资源简介

29.2.2 圆心角 教学设计
课题 29.2 圆的有关性质 29.2.2 圆心角 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角； （2）掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算； （3）在探索弧、弦、圆心角关系的过程中，学会运用“弧—弦—圆心角”相互转化的思想解决问题。
教学重点 掌握圆心角、弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算。
教学难点 理解圆的旋转不变性，以及对“同圆或等圆中弧、弦、圆心角一一对应”关系及推论的应用。
教学方法 讲授法、演示法、探究法、动手操作、合作交流 教学准备 多媒体课件、圆形纸片、圆规、直尺
课后练习 必做：习题29.2第2、3题；探究性作业：习题29.2第9题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习提问：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。试用“平行四边形、圆”举例说明。 教师过渡：圆这样的中心对称图形，绕圆心旋转任意角度后都能与原图形重合，这种性质称为“圆的旋转不变性”。本节课我们借用这一性质，研究一条特殊的角——圆心角与其所对弧、弦之间的关系（板书课题）。 （设计意图：复习中心对称与旋转，激活认知起点，自然过渡到圆的旋转不变性与圆心角。） 回顾中心对称图形的定义并举例，思考“圆绕圆心旋转任意角度能否重合”，体会圆的旋转不变性。 以旧引新，激活中心对称这一认知起点，突出圆的旋转不变性这一关键铺垫。
二、探究点1
圆的中心对称和旋转不变性 【探究点1】圆的中心对称和旋转不变性 动手操作：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°。 追问1：旋转180°后所得的图形与原图形重合吗？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 重合。圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 追问2：除了中心对称，圆还具有什么更一般的性质？ 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；而且把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合——这种性质称为圆的旋转不变性。 归纳：圆的对称中心是圆心；圆绕圆心旋转任意角度都与其自身重合（旋转不变性），这是研究圆心角、弧、弦三者关系的基础。 （设计意图：通过动手旋转圆形纸片，直观感受圆的中心对称与旋转不变性，为探究圆心角与弧、弦关系作铺垫。） 剪圆形纸片绕圆心旋转180°及任意角度，观察是否重合，归纳圆的中心对称性与旋转不变性。 以折叠旋转实验直观理解圆的旋转不变性，突破对“绕圆心旋转任意角都重合”的认识。
三、典型例题
例1（对称动点） 【典型例题】例1（对称动点转圆与直线交点） 例1　已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)。点P在边BC上运动，点A关于直线OP的对称点为A′。若点A′到直线BC的距离为4，求点A′的坐标。 【分析】由对称性，OA′=OA，点A′在以O为圆心、半径10的圆上；点A′到直线BC（即y=5）的距离为4，故点A′在直线y=9或y=1上。从而把“对称动点”问题转化为“圆周与直线的交点”问题，用勾股定理求解。 【详解】直线BC即y=5，点A′到它的距离为4，故点A′的纵坐标为5±4，即点A′在直线y=9或y=1上。 由对称性，OA′=OA=10，以O为圆心、半径10的圆为 x +y =100。 当 y=9 时，x =100-81=19，故 x=±； 当 y=1 时，x =100-1=99，故 x=±。 考虑到点P在边BC上、直线OP的对称位置须落在矩形附近，可依次确定点A′的坐标为 (√19,9)、(-√19,9)、(-√99,1)。 （其余圆上候选点(√99,1)所对应的对称轴在矩形外，故舍去。） （设计意图：借助圆的中心对称与旋转不变性，把“对称动点”化为“圆与直线交点”，渗透数形结合与转化思想。） 理解OA′=OA并建立圆的方程，把“到直线BC距离为4”化到直线y=9、y=1，用勾股求交点坐标，再结合P在BC上筛选位置。 以坐标与圆为背景，沟通“对称—圆—交点”，训练数形结合与分类讨论，强化圆的旋转不变性应用。
四、探究点2
