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28.1 图形的旋转（第2课时）
教学设计
课题 28.1 图形的旋转（第2课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2024）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）进一步加深对旋转性质的理解，能用旋转的性质解决具体问题并进行图案设计； （2）经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程，学会用数学的眼光看待生活中的有关问题，体验数学与现实生活的密切联系； （3）进一步培养学习数学的兴趣，体会生活中的旋转美，增强艺术创作能力与艺术欣赏能力。
教学重点 利用旋转的性质设计简单的图案，掌握线段、三角形等图形的旋转作图方法。
教学难点 利用旋转性质进行规范的旋转作图，及在复杂图形中多角度确定点的对应点。
教学方法 讲授法、演示法、动手操作、合作交流 教学准备 多媒体课件、直尺、量角器、圆规
课后练习 必做：习题28.1第3、4、6题；选做与探究：习题28.1第7题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习：1.在平面内，将一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2.旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。 教师过渡：前面我们认识了旋转的三要素与性质，今天我们就利用旋转的性质来作图、设计图案。（板书课题） (设计意图：复习旋转的相关知识，为设计简单旋转图形作铺垫，自然引出作图学习。) 回顾旋转的定义、旋转中心/方向/角三要素，复述旋转的三条基本性质，明确本课将利用旋转性质作图并设计图案。 通过复习旋转概念与性质，唤醒旧知、搭建脚手架，为利用旋转性质完成作图与图案设计作铺垫，明确本课学习目标。
二、探索点1
简单的旋转作图 【探索点1】简单的旋转作图 画一画 1：如图，画出线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转 60° 后的线段。 作法：(1) 如图，以 AB 为一边按顺时针方向画 ∠BAX，使得 ∠BAX＝60°；(2) 在射线 AX 上取点 C，使 AC＝AB，连接 AC，线段 AC 即为所求。 画一画 2：画出四边形 ABCD 以点 O 为中心、旋转角都为 60° 的旋转图形。 追问1：怎样画出四边形 ABCD 以 O 为中心、旋转角都为 60° 的旋转图形？ 可以把四边形 ABCD 的四个顶点分别绕点 O 按顺时针方向旋转 60° 得到对应点，即先作出 OA、OB、OC、OD 旋转 60° 后的线段端点，再顺次连接 A、B、C、D 的对应点，即得所求（图略）。 追问2：从以上作图回想平移作图过程，比较平移与旋转的异同？ 相同：都是一种运动，运动前后不改变图形的形状和大小；不同：平移的运动方向是直线，运动量用移动距离衡量；旋转的运动方向是顺时针或逆时针，运动量用转动的角度衡量。 追问3：从以上的旋转作图中，你能归纳出旋转作图的基本步骤吗？ 基本步骤：(1) 明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角；(2) 找出关键点；(3) 作出关键点的对应点；(4) 顺次连接作出旋转图形；(5) 写出结论。 (设计意图：通过线段与四边形两个基础作图，探究旋转作图的方法，感知作角、截等长的核心操作，并类比平移梳理作图通用思路。) 完成线段 AB 绕 A 顺时针旋转 60° 作图（作 ∠BAX＝60°、截 AC＝AB）与四边形 ABCD 绕点 O 旋转 60° 作图；比较平移与旋转的异同，归纳旋转作图基本步骤（明要素→找关键点→作对应点→连图形→写结论）。 以线段、四边形两个基础图形为载体，让学生动手完成旋转作图，感知“作角、截等长”核心操作，通过比较平移归纳出旋转作图的一般步骤，为后续复杂作图与图案设计铺垫。
三、典例分析
（例1） 【典例分析】 例1. 如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点，以点 A 为中心，把 △ADE 顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形。 【分析】关键是确定 △ADE 三个顶点的对应点，即它们旋转后的位置。 【详解】解：因为点 A 是旋转中心，所以它的对应点是它本身。正方形 ABCD 中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋转后点 D 与点 B 重合。设点 E 的对应点为点 E′。因为旋转前后图形全等，所以 ∠ABE′＝∠ADE＝90°，BE′＝DE。因此，在 CB 的延长线上取点 E′，使 BE′＝DE，连接 AE′，则 △ABE′ 为旋转后的图形。 (设计意图：通过例1强化旋转作图的方法，结合正方形特殊背景体会旋转前后图形的全等关系。) 分析旋转中心 A、旋转角 90°，判定点 D 旋转后与 B 重合（AD＝AB 且 ∠DAB＝90°）；在 CB 延长线上取点 E′ 使 BE′＝DE，作旋转全等图形 △ABE′。 以例1为依托，综合运用旋转中心确定、旋转前后图形全等等性质完成旋转作图，训练“找关键点→作对应点”的作图思路，突破复杂图形作图难点。
