于坐标轴，但永远没有交点。 教师提问 6：图象是否为对称图形？ 它是轴对称图形（对称轴是直线 和 ），也是中心对称图形（对称中心是原点）。 教师提问 7：在同一坐标系中，k 的大小与图象离坐标轴的远近有何关系？ k 的值越大，图象离坐标轴越远。 (设计意图：从绘图出发，让学生通过观察、归纳得到 k＞0 时反比例函数的图象与性质，知识生成自然。) 列表、描点、连线画出 、，回答形状、象限、增减性与对称性 让学生完整经历“画图—观察—解释—归纳”的过程，理解 k＞0 时图象是位于一、三象限的两支双曲线，渗透数形结合与类比思想。
三、新知探究（二）
k＜0 的图象与性质 【新知探究（二）】k＜0 的情形 教师引导：类比 k＞0 时的探究，你能得到反比例函数 和 的图象特征吗？ 学生归纳：反比例函数 （k＜0）的图象和性质： （1）由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限； （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大； （3）图象都是轴对称图形，有 2 条对称轴，也是中心对称图形，对称中心是原点； （4）图象无限趋近于坐标轴，与坐标轴永不相交； （5）|k| 越大，离坐标轴越远。 教师追问：观察四个函数的图象，从对称性看，你还能得出什么结论？ 与 的图象关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称。 教师强调易错点：增减性必须强调“在每一个象限内”，不能跨象限说“y 随 x 增大而减小或增大”。 (设计意图：类比 k＞0 的探究迁移到 k＜0，通过对比建立完整的图象与性质认识，突出分类讨论与类比思想。) 类比画出 、，归纳 k＜0 的性质并对比 k＞0 迁移类比到 k＜0 情形，帮助学生把握“k 的符号决定象限位置，|k| 决定离坐标轴远近”的本质，突破增减性的易错点。
四、归纳总结
图象与性质对比 【归纳总结】反比例函数的图象和性质 反比例函数 （k≠0）的图象是双曲线。 当 k＞0 时：图象的两支位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k＜0 时：图象的两支位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大； 两种情形的共同点：图象都是轴对称图形（两条对称轴）、也是中心对称图形（对称中心是原点）；图象无限趋近于坐标轴但永不相交；|k| 越大，图象离坐标轴越远。 （上方表格概括了 k＞0 与 k＜0 时的图象、位置、性质及“其它”要点，供学生整体对照记忆。） 对照汇总表说出 在 k＞0、k＜0 时的位置与增减性 把零散的探究结论整合为“k＞0 与 k＜0”对比性质表，突出形象直观与系统记忆，帮助学生建构反比例函数图象与性质的完整结构。
五、新知应用 【新知应用】 1. 反比例函数 的图象大致是（　　） 解析：k＝3＞0，图象位于一、三象限，故选 C。 2. 下列四个函数：、、、，右边图示是其中哪一个函数的图象？（　　） 解析：图中为两支位于一、三象限的双曲线，对应 ，故选 C。 3. 已知反比例函数 的图象经过　　　　象限，在每一象限内，y 随 x 的　　　　　　。 答案：一、三；增大而减小。 4. 已知反比例函数 的图象经过　　　　象限，在每一象限内，y 随 x 的　　　　　　。 答案：二、四；增大而增大。 5. 点（2，y ）和点（3，y ）在函数 上，则 y 　　　　y （填“＞”“＜”或“＝”）。 解析：k＝ 2＜0，在每一个象限内 y 随 x 增大而增大，又 2＜3，故 y ＜y ，填“＜”。 6. 如图是三个反比例函数在 x 轴上方的图象，由此观察得到 、、 的大小关系为　　　　　　　。 答案：。 (设计意图：通过这组基础题的解答，让学生进一步熟悉反比例函数的图象与性质。) 由 、 等判断图象与增减性，比较 、 的大小 通过由图象到性质、由解析式判断性质等多种角度的基础题，巩固图象与性质的理解，及时诊断学情。
六、典例精讲
例1 图象性质综合 【典例精讲】例1：已知反比例函数 的图象经过点 A（2，6）。 （1）求 k 的值； （2）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ （3）点 B（3，4）是否在这个函数的图象上？ （4）点 E（，）、F（，）在这个函数的图象上，若 ，试比较 、 的大小。 （5）点 E（，）、F（，）在这个函数的图象上，若 ，试比较 、 的大小。 （6）当 6＜x＜ 1 时，求 y 的取值范围。 （7）当 x＞3 时，求 y 的取值范围。 解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点 A（2，6），， ∴ 。∴ 反比例函数的解析式为 。 （2）k＝12＞0，图象分布在第一、三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小。 （3）判断点是否在图象上：当 x＝3 时，，恰好等于点 B 的纵坐标，所以点 B（3，4）在这个函数的图象上。（同理可检验其余点，关键看其横纵坐标之积是否为 12。） （4）法一（性质）：k＞0，在每一个象限内 y 随 x 增大而减小；∵ ，。 法二（数形结合）：结合图象在同一支上观察高低也可得 ，此法适用于选择、填空题。 （5）∵ ，点 E 在第三象限（），点 F 在第一象限（）， ∴ 。（异象限比较直接看正负或借助图象。） （6）k＞0，在每一个象限内 y 随 x 增大而减小；当 6＜x＜ 1 时，最值在端点取得：x= 6 时 ，x= 1 时 ， 故 。 （7）当 x＞3 时，y 随 x 增大而减小，x=3 时 ，故 。 方法小结：① 由待定系数法求 k，得解析式；② 判断点是否在图象上，代入解析式或检验 xy=k；③ 比较函数值大小，同象限用增减性、异象限看正负，或数形结合。 代入 检验点，由增减性比较 、，求 y 的范围 通过例1完整串联“求 k—识象限—判增减—比较大小—求取值范围”，为学生综合运用图象与性质提供规范范例，突破难点。
