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大单元复习01 集合与常用逻辑用语（新高考人教A版专用）
【知识梳理】 2
【热考题型】 5
【考点1】集合的交、并、补运算 5
【考点2】集合中元素的性质与元素互异性 11
【考点3】充分条件与必要条件的判断 16
【考点4】集合间的基本关系：子集、真子集、相等 21
【考点5】全称量词命题与存在量词命题的否定 26
【考点6】集合的表示方法：列举法、描述法 31
【考点7】集合新定义问题 38
【考点8】利用集合求解实际应用 43
一、元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
二、集合中元素的特征
集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
三、元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
四、常用的数集及其记法
名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
五、列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
六、描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.
七、子集的含义
(1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
(2)子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A B(或B A)
八、真子集与集合相等
(1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A B，且B A，则A＝B.
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作BA(或B).
九、空集
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.
十、并集
自然语言 符号语言 图形语言
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
十一、交集
自然语言 符号语言 图形语言
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
十二、交集与并集的运算性质
(1)A∪A＝A，A∪?＝A；A∩A＝A，A∩?＝?.
(2)若集合A是集合B的子集，则A B A∩B＝A A∪B＝B.
十三、全集与补集的含义
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
十四、补集的性质
U( UA)＝A， UU＝， U＝U. A∩( UA)＝，A∪( UA)＝U.
十五、命题的概念
(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.
(3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.
十六、充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
十七、逆命题的概念
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
十八、充要条件
命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题
推出关系 p q
条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件
十九、条件关系判定的常用结论：
条件p与结论q的关系 结论
p q，且qp p是q的充分不必要条件
q p，且p q p是q的必要不充分条件
p q，且q p，即p q p是q的充要条件
pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件
二十、全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
二十一、存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
二十二、全称量词命题的否定
(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
全称量词命题 全称量词命题的否定 结论
x∈M，p(x) x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
二十三、存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词命题的否定 结论
x∈M，p(x) x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
【考点1】集合的交、并、补运算
一、单选题
1.已知集合，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，则，
而，则，
若，则，，此时，不满足题意，故，
同理可得，又，则.
2.集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解.
【详解】由集合，，
可得，则，
因为，则满足，解得，
结合选项，可得选项D不满足题意.
故选:D.
3.已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合.
【详解】设的根为，，则，；
设的根，，则.
因为，所以，即，
当1是的根，2是的根，即，，
代入方程可解得集合，有4个元素；
当2是的根，1是的根，即，，
代入方程可解得集合，有4个元素.
故选：B.
二、多选题
4.已知全集，集合，，且，则（ ）
A．
B．
C．中元素个数为1
D．
【答案】BCD
【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断
【详解】对于A：方程，因为，
所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得，
又因为，所以或者.
若，将代入方程得
解得，
若，将代入方程得
解得，
故存在满足条件，与不符，选项A错误；
对于B：，
若，则，即；
若，则，即，选项B正确；
对于C：
若，则，只有一个元素；
若则，只有一个元素，选项C正确；
对于D：全集，，
所以，
若，则，不为；
若，则，不为，选项D正确.
5.已知为全集，集合，是的子集，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】已知为全集，，，由集合运算性质：，
因为，所以.
A：可以是空集，此时，满足，错误.
B：已推出，错误.
C：，，，正确.
D：，相等集合互相包含，成立，正确.
6.全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可.
【详解】，，，
，，
由且
当时，，即符合题意；
当时，，解得；
综上：或；
故选：ACD
三、填空题
7.已知，，，则______．
【答案】
【详解】因为，，所以.
又，所以.
8.全集，，，，，则________，________
【答案】
【详解】法一：根据题意作出Venn图如图所示：
由图可知，．
法二：∵，
∴．
又，
∴．
∵，，
∴．
9.已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________．
【答案】
【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可．
【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为，
又，，
则 ，
所以．
四、解答题
10.已知全集，集合，集合．求．
【答案】
【分析】根据题意，结合集合的运算即可求解.
【详解】已知全集，集合，集合，
所以，所以．
11.已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）当时，集合，
且或，所以或.
（2）因为，则，
又因为，则，可得，
又因为或，则，解得，
所以m的取值范围是．
12.设集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解；
（2）根据条件得，进而可求的取值范围.
【详解】（1）当时，，
或
或
所以或
（2）因为，所以.
①当时，有，
②当时，有，即
综上可得，
故实数的取值范围
【考点2】集合中元素的性质与元素互异性
一、单选题
1.已知集合，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据集合元素的互异性和从属关系分类讨论即可.
【详解】由题意得，即，此时显然不成立，舍去，
或，此时集合，满足互异性，
所以.
2.若且集合中的元素均为整数， 则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件.
