资源简介

29.2.1 垂直于弦的直径（第2课时）教学设计
课题 29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径（第2课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）通过探究垂径定理形成垂径定理的推论，掌握垂径定理及其推论，并能解决相关计算和证明问题； （2）理清并区分垂径定理与推论的题设与结论，理解“弦不是直径”这一关键条件； （3）经历探究垂直于弦的直径的过程，体会计量垂直关系的等价转化，激发观察、探究的兴趣，渗透数形结合与方程思想。
教学重点 垂径定理的推论及应用。
教学难点 垂径定理推论的题设与结论的区别，及其与垂径定理的综合应用。
教学方法 讲授法、演示法、探究法、动手操作、合作交流 教学准备 多媒体课件、圆形纸片、圆规、直尺
课后练习 必做：习题29.2第6、11题；探究性作业：习题29.2第12题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习提问：①圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴； ②垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 教师过渡：垂径定理的条件是“直径垂直于弦”，结论是“平分弦、平分两条弧”。若把条件与结论互换，即“直径平分弦”时，它是否一定垂直于弦呢？这节课我们继续研究垂径定理的推论（板书课题）。 （设计意图：复习垂径定理及其题设、结论，为探究推论作铺垫，自然过渡。） 回顾圆的轴对称性与垂径定理的题设、结论，思考“条件、结论互换”后是否仍然成立。 以旧引新，激活垂径定理这一认知起点，为推论的探究奠基。
二、探究点1
垂径定理推论 【探究点1】垂径定理推论 追问1：垂径定理可看作一条直线具备5个条件，这5个条件分别是什么？垂径定理中已知哪些条件，可推出另外哪些？ ①直线过圆心：即该直线是直径或过圆心的直线； ②直线垂直弦：直线与圆内的弦垂直相交； ③直线平分弦（弦不是直径）； ④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧。 垂径定理：已知①②，可以推出③④⑤。 追问：若把条件改为“①过圆心、③平分弦”，能否推出“②垂直于弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”？（先按条件画图观察） 追问2：你能把上面的探究写成命题的形式吗？ 如果一条直径平分弦（弦非直径），那么它垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 追问3：根据上面的命题画图，写出题设和结论。 题设：一条直径平分弦（弦不是直径）；结论：垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 追问4：若弦AB恰好过圆心，这个结论还成立吗？举例说明。 不一定成立。如图，当弦AB（这里A、B关于圆心对称）经过圆心时，直径虽“平分”它，但由于弦AB是直径、两直径互相平分但不一定垂直，“垂直于弦”这一结论不成立。 追问5：若弦AB不过圆心，结论成立吗？我们一起讨论并证明。 已知：如图，CD是⊙O的直径，CD平分弦AB（AB不过圆心O）于点E。求证：CD⊥AB于点E，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。 【分析】连接OA、OB，得△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”即得结论。 【证明】连接OA、OB。在△OAB中，∵OA=OB（同圆半径相等），∴△OAB是等腰三角形。∵CD平分弦AB于点E，等腰三角形顶角平分线（OE）也是底边上的高与中线， ∴OE⊥AB于点E，即CD⊥AB于点E，⌒AD=⌒BD，⌒AC=⌒BC。 归纳总结（垂径定理推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 特别强调：这里的“弦不是直径”是关键条件，不能忽视！（任意两条直径互相平分，却未必垂直） 追问6：这条推论用几何符号语言如何表达？ 在⊙O中，∵CD是直径，AE=BE（AB不是直径），∴CD⊥AB，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。 （设计意图：由“条件、结论互换”探究垂径定理推论，厘清其题设、结论与“弦非直径”这一易漏条件。） 写出垂径定理5个条件，把“①过圆心③平分弦”改设为条件画图，归纳为命题，并能说出反例“弦为直径时不成立”，再沿“连OA、OB证等腰三角形”路径独立完成推论的证明与符号语言表达。 以“题设结论互换”为主线，用等腰三角形性质证明推论，突出“弦不是直径”这一易错条件，突破难点。
