资源简介

30.2 三角形的内切圆 教学设计
课题 30.2 三角形的内切圆 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）了解三角形内切圆、内心的定义，理解三角形内切圆与外接圆的区别，明确“切”和“接”的含义； （2）能作出三角形的内切圆，并能运用切线的性质解决问题，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题； （3）在探究三角形内切圆的学习活动中获得成功的体验，在直线和圆的位置关系的综合应用中锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点 三角形内切圆及直线与圆位置关系的综合应用。
教学难点 三角形内切圆及直线与圆位置关系的综合应用（将“切”与“接”、内心与外心区分为易错点）。
教学方法 情境教学法、启发探究法、作图操作、对比分析、方程思想渗透 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、三角形铁皮模型
课后练习 必做：习题30.2第1、2题；探究性作业：课本习题30.2第3、4题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习：1.切线长定理——从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2.角平分线的性质与判定——①到角的两边距离相等的点在角的平分线上；②性质：角的平分线上任意一点到角的两边距离相等。 教师过渡：我们已经认识切线长，知道了“圆外一点引两切线，切线长相等”。平面上还有一个与圆联系极密切的图形——三角形。能否过一个三角形作出一个与它的三条边都相切的圆？怎样作？这个圆与三角形有什么关系？这就是本节课要研究的三角形的内切圆（板书课题）。 （设计意图：复习切线长定理与角平分线性质，为探究三角形内切圆及作法做好知识铺垫。） 回顾切线长定理与角平分线性质，思考如何作一个与三角形三边都相切的圆。 以旧引新，调用切线长定理与角平分线性质为内切圆作图奠基。
二、探究点1
三角形的内切圆 【探究点1】三角形的内切圆 问题：如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 追问1：如果最大的圆存在，它与三角形的三条边应有怎样的位置关系？ 最大的圆与三角形的三条边都相切。 追问2：假设已经作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径，如何找到这个圆心呢？ 根据角平分线的性质与判定定理知，这个圆的圆心为三角形内角的平分线交点。 追问3：如何作一个圆与三角形的各边都相切？ 已知△ABC，求作和△ABC的各边都相切的圆。作法：①分别作∠B、∠C 的平分线 BM、CN，它们交于点 I；②过点 I 作 ID⊥BC，垂足为 D；③以点 I 为圆心、ID 为半径作圆，⊙I 即为所求。 其依据是“三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等”。 抽象归纳：与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆；三角形内切圆的圆心叫作这个三角形的内心；这个三角形叫作这个圆的外切三角形。 （设计意图：以截圆用料的生活问题探究三角形内切圆的作法与定义，抓住“定圆心、定半径”的作图关键。） 分析铁皮截圆问题，由角平分线性质确定圆心位置，动手作出三角形的内切圆，归纳内切圆、内心、外切三角形定义。 以实际问题出发探究内切圆作法，渗透从生活到数学的抽象，突破“如何作内切圆”的难点。
三、典型例题
例1（由内心求角） 【典型例题】例1（由内心求角） 例1　如图，已知点 O 是△ABC 的内心，且 ∠ABC=60°，∠ACB=80°，求 ∠BOC 的度数。 【分析】点 O 是△ABC 的内心，则 OB、OC 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB，再根据三角形内角和定理计算。 【详解】∵ 点 O 是△ABC 的内心，　∴ OB、OC 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB，　∴ ∠OBC=，∠OCB=。 在△OBC 中，∠BOC=180° ∠OBC ∠OCB=180° 30° 40°=。 答：∠BOC=110°。 【讲评要点】内心是角平分线交点，把“内心”转化为“角平分”，用内角和定理求圆心处角的大小。 （设计意图：通过例1强化“内心平分角、内角和求角”的应用，巩固对内心的认识。） 由内心平分内角求∠OBC=30°、∠OCB=40°，再由内角和求∠BOC=110°。 以例1落实内心性质，将“内心”转化为角平分线求角，突破内切圆角度的计算。