若，，此时不是整数，不符合题意，综上，.
3.已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值.
【详解】因为元素，所以有或两种情况，
当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性；
当时，即，当时，不符合题意；
当时，集合为，满足，符合条件.
二、多选题
4.已知集合则实数的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BD
【分析】根据集合元素的互异性进行分析，从而确定正确答案.
【详解】根据元素互异性且，即且，
根据选项知符合条件.
5.若集合，且，则的值可能是（ ）
A． B．
C．2 D．4
【答案】BD
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.
【详解】由，，
若时，或，
当时，集合不符合题意舍去，
当时，集合符合题意，
若时，则，此时集合不符合题意舍去，
若时，即，解得：或，
当时，集合符合题意，
当时，集合不符合题意舍去，
综上所述：或，
故选：BD.
6.已知集合，且，则的值可以为（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】ABD
【分析】由题得到或，求出参数m，再由集合元素互异性检验即可.
【详解】集合，且，
所以或，解得或，
当时，，符合；
当时，，符合；
当时，，符合.
故的值可以为.
故选：ABD
三、填空题
7.已知集合，如果，那么实数的取值集合为________．
【答案】
【详解】因为集合，如果，
所以或，解得或，
当时，；
当时，；
当时，，不满足集合元素的互异性，
所以实数的取值为1或3，所以集合.
8.设，集合，若，则______.
【答案】2或或
【详解】因为，所以或，解得或.
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
故或或.
9.实数，满足集合，则末尾的两位数是________．
【答案】
【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解．
【详解】已知，则，故，
所以，故，解得，
，的末尾两位数为，
的末尾两位数为，
的末尾两位数为
之后每次乘以，末两位恒为，
故的末尾两位数为，
从而所求的末尾两位数为．
四、解答题
10.由三个数，，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值．
【答案】
【分析】由集合相等及分式有意义得，分与两种情形，利用集合元素的互异性逐一验证.
【详解】由有意义可知. 若，则两集合分别为与，
由集合相等得，即. 当时右集合为，不满足互异性，舍去；
当时两集合均为，满足条件.
若，则，左集合不含，而右集合含，两集合不可能相等，舍去.
综上，，所以.
11.已知集合．
(1)求 满足的条件；
(2)若，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得，
所以a满足的条件为；
（2）由，所以或 ，
当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性，
当 时，即 ，且，解得，
所以若，的值是.
12.已知集合，集合．
(1)求满足的条件；
(2)若，求的值；
(3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据集合元素的三要素即可求解；
（2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可；
（3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可.
【详解】（1）由题意有：，即，解得，
所以；
（2）由，所以或，
当时，，又因为，不满足元素的互异性，
当时，即，解得或（舍去），
所以；
（3）由有或，
当时，化简有，又，所以该方程无解；
当时，化简有，解得或，
当时，，所以满足题意，
当时，，所以满足题意，
所以存在或，使得.
【考点3】充分条件与必要条件的判断
一、单选题
1.“是钝角三角形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若是钝角三角形，可得角中有一个是钝角，不能推出，
所以“是钝角三角形”是“”的不充分条件；
若，则是钝角三角形，
所以“是钝角三角形”是“”的必要条件；
所以“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件.
2.“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由充分必要条件的定义可知，“”的一个充分不必要条件，即选项中对应的集合为集合的真子集即可.
【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误；
因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确；
因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误；
因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误.
3.已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，则，又，所以，
所以“”是“”的充分条件；
若，又，
所以或，解得或，
所以“”是“”的不必要条件；
所以“”是“”的充分不必要条件.
二、多选题
4.下列命题中为真命题的有（ ）
A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件.
B．若是无理数，则也是无理数.
C．若，则实数的值为1或2.
D．，则的子集个数是4个.
【答案】AD
【分析】根据正方形、长方形的性质及充分、必要条件的定义，可判断A的正误；代入特殊值，可判断B的正误；根据集合的确定性及互异性，可判断C的正误；根据交集的定义及子集个数的求法，可判断D的正误.
【详解】选项A：若四边形是正方形，则四边形也是长方形；
若四边形是长方形，邻边可能不相等，则不能得到四边形是正方形，
所以“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件，故A正确；
选项B：若是无理数，则是有理数，故B错误；
选项C：若，则或，
若，则，不满足互异性，故舍去；
若，则或（舍），综上实数的值为2，故C错误；
选项D：由题意，有两个元素，
则的子集个数有个，故D正确.
5.下列是“集合是集合的子集”的必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据，结合并集、交集的运算以及必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，，
故是“集合是集合的子集”的必要条件的是AC选项.
故选：AC.
6.王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（ ）
A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件.
B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件.
C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件.
D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件.