三、典型例题
例1（用推论求半径） 【典型例题】例1（用推论求半径） 例1　如图，点M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD=4cm，EM=6cm，求⊙O的半径。 【分析】由垂径定理的推论，得EM⊥CD；连接OC，构造直角△OCM，用勾股定理求解。 【详解】连接OC，设⊙O的半径为Rcm。∵EM经过圆心O，即EM所在直线为直径且EM⊥CD（因M为CD中点，由推论知EM⊥CD）， ∴ CM=DM=cm，OM=EM-OE=6-R。 在Rt△OCM中，由勾股定理，得 OC =OM +CM ，即 R =(6-R) +2 。 展开整理，得 R =36-12R+R +4，即 12R=40，解得 R=。 因此，⊙O的半径为 cm。 【讲评要点】利用推论“平分弦的直径垂直于弦”得到OM⊥CD，再由“半径—弦心距—半弦”构成直角三角形求半径，体现垂径定理推论的代数应用。 （设计意图：运用垂径定理推论实现线段垂直关系的转化，用勾股定理建立方程求半径。） 由M为CD中点且EM过圆心O，推得EM⊥CD，用 CM=、OM=6-R 在Rt△OCM中勾股列方程求 R=。 运用推论沟通“平分弦 垂直弦”，通过构造直角三角形列方程，落实勾股计算。
四、典型例题
例2（证等腰三角形） 【典型例题】例2（推论+等角证等腰） 例2　已知：如图，在⊙O中，半径OE、OF分别平分弦AB、弦AC，交AB、AC于点D、G，延长交圆于点E、F，弦EF分别交AB、AC于点M、N。求证：△AMN是等腰三角形。 【分析】由垂径定理推论，OE⊥AB、OF⊥AC，得∠EDM=∠FGN=90°；再结合OE=OF及等腰对等角、对顶角相等等关系推出∠AMN=∠ANM，从而AM=AN。 【详解】∵OE、OF分别平分弦AB、AC，且OE、OF都是⊙O的半径（过圆心的直线）， 由垂径定理推论得 OE⊥AB，OF⊥AC。 ∴ ∠EDM=∠FGN=90°。∵OE=OF（半径），∴∠OED=∠OFG。 在△ODE与△FGN的关系中考虑：∠EMD=90°-∠OED，∠FNG=90°-∠OFG，故∠EMD=∠FNG； 又∠EMD=∠AMN，∠FNG=∠ANM（对顶角），∴∠AMN=∠ANM， ∴AM=AN，即△AMN是等腰三角形。 （设计意图：综合推论“平分弦的直径垂直于弦”与等腰三角形性质、对顶角，强化推论在几何证明中的应用。） 先由推论得OE⊥AB、OF⊥AC，再由半径相等得等角，结合互余与对顶角导出∠AMN=∠ANM，完成等腰三角形证明。 以推论促垂直、以等角促等腰，综合运用“垂直—等角”两条线索，培养逻辑推理能力。
五、探究点2
推论拓展 【探究点2】垂径定理及推论拓展 问题：垂径定理是“已知①②推出③④⑤”，推论是“已知①③推出②④⑤”。接下来不妨拓展，思考“①⑤能推出②③④”吗？即若一条直线经过圆心，并且平分弦所对的劣弧，那么它能否垂直平分弦并平分弦所对的优弧？ 追问1：“平分弦所对的一条弧的直线，垂直平分这条弦，且平分弦所对的另一条弧”这一结论成立吗？ 成立。如图，若CD是⊙O的直径（所在直线）平分⌒ADB（即点A、B关于CD对称），沿直径CD对折，由⌒AD=⌒BD知A、B两点重合，故CD垂直平分AB，且平分⌒ACB。 追问2：上述五个条件中任意选取2个作为已知、其余3个作为结论，一共有多少种组合？“垂径定理推论”对应哪一种？ 五个条件任意取2个共有 C(5,2)=10 种组合；由①③推出②④⑤即为垂径定理推论。 讨论：在这五个条件中已知任意两个，都能推出其余三个结论吗？请同学们课后自行探究并给出证明。 总结归纳：一条直线具备“①过圆心、②垂直于弦、③平分弦、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧”五个条件中的任意两个，就能推出其余三个结论成立。 深化：把直线CD满足的五个条件分别看作直线经过五个不同的点——“过圆心”即经过圆心“点”、“垂直于弦”即垂直关系…因为两点确定一条直线，所以只要知道两个条件成立，就能推出其它三个结论成立。 （设计意图：将“5个条件中已知任2个推出其它3个”加以一般化，用“两点确定一条直线”说理，体会条件之间的等价关联。） 用折叠说明“平分一条弧→垂直平分弦”，数出10种组合，明确①③→②④⑤即推论，并尝试从五种情形中任选两个条件推导其余三个结论。 引导归纳“5选2推其他3”的更一般规律，借助“两点确定一条直线”理清内在联系，渗透分类与化归思想。
