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第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程（第1课时）
一、学习任务分析
方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，是学生理解数学符号以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容，在现实生活中具有广泛应用。本章是继一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程（组）后，又一常见的整式方程。本章的主要内容结构如图1所示，从丰富多彩的问题情境中抽象出数量关系，列出一元二次方程，并求得一元二次方程的解，进而解决实际问题。通过本章的学习，学生将更深入地体会数学与现实世界的联系，发展应用意识，提升推理能力、运算能力、模型观念，在一元一次方程、二元一次方程组的基础上进一步感悟研究方程的一般方法和路径。
图1
本节课立足知识的结构化，先通过回顾已学方程的相关内容，自然引出新知探究；再借助丰富的问题情境，如“四周未铺地毯的条形区域的宽度为多少？”等问题，引导学生经历对现实问题中量的分析的过程，抽象归纳出一元二次方程的概念。同时，让学生体会一元二次方程与现实世界的密切联系，既为后续估算一元二次方程的解积累素材，也为一元二次方程的精确求解做好铺垫。
二、学习起点分析
学生知识技能基础：学生已经学习了代数式、一元一次方程、二元一次方程组等相关知识，理解了“元”和“次”的含义，会借助字母表达未知数并建立代数关系模型，具备一定的观察、抽象、归纳的能力，以及分析问题和解决问题的能力。
学生活动经验基础：学生已经认识了方程的模型作用，积累了利用方程解决实际问题的经验，形成了一定的模型观念、应用意识、抽象能力和推理能力，具有一定的探究、合作学习经验。
三、教学目标
1.分析具体问题中的等量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，提升分析问题的意识和能力，建立模型观念。
2.通过独立思考与合作交流，认识一元二次方程及其相关概念；能运用所学知识解决简单实际问题，发展抽象能力与应用意识。
四、教学重点
归纳一元二次方程的概念，理解一元二次方程的概念。
教学难点
根据具体情境中的数量关系列出方程，抽象出一元二次方程的概念。
六、教学过程设计
【第一环节】整体建构
1.活动内容
（1）《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？题目大意：今有人合伙购物，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则又少4钱。人数、物品的价格分别是多少？设人数为x，则可列方程为 。
（2）甲、乙两地相距1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。如果设特快列车的平均行驶速度为x km/h，则可列方程为 。
问题：研究一类方程，一般会经历怎样的探究过程？生活中还存在哪些方程模型？说说你的想法。
2.活动目的
通过回顾研究方程的已有思路，引导学生从整体、系统的角度明晰本章的研究路径，为一元二次方程的学习做好铺垫。立足单元知识的结构化与整体性，凸显知识的前后延续性，帮助学生感悟研究方程的一般思想方法。
3.注意事项
通过列方程解决问题，回顾以往方程的学习经验，感受不同方程间的内在联系。在两道题目的探究中，学生可能会有其他的思路，比如问题（1），学生想通过列二元一次方程组进行求解，教师应尊重学生的不同解题思路，可适当删除题干条件，鼓励学生多角度解决问题。
【第二环节】探索新知
1.活动内容
幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯(图2)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
如果设所求的宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？
观察·思考
观察下列等式：。
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？
尝试·思考
如图3，一架长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8 m。如果梯子顶端下滑1 m，那么梯子底端滑动多少米？
图3
你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗？在梯子滑动过程中还有哪些量或关系保持不变？如果梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？
2.活动目的
创设丰富的实例(两个生活问题和一个数学问题)，让学生通过独立思考、自主探究、合作交流的方式，经历分析数量关系(明确已知量、未知量以及问题所涉及的数量关系等)的过程，建立方程模型，渗透数学模型思想，为抽象概括一元二次方程的概念提供素材，培养学生分析问题、解决问题的思维能力，提升合作探究与团结协作的素养。
3.注意事项
建议鼓励学生独立分析问题中的数量关系，并建立方程模型。通过类比列一元一次方程解决实际问题的思路和方法，明确已知量、未知量及问题所涉及的等量关系等。本节课的重点是引导学生列出方程并抽象出一元二次方程的概念，因此，教师在教学中不必花太多时间探索不同解法，可根据学情灵活处理。