【答案】BC
【分析】利用充分性与必要性的条件判断即可.
【详解】由题意可知只有更上一层楼才能穷千里目，但仅更上一层楼，未必能穷千里目，
所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件，“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件；
故A错误，B正确，故C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题
7.“”是“”的_______________条件．
【答案】必要不充分
【详解】“”，可以推出“”，满足必要性；
“”，不能推出“”，不满足充分性；
故“”是“”的一个必要不充分条件．
8.设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________
【答案】
【分析】根据必要条件的定义直接求解即可.
【详解】若是的必要条件，
则，
故可得.
故答案为：
9.设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据必要条件的性质可得两个集合的包含关系，进而可得所求值的范围.
【详解】若“”是“”的必要条件，则，
又集合为非空集合，故有，解得.
所以的取值范围.
四、解答题
10.已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】条件可转化为，分和分别列不等式求的范围.
【详解】∵“”是“”的必要条件，
∴，∴.
当，即时，，满足．
当时，由，得，解得.
综上所述，实数的取值范围是．
11.设为全集，集合，．
(1)若，求，；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案；
（2）由题可得是的真子集，据此可得答案.
【详解】（1）当时，，
又，结合，
则，，从而.
则，或，；
（2）由（1）知.
由题可得是的真子集，
若为空集，则；
若不为空集，且等号不同时成立，解得，
综上可得.
12.已知集合，集合．
(1)当时，求，；
(2)若：是：的必要条件，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可；
（2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围.
【详解】（1）当时，，则，
可知或，则.
（2）若：是：的必要条件，则，
当时，可得，解得，此时符合条件，
当时，可得，解得，
综上所述，当是：的必要条件时，.
【考点4】集合间的基本关系：子集、真子集、相等
一、单选题
1.集合的真子集共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【详解】∵集合含有3个元素，
∴集合的真子集个数为.
2.满足条件 的集合M的个数为（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
【答案】D
【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个
当集合中含有两个元素时，可为；
当集合中含有三个元素时，可为；
当集合中含有四个元素时，可为；
综上所述满足条件的集合的个数为7个．
3.下列关系正确的是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥
【答案】D
【详解】对于①：因为，故①不正确；
对于②：因为，故②不正确；
对于③：因为，故③不正确；
对于④：把看作集合，可得，故④正确；
对于⑤：把看作元素，可得，故⑤正确；
对于⑥：把看作集合，可得，故⑥正确；
对于⑦：把看作集合，可得，故⑦不正确.
对于⑧：因为；故⑧不正确.
综上可得：只有④⑤⑥正确.
二、多选题
4.已知集合，，若，则a的取值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】BC
【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解.
【详解】因为，又，，
所以或，
解得或或，
当时，，，满足要求，
当时，，，满足要求，
当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求,
所以或2.
5.下列说法正确的是（ ）
A．
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为
【答案】AD
【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确；
对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合，
所以与不是同一个集合，所以B错误；
对于C，集合，集合，
所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误；
对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确.
6.下列说法正确的是（ ）
A．
B．集合
C．集合
D．若，则
【答案】BD
【分析】利用元素与集合的关系判断A，利用相等集合的概念判断BC；利用集合相等，结合集合元素的互异性求解即可判断D.
【详解】对于A，不是的元素，，故A错误；
对于B，集合表示所有2的整数倍的数组成的集合即偶数集，
集合表示为整数的数组成的集合，则，
即，也是偶数集，所以两个集合相等，故B正确；
对于C，集合，而集合，不是同一集合，故C错误．
对于D，由，由可知，所以，
则，所以，解得或，
由集合元素的互异性可知，所以.故D正确．
故选：BD
7.下列关系中：①，②，③，④正确的序号__________.
【答案】①②
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系逐项分析判断即可.
【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确；
对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确；
对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，
两个集合的元素完全不同，所以之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，
两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；
故答案为：①②.
8.设，且，则　________　.
【答案】
【详解】∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，即是方程的根.
将代入方程得，解得.
9.若，，则与的关系为________
【答案】
【分析】通过配方分别求解两个二次函数的值域得到集合和，再判断二者的包含关系.
【详解】由， 因为，所以，因此,
由 ，因为，所以，因此,
因此是的真子集，即.
四、解答题
10.已知集合，集合
(1)求的真子集
(2)若，求的值．
【答案】(1)，，
(2)，或
【分析】（1）解方程得集合，再求真子集；
（2）因为，所以，分和进行求解.
【详解】（1）解方程得，或
因此集合，
其真子集为，，，共3个．
（2）因为，所以，
①当时，，此时符合题意
②当时，因为，此时易知
要使得，即或，解得，或．
综上所述，要使得，则，或.
