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30.3 正多边形与圆（第2课时）教学设计
课题 30.3 正多边形与圆（第2课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形； （2）会用圆的有关知识，解决正多边形的问题； （3）经历观察、发现、探究等数学活动，感受到事物之间是相互联系、相互作用的。
教学重点 正多边形的画法，正多边形和圆的性质并解决一些简单问题。
教学难点 作圆内接正多边形（等分圆周的作图方法及尺规作图的规范）。
教学方法 操作实践法、启发探究法、小组合作 教学准备 多媒体课件、圆规、量角器、直尺、白纸
课后练习 必做：课本习题30.3第3、8题；探究性作业：课本习题30.3第9、10题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习：1.把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 2.正多边形的外接圆的圆心叫中心；外接圆半径叫半径；每一边所对圆心角叫中心角；中心到一边的距离叫边心距。 教师过渡：既然“把圆分成相等的一些弧”就能得到内接正多边形，那么究竟怎样把圆周等分、从而作出正多边形呢？用量角器可以吗？用圆规直尺可以吗？这就是第2课时要研究的正多边形的画法（板书课题）。 （设计意图：复习正多边形与圆的关系及基本量，明确“等分圆周”这一作图关键，引入新课。） 回顾“分圆成等弧得内接正多边形”及基本量，思考等分圆周的画法。 以旧引新，抓住“等分圆周”这一作图关键，为研究画法做准备。
二、探究点1
正多边形的画法 【探究点1】正多边形的画法 观察：生活中的正多边形图案。 追问1：在七年级上册第四章，我们用什么方法画五角星？用这种方法可以画出任意正 n 边形吗？为什么？ 用量角器等分圆的方法画五角星；用这种方法可以画出任意正 n 边形——因为同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，作相等的圆心角即可等分圆周，从而得到相应的正多边形。 追问2：怎样画一个边长为 1.5cm 的正六边形？试一试。 以 1.5cm 为半径作⊙O，用量角器画一个等于 360°÷6=60° 的圆心角，它对着一段弧，在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的 6 个等分点，顺次连接各分点即得正六边形。 追问3：你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正 n 边形吗？ 分别作圆心角 360°÷4=90°、360°÷5=72°、360°÷6=60°，即在圆上去 4、5、6 个等分点后顺次连接，得到对应正多边形。 追问4：对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作。怎样用圆规和直尺作正六边形？ 因为正六边形的边长等于半径，所以在半径为 R 的圆上依次截取等于 R 的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为 R 的正六边形。 追问5：你能用直尺和圆规作正四边形、正八边形、正十六边形……吗？ 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，可把圆四等分，作出正方形；再过圆心作各边的垂线（或作各中心角的平分线）与圆相交，即得圆内接正八边形，照此可依次作正十六边形、正三十二边形…… 追问6：你能归纳出正多边形的作法吗？ 归纳：（1）用量角器等分圆周作正 n 边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形，用尺规作正六边形及由此扩展作正十二边形、正三角形等。 （设计意图：以作正六边形为例，介绍量角器等分圆周与尺规作图两种方法，归纳正多边形的作法。） 用量角器等分圆周画正四、五、六边及n边形，用尺规作正六边形、正四边形并扩展，归纳两种作图方法。 以动手作图探究等分周圆的两种方法，突破正多边形作图的难点。
三、典型例题
例1、例2 【典型例题】例1、例2（尺规与网格作图） 例1　如图，已知⊙O，请用尺规作⊙O 的内接正四边形。（保留作图痕迹，不写作法） 【方法引导】在⊙O 上任取一点 A，连接 AO 并延长交⊙O 于 C（AC 为直径）；再作 AC 的垂直平分线，交⊙O 于 B、D；连接 AB、BC、CD、DA，则四边形 ABCD 就是所求作的内接正方形。 例2　如图①、图②都是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A 在⊙O 上，仅用无刻度的直尺完成画图。 （1）在图①中画一个⊙O 的内接正方形； 【方法引导】找正方形网格中过圆心 O 的两条互相垂直的格点连线，分别与⊙O 交于四个点，顺次连接即得内接正方形。 （2）在图②中画一个⊙O 的内接四边形，使该四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且格点在四边形内部。 【方法引导】作⊙O 的内接等腰梯形（或筝形）：使图形关于某条对称轴（含直径）对称，但不具有中心对称性，且所画顶点均为网格特征点。 （设计意图：以尺规与网格作图为载体，落实内接正方形及轴对称四边形的作图方法，强化等分圆周。） 用“作互相垂直的直径”作内接正方形，在网格中用格点连线作内接正方形和轴对称非中心对称四边形。 通过例1、例2强化尺规与网格作图，把握“等分圆周、顺次连接”的作图通法。
四、探究点2
正多边形的应用 【探究点2】正多边形的应用 追问1：解决正多边形的有关计算时，一般方法是什么？ 除直接通过圆的性质计算外，常通过作正 n 边形的半径和边心距，把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形，再利用勾股定理完成计算。 追问2：正多边形的边长、周长、半径、边心距、面积之间有什么关系？ 如果正 n 边形的边数给定，则已知它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可以求出其他各项。 归纳：解决正多边形的问题常和圆结合起来，利用半径、中心角、边心距的关系构造直角三角形，转化为直角三角形问题；常用“弧相等→弦相等、圆周角相等→多边形各边相等、各角相等→多边形是正多边形”等关系，有时还需与圆中相关元素及三角形、四边形联系。 （设计意图：归纳正多边形计算的一般方法与各量互求关系，为正多边形的作图与应用奠定基础。） 归纳作半径、边心距构造直角三角形的方法，理解边长/周长/半径/边心距/面积可互求。 以通法归纳建立正多边形各量间联系，突出化归与方程思想。