“四周未铺地毯的条形区域的宽度为多少？”的问题探究，可引导学生类比列一元一次方程解决实际问题的思路和方法，探究解决该问题的思路和方法，并列出方程。在解决问题的过程中，学生可能会采用以下两种不同的方法。方法1：如图4，将地面四周未铺地毯的条形区域的四个矩形面积相加后，再减重复的四个小正方形的面积，即可得四周条形区域的面积，从而列出方程2×5x＋2×8x－4x2＝5×8－18。方法2：如图5，将地毯四周的一些条形适当平移，可列出方程（5－2x）（8－2x）＝18或2×5x＋2x（8－2x）＝5×8－18或2×8x＋2x（5－2x）＝5×8－18。教学中可引导学生通过化简整理发现虽然方法不同但所列方程相同，都可以化为2x2－13x＋11＝0的形式。通过解决上述问题，学生可进一步体会：在求解实际问题中的某些未知量时，可从实际情境中抽象出等量关系，借助“方程”这一数学模型分析并解决数学问题，同时积累数学活动经验，为后续新知探究奠定基础。
图4 图5
“观察·思考”环节，学生自主分析问题、设未知数并探究解题思路后，教师也可引导学生设中间的那个数为x，则其余四个数依次为x－2，x－1，x＋1，x＋2，进而列出方程，借助这一过程为后续抽象出一元二次方程的概念积累素材。
“尝试·思考”环节，借助问题串，引导学生一步步地分析问题。学生可能会根据勾股定理算出滑动前梯子底端距墙6 m；若设梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动x m，则可以列方程。教学过程中，可能会有学生利用勾股定理直接计算出梯子底端滑动的距离为（）m，教师应充分肯定其解题思路，再顺势引导学生按照教材的方式探索通过设未知数建立方程模型的解题思路。
【第三环节】概念形成
1.活动内容
观察·交流
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
，
，
。
（1）请同学们对上述方程进行化简整理，并观察这三个方程有什么共同特点？与同伴进行交流。
（2）请列举一元二次方程的例子，将其化为一般形式，并指出各项系数。
2.活动目的
引导学生根据已有的方程知识和经验，对上述所列方程进行化简，整理成一般形式，并对所列方程的共性进行分析，抽象出一元二次方程的概念，并对一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）及其中的a，b，c的取值范围进行辨析，加深对概念的理解。
3.注意事项
教学中可引导学生根据已有的方程知识和经验，将上述所列方程进行化简整理，然后引导学生对整理后的方程进行观察、思考和交流，并用自己的语言描述它们的共同特点，归纳得出一元二次方程的概念。此时可由教师和学生共同列举一元二次方程的例子（如：x2＝4），引导学生认识一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0），并对a，b，c的取值范围进行讨论，抓住一元二次方程的本质特征，加深对一元二次方程概念的理解。
【第四环节】评价诊断
1.活动内容
（1）下列关于x的方程中，哪些是一元二次方程？如果是，请说出它们的二次项系数、一次项系数及常数项；如果不是，请说明理由。
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥。
（2）根据题意，列出一元二次方程：
某商场开展商品促销活动。一件标价 800 元的商品经过两次降价售卖，首次降价后销量不佳，商家随即开展二次降价，且第二次降价的百分率为第一次的两倍，该商品最终以 476 元售出。求两次降价的百分率分别是多少？
2.活动目的
通过习题（1）和习题（2），加深对一元二次方程概念的理解，落实基础知识、基本思想方法、基本活动经验，培养分析问题、解决问题的能力，发展应用意识，形成模型观念。
3.注意事项
建议由学生独立完成习题（1）和习题（2）。教学中需注意引导学生对习题（1）中③⑤⑥的辨析，进一步加强对概念的理解，落实学习目标。对于习题（2），若学生独立完成有困难，可共同分析后再由学生独立完成。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
（1）本节课我们学习了哪些内容？
（2）研究一元二次方程，我们经历了怎样的过程？
2.活动目的
本环节所设问题紧扣本节课探究活动的核心育人价值，能够引领和指导学生梳理反思本节课所学内容。学生反思的成果可直观体现课时的学习目标的达成情况，同时助力数学核心素养落地与综合能力发展。
3.注意事项
该环节教学中，建议给予学生充足的交流时间，鼓励学生充分表达自己的观点与思考。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
（1）下列关于x的方程中，哪些是一元二次方程？
①； ②； ③；
④； ⑤。
（2）根据题意，分别列出一元二次方程：
①一个矩形的面积为54 cm2，将它的一边剪短5 cm，另一边剪短2 cm，余下部分恰好是一个正方形，求这个正方形的边长。
②三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
（3）回顾本章“一元二次方程”的目录，并简要说明每一节的研究内容。
2.活动目的
作业设计以学生为主体、核心素养为导向，由易到难落实基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提升学生分析问题、解决问题的能力，培养高阶思维，发展应用意识、创新意识。

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