11.已知集合，，且B，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】根据真子集关系，分类讨论集合B是否为空集，结合包含关系列式求解即可.
【详解】因为集合，，B，
当时，则，解得，满足条件；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
12.已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可；
（2）由，分与讨论分析即可.
【详解】（1）若，则和是方程的两个实数根，
所以，
解得，代入中得：，
解得：或，满足，
所以.
（2）当时，，满足，
当且时，或，
当时，，
当时，，
故的取值构成的集合为.
【考点5】全称量词命题与存在量词命题的否定
一、单选题
1.已知命题：，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论即可.
【详解】根据全称命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论，
所以“”变为“”，否定结论为“”，
即为：，.
2.命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是.
3.命题“，能被整除”的否定是（ ）
A．，不能被整除
B．，能被整除
C．，不能被整除
D．，不能被整除
【答案】C
【详解】命题“，能被整除”的否定是：
“，不能被整除”．
二、多选题
4.下列说法中，正确的是（ ）
A．的近似值的全体构成一个集合
B．
C．在整数集中，若，则
D．若，则且
【答案】BCD
【分析】结合集合的基本性质、集合间的关系、整数集的性质及子集定义的否定的对应概念逐一判断即可.
【详解】对于A，“的近似值”没有明确的精度标准，不能构成集合，故A错误；
对于B，集合，集合，显然 ，故B正确；
对于C，整数的相反数仍然是整数，因此若，则，故C正确；
对于D，的定义是“对任意，都有”，其否定即为“且”，也就是的等价表述，故D正确.
5.下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ）
A．， B．所有的正方形都是矩形
C．， D．至少有一个实数，使
【答案】AC
【分析】利用命题的否定知识，对选项逐一判断即可.
【详解】对于选项A，其命题的否定为，，
因为显然成立，故A正确；
对于选项B，命题的否定为存在一个正方形，它不是矩形.
该命题含有存在性量词，不符合题意，所以不正确.
对于选项C，命题的否定为，，
因为，故该命题正确；
对于选项D，命题的否定为，，显然当时，，
故该命题是假命题，所以D不正确.
6.下列说法正确的是（ ）
A．，
B．“”是“”的必要条件
C．若，，，则是的充分不必要条件
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】AC
【详解】对于A选项，取，则，故A正确；
对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”，
若，不妨取，，此时，即“”“”，
综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确；
对于D选项，由全称量词命题的否定可知，
命题“，”的否定是“，”，故D错误.
三、填空题
7.命题“，”的否定是________．
【答案】，
【详解】命题“，”的否定是，.
8.已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______．
【答案】
【分析】变形得到，成立，从而得到答案
【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题，
可化为，
即，成立，故只需，
故实数m的取值范围为．
9.已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【详解】因为，所以，
又命题“，”为假命题，
即，即．
四、解答题
10.已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？
【答案】或
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解.
【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，
等价于“任意，使得等式成立”是真命题，
又因为，所以，要使，则需或.
所以实数的取值范围为或.
11.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定：
(1)空集是任何一个非空集合的真子集；
(2)；
(3)；
(4)，方程恰有一解．
【答案】(1)全称量词命题，是真命题．命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集
(2)全称量词命题，是假命题， 命题的否定：
(3)存在量词命题，是真命题，命题的否定：
(4)全称量词命题，是假命题，命题的否定：，方程无解或至少有两解
【详解】（1）该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集．
（2）该命题是全称量词命题，是假命题．
因为，
所以当时，，
该命题的否定：．
（3）该命题是存在量词命题，是真命题．
因为当时，，
该命题的否定：．
（4）该命题是全称量词命题，是假命题．
当时，方程才恰有一解．
该命题的否定：，方程无解或至少有两解．
12.已知命题 ： ， 为假命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用特称命题为假，分 和 ，结合一元二次方程无实根的判别式条件求解即可.
（2）先求出集合，再根据必要条件对应集合包含关系，分为空集和非空两类讨论求解即可.
【详解】（1）命题 ： ， 为假命题，
当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意；
当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根，
所以 ，解得 .
故实数的取值集合.
（2）由 ，得 ，即.
因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 .
当 时， ，解得 ；
当 时，，解得 .
综上所述，实数的取值集合为或.
【考点6】集合的表示方法：列举法、描述法
一、单选题
1.下列命题正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合是指第二和第四象限内的点集.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】（1）由集合元素的确定性特征判断；（2）由数集和点集判断；（3）由集合元素的互异性判断；（4）由x，y可以为0判断.
【详解】（1）很小的实数不确定，不能构成集合，故错误；
（2）集合表示二次函数的值域，是数集，
集合是二次函数图象上的点构成的集合，是点集，故不同一个集合，故错误；
（3），，，0.5，这些数组成的集合有，，，是3个元素，故错误；
（4）集合是指第二和第四象限内及坐标轴上的点集，故错误.