四、探索点2
多种图形变化 【探索点2】利用多种图形变化的方法进行图形变化 追问1：下图由四部分组成，每部分都包括两个小“方形”字，红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？还有其他方式吗？ 仅靠平移无法得到；整个图形可以看作是右边的两个小“方形”绕着图案的中心旋转 3 次，分别旋转 90°、180°、270° 前后图形组成的；整个图形也可以看作是右边的两个小“方形”先通过一次平移成图形左侧部分，然后左右两部分一起绕图形中心旋转 90° 前后图形组成的。 追问2：回顾上面的例1，还有其他方法确定点 E 的对应点 E′ 吗？ 延长 CB，以点 A 为圆心、AE 的长为半径画弧，交 CB 的延长线于点 E′，连接 AE′，则 △ABE′ 为旋转后的图形。 典例2：怎样将甲图案变成乙图案？ 【分析】只要将甲图中的图案先“扶直”，再平移，还有其他多种方法进行变换。 【详解】可以先让甲图案绕图上的 A 点旋转，使得图案被“扶直”，然后沿 AB 方向将所得图案平移到 B 点位置，即可得到乙图案（其他方法略）。 (设计意图：认识用多种图形变化（旋转、平移及其组合）进行图形变换的方法，渗透图形变换的综合运用意识。) 分析构成图形的旋转/平移过程，判断图案分别可由旋转几次、每次多少度得到；回顾例1，探索“以 A 为圆心画弧”确定 E 对应点 E′ 的另一方法；理解例2中先“扶直”再平移实现甲图变乙图。 通过四部分图案与甲→乙图案的变换分析，体会旋转、平移的异同与组合变换，多角度确定对应点，拓宽图形变换的思路，渗透转化的数学思想。
五、探究点3
旋转图案设计 【探究点3】利用旋转设计图案 观察：选择不同的旋转中心、不同的旋转角，把同一个图案旋转，会出现不同的效果。 我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案。 例3. 如图，正方形 ABCD 和正方形 CDEF 有公共边 CD，请设计方案，使正方形 ABCD 旋转后能与正方形 CDEF 重合，你能写出几种方案？ 【分析】可以选择不同的旋转中心、旋转方向进行旋转。 【详解】方案一：把正方形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90°；方案二：把正方形 ABCD 绕点 C 逆时针旋转 90°；方案三：把正方形 ABCD 绕边 CD 的中点 0（O）旋转 180°。 (设计意图：感受旋转中心、旋转角变化对图案的决定作用，将旋转作图拓展至创意设计，体会几何美学。) 观察不同旋转中心、旋转角下同一图案的不同效果，体会图案由旋转中心与旋转角共同决定；对公共边 CD 的两个正方形，尝试写出绕 D、绕 C、绕 CD 中点旋转 90°/90°/180° 三种重合方案。 将旋转作图拓展至图案设计，通过多样方案体验旋转三要素对图形位置、形态的决定作用，发展空间观念与创意设计能力，感受数学与生活的联系。
六、当堂检测 【当堂检测】 1. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点均在网格格点上。 (1) 将 △ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°，画出旋转后对应的图形；(2) 平移 △ABC，若点 A 的对应点为 A ，画出平移后对应的图形；(3) 若将旋转后得到的图形再绕某一点旋转可以得到平移后图形，请直接写出旋转中心的坐标；(4) 在 x 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标。 思路点拨：旋转 180° 即作关于点 C 的中心对称图形；旋转中心的确定可借助对应点连线的垂直平分线交点（或对应点连线中点横纵关系）；PA+PB 最小可利用点 B 关于 x 轴的对称点，转化为两点间线段最短，联立直线与 x 轴求点 P（具体数值根据图中坐标确定）。 2. 如图，用左面的三角形经过怎样的旋转，可以得到右面的图形？ 答案：将左面三角形绕中心旋转 120° 和 240° 得到的两个三角形与原来的三角形一起，组成右面的图形。 3. 如图，找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角。 答案：旋转中心是螺母的圆心，旋转角是扳手转动的角度（扳手某条边旋转前后所夹的角），具体即图中扳手上某一边转到对应位置所转过的角。 (设计意图：学完新知后及时进行课堂巩固练习，强化对新知的记忆与理解，及时反馈学习情况、查漏补缺，帮助教师调整教学策略。) 独立完成坐标系中旋转 180°、平移作图并写出旋转中心坐标与使 PA+PB 最小的点 P 坐标；回答三角形旋转 120°、240° 得到拼图、扳手拧螺母的旋转中心与旋转角，同桌互查、集体订正。 以练习及时检测旋转作图、旋转三要素与图形变换综合运用，反馈学习薄弱点、查漏补缺，落实本节知识目标。