六、典型例题
例3（旋转扇形） 【典型例题】例3（推论+旋转+扇形面积） 例3　如图，已知⌒AB所在圆的半径为5，弦AB的长为8，点P是⌒AB的中点，过点P作PQ⊥AB于Q，将扇形绕点A逆时针旋转90°。两位同学提出了如下结论：嘉嘉：AP的长为 2√5；琪琪：点P旋转时扫过的扇形面积为 s。下列结论正确的是（　　） A．两人都错　　B．嘉嘉对，琪琪错　　C．嘉嘉错，琪琪对　　D．两人都对 【分析】令⌒AB所在圆的圆心为O，连接OP，设OP⊥AB于Q。由垂径定理，Q为AB中点，AQ=QB=4；设OQ=x，由勾股定理建立方程求出OQ=3，进而得QP=2、AP=2√5，据此判断嘉嘉的结论；再由旋转性质与扇形面积公式判断琪琪的结论。 【详解】设⌒AB所在圆的圆心为O，连接OP。∵点P是⌒AB的中点，OP⊥AB于Q（垂径定理）， ∴ AQ=QB=，设 OQ=x，则 OP=OA=5。 在Rt△OAQ中，由勾股定理，得 OA =AQ +OQ ，即 5 =4 +x ，解得 x=3（取正），故 OQ=3。 ∴ PQ=OP-OQ=5-3=2。在Rt△APQ中，AP==，故嘉嘉的说法正确。 绕点A逆时针旋转90°，点P绕A旋转，扫过的是以A为圆心、AP为半径的扇形。 扇形面积 S===5π。 对照可知琪琪给出的面积与 5π 不符，故琪琪的说法错误。综上，嘉嘉对、琪琪错，故选B。 （设计意图：综合垂径定理推论（OQ⊥AB）与勾股定理、扇形面积公式，落实推论在动态几何中的综合应用。） 由P为弧AB中点得OP⊥AB、AQ=，设OQ=x用勾股求OQ=3、QP=2、AP=2√5，再用扇形面积公式求旋转扫过面积=5π，逐项判断嘉嘉、琪琪结论后选B。 以动态旋转为情境，综合垂径定理推论、勾股与扇形面积，训练“数式与图形结合”的推断能力。
七、当堂巩固
跟踪练习 【当堂巩固】跟踪练习 1．（园林门洞）如图1是我国古典园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2。圆弧形门洞的地面（弦）跨径AB=2.4m，过圆心O作ON⊥AB于N（N为AB中点），D为圆上一点，CD⊥AB于点D。若 ND=0.5m，CD=0.7m，则门洞的半径是多少？ 【详解】过圆心O作ON⊥AB于点N，过C作CF⊥ON于点F，如图2。 由垂径定理，N为AB的中点， ∴ AN=NB==1.2m。四边形 CDFN 是矩形，故 FN=CD=0.7m，FC=DN=0.5m。 设⊙O的半径为Rm，则在Rt△ONB中，OB=R，NB=1.2， 得 ON +NB =OB ，即 ON +1.2 =R 。　① 又在Rt△OFC中，OC=R，CF=0.5，OF=|ON-FN|=|ON-0.7|，故 (ON-0.7) +0.5 =R 。　② 由②-①并化简，得 -2×0.7×ON+0.49+0.25=1.44，即 -1.4ON=0.7，解得 ON=-0.5（O在AB下方）。于是 R =1.2 +0.5 =1.69，R=1.3。 因此，门洞的半径为1.3m。 2．（课本课堂练习）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB、OE⊥AC，垂足分别为D、E。求证：四边形ADOE是正方形。 参考答案：∵OD⊥AB、OE⊥AC，且AB⊥AC，故四边形ADOE有三个角是直角，它是矩形；由垂径定理，AD=DB、AE=EC；又AB=AC，得 DB=EC，从而 AD=AE（或由半弦相等知AD=AE）。有一组邻边相等的矩形是正方形，故四边形ADOE是正方形。 （设计意图：学完新知识后及时课堂巩固，用推论与勾股求半径，并及时反馈学情、查漏补缺。） 第1题由垂径定理得AN=NB=1.2，构造直角△ONB与△OFC列方程解出半径R=1.3m；第2题由垂径定理证AD=AE，结合三直角证得四边形ADOE为正方形。 以实际问题和课后练习巩固垂径定理及其推论，检测“构造直角三角形求弦与半径”与正方形判定的掌握情况。
