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29.2.3 圆周角（第1课时） 教学设计
课题 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论，并能进行简单的证明和计算； （2）经历画图、观察、度量、归纳等几何研究的一般过程，发现一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，发展抽象能力、几何直观和推理能力； （3）体会分类讨论、化归的思想方法，理解证明圆周角定理时可按圆心与角的位置关系分三种情况，并能将一般情况转化为特殊情况。
教学重点 圆周角定理及其推论的探究与应用。
教学难点 圆周角定理的证明中由一般到特殊的思想方法，以及圆周角定理及推论的应用。
教学方法 讲授法、启发探究法、小组讨论法 教学准备 多媒体课件、量角器、圆规、直尺
课后练习 必做：习题29.2第5、6题；探究性作业：习题29.2第10题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习提问：①顶点是圆心的角叫圆心角；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等；③圆是中心对称图形，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 教师过渡：圆心角的顶点在圆心，那么顶点不在圆心而在圆周上、两边又与圆相交的角，会有什么特殊性质呢？本节课我们研究这种新的角——圆周角（板书课题）。 （设计意图：复习圆心角与弧、弦、圆心角关系，类比圆心角引出圆周角，激活认知起点。） 回顾圆心角的定义、弧弦圆心角关系与圆的旋转不变性，思考顶点在圆周上的角叫什么、有何性质。 以旧引新，从圆心角类比过渡到圆周角，为探究圆周角概念与定理做好铺垫。
二、探究点1
圆周角的概念 【探究点1】圆周角的概念 追问1：为什么称为圆心角呢？ 因为它的顶点在圆心。 追问2：角的顶点不在圆心，还可以在什么位置？ 顶点可以在圆周上、圆内、圆外等不同位置。 追问3：顶点在圆周上的角叫什么角？你能给圆周角下定义吗？ 顶点在圆周上的角叫圆周角；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 追问4：你能将圆心角与圆周角进行比较吗？ 圆周角定义中有两个要素：顶点在圆上，且两边都与圆相交。圆心角只要求顶点在圆心；由于以圆内任意一点为端点的射线必然与圆相交，故圆心角定义中未提“与圆相交”，而圆周角定义中“两边与圆相交”这一条件不能省略。 （设计意图：通过三个追问层层递进抽象圆周角概念，并类比圆心角辨析定义的要素。） 观察角的顶点位置，尝试给圆周角下定义，并与圆心角比较，理解定义中“顶点在圆上、两边与圆相交”两要素。 借助图形直观抽象圆周角概念，通过与圆心角对比突出关键要素，为后续辨析圆周角打基础。
三、典型例题
例1（辨析圆周角） 【典型例题】例1（辨析圆周角） 例1　下列各图中的∠BAC是否为圆周角？并简述理由。 【分析】根据圆周角定义中的两个要素“顶点在圆上、两边都与圆相交”逐图判断。 【详解】(1)(5)(6)是圆周角，符合顶点在圆上且两边都与圆相交； (2)不是，顶点不在圆上；(3)不是，边AC没有和圆相交；(4)不是，顶点不在圆上。 【讲评要点】判断是否为圆周角只需抓住两要素：一是顶点在圆上，二是角的两边各与圆相交于另一个交点，切勿只看图形形状。 （设计意图：通过辨析强化对圆周角定义中两个要素的认识，让学生能准确识别圆周角。） 逐一判断6个图形中的∠BAC是否为圆周角，并用定义中两要素说明理由。 以辨析题落实圆周角定义的应用，强化“顶点在圆上、两边与圆相交”两要素，突破辨析难点。
四、探究点2
圆周角定理及其推论 【探究点2】圆周角定理及其推论 探究：分别测量下图中⌒BC(即⌒ＢＣ)所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？ ∠BAC的度数是∠BOC度数的一半。 追问1：在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？ 这条弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。 追问2：⊙O的圆心O与圆周角的位置关系有哪些种情况？ 圆心O在∠BAC的一边上；圆心O在∠BAC的内部；圆心O在∠BAC的外部，共三种情况。 追问3：如何证明上面的结论正确？ 先证明圆心O在∠BAC一边上的特殊情况，再将另外两种情况转化为这种特殊情况。 具体证明如下： (1) 圆心O在∠BAC的一边上（如图）。 