四、探究点2
内切圆的性质 【探究点2】三角形的内切圆的性质 追问1：从以上作图中，你能归纳出三角形的内切圆（内心）的性质吗？ 三角形的内心在三角形的角平分线上；三角形的内心到三角形的三边距离相等。 追问2：你能对三角形的外接圆与内切圆按下表进行比较吗？ 【三角形外接圆（外心）】确定方法：三角形三边中垂线的交点（外心是外接圆的圆心）；性质：①OA=OB=OC；②外心不一定在三角形的内部。 【三角形内切圆（内心）】确定方法：三角形三条角平分线的交点（内心是内切圆的圆心）；性质：①到三边的距离相等；②OA、OB、OC 分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB；③内心在三角形内部。 对比小结：“切”是把圆“嵌入”三角形内部，内心是角平分线交点、在形内；“接”是三角形在圆的内部，外心是边的中垂线交点、外心未必在形内。 （设计意图：通过内心性质的归纳与“外心—内心”的对比，明确“切”与“接”的含义，化易错点为得分点。） 归纳内心在角平分线上、到三边距离相等，用表格对比外心与内心的确定方法、性质。 以对比方式区分内心与外心、内切圆与外接圆，突出“切”与“接”的几何含义。
五、典型例题
例2（设未知数求边长） 【典型例题】例2（设未知数求边长） 例2　如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB=9，BC=14，CA=13。求 AF、BD、CE 的长。 【分析】根据内切圆的性质（圆心到各边距离相等）和切线长定理，从同一点引圆的两条切线长相等，可设 AF 为未知数，用含 x 的代数式表示其他三段，再由 BD+CD=BC 列方程求解。 【详解】设 AF=x，由切线长定理，AE=AF=x，BF=BD=9 x，CE=CD=13 x。由 BD＋CD=BC 得 (9 x)+(13 x)=14，解得 x=。 答：AF=4，BD=5，CE=9。 【讲评要点】见到三角形的内切圆，优先用切线长定理“同一点引切线长相等”设未知数列方程，用代数方法解几何问题。 （设计意图：通过例2渗透方程思想，用设未知数列方程解决内切圆中的线段长度问题。） 设AF=x，由切线长定理表示各段，用BD+CD=BC列方程解得AF=4、BD=5、CE=9。 以例2渗透方程思想，强化“设未知数列方程解几何题”的代数方法。
六、探究点3
相切的综合应用 【探究点3】直线与圆相切的综合应用 方法归纳：直线与圆相切，通常通过作辅助线建立直角三角形，把圆心角、圆周角、三角形、四边形等联系起来，利用圆心角、圆周角、三角形（特别是等腰三角形、直角三角形）、四边形（特别是平行四边形、矩形、菱形）等性质综合解决问题。 证切线时辅助线的添加：①有交点，连半径，证垂直；②无交点，作垂直，证半径。 有切线时常用辅助线：见切点，连半径，得垂直。 例3（综合题·方法引导）　在三角形（其中一边为半圆直径）中，点 O 在一边上，以某边为半径的半圆 O 交 AB 于点 D、交 AC 于点 E，点 F 在半圆上。（原题第(2)问涉及求半圆半径，相关数值在原文档缺失） 【方法引导】（1）证切线：抓住“有交点（直线过圆上一点 D），连半径，证垂直”——连接 OD，结合角平分线、等腰三角形传递等角，由等边对等角（或角的和差）推出某个角等于90°，即可证直线与半圆相切。 （2）求半径长：设半径为 r，把圆的相关半径用 r 表示，再在确定的直角三角形中，由勾股定理（或锐角三角函数、特殊角）建立关于 r 的方程并求解。 【讲评要点】相切综合题的通法：见切点连半径得垂直＋把所求半径设为未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程。 （设计意图：通过综合应用与例3方法引导，串联切线判定、性质与解直角三角形的综合运用。） 归纳“见切点连半径得垂直”与“设半径列方程”综合思路，体会三角形、圆、直角三角形知识的交融。 以通法归纳突破直线与圆相切的综合应用，建立“切线—垂直—勾股方程”的联系。
七、课堂练习
当堂巩固 【课堂练习】当堂巩固 1．如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点 O 是△ABC 的内心，求 ∠BOC 的度数。 【详解】∠BOC=180° ∠OBC ∠OCB=180° (∠ABC＋∠ACB)=180° (50°＋75°)=180° 62.5°=（即 117°30′）。 2．△ABC 的内切圆半径为 r，△ABC 的周长为 l，求△ABC 的面积。（提示：设△ABC 的内心为 O，连接 OA、OB、OC。） 【详解】S=S＋S＋S=AB·r＋BC·r＋CA·r=r(AB＋BC＋CA)=。 答：△ABC 的面积为 S=。 （设计意图：学完新知识后即时巩固，既能强化记忆、加深理解，又可及时反馈学情、查漏补缺。） 练习1由内角和求∠BOC=117.5°；练习2把三角形分成三个小三角形，求和得面积 S=lr。 通过即时练习强化内心求角与面积公式，当堂反馈、查漏补缺。