圆心角及弧、弦关系 【探究点2】圆心角及其所对的弧、弦之间的关系 追问1：观察下面几个角的顶点，它们有什么共同特征？这样的角叫什么角？ 角的顶点都在圆心。我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 追问2：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧⌒AB和⌒A′B′、弦AB和A′B′相等吗？为什么？ 可以把∠AOB连同⌒AB、弦AB一起绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合。 ∵ ∠AOB=∠A′OB′，　∴ 射线 OB 与 OB′ 重合；又 OA=OA′，OB=OB′（半径相等）， ∴ 点 A 与 A′ 重合，点 B 与 B′ 重合，故弧 ⌒AB 与 ⌒A′B′ 重合，弦 AB 与 A′B′ 重合，即 ⌒AB=⌒A′B′，AB=A′B′。 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 追问3：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间还有什么关系？ 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等（简称“弧、弦、圆心角关系”，可以“一推三”）。 （设计意图：用圆的旋转不变性旋转重合证出“等圆心角对等弧等弦”，再归纳三者“一组相等其余相等”的本质联系。） 辨认同类角并说出圆心角定义；利用旋转不变性，旋转使边重合说明“等圆心角 等弧、等弦”，再归纳“弧、弦、圆心角一组相等则其余相等”。 以旋转重合为纽带，从操作到推理建立圆心角与弧、弦的一一对应关系，突破三者互相转化的难点。
五、典型例题
例2（证圆心角相等） 【典型例题】例2（等弧对等弦证圆心角） 例2　如图，在⊙O中，⌒AB=⌒AC，∠ACB=60°。求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。 【分析】要证∠AOB=∠BOC=∠AOC，只需证明这三条弦AB、BC、CA相等（等弦对等圆心角）。由⌒AB=⌒AC得AB=AC；结合∠ACB=60°判定△ABC为等边三角形即可。 【详解】∵ ⌒AB=⌒AC（已知），　∴ AB=AC（等弧对等弦），△ABC是等腰三角形。 又 ∠ACB=60°，　∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA。 在同圆中，弦相等所对的圆心角相等，　∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC。 【讲评要点】本例用“弧→弦→圆心角”一气贯通：等弧对等弦→等边三角形→等弦对等圆心角，体现三者的等价转化。 （设计意图：综合“等弧对等弦”“等弦对等圆心角”与等边三角形判定，落实弧、弦、圆心角关系的应用。） 由⌒AB=⌒AC得AB=AC，结合∠ACB=60°判定△ABC等边，再用等弦对等圆心角完成证明。 以“弧—弦—圆心角”等价转化为主线，训练综合运用到的关系进行几何推理。
六、典型例题
例3（求弦长） 【典型例题】例3（垂径定理+圆心角求弦长） 例3　如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、OD。若∠COD=60°，⊙O的半径为6。 (1) 求证：∠COE=∠EOD=30°，即AB平分∠COD； (2) 求弦CD的长。 【详解】(1) ∵弦CD⊥AB于点E，且AB是直径（过圆心），由垂径定理，AB垂直平分弦CD，点E是CD的中点，⌒CB=⌒DB。 又OC=OD（半径相等），故在△COD中，OE（垂径）也是∠COD的平分线，即∠COE=∠EOD，于是 ∠COE=∠EOD=60°÷2=30°，故AB平分∠COD。 (2) 在Rt△COE中，OC=6（半径），∠COE=30°，CE为∠COE的对边， ∴ CE=OC·sin∠COE=6·sin30°=6×=3。 由垂径定理，点E为CD的中点，故 CD=2CE=2×3=6。 【追问】由∠COD=60°且OC=OD，还可直接判定△COD为等边三角形，从而CD=OC=6，计算更简便。这说明“圆心角—弦”关系在求弦长中的价值。 （设计意图：综合垂径定理与圆心角（60°）求弦长，并借“△COD等边”凸显圆心角、弦关系的应用。） 由垂径定理得E为CD中点，∠COE=30°，在Rt△COE中用sin30°求CE=3，再由CD=2CE得CD=6；并能由△COD等边快速求解。 以“垂径定理+圆心角+30°直角三角形”综合求弦，落实直角三角形的边角关系与圆心角关系结合应用。
七、当堂巩固