【证明】∵ OA=OC，　∴ ∠A=∠C。而 ∠BOC=∠A+∠C（三角形外角等于不相邻两内角和），　∴ ∠BAC=∠C=∠BOC。 (2) 圆心O在∠BAC的内部。 【证明】连接AO并延长交⊙O于D，则 ∠BAC=∠BAD+∠DAC。由(1)，得 ∠BAD=∠BOD，∠DAC=∠DOC，　∴ ∠BAC=∠BOD+∠DOC=∠BOC。 (3) 圆心O在∠BAC的外部。 【证明】连接AO并延长交⊙O于D，则 ∠BAC=∠DAC-∠BAD。由(1)，得 ∠BAD=∠BOD，∠DAC=∠DOC，　∴ ∠BAC=∠DOC-∠BOD=∠BOC。 思想方法总结：圆周角定理的证明采用完全归纳法，通过分类讨论把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想。 归纳总结　圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 追问4：如图，OB、OC都是⊙O的半径，点A、D是⌒BC(即⌒ＢＣ)上任意两点，连接AB、AC、BD、CD。∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由。 相等。理由如下：在⊙O中，∠BAC=∠BOC，∠BDC=∠BOC，∴ ∠BAC=∠BDC。 归纳总结　圆周角定理推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 追问5：如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角。想一想，∠ACB会是怎样的角？ ∵ OA=OB=OC，　∴ △AOC、△BOC都是等腰三角形，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB。 又 ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，　∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB= 。 归纳总结　圆周角定理推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 （设计意图：通过度量的不完全归纳猜想定理，再分三情用化归思想严格证明，并顺势推出两条推论。） 用量角器度量同弧所对的圆周角与圆心角，归纳二者关系；分组讨论圆心与圆周角的三种位置关系，跟随教师用辅助线完成三情证明，并推出两条推论。 经历度量—猜想—分类—证明的完整过程，渗透分类讨论与化归思想，突破圆周角定理证明这一难点，并自然得出两条推论。
五、典型例题
例2（求弦长） 【典型例题】例2（直径对角+勾股求弦长） 例2　如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长。 【分析】由推论2，AB是直径，故∠ACB=∠ADB=90°，可用勾股定理求直角三角形边长；再由CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，据等弧对等圆心角推出AD=BD。 【详解】∵ AB是直径，　∴ ∠ACB=∠ADB=90°。 在Rt△ABC中，由勾股定理，BC==(cm)。 ∵ CD平分∠ACB，　∴ ∠ACD=∠BCD，　∴ ⌒AD=⌒BD，　∴ AD=BD。 在Rt△ABD中，由勾股定理，AD +BD =AB ，即 2AD =10 ，　∴ AD=BD=(cm)。 【讲评要点】本例综合运用“直径所对圆周角是直角”和勾股定理求边长，并用角平分线借助弧相等推出弦相等。注意“等角对等弧、等弧对等弦”的相互转化。 【追问】若把题中“∠ACB的平分线”改为“∠ACD并过圆心O的直径线是CD”，能得到什么结论？ （设计意图：综合应用推论2与勾股定理求解，训练推理与计算相结合解决问题的能力。） 由直径推出两个直角，用勾股定理求BC；由角平分线结合弧弦关系推出AD=BD，再求AD、BD的长。 综合运用圆周角定理推论、弧弦关系与勾股定理，落实“直径对直角”的实际应用与边角计算。
六、当堂巩固
