资源简介

29.3 弧长和扇形面积（第1课时）教学设计
课题 29.3 弧长和扇形面积 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程，了解并会应用公式解决问题； （2）从圆的周长和面积公式入手推导弧长、扇形面积公式，培养探索和归纳能力，能用公式解决具体问题； （3）体验数学与人类生活的密切联系，通过解决弯道、弓形等实际问题激发数学兴趣，提高运用能力。
教学重点 弧长及扇形面积计算公式的推导及应用。
教学难点 弧长及扇形面积计算公式的应用。
教学方法 讲授法、启发探究法、动手操作、合作交流 教学准备 多媒体课件、量角器、圆规、直尺
课后练习 必做：课本习题29.3第1、2、3、5、6题；探究性作业：课本习题29.3第8题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习提问：①圆的周长公式和面积公式分别是什么？②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形。 圆周长 C=2πR，圆面积 S=πR 。 教师过渡：弧是圆的一部分，扇形是圆的一部分，那么一段弧的长度、一个扇形的面积与圆心角有什么联系呢？这就是本节课要研究的弧长和扇形面积（板书课题）。 （设计意图：复习圆周长、圆面积公式与弧、扇形定义，激活认知起点，自然过渡到弧长与扇形面积的计算。） 回顾圆的周长、面积公式及弧、扇形的定义，思考弧长、扇形面积与圆心角的关系。 以旧引新，从已知的圆周长、圆面积出发，为推导弧长和扇形面积公式做好铺垫。
二、探究点1
与弧长相关的计算 【探究点1】与弧长相关的计算 追问1：在半径为 R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？ 弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分。1°圆心角所对的弧长是圆周长的，长度为，即。 追问2：在半径为 R 的圆中，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长是多少？ 分别是 1°圆心角所对弧长的 2、3、90、180、270、360 倍。 追问3：在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长是多少？ n°的圆心角所对的弧长是 1°圆心角所对弧长的 n 倍，即 l=。 归纳：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长公式： 注意：用弧长公式计算时，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。 （设计意图：由特殊到一般，先算1°、特殊角的弧长，再归纳n°的弧长公式，渗透从特殊到一般的思想。） 由圆周长推导1°圆心角所对弧长，再算特殊角、n°角的弧长，归纳弧长公式 l=。 以“弧长是圆周长的一部分”为主线，由特殊到一般推导弧长公式，突破公式推导的难点。
三、典型例题
例1（展直长度） 【典型例题】例1（弯形管道展直长度） 例1　制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料。试计算图中管道的展直长度L（结果取整数）。 【分析】按中心线计算，管道的展直长度等于中间的弧长与两边线段长的和。 【详解】由弧长公式，得圆弧部分的长： =≈500×3.142≈1571(mm)。 因此，所要求的展直长度： =2×700+1571=1400+1571=2971(mm)。 答：管道的展直长度为2971mm。 【讲评要点】把实际问题转化为计算“弧长+两直线段”的数学问题，体会弧长公式在实际下料中的应用。 （设计意图：通过弯形管道的实际问题，直接运用弧长公式求展直长度，强化公式应用。） 把弯形管道分解为其中心线的弧长与两直线段长，用弧长公式求出可下料的展直长度。 以实际下料问题为载体运用弧长公式，训练建模与运用能力，突破公式应用的难点。
四、探究点2
与扇形面积相关的计算 【探究点2】与扇形面积相关的计算 追问1：在半径为 R 的圆中，圆心角为1°的扇形面积是多少？ 扇形是圆的一部分，扇形面积是圆面积的一部分。圆心角为1°的扇形面积是圆面积的，为。 追问2：圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面积是多少？ 分别是 1°扇形面积的 2、3、90、180、270、360 倍。 追问3：圆心角为 n° 的扇形面积是多少？ 圆心角为 n° 的扇形面积是 1°扇形面积的 n 倍，即 S=。 归纳：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式： 注意：公式中n表示1°圆心角的倍数，和弧长公式一样不带单位。 追问4：你发现了扇形的弧长公式与面积公式有什么联系吗？ 把扇形看作“曲边三角形”，把弧长看成底、半径R看成高，可得到扇形面积公式的另一种表示方法： S=（其中 l 为扇形的弧长，R 为半径）。 追问5：一条弧与过它两端点的弦组成的封闭图形叫弓形，怎样求弓形的面积？ 弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差。 （设计意图：由特殊到一般推导扇形面积公式，沟通弧长与面积的联系，并引出弓形面积求法。） 由圆面积推导1°扇形面积，再归纳n°扇形面积公式；发现面积与弧长的联系 S=，明确弓形面积求法。 类比弧长公式的推导路径推导扇形面积公式，突出“面积=×弧长×半径”的联系，突破面积公式的推导。
五、典型例题
例2（弓形面积） 【典型例题】例2（弓形面积·有水部分） 例2　如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。 【分析】将有水部分转化为弓形：连接OA、OB，截面上有水部分的面积等于扇形面积减去三角形面积。 【详解】如图，连接OA、OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交圆周于点C，连接AC。 ∵ OC=0.6m，水面高 DC=0.3m，　∴ OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3m，　∴ OD=OC。 又 AD⊥DC，　∴ AD 是线段OC的垂直平分线，　∴ AC=AO=OC，△AOC为等边三角形，∠AOC=60°，∠AOB=120°。 在Rt△AOD中，AD==，　∴ AB=2AD=。 有水部分的面积： ==-≈0.377-0.156≈0.22(m )。 答：截面上有水部分的面积约为0.22m 。 【讲评要点】弓形面积=扇形面积±三角形面积；本题是“扇形-三角形”，关键是利用垂径定理与等边三角形求圆心角。 （设计意图：通过排水管这一实际问题，综合运用扇形面积与三角形面积求弓形面积，强化面积的灵活运用。） 由水面高求出圆心角为120°，用“扇形面积-三角形面积”求弓形（有水部分）的面积约0.22m 。 综合应用垂径定理、等边三角形与扇形面积公式求弓形面积，突破“弓形=扇形±三角形”的应用。