跟踪练习 【当堂巩固】跟踪练习 1．（课本课堂练习）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，且OE⊥AB，OF⊥CD。 (1) 如果 AB=CD，那么 ⌒AB=⌒CD，∠AOB=∠COD； (2) 如果 ⌒AB=⌒CD，那么 AB=CD，∠AOB=∠COD； (3) 如果 ∠AOB=∠COD，那么 AB=CD，⌒AB=⌒CD； (4) 如果 AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，那么OE与OF相等吗？为什么？____ 参考答案：(1)⌒AB=⌒CD，∠AOB=∠COD；(2)AB=CD，∠AOB=∠COD；(3)AB=CD，⌒AB=⌒CD。 (4)相等。理由：由垂径定理 AE=EB、CF=FD，由AB=CD得AE=CF；在Rt△AOE与Rt△COF中，OA=OC（半径），AE=CF（已证），由勾股定理得 OE=OF，故OE=OF（等弦的弦心距相等）。 2．（课本练习）如图，AB是⊙O的直径，⌒BC=⌒CD=⌒DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。 【详解】∵⌒BC=⌒CD=⌒DE，等弧所对圆心角相等，故∠BOC=∠COD=∠DOE=35°， ∴ ∠AOE=180°-3×35°=75°。 3．正方形ABCD中，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，且BP=1，求点P经过的路径长。 【详解】由旋转性质，BP=BP′=1，∠PBP′=90°，点P经过的路径是以B为圆心、BP为半径、圆心角90°的弧， ∴ 路径长 l==。 （设计意图：学完新知识后及时巩固，通过填空与计算题反馈学情、查漏补缺，并渗透旋转与弧长计算的综合。） 独立完成填空并说明理由，第(4)题用勾股（或等弦的弦心距相等）说明OE=OF；第2题由等弧对等圆心角求∠AOE=75°；第3题用弧长公式求旋转路径长为π/2。 通过课堂巩固落实“弧、弦、圆心角关系”的直接运用，结合勾股、弧长公式，及时查漏补缺。
八、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·吉林松花江期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、OD。若∠CAB=30°，且CE=√3。 (1) 求∠COD的度数； 【详解】(1) ∵∠CAB=30°（圆周角），同弧⌒CB所对的圆心角∠COB=2∠CAB=60°。 由垂径定理（AB为直径且CD⊥AB），AB垂直平分弦CD，⌒CB=⌒DB，故∠COB=∠DOB=60°，∴ ∠COD=∠COB+∠DOB=120°。 (2) 连接OC，求⊙O的半径。 由垂径定理，点E为CD的中点，且∠COE=∠BOC=60°。在Rt△COE中，∠COE的对边为CE、斜边为OC， sin∠COE=，即 sin60°=，又 CE=√3， ∴ OC==2，故⊙O的半径为2。 2．（2025·廊坊九年级期中）如图，在⊙O中，AC、BD是⊙O的两条弦，且AC=BD。求证：∠AOC=∠BOD。 【详解】∵AC=BD（同圆中相等的弦），　∴ 等弦所对的弧相等，即 ⌒AC=⌒BD（等弦对等弧）， 等弧所对的圆心角相等，　∴ ∠AOC=∠BOD。 （设计意图：加入中考真题，让学生明确考试方向、熟悉题型、检验学习成果、提升应考能力。） 第1题由同弧圆周角与垂径定理求∠COD=120°，在Rt△COE中用 sin60°= 求半径，得半径；第2题由AC=BD推出⌒AC=⌒BD，再据等弧对等圆心角证∠AOC=∠BOD。 以中考真题为载体综合运用垂径定理与圆心角、弧、弦关系，明确考向、提升应考能力。
九、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合，圆心是它的对称中心； 2.圆心角：顶点在圆心的角； 3.弧、弦、圆心角关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等（“弧=弦=圆心角”可互相推出）； 4.方法：等弧对等弦、等弦对等圆心角、等圆心角对等弦等，常配合垂径定理构造直角三角形求弦长。 （设计意图：系统梳理圆的旋转不变性、圆心角及三者关系，构建“弧—弦—圆心角”等价转化的知识网络。） 回顾圆的旋转不变性、圆心角定义与“弧、弦、圆心角关系”，梳理证明圆心角、弧、弦相等时依据的定理与方法。 将“弧、弦、圆心角”三者等价转化结构化、模型化，帮助学生建立清晰的知识网络并迁移应用。
板书设计
29.2.2 圆心角 一、圆的旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角都与自身重合 对称中心：圆心 二、圆心角 顶点在圆心的角 ∠AOB，顶点O为圆心 三、弧、弦、圆心角关系 在同圆或等圆中 两个圆心角、两条弧、两条弦 一组量相等 其余各组量相等 ∠相等 ⌒相等 弦相等 四、应用 等弧对等弦、等弦对等圆心角 垂径定理+30°直角三角形求弦长 （例2、例3板演） 学生板演区
教学反思

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