跟踪练习 【当堂巩固】跟踪练习 练习1（旋转路径）：正方形ABCD中，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，且BP=1，求点P经过的路径长。 【详解】由旋转性质，BP=BP′=1，∠PBP′=90°，点P经过的路径是以B为圆心、BP为半径、圆心角90°的弧，路径长 l==。 练习2：判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 答案：(3)是，其他不是。（理由略：需满足顶点在圆上、两边都与圆相交。） 练习3：如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC。求证：∠ACB=2∠BAC。 【详解】由圆周角定理，∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC。而 ∠AOB=2∠BOC，　∴ ∠ACB=2∠BAC。 练习4：如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下。 方法有多种，如：对折两次，找到直径的交点；利用“90°的圆周角所对的弦是直径“先找到直径，再确定圆心；通过作任意一条弦的中垂线先作出直径，再确定圆心；等等。 （设计意图：学完新知识后及时巩固，通过辨析、证明与操作题反馈学情、查漏补缺，强化圆周角知识的应用。） 独立完成旋转路径计算、圆周角辨析与证明，就“用三角尺找圆心”交流不同方法。 通过多样化的课堂练习即时反馈学习效果，巩固圆周角概念、定理及推论的运用。
七、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·山西）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD。若 AC=BC，则∠D的度数为（　　） A．30°　B．45°　C．60°　D．75° 【解答】连接OC。∵ AC=BC，AB为⊙O的直径，　∴ ∠AOC=∠BOC=∠AOB=90°，　∴ ∠D=∠AOC=45°，故选B。 2．（2025·安庆校考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ACD=25°，求∠BAD的度数。 【解答】∵ ∠ABD=∠ACD=25°（同弧⌒AD所对的圆周角），又 AB是直径，　∴ ∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-25°=65°。 3．（2025·吉林松花江期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与直径AB交于点E，连接AC、BC。若∠BAC=30°，AB=4。求∠BCE及半径相关问题。 【解答】∵ AB是直径，　∴ ∠ACB=90°，∠ABC=60°。⌒AC所对的圆周角∠ABC=60°，故∠AOC=2∠ABC=120°。连接OC，在Rt△ADE等直角三角形中利用勾股构造可求相关线段。 4．（2025·廊坊·九年级期中）如图，在⊙O中，BC是弦，BD⊥AC于点D，直径AB交弦BC于点E，连接AD、CD。利用“直径对直角”与圆周角定理求角度。 【解答思路】由AB为直径推出∠ACB=90°，结合“同弧所对圆周角相等”将已知角进行转化，即可完成角的计算。 （设计意图：加入中考真题，让学生明确考试方向、熟悉题型、检验学习成果、提升应考能力。） 第1题由 AC=BC 推出∠AOC=90°，再由∠D=∠AOC 得45°；第2题由同弧圆周角相等∠ABD=25°，再由直径对直角求∠BAD=65°；第3、4题结合直径与同弧圆周角转化求角。 以中考真题为载体综合运用圆周角定理及推论，明确考向、提升应考能力。
八、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角； 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 4.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； 5.方法：证明圆周角定理分类讨论、化一般为特殊；求角常把圆周角转化为圆心角，借助“直径对直角“构造直角三角形用勾股。 （设计意图：系统梳理圆周角的概念、定理与推论，构建“圆周角—圆心角—弧”相互转化的知识网络。） 回顾圆周角概念、定理及两条推论，梳理利用圆周角定理求角、求线段的方法。 将圆周角定理及其推论结构化、模型化，帮助学生建立清晰的知识网络并迁移应用。
板书设计
29.2.3 圆周角（第1课时） 一、圆周角的概念 顶点在圆上 两边都与圆相交 二、圆周角定理 一条弧所对的圆周角 等于它所对的圆心角的一半 分三情证明（分类讨论） 三、圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的 圆周角相等 推论2：直径(半圆)所对的 圆周角是直角 四、应用 例2：直径对直角+勾股求弦长 例1：辨析圆周角 学生板演区
教学反思

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