资源简介

29.3 弧长和扇形面积（第2课时）教学设计
课题 29.3 弧长和扇形面积 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）通过实物演示，知道圆锥的侧面展开图是扇形，认识圆锥各部分名称，能计算圆锥的侧面积和全面积； （2）通过展开、制作圆锥，理解圆锥与扇形、圆之间的转化关系，体会转化思想，培养动手操作与解决问题的能力； （3）在把圆锥展开与制作圆锥的过程中，理解事物之间的联系，激发动手欲望与积极思考的兴趣。
教学重点 圆锥的侧面积和全面积的计算（弧长和扇形面积公式的应用）。
教学难点 圆锥侧面展开的扇形、底面圆及圆锥有关元素之间的换算。
教学方法 观察实验法、启发探究法、动手操作、合作交流 教学准备 多媒体课件、圆锥实物模型、剪刀、白纸
课后练习 必做：课本习题29.3第4题；探究性作业：课本习题29.3第7题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习提问：在半径为R的圆中，圆心角为n°的弧长公式与扇形面积公式分别是什么？另一种表示方法呢？ 弧长公式：l=；扇形面积公式：S=，另一种表示方法：S=。 教师过渡：生活中很多物体的表面是圆锥（出示圆锥实物）。圆锥有许多优美的性质，我们把圆锥的侧面剪开展平，它竟然是一个扇形！利用弧长与扇形面积公式，就能计算圆锥的侧面积与全面积（板书课题）。 （设计意图：复习弧长与扇形面积公式，激活认知基础，以圆锥实物创设情境，自然过渡到圆锥侧面积、全面积的学习。） 回顾弧长、扇形面积公式及其联系式，观察圆锥实物，猜想其侧面展开图的形状。 以旧引新，复习弧长与扇形面积公式，为推导圆锥侧面积、全面积做好铺垫。
二、探究点1
圆锥及相关概念 【探究点1】圆锥及相关概念 观察：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。 追问1：什么是圆锥的母线？ 把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 追问2：圆锥的母线之间有什么关系？ 圆锥有无数条母线，它们都相等。 追问3：什么叫圆锥的高？ 从圆锥的顶点到圆锥底面的圆心之间的距离是圆锥的高。 追问4：如果用r表示圆锥底面的半径、h表示圆锥的高线长、l表示圆锥的母线长，那么r、h、l之间的数量关系是什么？ 由勾股定理得 r ＋h ＝l ，即 h=。 （归纳记忆：母线、高、底面半径构成直角三角形，母线是最长边。）（设计意图：探究圆锥的相关概念，明确母线、高及三者的数量关系。） 观察圆锥实物与图形，口答母线、高定义，发现无数条母线都相等，归纳出r +h =l 。 借实物与图形认识圆锥的各部分名称，揭示母线、高、底面半径的勾股关系，为求高、求母线奠基。
三、典型例题
例1（求圆锥的高） 【典型例题】例1（求圆锥的高） 例1　如果一个圆锥底面的直径是6，圆锥的母线长为5，求圆锥的高。 【分析】根据圆锥底面的半径、高线长、母线长的关系（母线的平方=半径的平方+高的平方）直接求。 【详解】设圆锥底面的半径为r，高线长为h，母线长为l。则母线与高、半径围成直角三角形。 底面半径 r=，高 h=。 答：圆锥的高为4（负值舍去）。 【讲评要点】圆锥的母线、高、底面半径恰构成直角三角形，直接用勾股定理求高，体会“母线是直角三角形的斜边”。 （设计意图：通过求圆锥的高，强化圆锥相关元素间的数量关系，直接运用勾股定理。） 把母线与高、底面半径抽象成直角三角形，用勾股定理求出高h=√(5 -3 )=4。 以例1落实“母线 =半径 +高 ”的勾股关系，突破由母线、半径求高的基本计算。
四、探究点2
圆锥的侧面展开图 【探究点2】圆锥的侧面展开图 追问1：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，圆锥的侧面展开图是什么图形？扇形的半径、弧长分别是什么？ 圆锥的侧面展开图是一个扇形；扇形半径=母线的长；扇形弧长=底面圆的周长。 追问2：圆锥侧面的弧长怎样求？侧面面积怎样求？ 设圆锥的母线长为l、底面圆的半径为r，则扇形的半径为l、弧长为2πr，于是圆锥的侧面积为：S侧=。 追问3：圆锥的展开图是什么图形？圆锥的全面积怎样求？ 圆锥的展开图是一个圆和一个扇形；圆锥的全面积=底面积+侧面积，即： （设计意图：通过展开圆锥，把立体图形化归为平面图形，探究出圆锥侧面积、全面积计算公式。） 沿母线剪开圆锥观察，确认侧面展开为扇形，推导出侧面积S侧=πrl、全面积S全=πr +πrl。 把立体图形化归为平面图形，用扇形面积公式推出圆锥侧面积、全面积，体会转化思想。
五、典型例题
例2（蒙古包） 【典型例题】例2（蒙古包） 例2　蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成。如果想用毛毡搭建20个底面积为12m 、高为3.2m、外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？ 【分析】每个蒙古包分上部的圆锥和下部的圆柱两部分，需要毛毡的面积=圆锥的侧面积+圆柱的侧面积。 【详解】下部圆柱的底面积为12m ，高为1.8m；上部圆锥的高为3.2 1.8=1.4m。 圆柱底面半径 r=（m）。 圆柱侧面积 S=（m ）。 圆锥母线长 l=（m）。 圆锥侧面积 S=（m ）。 （m ）。 答：搭建20个这样的蒙古包至少需要约738m 的毛毡。 【讲评要点】把蒙古包分解为“圆柱+圆锥”，圆柱用侧面积2πrh、圆锥用侧面积πrl分别计算后求和，再乘数量。 （设计意图：通过搭建蒙古包的实际问题，综合运用圆柱、圆锥的侧面积公式，强化扇形展开图元素关系的应用。） 把蒙古包分解为下部圆柱和上部圆锥，分别借助2πrh、πrl求侧面积，再求和乘20≈738m 。 以搭建蒙古包为实际情境，综合应用圆锥、圆柱侧面积公式，突破展开图元素换算的难点。
