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30.3 正多边形与圆（第1课时）教学设计
课题 30.3 正多边形与圆（第1课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）结合生活中的正多边形图案，发现正多边形和圆的关系，发展抽象能力； （2）了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题； （3）经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活。
教学重点 正多边形与圆的相关概念及其之间的运算。
教学难点 探索正多边形和圆的关系，掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系。
教学方法 观察发现法、类比探究法、构造化归思想渗透 教学准备 多媒体课件、圆规、量角器、直尺
课后练习 必做：课本习题30.3第1、2题；探究性作业：课本习题30.3第4、5题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习：各边相等、各角相等的多边形叫作正多边形。 教师过渡：正多边形的“各边相等、各角相等”缺一不可；而圆中的弦、弧、圆心角、圆周角又天然具有“相等”的属性。正多边形与圆能不能联系起来？怎样得到一个正多边形？它有哪些基本量？这就是第1课时要研究的内容（板书课题）。 （设计意图：复习正多边形的定义，点出“相等”这一连接正多边形与圆的桥梁，引入新课。） 回顾正多边形定义，思考正多边形与圆的关系。 以正多边形定义激活认知起点，引出正多边形与圆的关系这一核心问题。
二、探究点1
正多边形和圆的关系 【探究点1】正多边形和圆的关系 问题：观察生活中常见的利用正多边形得到的物体，找出其中的正多边形。 追问1：你能根据正多边形的定义，指出这些图案中的正多边形吗？ 学生对照“各边相等、各角相等”的定义指出图中的正多边形。 追问2：你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样做一个正多边形呢？ 正多边形和圆的关系非常密切：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 追问3：以圆内接正五边形为例，你能证明“只要把一个圆分成五个相等的弧，就可以作出这个圆的内接正五边形”吗？ 把⊙O 分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得五边形 ABCDE。 由相等的弧所对的弦相等，得 AB=BC=CD=DE=EA（各边相等）；由等弧所对的圆周角相等，得 ∠A=∠B（各角相等，同理其余各角相等）。∴ 五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，⊙O 是它的外接圆。 追问4：上面以正五边形为例，若是6、7、8…条边应作什么改动？由此说明什么？ 把“相等的5段弧”改为“相等的6、7、8…段弧”即可，结论仍然成立：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 追问5：我们怎样利用多边形的外接圆来定义正多边形的中心、半径、中心角、边心距？ 把一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心；外接圆的半径叫作正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （设计意图：通过观察图案、证明内接正五边形，探究正多边形与圆的关系及中心、半径、中心角、边心距等概念。） 观察图案找正多边形，用“弧相等→弦相等→边/角相等”证明内接正五边形，归纳中心、半径、中心角、边心距定义。 以圆内接正多边形证明为纽带，建立正多边形与圆的联系，渗透数形结合与转化思想。
三、典型例题
例1、例2 【典型例题】例1、例2（概念辨析与计算） 例1　正十边形的中心角的度数为（　　） A．30°　　B．36°　　C．45°　　D．60° 【分析】一个正多边形各中心角都相等，所有中心角的和是360°，用360°除以多边形边数即得中心角度数。 【详解】正十边形中心角=。 答：选 B。 例2　若正多边形的边心距与半径的比为 1∶2，则这个多边形的边数是。 【分析】在直角三角形中，由边心距与半径之比为 1∶2 得半径与边的夹角为 30°，可求出中心角，再求边数。 【详解】设正多边形中心角为 α。因边心距∶半径=1∶2，故半径与边的夹角满足 cosθ=、θ=30°，中心角的一半为 90° 30°=60°，故中心角 α=120°，边数=360°÷120°=3。 答：这个多边形是正三角形，边数是 。 【讲评要点】正多边形中“半径、边心距、半边”构成直角三角形，抓住特殊角即可反推中心角与边数。 （设计意图：通过例1、例2巩固中心角与边心距等概念，把半径—边心距关系转化为直角三角形去求。） 例1用360°÷10求中心角36°；例2由边心距∶半径=1∶2得夹角30°，推中心角120°、边数为3。 以例1、例2落实中心角、边心距等概念，渗透“半径—边心距—半边”构成的直角三角形模型。
四、探究点2
正多边形的计算 【探究点2】正多边形的计算 追问1：正 n 边形的一个内角、中心角各是多少？中心角与外角有什么关系？ 正 n 边形的每一个内角等于 ；每一个中心角等于 ，且中心角等于它的外角。 追问2：圆内接正多边形怎样构造直角三角形？ 方法：①连接圆心与顶点（连半径），得中心角；②作边心距（过圆心向边作垂线），构造直角三角形。 归纳：解决正多边形的计算，常结合圆的性质，利用半径、中心角、边心距构造直角三角形，把正多边形问题转化为直角三角形问题；常依据“弧相等→弦相等、圆周角相等→多边形各边相等、各角相等→多边形是正多边形”等关系。 （设计意图：归纳内角、中心角公式与构造直角三角形的方法，为具体求周长、面积做铺垫。） 归纳内角、中心角的计算公式，掌握“连半径得中心角、作边心距构造直角三角形”。 由公式与构造法概括正多边形计算的通法，突出化“正多边形”为“直角三角形”的化归思想。