七、中考真题
能力提升 【中考真题】能力提升 1.（2025·安徽）如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点 E 为边 AB 上的动点。将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到线段 DF，连接 FB、FC、EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC ED 的最大值是 　B．FB 的最小值是 C．EC+ED 的最小值是 　D．FC 的最大值是 【解答】 解：∵ 将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到线段 DF，∴ DE＝DF，∠EDF＝90°。在 DG 上取一点 H，使 DH＝AD＝1，延长 FH 交 AB 于 I，则四边形 ABGD 是矩形。 ∵ ∠GDA＝∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠EDG＋∠HDF，∴ ∠ADE＝∠HDF。又 DA＝DH，DE＝DF， ∴ △DHF≌△DAE（SAS），∴ ∠DHF＝∠DAE＝90°，∴ FH⊥DG，即点 F 在定直线 FH 上运动。 ∵ 四边形 DAIH、BGHI 是矩形，∴ HI＝AD＝1，BI＝4 1＝3。 辨析 A：EC ED＝ ，当 E 与 A 重合时，ED＝1，EC＝＝5，EC ED＝5 1＝4≠，故 A 错误，符合题意。 辨析 B：当 E 与 A 重合时 F 与 H 重合，BF 最小，BF＝＝＝，故 B 正确。 辨析 C：作点 D 关于 AB 的对称点 M，则当 C、E、M 共线时 EC+ED 最小，其最小值＝AC＝＝，故 C 正确。 辨析 D：分别计算 E 与 A、B 重合时 FC 的值，可得 FC 的最大值为 ，故 D 正确。 ∴ 选 A。故答案为：A。 2. 如图，已知点 A、B、C，点 P（2025 上·河南新乡期中）。 (1) 将 △ABC 绕点 P 逆时针旋转 90° 得 △A B C ，画出 △A B C ，并写出点 C 的对应点 C 的坐标；(2) 画出 △A B C 关于原点成中心对称的图形，并写出点 A 的对应点的坐标。 思路点拨：抓住旋转中心 P 与旋转角 90°，将各关键点绕 P 逆时针旋转 90° 确定对应点坐标；中心对称关于原点，则对应点横纵坐标互为相反数，据图可得各点坐标。 (设计意图：引入中考真题，强化旋转作图及其与中心对称、坐标变换的综合运用，帮助明确考试方向、检验成果、提升应考能力。) 用旋转性质分析线段旋转得到的中点/H 型全等，推导点 F 的运动轨迹并逐一辨析四选项的最值；完成坐标系内三角形旋转 90° 与关于原点中心对称作图，写出对应点坐标。 以中考真题为载体，综合运用旋转性质、全等判定、矩形性质与两点间距离公式求解运动类最值，并完成坐标旋转作图，提高综合解题与应考能力。
八、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 旋转作图的基本步骤： (1) 明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角；(2) 找出关键点；(3) 作出关键点的对应点；(4) 顺次连接作出旋转图形；(5) 写出结论。 提示：作旋转图形要抓住“找关键点、作对应点”的核心；利用旋转中心、旋转角可以设计出多样的美丽图案。 复述旋转作图五步（明三要素→找关键点→作对应点→连图形→写结论），回顾多图形变换与图案设计要点，梳理本课知识脉络。 系统小结旋转作图的完整步骤与核心思想，帮助学生建立规范作图方法体系，为后续图形变换综合运用与图案设计作铺垫。
板书设计
28.1 图形的旋转（第2课时） 探索点1　简单的旋转作图 作法核心：作角（旋转角相等）、截等长（保距） 步骤：明三要素→找关键点→作对应点→连图形→写结论 探索点2　多种图形变化 旋转、平移及其组合变换 例2：先“扶直”再平移 探究点3　旋转图案设计 旋转中心、旋转角共同决定图案 例3：绕D顺时针90°/绕C逆时针90°/绕CD中点180° 课堂小结：旋转作图五步 板演区 学生板演区
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