六、典型例题
例3（扇形围成圆锥） 【典型例题】例3（扇形围成圆锥） 例3　如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径为10，圆心角为216°。（1）求弧AB的长；（2）求此圆锥的高。 【分析】（1）根据弧长公式求解；（2）先由弧长求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高。 【详解】（1）弧AB的长　l=。 （2）设底面半径为r，则 2πr=12π，解得 r=6；在Rt三角形中，高 h=。 答：弧AB的长为12π，此圆锥的高为8。 【讲评要点】扇形弧长即为圆锥底面周长，先得底面半径，再由母线、高、半径构成的直角三角形用勾股定理求高。 （设计意图：以课本例题题型为载体，综合运用弧长公式与勾股定理求圆锥的高，强化相关量的计算。） 用弧长公式求弧长为12π，由底面周长求半径r=6，再用勾股定理求高h=8。 把扇形与圆锥的元素一一对应，训练“弧长→底面半径→圆锥高”的换算路径。
七、当堂巩固
跟踪练习 【当堂巩固】跟踪练习 1.圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm。求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积。 【详解】r=，圆心角 θ=（°）。全面积 S=（cm ）。 2.如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？ 【详解】r=，单个侧面积 S=（cm ）；100个　S=cm =62.8m 。 （设计意图：学完侧面积、全面积后及时巩固，通过求圆心角、全面积与实际问题反馈学情、查漏补缺。） 独立完成由母线、半径求圆心角与全面积，及100个烟囱帽所需铁皮62.8m 的计算。 通过形式多样的课堂练习即时巩固圆锥侧面积、全面积公式，及时查漏补缺。
八、综合提升
圆与直角三角形 【综合提升】圆与直角三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以点A为圆心、点A到斜边距离（即AC）为半径画弧，交斜边AB于点D，连接CD。 （1）求证：∠ADC＝∠ACD； 【证明】∵AD＝AC（同圆的半径），∴△ACD是等腰三角形，∴∠ADC＝∠ACD（等边对等角）。 （2）若AC＝3（半径r＝3），求图中阴影部分（扇形与三角形之差）的面积； 【详解】在Rt等腰△ABC中∠CAB＝45°，阴影 S＝S扇形－S△ACD＝。 （3）若AC＝2（半径r＝2），求同一阴影部分的面积。 【详解】S＝。 （设计意图：综合运用等腰三角形、扇形面积公式求阴影面积，强化弧长与扇形面积公式的综合应用。） 用等边对等角证等腰三角形，用“扇形-三角形”分别求r=3、r=2时的阴影面积，结果含π与√2。 以阴影面积计算为载体，综合运用等腰三角形与扇形面积公式，训练数形结合与转化能力。
九、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·泰州）已知一圆锥的底面周长为3，母线长是4，则它的侧面积是______。 【详解】S侧=。 2．（2025·苏州）用半径为30、圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______。 【详解】扇形弧长 l=，底面半径 r=。 3．（2025·裕安）如图所示，已知扇形的半径为9、圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高。 【详解】扇形弧长 l=，底面半径 r=，故圆锥的高 h=。 4．（2025·安庆）圆锥的底面直径是8、母线长是5。求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积。 【详解】r=，底面周长 C=2πr=8π，侧面积 S侧=πrl=20π，底面积 S底=πr =16π，全面积 S全=20π+16π=36π，圆心角 θ=°。 （设计意图：加入中考真题，既明确考试方向、熟悉题型、检验成果、提升应考能力，又激发学习兴趣与动力。） 第1题用 S侧=×底面周长×母线得6；第2、3题由扇形弧长等于底面周长求半径10、3及高6√2；第4题求全面积36π、圆心角288°。 以中考真题为载体，综合运用侧面展开图的弧长、半径换算，明确考向、提升应考能力。
十、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.圆锥的相关概念：母线（无数条且相等）、高、底面半径；且 r ＋h ＝l （勾股关系）。 2.侧面展开图：扇形。扇形半径=母线长，扇形弧长=底面圆的周长。 3.面积公式：侧面积 S侧=πrl；全面积 S全=πr +πrl=πr(r+l)。 4.关键换算：由圆心角与母线求弧长（即底面周长）→求底面半径→用勾股定理求高；口诀“算弧长、求半径、套勾股”。 （设计意图：系统梳理圆锥的概念与侧面积、全面积公式，连同换算路径形成知识网络。） 回顾母线、高、底面半径关系与侧面积、全面积公式，总结“算弧长→求半径→套勾股”的换算路径。 结构化梳理圆锥相关知识，帮助学生建立圆中展开图与面积计算的知识体系。
板书设计
29.3 弧长和扇形面积（第2课时） 一、圆锥的相关概念 母线：无数条且相等 高：顶点到底面圆心 勾股：r ＋h ＝l 二、侧面展开图（扇形） 扇形半径 = 母线长 l 扇形弧长 = 底面周长 2πr 三、面积公式 侧面积 S侧 = πrl 全面积 S全 = πr ＋πrl 例1、例2、例3、真题板演 学生板演区
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