故选：A
2.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据坐标轴上的点特征判断选项.
【详解】直角坐标系中，轴上所有点的坐标满足，轴上所有点的坐标满足，原点同时属于两条坐标轴，
因此坐标轴上的点等价于满足“或”的点， 由实数乘法性质，的充要条件为或，
因此坐标轴上的点的集合可表示为，其余选项逐一排除；
选项A：集合中不含原点，原点属于坐标轴上的点，A错误；
选项B：“不同时为0”等价于，不含原点，B错误；
选项C：仅表示y轴上除原点外的点，遗漏x轴上的所有点和原点，C错误.
3.已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】A
【详解】，，
则，
则的元素个数为16.
二、多选题
4.已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】ABC
【分析】根据的情况，分类讨论即可求解.
【详解】由题意得：，
当时，，故B正确；
当时，，故C正确；
当时，，故A正确；
当时，，故D错误.
5.下列说法错误的是（ ）
A．
B．实数集可写为{所有实数}
C．被4除余3的自然数集合：
D．与是同一集合
【答案】BD
【详解】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误；
D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合；
A、C表述正确.
6.下列描述法表示集合正确的是（ ）
A．奇数集：
B．小于8的整数：
C．大于2的实数：
D．不等式的解集：
【答案】ACD
【详解】对A：可表示奇数集，故A正确；
对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误；
对C：可表示大于2的实数，故C正确；
对D：不等式的解集为，故D正确.
三、填空题
7.在平面内，到点的距离等于8的点的集合是__________.
【答案】以点为圆心，以8为半径的圆
【分析】根据圆的定义求解.
【详解】在平面内到点的距离等于8的点的集合是：以点为圆心，以8为半径的圆.
故答案为：以点为圆心，以8为半径的圆.
8.用列举法表示集合______________________．
【答案】
【详解】已知，
因为，
所以，
故必须为整数，否则为分数，不可能是正整数，
因此是6的约数，即的可能取值为1，2，3，6，
当时，，符合条件；
当时，，符合条件；
当时，，舍去；
当时，，舍去；
综上，符合条件的y的取值为1和5，故该集合为．
9.用适当的方法表示下列集合：
（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______；
（2）______；
（3）方程的解集______；
（4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______．
【答案】
【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为．
（2）因为，所以，又因为，所以，
又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为．
（3）由，得所以，
所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为．
（4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则，
所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为．
四、解答题
10.把下列集合用另一种方法表示出来：
(1)；
(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
(3)；
(4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）；
(5)由方程的所有整数解组构成的集合．
【答案】(1)且
(2)
(3)
(4)
(5)用列举法：，
用描述法：
【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示；
（2）集合为文字描述表示，由列举法表示；
（3）集合为描述法表示，改为列举法表示；
（4）集合为文字描述表示，由描述法表示；
（5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示．
【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且，
表示小于等于的正偶数．
（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数，
由列举法可得：
一位自然数：；
两位无重复：；
三位无重复：；
故集合为：．
（3）集合用描述法表示，改为列举法为：．
（4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离，
距离恒等于5，即为圆周上的点，
故集合．
（5）由方程的所有整数解组构成的集合，
改为列举法：
，
用描述法为：．
11.用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数组成的集合；
(2)方程的解集；
(3)不等式的解的集合；
(4)二次函数图象上的所有点组成的集合．
【答案】(1){8}
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．
（2）方程可化为：，
所以，所以方程的解集为．
（3）由，得.故不等式的解集为．
（4）“二次函数的图象上的所有点”用描述法可表示为．
12.用列举法表示下列集合：
(1)方程的解组成的集合；
(2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由方程，得或，
所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为.
（2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为．
【考点7】集合新定义问题
一、单选题
1.定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分，和三种情况讨论，结合定义即可得解.
【详解】当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
综上所述，.
故选：B.
2.定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【分析】由集合的新定义计算即可.
【详解】由题设知，
所有元素之和为，
故选：A.
3.设集合，，定义，则中元素的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】用列举法表示出集合，即可得到结论.
【详解】因为集合，，定义,
所以.
一共6个元素.
故选：D
二、多选题
4.定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据集合的新定义即可得中的元素，从而可得结论.
【详解】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3.
故选：ABD.
5.对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．集合中有个元素 D．集合中有个元素
【答案】AC
【分析】列举出集合，求出对应的的值，可得出集合，即可得出合适的选项.
【详解】且.
①当为单元素集合时，集合可取、、、，可取、、、；
②当中的元素个数为时，集合可取、、、、、，
可取、、、、；
③当中的元素个数为时，集合可取、、、，可取、、、；
④当时，.