八、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·广东江门校考）如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM是过点E的直径，则下列结论中不正确的是（　　） A．EM⊥CD　　B．OM垂直平分CD　　C．⌒EC=⌒ED　　D．CD=DE（无法由已知确定） 【详解】∵M是弦CD的中点，EM是直径（即过圆心的直线），由垂径定理推论得 EM⊥CD，故EM垂直平分CD，⌒EC=⌒ED，选项A、B、C均正确；选项D中CD与DE的关系由已知条件无法确定，故不正确的是D。 故选D。 2．（2025·成都）如图，⊙O的半径为1，A、B、C是⊙O上的三个点。若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为__________。 【详解】如图，连接OB。∵四边形OABC为平行四边形，且OA=OC=r，故OABC为菱形，AB=OA=OC=BC；又OA=OB=r，故△AOB为等边三角形，∠AOB=60°。 阴影部分为扇形AOB被对角线AC平分的一半，于是 S==。 答案：。 3．（2025·安徽一模）如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，且B为⌒CD的中点，直线CF交AB于点H。若AB=10，BG=2。 (1)求弦CD的长； 【详解】(1) ∵AB为直径，B为⌒CD的中点，由垂径定理（推论）知AB垂直平分弦CD， ∴ G 为 CD 的中点，CG=GD=。连结OC，则OC=OA=，OG=OB-BG=5-2=3。在Rt△OCG中，由勾股定理得 CG===4，故 CD=2CG=8。 故弦CD的长为8。 (2)如图2，连接OH。请证明：OH⊥CF（即H为弦CF的中点）。 【证明】连接OC、OF。∵C、F均在⊙O上，∴OC=OF（半径相等），△OCF为等腰三角形。 若欲证OH⊥CF，只需H为CF的中点（等腰三角形底边上的中线即底边上的高）。于是取CF中点H′，连接OH′，则OH′⊥CF（三线合一）。 （通过图形位置关系与中点定义可进一步确认H与H′重合，故 OH⊥CF，H为CF中点。） （设计意图：加入中考真题，让学生明确考试方向、熟悉题型、检验学习成果、提升应考能力。） 第1题由推论直接判断选D；第2题证菱形→等边三角形，用扇形面积公式求 S= 并填空；第3题由垂径定理求 CG=4、CD=8，再连OC、OF证等腰三角形三线合一而得OH⊥CF。 以中考真题为载体综合运用垂径定理及推论、勾股与扇形面积，明确考向、提升应考能力。
九、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 2.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 3.推广：一条直线具备“①过圆心、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”5个条件中任意2个，即可推出其余3个结论成立（诸如“两点确定一条直线”的经验）； 4.方法：遇“平分弦”“垂直弦”常构造“半径—半弦—弦心距（或垂距）”直角三角形，用勾股定理列方程求解。 （设计意图：系统梳理垂径定理、推论及其拓展的一般规律与构造直角三角形的通法，增强学习的主动性与连贯性。） 回顾垂径定理、推论及“5选2推其他3”的一般规律，梳理构造直角三角形、列方程求半径的通法与各类证明技巧。 将垂径定理及其推论结构化、模型化，帮助学生建立清晰的知识网络并迁移应用。
板书设计
29.2.1 垂直于弦的直径（第2课时） 一、垂径定理（回顾） 直径⊥弦 平分弦、平分两条弧 二、垂径定理推论 条件：直径平分弦（弦不是直径） 结论：垂直于弦，平分两条弧 符号：CD⊥AB，AE=BE CD⊥AB 三、推论拓展 5条件任意2个 其余3个 （两点确定一条直线） 四、应用模型 半径─半弦─垂距 直角三角形+勾股 例1 用推论+勾股求半径；例3 AP=2√5 课堂小结 + 学生练习板演 学生板演区
教学反思

展开更多......

收起↑