五、典型例题
例3、例4 【典型例题】例3、例4 例3　如图，正六边形 ABCD 的边长为 2，在正六边形的边上，距离某顶点最远的点到某边（对称轴上距离最远）的距离为（　　） A．3　　B．4　　C．3√2　　D．3√3 【方法引导】连接CE（过某顶点且过中心的线段）交 AD 于 O，则 O 为正六边形外接圆圆心、也是对称点。利用正六边形被 AD 分成两个等边三角形（各边长为 2），由等边三角形性质可得所要求的“到指定边”的最远距离为 4，故选 B。（原题划线标注在原文档缺失，按正六边形对称性给出思路） 例4　如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 是 AD 的中点，连接 BE、DE。（原题若干条件与结论符号在原文档缺失） 【方法引导】正方形内接于圆：连接圆心与相邻顶点，由等弧得相邻半径夹角为 90°；若取某边中点，则连接圆心与该中点，在等腰直角三角形中用勾股定理求边、角与距离。把握“中心—半径—边心距构造直角三角形”即可解答。 （设计意图：以正六边形、正方形内接圆为载体，综合运用对称性、等边三角形与勾股定理解答，方法上而非数值上引导。） 例3用正六边形对称性与等边三角形判断最远距离；例4用正方形内接圆构造直角三角形求解。 通过例3、例4综合运用正多边形性质与化归方法，突破作图与计算结合的应用难点。
六、课堂练习
当堂巩固 【课堂练习】当堂巩固 1．画一个半径为 2cm 的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星。 【做法提示】用量角器等分圆周：画一个 360°÷5=72° 的圆心角，在圆上依次截取等弧得 5 个分点，顺次连接得正五边形；再连接各对角线画出五角星。 2．用等分圆周的方法画出下列图案。 【做法提示】（1）以圆的三等分点为圆心、圆的半径为半径作三条弧；（2）以正六边形各边中点为圆心、以正六边形的边长为直径向圆外画半圆；（3）作圆的内接正五边形，再以正五边形的各个顶点为圆心、边长为半径画弧。 （设计意图：学完新知识后及时动手巩固，通过画五角星与等分圆周图案，反馈学情、查漏补缺。） 动手画半径2cm正五边形及五角星，用等分圆周的方法画出三种图案。 通过当堂动手作图强化等分圆周与顺次连接的方法，当堂反馈、查漏补缺。
七、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·金安·校考）如图，已知⊙O，请用尺规作图法作⊙O 的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）。 【详解】任意作一条直径，以点 A（直径端点）为圆心、OA 的长为半径画弧，分别交⊙O 于点 B、F；再分别以点 B、F 为圆心、OA 的长为半径画弧，分别交⊙O 于点 C、E；顺次连接 A、B、C、D、E、F，则六边形 ABCDEF 即为所求。 2．（2025·长丰·统考）如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径（外接圆半径）为 R，求这个正六边形的周长。 【详解】连接 OC、OD。正六边形中心角 ∠COD=360°÷6=60°，且 OC=OD=R，故 △OCD 为等边三角形，边长 CD=OC=R；故正六边形的周长为 6R＝6R。 答：这个正六边形的周长为 （=6×半径）。 3．（2025·太原·统考）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为给定值（如 √3），点 P 为六边形内任一点，求点 P 到六边形各边距离之和。 【方法引导】过点 P 作 AB 的垂线，交 AB、DE 于 H、K；由正六边形对边平行可知，P 到 AF 与 CD 的距离之和、及 P 到 EF 与 BC 的距离之和都等于 HK 的长；再利用正六边形中对边的平行距离（可转化为相邻等边三角形的高或对角线 BD）计算 HK，最终点 P 到各边距离之和 = 3×HK（或 3×BD）。 （设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，帮助明确考试方向、熟悉题型，提升尺规作图与正多边形综合应用能力。） 第1题用尺规以半径截弦作正六边形；第2题由中心角60°+等边三角形得周长6R；第3题用对边平行转化距离和。 以中考真题综合运用等分圆周作图与正多边形性质的转化，明确考向、提升应考能力。
八、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1．正多边形的画法：（1）用量角器等分圆周作正 n 边形（作 的圆心角）；（2）用尺规作正方形、正六边形，并扩展作正八边形、正十二边形等。 2．等分圆周的关键：把圆分成一些相等的弧，顺次连接各分点即得内接正多边形。 3．计算的通法：作正 n 边形的半径和边心距，把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形，用勾股定理解；已知边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可求其他各项；中心角=。 4．转化思想：正多边形问题常与圆、三角形、四边形结合，转化为直角三角形或等边三角形问题。 （设计意图：对本课知识进行总结，突出正多边形的两种画法、等分圆周与化归方法，形成知识网络。） 梳理两种等分圆周的方法、作图的通法与计算的化归思想，体会正多边形与圆、三角形的联系。 结构化总结正多边形画法与性质应用，帮助学生构建作图与计算相结合的知识体系。
板书设计
30.3 正多边形与圆（第2课时） 一、正多边形画法 1. 量角器等分圆周：作 的圆心角 2. 尺规：正六边形(边长=半径)/正方形 　扩展：正12边、正8边、正16边…… 二、作图关键 把圆分成一些相等的弧 顺次连接各分点 三、正多边形应用（计算通法） 作半径、边心距→2n 个全等Rt△ 已知任一项→可求其他各项 中心角 = 例1、例2、例3、例4、真题板演 学生板演区
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