六、典型例题
例3（求劣弧长） 【典型例题】例3（四边形内接圆求劣弧长） 例3　如图，四边形OACB内接于圆O，四边形OACB是矩形，AB=4，求劣弧⌒AB的长度。 【分析】连结OC、OA、OB，根据矩形对角线相等且互相平分，判断△OAC为等边三角形，求出∠AOB，再用弧长公式求解。 【详解】∵ OA=OC=OB（半径相等），且四边形OACB为矩形，　∴ AC=OB=OA=OC，△OAC为等边三角形，∠AOC=60°，∴ ∠AOB=2∠AOC=120°。 又 AB=4 为直径所对弦，在Rt△AOB中由勾股得半径 R，弧长 l==。 （注：本节侧重弧长公式的直接运用，通过内接四边形求圆心角后代入公式。） 【讲评要点】借助圆内接四边形与圆的对称性求出圆心角，再用弧长公式计算，注意将圆心角、半径统一单位。 （设计意图：以圆内接四边形为背景，综合求圆心角并代入弧长公式，强化弧长公式的综合运用。） 由内接四边形的对称性求圆心角∠AOB，再代入弧长公式求劣弧的长度。 把弧长公式与圆内接四边形结合运用，训练“求圆心角—套公式”的综合解题路径。
七、当堂巩固
跟踪练习 【当堂巩固】跟踪练习 1.弧长相等的两段弧是等弧吗？ 答案：不一定。弧长相等不一定等弧，等弧必须是在同圆或等圆中、且能完全重合的两段弧。 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°。这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 【详解】由弧长公式 l=，得 R==≈8.5(m)。 3.如图，正三角形ABC的边长为a，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心、为半径作圆。求图中阴影部分的面积。 【详解】三个扇形的圆心角都为60°、半径都为，阴影面积 S=。 （设计意图：学完弧长与扇形面积公式后及时巩固，通过求半径、求组合图形面积反馈学情、查漏补缺。） 独立完成等弧判断、由弧长求半径、三个扇形阴影面积的计算，交流r=8.5、S=πa /8等结果。 通过不同形式的课堂练习即时巩固弧长与扇形面积公式的运用，及时查漏补缺。
八、中考真题 【中考真题】能力提升 1．如图，半圆O中C是半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接AC、BC。求∠ACP的度数及阴影部分的面积。 【解答思路】由切线垂直半径得∠OCP=90°，结合圆周角定理求∠ACP；阴影部分面积用“扇形-三角形”或割补法求解。 2．（2025·山西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B、C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA、CA的延长线分别交于点D、E。若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π-4　B．4π-4　C．8π-8　D．4π-8 【解答】∵ AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，　∴ AB=AC=，两个扇形的半径都为4、圆心角都为45°。 S阴影=2(S扇形-S△)=2(-)=2(-4)=4π-8，故选D。 3．（2025·山东烟台）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心、AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为_______。 【解答思路】连接OA、OE、OF，△OAF、△OEF为等边三角形；通过△GOA≌△HOE把五边形面积转化为四边形AOEF面积。 先求 OM=，S△OAF=4√3，故 S阴=S扇形-S五边形=-8√3=-8√3。 4．（2025·河北）如图，正方形ABCD的边长为5，扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，半径OE=2，点E、F分别在边AD、CD上，DE=DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记⌒EMF。 （1）如图1，当AE=3时，求∠EMF的度数； 【详解】AE=3→DE=2=DF=OE=OF，四边形OEDF为正方形，∠EOF=90°，∠EMF=∠EOF=45°。 （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； 【详解】菱形的边都为2，△OEM、△OFM为等边三角形，EH=2×=√3，由等腰Rt△EDH得 DE=DH=。 （3）当∠EOF=150°时，求⌒EMF的长。 【详解】∠EOF=150°对应劣弧⌒EMF长 l==，另一侧优弧长 l==，故⌒EMF长为或。 （设计意图：加入中考真题，让学生明确考试方向、熟悉题型、检验学习成果、提升应考能力。） 第1题由切线垂直半径求角、用割补法求阴影；第2题由等腰Rt求出边长后用“两扇形-两三角形”求S=4π-8；第3题用等边三角形与全等转化求-8√3；第4题分情形用弧长公式求弧长或。 以中考真题为载体综合运用弧长、扇形面积与阴影面积计算，明确考向、提升应考能力。
九、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l= 2.扇形面积公式：S= ，另一表示方法 S= 3.弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差； 4.方法：由特殊（1°、特殊角）到一般（n°）归纳公式；求组合图形面积常用割补法把图形分解为扇形与三角形。 （设计意图：系统梳理弧长、扇形面积公式与弓形求法，构建圆中长度与面积计算的知识网络。） 回顾弧长、扇形面积公式及其联系，总结求弓形、组合图形面积的方法。 将弧长与扇形面积公式结构化记忆，帮助学生建立圆中长度、面积计算的知识体系。
板书设计
29.3 弧长和扇形面积（第1课时） 一、弧长公式 1°圆心角所对弧长 = 圆周长/360 n°圆心角所对弧长 l= 二、扇形面积公式 1°圆心角扇形面积 = 圆面积/360 n°圆心角扇形面积 S= S= 三、弓形面积 扇形面积 ± 三角形面积 割补法求组合图形面积 例1、例2、例3板演 学生板演区
教学反思

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