综上所述，，AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC.
6.给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（ ）
A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界
B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界
C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为
D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为
【答案】AC
【分析】根据上确界的定义即可判断AC；举出反例即可判断BD.
【详解】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值，
所以数集一定有上确界，故A正确；
对于B，若，当时，，
则数集中的元素没有最大值，
因为，都有，所以，
所以，即数集中有上确界，故B错误；
对于C，若数集有上确界，设，
由上确界的定义可知，对于，都有，
所以，
即，故C正确；
对于D，若，则数集有上确界，且，
此时，
则，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：理解新定义的概念是解决本题的关键.
三、填空题
7.设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合A=____________．
【答案】
【分析】根据集合的新定义求解即可.
【详解】因为定义集合，
又因为，，，，，，，，，
所以集合．
故答案为：
8.定义运算，若集合，则______.
【答案】
【分析】根据集合的新定义先让分别取，再让依次取，计算后可得.
【详解】依题意，由，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以.
故答案为：
9.定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________．
【答案】
【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以集合中所有元素乘积为，
故答案为：
四、解答题
10.对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和．
【答案】
【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和.
【详解】集合，则由定义可得，所以，
则可知所有元素的和为.
11.已知集合且．定义集合，求集合．
【答案】
【分析】先用列举法表示集合，从而得出的取值情况，然后依次讨论的值，求出的值，进而得出集合．
【详解】根据题意可知，
由，可知，．
当，时，；
当，时，；
当，时，．
根据集合中元素的互异性，得．
【点睛】本题主要考查了集合描述法的应用，考查了集合元素的互异性，难度不大.
12.已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数.
(1)若，求集合和；
(2)若，求；
(3)求证：，并指出取等条件．
【答案】(1)；
(2)
(3)
当时，取等号
当时，取等号
当时不妨令，则
有
其中中元素的个数为个，
即，
当且仅当，此时中只有个元素．（或指出为等比数列）.
【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；
（2）由题意得和全都互质，所以，则答案可求；
（3）分， 和三种情况讨论即可.
【详解】（1），
；
（2），要使得最小，就得使和全都互质，
当中所有元素互质的时候，，
即，
解得：就是所求的最小值；
（3）略
【考点8】利用集合求解实际应用
一、单选题
1.某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（ ）
A．29 B．31 C．39 D．41
【答案】A
【详解】依题意，两类改造均完成的企业数量为.
2.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
【答案】C
【详解】设集合，，
.
由题可知，
，
所以，即三项都参加的有2人，故A正确；
只参加100米的有人，故B正确；
只参加400米的有人，故C错误；
只参加1500米的有人，故D正确.
3.为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数．
【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人，
列出韦恩图，则，
可得，则只参加技术培训的人数为人．
二、多选题
4.江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ）
A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人
C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人
【答案】CD
【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得.
【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合，
参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为，
根据题意，画出韦恩图如图所示，
则，解得.
对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误；
对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误；
对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确；
对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确.
故选：CD．
5.某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ）
A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人
C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人
【答案】BC
【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案.
【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学，
则，，，
又，，
所以，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．
故选：BC
6.某校校运会先后举办射击比赛和游泳比赛，高三某班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛的人数可能是（ ）
A．15 B．17 C．21 D．26
【答案】BCD
【分析】设只参加一项比赛的20名同学中，参加射击比赛的有人，参加游泳比赛的有人，根据容斥原理得出，，从而得出答案
【详解】设只参加一项比赛的20名同学中，参加射击比赛的有人，参加游泳比赛的有人，则，且①，
由题设条件知，两项比赛均参加的有人，
故参加射击比赛的一共有人，参加游泳比赛的有人，
不妨设参加射击比赛的人数更多(包含参加两种比赛的人数相等的情况)，则②，
由①②可得，故，又，所以，
故，
所以根据选项，两项比赛中参加人数最多的一项比赛的人数可能是17,21,26，
故选：BCD
三、填空题
7.深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人．
【答案】18
【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可.
【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，
因此参加比赛项目的总人数为,
因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，
设只参加集体项目比赛一项的有人，
则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人.
故答案为：18.
8.高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是______．
【答案】.
【分析】根据容斥原理即可计算.
【详解】设两项都合格的人数为，则由题意得
，解得，
即这两项成绩都合格的人数是．
故答案为：.
9.某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人．
【答案】5
【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解．
【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合，
则，，，，，．
设三项都参加的人数为，
则，
因为，
所以由
得，
解得，即三项都参加的有5人．
故答案为：5．
四、解答题
10.一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
【答案】(1)340人
(2)251人
(3)84人
【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可；
（2）由容斥原理只修一门课的学生有
；
（3）由容斥原理正好修两门课的学生有
【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，
则，
，
，
所以该校共有340人.