五、典型例题
例3、例4 【典型例题】例3、例4 例3　有一个亭子，它的地基是半径为 4m 的正六边形，求地基的周长和面积（精确到 0.1m ）。 【分析】正六边形边长等于半径，连接半径、作边心距构造直角三角形，用勾股定理求边心距与面积。 【详解】正六边形边长 a=R=4m，周长 l=6a=（m）。过点 O 作 OM⊥BC，则由 Rt△OMB 知边心距 r=≈3.5（m）。 面积 S=l·r=×24×=≈41.6（m ）。 答：地基周长约 24m，面积约 41.6m 。 例4　如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，AD 过圆心 O。求 ∠ACD 的度数。 【分析】由正六边形的对称性可知 AD 是⊙O 的直径，利用“直径所对的圆周角是直角”求解。 【详解】∵ AD 过圆心 O，　∴ AD 是⊙O 的直径，　∴ ∠ACD90°（直径所对的圆周角是直角）。 答：∠ACD=90°。 【讲评要点】正多边形内往往隐藏直径与直角（主对角线过中心是直径），顺手用圆周角定理可快速得角。 （设计意图：以亭子地基与正六边形内接题为载体，综合运用中心角、边心距、勾股定理与圆周角定理求周长、面积、角的度数。） 例3求周长24m、边心距2√3、面积24√3≈41.6m ；例4由AD是直径得∠ACD=90°。 通过例3、例4落实正多边形的周长、面积计算与内接角的求解，突出“化多边形为直角三角形/圆”。
六、课堂练习
当堂巩固 【课堂练习】当堂巩固 1．矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？ 【详解】矩形各角相等但各边不相等，不是正多边形；菱形各边相等但各角不相等，也不是；正方形四边、四角都相等，是正多边形。 2．各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？ 【详解】各边相等的圆内接多边形各角也相等，是正多边形；各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，例如矩形。 3．分别求半径为 R 的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积。 【详解】正三角形：边长 a=R，边心距 r=，面积 S=；正方形：边长 a=R，边心距 r=，面积 S=2R 。 （设计意图：学完新知识后及时巩固，通过辨析正多边形定义、计算内接正三角形与正方形，反馈学情、查漏补缺。） 辨析矩形/菱形/正方形的正多边形性，理解各边各角相等，计算半径R内接正三角形、正方形的边长、边心距、面积。 通过即时练习强化正多边形概念与“半径—边心距”计算，当堂反馈、查漏补缺。
七、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·淮安·校考）要用圆形铁片截出边长为 a 的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 【详解】连接 AC。由正方形 ABCD 得 ∠D=90°，故 AC 为其外接圆直径。在 Rt△ACD 中， AC=，故所需圆形铁片半径 r=。 答：圆形铁片的半径至少为 。 2．（2025·聊城·统考）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 是 AD 的中点，连接 AE（或 BE、DE）。（原题部分条件与结论符号在原文档缺失） 【方法引导】正方形内接于圆，则由弦（边）相等可推圆心角为 90°，其对角线是直径（过圆心）；若取某边中点，可连接圆心与中点作半径的垂线，在等腰直角三角形中用勾股定理求边/角/距离，关键是把握“正多边形→等弧→等圆心角→构造直角三角形”。 （设计意图：加入中考真题练习，帮助明确考试方向、熟悉题型、检验学习成果、提升应考能力。） 第1题由正方形对角线是其外接圆直径求所需半径；第2题把握正方形内接圆中“等圆心角+直径”的方法。 以中考真题综合运用正多边形外接圆与勾股定理，明确考向、提升应考能力。
八、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1．把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 2．概念：外接圆圆心是正多边形的中心；外接圆半径是正多边形的半径；每一边所对的圆心角叫中心角；中心到一边的距离叫边心距。 3．计算公式：内角=；中心角=（等于外角）。 4．构造直角三角形：连半径得中心角，作边心距得直角；正多边形面积 S=×周长×边心距。 （设计意图：对本课知识进行总结，突出概念、公式与“化多边形为直角三角形”的方法，形成知识网络。） 梳理正多边形与圆的关系、相关概念与计算公式，总结构造直角三角形求半径/边长/边心距/面积的方法。 结构化总结正多边形知识，帮助学生构建“正多边形—圆—直角三角形”的转化体系。
板书设计
30.3 正多边形与圆（第1课时） 一、定义 各边相等、各角相等 的正多边形 二、正多边形与圆 分圆成等弧→内接正多边形（外接圆） 中心 / 半径 / 中心角 / 边心距 三、计算公式 内角 = 中心角 = 构造Rt：连半径得中心角，作边心距 四、面积 S = × 周长 × 边心距 例1、例2、例3、例4、真题板演 学生板演区
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