七、典例精讲
例2、例3 图象信息与含参 【典例精讲】例2：如图是反比例函数图象的一支，它是反比例函数图象的一支（位于第一象限）。 （1）图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点 A（，）和点 B（，）。如果 ，那么 y 和 y 有怎样的大小关系？ 解：（1）反比例函数 的图象只有两种可能：位于第一、三象限，或位于第二、四象限。因一支位于第一象限，故另一支必位于第三象限。 ∵ 图象位于第一、三象限，∴ ， 解得 。 （2）∵ ，在每个象限内 y 随 x 增大而减小；当 时，。 【典例精讲】例3：已知反比例函数 y = (a－1)x^(a ＋a－7)，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值。 解：∵ y 随 x 的增大而增大，∴ ，且 x 的指数为 1，即 ， 由 得 或 ；又 ，故舍去 a=2， ∴ 。 方法小结：碰到含参（或指数含参）的反比例函数，要抓住两个条件——“指数为 1”与“k≠0（或依增减性得 k 的符号）”，列方程并检验。 由 得 m 范围，由 且指数 1 求 a 例2训练“由图象信息反推参数范围”，例3训练“由增减性条件结合指数与系数双重约束求参数”，培养逆向思维与含参问题的严谨性。
八、针对训练 【针对训练】 1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则 m 的取值范围是　　　　　。 解析：图象在一、三象限，须 ，即 。 2. 已知反比例函数 的图象上有三个点（2，y ）、（3，y ）、（ 1，y ），则 y 、y 、y 的大小关系是　　　　。 解析：，图象位于二、四象限；在第二象限 y ＞0，在第四象限 y ＜y ＜0，故 。 3. 已知反比例函数 （k 是不为 0 的常数）的图象在第二、四象限，那么一次函数 的图象经过　　　　　　　象限。 解析：图象在二、四象限，，故 k＞0，则一次函数 过第一、三、四象限。 4. 已知反比例函数 的图象经过点 A（2， 4）。 （1）求 k 的值； （2）这个函数的图象分布在哪些象限？当 x 增大时，y 如何变化？ （3）点 B（1， 8）、C（ 3，5）是否在该函数的图象上？ （4）当 4＜x＜ 2 时，求 y 的取值范围。 解：（1），。 （2）k＝ 8＜0，图象位于第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 增大而增大。 （3）解析式为 。点 B（1， 8）：1×（ 8）＝ 8，在图象上；点 C（ 3，5）：( 3)×5＝ 15≠ 8，不在图象上。 （4）在第四象限内 y 随 x 增大而增大，当 4＜x＜ 2 时，，，故 。 5. 已知反比例函数 ，当 x＜0 时，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值。 解：x＜0 时 y 随 x 增大而减小，说明 k＞0 且函数是反比例函数，须 且 ； 由 得 ，结合 ，得 。 由 的符号定象限、判增减，排序 ，求 m 值 多角度综合性训练，强化“由性质反推参数、由参数判断性质”的双向能力，培养学生的分析、发现与综合解决问题的能力。
九、拓展探究 【拓展探究】已知 P、Q 两点分别在反比例函数 和 的图象上，若点 P 与点 Q 关于 y 轴对称，求 m 的值。 解：设 ，∵ P、Q 关于 y 轴对称， ∴ 。 ∵ P 在 上，Q 在 上， ∴ ，且 ，即 。 由 ，解得 。 教师引导：此题把“点关于坐标轴对称”与“点在函数图象上”结合，关键是用对称关系表示出点 Q 的坐标，再分别代入两个解析式列方程组。 设 ，写 ，代入两式解 m 综合“轴对称”与“点在图象上”两个知识点，训练用坐标关系建立方程的能力，渗透数形结合与方程思想。
十、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 反比例函数 （k≠0）的图象是两支双曲线； 2. k＞0 时位于一、三象限，每象限内 y 随 x 增大而减小；k＜0 时位于二、四象限，每象限内 y 随 x 增大而增大； 3. 图象既是轴对称图形（对称轴为 y=x、y= x），也是中心对称图形（对称中心为原点），无限趋近坐标轴但无交点； 4. 比较函数值大小：同象限用增减性，异象限看正负，或借助图象； 5. 易错提醒：增减性必须强调“在每一个象限内”；判断点是否在图象上，看 是否成立。 （知识结构图从解析式、图象、所在象限、增减性、渐进性、对称性六个方面完整呈现，可借此整体回顾。） 对照知识结构图，复述 的图象位置、增减性与对称性 通过课堂小结把本课知识整合为完整的知识结构图，帮助学生形成清晰的认知脉络，深化理解与记忆。
板书设计
27.2 反比例函数的图象和性质 主板书 一、图象是双曲线 反比例函数 （k≠0）的图象是两支双曲线 画图三步：列表、描点、连线 二、k＞0：一、三象限 每象限内 y 随 x 增大而减小 三、k＜0：二、四象限 每象限内 y 随 x 增大而增大 四、共同性质 轴对称（y=x、y= x）；中心对称（原点） 无限趋近坐标轴，无交点 |k| 越大离坐标轴越远 易错：增减性强调“在每一个象限内” 副板书 例题（例1—例3） 学生练习板演 学生板演区
教学反思

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