资源简介

29.2.1 垂直于弦的直径（第1课时）教学设计
课题 29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径（第1课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）通过探究圆的对称性，理解并掌握垂径定理，能够解决相关计算和证明问题； （2）会用垂径定理进行有关圆的计算与作图，理清并区分垂径定理的题设与结论； （3）经历探究垂直于弦的直径的过程，激发观察、探究、发现数学问题的兴趣，渗透数形结合与转化思想。
教学重点 垂径定理及其应用。
教学难点 垂径定理的题设与结论的区别及灵活应用。
教学方法 讲授法、演示法、探究法、动手操作、合作交流 教学准备 多媒体课件、圆形纸片、圆规、直尺
课后练习 必做：习题29.2第1、7题；探究性作业：习题29.2第8题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习提问：①连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径； ②圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 教师过渡：我们已经知道圆是轴对称图形，那么垂直平分弦的直径具有怎样的性质？这节课我们探究垂直于弦的直径。（板书课题） （设计意图：复习弦、直径与圆的轴对称性，为探究垂径定理作铺垫，自然引入新课。） 回忆弦与直径的定义和圆的轴对称性，明确本课研究“垂直于弦的直径”的性质。 以旧引新，激活弦、直径与轴对称这一认知起点，为垂径定理的探究奠基。
二、探究点1
圆是轴对称图形 【探究点1】圆是轴对称图形 问题：我们在小学已经知道圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。怎样证明这个结论呢？ 追问1：证明一个图形是轴对称图形的常用方法是什么？怎样证明圆是轴对称图形？ 常用方法：只需证明图形上任意一点关于某条直线（对称轴）的对称点也在这个图形上。要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上。 追问2：你能说出证明的过程吗？ 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上异于C、D的任意一点。过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA、OA′。 在△OAA′中，∵OA=OA′（同圆半径相等），∴△OAA′是等腰三角形； 又∵AA′⊥CD（即OM⊥AA′，CM为底边AA′上的高），∴AM=MA′，即CD是AA′的垂直平分线。 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称，即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 （设计意图：用“对称点仍在圆上”证明圆的对称性，掌握证明轴对称图形的常用方法，并由此引出垂径定理。） 回顾证明轴对称图形的常用方法，跟随“过A作AA′⊥CD，连OA、OA′”的思路写完整证明，体会等腰三角形“三线合一”。 以作对称点证明圆的轴对称性，渗透转化思想，同时为垂径定理的得出铺路。
三、典型例题
例1（对称最短路） 【典型例题】例1（用对称性求最短路线） 例1　如图，在⊙O中，AB是直径，AB=14cm，CD⊥AB，M是CD上的一动点，则CM+DM的最小值是（　　） A．7cm　　B．8cm　　C．12cm　　D．14cm 【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据“轴对称确定最短路线”可得此时CM+DM最小；由圆的对称性知C′在圆上，且C′D恰为直径。 【详解】如图，作点C关于直径AB的对称点C′，连接C′D交AB于点M。 由圆的对称性知C′在⊙O上，且M即为CM+DM取最小值的位置；此时CM+DM=C′M+DM=C′D。 ∵C、C′关于AB对称，AB是直径，故C′D经过圆心O，C′D为⊙O的直径，即C′D=AB=14cm。 ∴CM+DM的最小值是14cm，故选D。 （设计意图：运用圆的对称性解决最短路线问题，强化对称作图的转化思想。） 作C关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于M，判断 CM+DM=C′D 恰为直径，求其最小值14cm并选D。 以“轴对称—最短路线”落实圆的对称性应用，突破转化思想这一难点。