（2）只修一门课的学生有
,
所以只修一门课的学生有251人.
（3）正好修两门课的学生有
，
所以正好修两门课的学生有84人.
11.为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查.
(1)小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围；
(2)某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数.
【答案】(1)
(2)28人
【分析】（1）由条件得到，求解即可；
（2）借助venn图即可求解.
【详解】（1）由题意得，且，解得，
故的取值范围为；
（2）设只玩的人数为，
由图得，解得，
则人.
故班上这三种游戏都不玩的同学有28人.

12.三零二班共50名学生，30位同学准备参加数学和物理竞赛，现在已经完成报名，设是参加数学竞赛的同学是参加物理竞赛的同学是三零二班的同学}.
(1)解释集合运算.
(2)设参加数学竞赛的有15人，参加物理竞赛的有21人，问：两项竞赛都参加的有多少人？
【答案】(1)
表示同时参加数学竞赛和物理竞赛的同学；
表示参加数学竞赛或物理竞赛的同学；
表示不参加数学竞赛和物理竞赛的同学.
(2)6人
【分析】（1）根据交集和并集及补集的含义解答即可.
（2）设两项竞赛都参加的同学有人，根据容斥原理列式求解即可.
【详解】（1）略；
（2）设两项竞赛都参加的同学有人，则，
解得，故参加两项竞赛的同学共6人.大单元复习01 集合与常用逻辑用语（新高考人教A版专用）
【知识梳理】 2
【热考题型】 5
【考点1】集合的交、并、补运算 5
【考点2】集合中元素的性质与元素互异性 7
【考点3】充分条件与必要条件的判断 8
【考点4】集合间的基本关系：子集、真子集、相等 9
【考点5】全称量词命题与存在量词命题的否定 11
【考点6】集合的表示方法：列举法、描述法 12
【考点7】集合新定义问题 14
【考点8】利用集合求解实际应用 16
一、元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
二、集合中元素的特征
集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
三、元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
四、常用的数集及其记法
名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
五、列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
六、描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.
七、子集的含义
(1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
(2)子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A B(或B A)
八、真子集与集合相等
(1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A B，且B A，则A＝B.
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作BA(或B).
九、空集
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.
十、并集
自然语言 符号语言 图形语言
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
十一、交集
自然语言 符号语言 图形语言
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
十二、交集与并集的运算性质
(1)A∪A＝A，A∪?＝A；A∩A＝A，A∩?＝?.
(2)若集合A是集合B的子集，则A B A∩B＝A A∪B＝B.
十三、全集与补集的含义
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
十四、补集的性质
U( UA)＝A， UU＝， U＝U. A∩( UA)＝，A∪( UA)＝U.
十五、命题的概念
(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.
(3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.
十六、充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
十七、逆命题的概念
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
十八、充要条件
命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题
推出关系 p q
条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件
十九、条件关系判定的常用结论：
条件p与结论q的关系 结论
p q，且qp p是q的充分不必要条件
q p，且p q p是q的必要不充分条件
p q，且q p，即p q p是q的充要条件
pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件
二十、全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
二十一、存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
二十二、全称量词命题的否定
(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
全称量词命题 全称量词命题的否定 结论
x∈M，p(x) x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
二十三、存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词命题的否定 结论
x∈M，p(x) x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
【考点1】集合的交、并、补运算
一、单选题
1.已知集合，则集合（ ）
A． B．
C． D．
2.集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ）
A． B． C． D．
3.已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、多选题
4.已知全集，集合，，且，则（ ）
A．
B．
C．中元素个数为1
D．
5.已知为全集，集合，是的子集，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6.全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7.已知，，，则______．
8.全集，，，，，则________，________
9.已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________．
四、解答题
10.已知全集，集合，集合．求．
11.已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
12.设集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【考点2】集合中元素的性质与元素互异性
一、单选题
1.已知集合，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2.若且集合中的元素均为整数， 则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．3
3.已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
二、多选题
4.已知集合则实数的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.若集合，且，则的值可能是（ ）
A． B．
C．2 D．4
6.已知集合，且，则的值可以为（ ）
A．3 B． C．-3 D．
三、填空题
7.已知集合，如果，那么实数的取值集合为________．
8.设，集合，若，则______.
9.实数，满足集合，则末尾的两位数是________．
四、解答题
10.由三个数，，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值．
11.已知集合．
(1)求 满足的条件；
(2)若，求 的值.