八、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·聊城·统考）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，与 AB、AC、BC 分别切于点 F、E、D，若 ∠A 的大小已知，如何求 ∠BIC（或 ∠BOC）的度数？（原题角度数值在原文档缺失） 【方法引导】I 是内心，则 BI、CI 分别平分 ∠ABC、∠ACB。由内角和可得通式：∠BIC=90°＋∠A。把“内心”转化为“角平分”，即可由已知角直接口算。 2．（2025·惠州·校考）AB 为⊙O 的直径，与 CD 相切于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，交⊙O 于点 C，连接 AC、AE。 （1）求证：AC 平分 ∠BAE； 【方法引导】由切线的性质得半径 OE⊥CD，结合平行线（同垂直于 AB）传递角相等，再利用圆中“等弦对等弧/等圆心角”“圆周角相等”证角相等，即得平分。 （2）连接 OC 与 AE 相交于 F，求证四边形 CDFE 是矩形；（3）若满足某些线段长，求 AE 的长。（原题数值与图形标注在原文档缺失） 【方法引导】（2）证矩形可先证四边形中三个角为直角（切线垂直、直径直角、平行所成的直角），再证它是平行四边形；（3）求长在矩形与直角三角形中用勾股定理列式求得。 3．（2025·山东枣庄等）如图，在△OAB 中，点 A 在⊙O 上，边 OB 交⊙O 于点 C，AD⊥OB 于点 D，AC 是∠BAD 的平分线。 （1）求证：AB 为⊙O 的切线； 【详解】（1）∵ AD⊥OB，　∴ ∠ADB=90°。由 AC 平分 ∠BAD 得 ∠DAC=∠BAC。又 OA=OC，　∴ ∠OAC=∠OCA。而 ∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC，∠OCA=∠B+∠BAC，　∴ ∠OAD=∠B，故 ∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，即 AB⊥OA。又 OA 为⊙O 的半径，　∴ AB 是⊙O 的切线。 （2）若⊙O 的半径为 2，∠AOB=45°，求 CB 的长。 【详解】（2）由（1）∠OAB=90°，∠AOB=45°，故 ∠B=∠AOB=45°，AB=OA=2。又 OC=OA=2。在 Rt△OAB 中 OB=，　∴ CB=OB OC=。 答：CB 的长为 2√2 2。 （设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，帮助明确考试方向、熟悉题型、检验学习成果、提升应考能力。） 第1题用通式 ∠BIC=90°＋∠A；第2题用切线垂直+矩形判定+勾股；第3题用角平分线+等腰与勾股求 CB=。 以中考真题综合运用内外心、切线性质与解直角三角形，明确考向、提升应考能力。
九、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1．定义：与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆；三角形内切圆的圆心叫作这个三角形的内心；这个三角形叫作这个圆的外切三角形。 2．内心的性质：三角形的内心在三角形的角平分线上；内心到三角形三边的距离相等。 3．外心与内心的区别：“外心”是外接圆圆心，为三边中垂线交点，OA=OB=OC，外心不一定在形内； 4．“内心”是内切圆圆心，为三条角平分线交点，到三边距离相等，内心一定在形内。 5．方法：由内心→角平分→内角和求角；由切线长相等→设未知数列方程求边长；见切点连半径得垂直→勾股定理解综合题。 （设计意图：对本课知识进行总结，突出“内心—外心”“切—接”的对比，形成清晰的知识网络。） 梳理内切圆与内心的定义、性质及内心与外心的区别，总结“由角平分求角、由切线长列方程”的方法。 结构化总结内切圆知识，对比内心与外心，帮助学生构建圆与三角形的位置关系体系。
板书设计
30.2 三角形的内切圆 一、定义 内切圆：与三角形三边都相切 内心：内切圆的圆心（角平分线交点） 外切三角形：这个三角形 二、内心的性质 内心在角平分线上 内心到三边距离相等 外心：中垂线交点 OA=OB=OC 三、方法 由内心→角平分→内角和求角 切线长相等→设未知数列方程 见切点连半径得垂直→勾股方程 例1、例2、例3、真题板演 学生板演区
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