四、探究点2
垂径定理 【探究点2】垂径定理 追问1：由上面的证明知，若⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，则点A与点A′是对称点。把圆沿直径CD折叠时，点A与点A′重合，你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ 对折后，线段AM与A′M重合，弧AC与弧A′C、弧AD与弧A′D分别重合。因此 AM=A′M，⌒AC=⌒A′C，⌒AD=⌒A′D。 即直径CD平分弦AA′，并且平分⌒A C和⌒A D（弦AA′所对的两条弧）。 追问2：由上面的推导，你能用自己的语言表达垂径定理吗？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 追问3：这里“弦所对的两条弧”是指什么弧？ 指弦所对的两条弧，可以是“优弧”“劣弧”，或当弦为直径时的两个半圆。 追问4：这个定理的条件是什么？结论是什么？对照下图怎样用几何符号语言表达？ 条件是“垂直于弦的直径”；结论是“平分弦，并且平分弦所对的两条弧”。 符号语言：在⊙O中，∵AA′是弦，CD是直径，CD⊥AA′于点M， ∴ AM=A′M，⌒AC=⌒A′C，⌒AD=⌒A′D。 （设计意图：由折叠操作抽象出垂径定理，分析其条件与结论，规范符号语言表达。） 沿直径CD折叠图形，直观得出AM=A′M及两对相等弧，用自己语言表述垂径定理，明确条件、结论与几何符号语言表达。 以折叠实验归纳垂径定理，厘清定理的题设与结论，突破易混难点。
五、典型例题
例2（赵州桥半径） 【典型例题】例2（赵州桥主桥拱半径） 例2　赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约1400年，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）。 【分析】解决此问题的关键是由赵州桥实物图画出几何图形，再用垂径定理求半径。 【详解】如图，用弧AB表示主桥拱，设⌒AB所在圆的圆心为O，半径为R。 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与⌒AB相交于点C，连接OA。由垂径定理，D是AB的中点，C是⌒AB的中点，CD就是拱高。 由题设可知：AB=37，CD=7.23。 ∴ AD==18.5，OD=OC-CD=R-7.23。 在Rt△OAD中，由勾股定理得 OA =AD +OD ，即 R =18.5 +(R-7.23) 。 解得 R≈27.3，因此赵州桥的主桥拱半径约为27.3m。 【讲评要点】拱高、弦的距离与半径构成直角三角形，用勾股定理列方程是通法。 （设计意图：以赵州桥为背景综合运用垂径定理与勾股定理，感受数学的应用价值。） 画出赵州桥拱的几何图形，指出D、C分别为弦与弧的中点，用 AD=、OD=R CD 及勾股定理列方程求R≈27.3。 以真实桥梁为情境综合运用垂径定理与勾股定理，体会“画图—列方程—求解”的建模过程。
六、典型例题
例3（垂径定理应用） 【典型例题】例3（垂径定理的应用） 例3　如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，且直径AB⊥CD于点F（即过圆心O的半径OE垂直于弦CD）。 （1）求证：AC=BD； （2）若OF=2，CD=8，求直径AB的长。 【分析】本题考查垂径定理及圆的对称性。熟练运用垂径定理是解题的关键。 【详解】（1）证明：∵直径AB（所在直线OE）⊥CD，且过圆心O， 由垂径定理得 CF=DF；又圆关于直径AB对称，点C与D、点A与B关于AB对称， ∴弧AC与弧BD关于AB对称而重合，即 AC=BD。 （2）连接OC。∵OF⊥CD且过圆心O，由垂径定理得 CF=DF。 ∴ CF=，OF=2。在Rt△OCF中，由勾股定理得 半径 OC==。 ∴ 直径 AB=2OC=4。 （设计意图：综合垂径定理与圆的对称性、勾股定理，落实垂径定理的应用。） 用垂径定理推出CF=DF并结合圆的对称性证AC=BD；在Rt△OCF中用勾股定理求半径2√5、直径4√5。 综合垂径定理、对称性与勾股定理，强化“垂直—平分—求半径”的解题方法。