12.已知集合，集合．
(1)求满足的条件；
(2)若，求的值；
(3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．
【考点3】充分条件与必要条件的判断
一、单选题
1.“是钝角三角形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
3.已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
4.下列命题中为真命题的有（ ）
A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件.
B．若是无理数，则也是无理数.
C．若，则实数的值为1或2.
D．，则的子集个数是4个.
5.下列是“集合是集合的子集”的必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
6.王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（ ）
A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件.
B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件.
C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件.
D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件.
三、填空题
7.“”是“”的_______________条件．
8.设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________
9.设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______.
四、解答题
10.已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
11.设为全集，集合，．
(1)若，求，；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
12.已知集合，集合．
(1)当时，求，；
(2)若：是：的必要条件，求的取值范围．
【考点4】集合间的基本关系：子集、真子集、相等
一、单选题
1.集合的真子集共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2.满足条件 的集合M的个数为（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
3.下列关系正确的是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥
二、多选题
4.已知集合，，若，则a的取值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．
5.下列说法正确的是（ ）
A．
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为
6.下列说法正确的是（ ）
A．
B．集合
C．集合
D．若，则
7.下列关系中：①，②，③，④正确的序号__________.
8.设，且，则　________　.
9.若，，则与的关系为________
四、解答题
10.已知集合，集合
(1)求的真子集
(2)若，求的值．
11.已知集合，，且B，求实数的取值范围.
12.已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
【考点5】全称量词命题与存在量词命题的否定
一、单选题
1.已知命题：，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3.命题“，能被整除”的否定是（ ）
A．，不能被整除
B．，能被整除
C．，不能被整除
D．，不能被整除
二、多选题
4.下列说法中，正确的是（ ）
A．的近似值的全体构成一个集合
B．
C．在整数集中，若，则
D．若，则且
5.下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ）
A．， B．所有的正方形都是矩形
C．， D．至少有一个实数，使
6.下列说法正确的是（ ）
A．，
B．“”是“”的必要条件
C．若，，，则是的充分不必要条件
D．命题“，”的否定是“，”
三、填空题
7.命题“，”的否定是________．
8.已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______．
9.已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____．
四、解答题
10.已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？
11.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定：
(1)空集是任何一个非空集合的真子集；
(2)；
(3)；
(4)，方程恰有一解．
12.已知命题 ： ， 为假命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合．
【考点6】集合的表示方法：列举法、描述法
一、单选题
1.下列命题正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合是指第二和第四象限内的点集.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
二、多选题
4.已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
5.下列说法错误的是（ ）
A．
B．实数集可写为{所有实数}
C．被4除余3的自然数集合：
D．与是同一集合
6.下列描述法表示集合正确的是（ ）
A．奇数集：
B．小于8的整数：
C．大于2的实数：
D．不等式的解集：
三、填空题
7.在平面内，到点的距离等于8的点的集合是__________.
8.用列举法表示集合______________________．
9.用适当的方法表示下列集合：
（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______；
（2）______；
（3）方程的解集______；
（4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______．
四、解答题
10.把下列集合用另一种方法表示出来：
(1)；
(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
(3)；
(4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）；
(5)由方程的所有整数解组构成的集合．
11.用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数组成的集合；
(2)方程的解集；
(3)不等式的解的集合；
(4)二次函数图象上的所有点组成的集合．
12.用列举法表示下列集合：
(1)方程的解组成的集合；
(2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合
【考点7】集合新定义问题
一、单选题
1.定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
3.设集合，，定义，则中元素的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
4.定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数不可能为（ ）
A． B． C． D．
5.对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．集合中有个元素 D．集合中有个元素
6.给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（ ）
A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界
B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界
C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为
D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为
三、填空题
7.设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合A=____________．
8.定义运算，若集合，则______.
9.定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________．
四、解答题
10.对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和．
11.已知集合且．定义集合，求集合．
12.已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数.
(1)若，求集合和；
(2)若，求；
(3)求证：，并指出取等条件．
【考点8】利用集合求解实际应用
一、单选题
1.某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（ ）
A．29 B．31 C．39 D．41
2.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
3.为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4.江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ）
A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人
C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人
5.某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ）
A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人
C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人
6.某校校运会先后举办射击比赛和游泳比赛，高三某班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛的人数可能是（ ）
A．15 B．17 C．21 D．26
三、填空题
7.深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人．
8.高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是______．
9.某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人．
四、解答题
10.一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
11.为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查.
(1)小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围；
(2)某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数.
12.三零二班共50名学生，30位同学准备参加数学和物理竞赛，现在已经完成报名，设是参加数学竞赛的同学是参加物理竞赛的同学是三零二班的同学}.
(1)解释集合运算.
(2)设参加数学竞赛的有15人，参加物理竞赛的有21人，问：两项竞赛都参加的有多少人？

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