七、当堂巩固
跟踪练习 【当堂巩固】跟踪练习 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm。求⊙O的半径。 【详解】作OC⊥AB于点C，则C为AB的中点（垂径定理），∴ AC=cm，OC=3cm。在Rt△AOC中，由勾股定理得 AO==5cm，即⊙O的半径为5cm。 2．拓展：已知⊙O的直径为10，AB为⊙O的直径，点D为圆上一点，连接AD、BD。(1)如图1，若AD=8，求BD的长；(2)（提升）如图2，AD BD，弦AC平分∠DAB等关系，可用垂径定理与等腰三角形求解，供学有余力者练习。 【详解】（1）∵AB为直径，直径所对的圆周角 ∠ADB=90°；又 AB=10，AD=8，在Rt△ABD中，BD===6。 （设计意图：学完新知识后及时课堂巩固，强化垂径定理与勾股定理的应用，反馈学情、查漏补缺。） 独立求弦AB的半径（半弦4、弦心距3→半径5）；拓展题先求直径所对圆周角下的BD=6，再尝试动点最值的探究。 以弦、弦心距、半径构成直角三角形落实勾股计算，检测垂径定理掌握情况。
八、中考真题
能力提升 【中考真题】能力提升 1．（2025·宜宾）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D。若AB=8，OC=5，则OD的长是（　　） A．3　　B．2　　C．6　　D．4 【详解】∵半径OC⊥AB于点D，由垂径定理得 AD=；又 OA=OC=5，故 OD===3，故选A。 2．（2025·内江）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8，OC=5。则DC的长是___________。 【详解】由垂径定理 AD=，在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，故 OD==3；∴ DC=OC-OD=5-3=2。 答案：DC的长为2。 3．（2025·内蒙古通辽校考）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米。求：(1)桥拱的半径；(2)若水面上涨后水面跨度变为60米，求水面上涨的高度。 【详解】(1)如图1，设拱所在圆半径为r，连EA，作EF⊥AB，垂足F为AB的中点。 ∴ AF=FB=，EF=ED-FD=r-20。在Rt△AEF中，由勾股定理得 r=40+(r-20)，解得 r=50，即桥拱的半径为50米。 (2)如图2，设上涨后的水面为MN=60，交圆弧于H，连EH。则 MH=NH=30。 在Rt△EMH中，EH=50，MH=30，故 OH（E到水面距离）==40米；原水面距圆心 EF=r-DF=50-20=30米，故水面上涨 40-30=10米。 （设计意图：加入中考真题，帮助学生明确考试方向、熟悉题型、检验学习成果、提升应考能力。） 用垂径定理求弦心距OD=3；求DC=2并填空；求桥拱半径50米及水面上涨10米，规范运用直角三角形勾股计算。 以中考真题为载体综合运用垂径定理与勾股定理，明确考向、提升应考能力。
九、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴； 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 3.应用要点：当直径与某条弦垂直时，可推出“平分弦、平分两条弧”；已知半径、弦心距（或半弦长）三者之二，可用勾股定理求第三量； 4.方法：遇到“垂直于弦的直径”问题，常构造“半径—半弦—弦心距”直角三角形求解。 （设计意图：对本课知识系统总结，帮助学生增强学习的主动性与连贯性。） 回顾圆的对称性、垂径定理及“半径—半弦—弦心距”直角三角形模型，梳理垂径定理应用要点。 系统梳理垂径定理的条件、结论与“构造直角三角形”的通法，强化知识结构化。
板书设计
29.2.1 垂直于弦的直径（第1课时） 一、圆的轴对称性 对称轴：任何一条直径所在直线 证明：对称点仍在圆上 二、垂径定理 条件：直径（过圆心）垂直于弦 结论：平分弦，平分弦所对的两条弧 符号：CD⊥AA′ AM=A′M 三、应用模型 半径─半弦─弦心距 直角三角形 勾股定理列方程求半径/弦长 例2 赵州桥R≈27.3 课堂小结 + 学生练习板演 学生板演区
教学反思

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