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30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 教学设计
课题 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）了解直线和圆的三种位置关系，掌握运用代数法和几何法判定直线与圆的位置关系； （2）通过生活中的实际事例（太阳升起、硬币滚动等）探求直线和圆的位置关系并提炼数学知识，渗透数形结合、分类讨论思想； （3）在操作、实验、发现、确认等数学活动中体会数学充满探索与创造，让学生发现美、感受美、创造美。
教学重点 会判断直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）。
教学难点 会正确判定直线与圆的位置关系，理解并运用“圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系”进行判断。
教学方法 情境教学法、启发探究法、动手操作、合作交流 教学准备 多媒体课件、硬币、白纸、量角器、直尺
课后练习 必做：课本练习及习题24.2相关题；探究性作业：Rt△ABC中直线AB与⊙C的位置关系分析。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习：点与圆的三种位置关系及其数量间的关系。 设点 P 到圆心 O 的距离为 d、半径为 r，则点 P 在⊙O内 dr；点 P 在⊙O上 d=r；点 P 在⊙O外 dr。 教师过渡：点与圆有“内、上、外”三种位置关系，用 d 与 r 的大小即可判定。那么，一条直线与圆又有怎样的位置关系呢？今天我们类比点与圆的研究方法，探索直线与圆的位置关系（板书课题）。 （设计意图：复习点与圆的位置关系及其数量表示，激活认知起点，类比迁移到直线与圆的位置关系。） 回顾点与圆三种位置关系及其数量表示，思考直线与圆可能有哪几种位置关系。 以旧引新，由点与圆的位置关系类比迁移，为研究直线与圆的位置关系做好铺垫。
二、探究点1
由交点个数判定 【探究点1】从直线与圆的交点个数判断位置关系 思考1：在太阳升起的过程中，太阳和海平线会有几种位置关系？ 把太阳看作一个圆、海平线看作一条直线，可知直线和圆有三种位置关系。 追问1：直线和圆（海平线和太阳）位置上有几种关系？交点如何？ 三种关系：直线和圆没有交点（相离）、有1个交点（相切）、有2个交点（相交）。 思考2：如图，在纸上画一条直线，把一个硬币在纸上移动，观察它与直线的公共点个数的变化。 追问2：硬币（圆）与直线的公共点个数有哪几种情况？ 在移动硬币的过程中，它与直线的公共点可能没有、有1个、有2个——共三种。 把上面的位置关系抽象如下图： 追问3：这三种情况的直线和圆分别叫什么？ ①直线与圆有两个公共点，叫直线与圆相交，这条直线叫圆的割线； ②直线与圆只有一个公共点，叫直线与圆相切，这条直线叫圆的切线，公共点叫切点； ③直线与圆没有公共点，叫直线与圆相离。 （设计意图：通过太阳升起、硬币移动的实例操作，抽象归纳出直线与圆的三种位置关系，体会数学来源生活。） 观察太阳升起、硬币移动，口答三类公共点个数，归纳相交（割线）、相切（切线、切点）、相离的定义。 借助生活实例与操作，抽象归纳直线与圆的三种位置关系，渗透分类与从具体到抽象的数学思想。
三、典型例题
例1（公共点个数） 【典型例题】例1（判断公共点个数） 例1　Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心画圆，当半径 r 为何值时，⊙C 与线段 AB 有一个公共点？当半径 r 为何值时，⊙C 与线段 AB 有两个公共点？ 【分析】先由面积法求出点 C 到线段 AB 的距离（即高 CD），再比较各半径 r 与 AC、BC、CD 的大小判断公共点个数。 【详解】由勾股定理得 AB=；由三角形面积公式得 S=AC·BC=AB·CD， 故 CD=。 考察点 C 到线段 AB 上各点的距离：最小为 CD=，端点处分别为 CA=3、CB=4。 ①当 r=（圆与AB相切于D），或 3r≤4（圆仅过端点B）时，⊙C 与线段AB有 1 个公共点； ②当 r≤3 时，线段AB被圆截出两个交点，⊙C 与线段AB有 2 个公共点。 答：当 r= 或 3＜r≤4 时有一个公共点；当 ＜r≤3 时有两个公共点。 【讲评要点】深刻理解“公共点个数随半径变化而变化”，关键是先求出圆心到线段的距离 CD，再以 r=CD、r=AC、r=BC 为分界，分段讨论直线（线段）与圆的位置关系。 （设计意图：通过例1综合运用勾股定理、面积法与分类讨论，强化“交点个数”判定位置关系的应用。） 用勾股定理、面积法求 AB=5、CD=，分 r=、3四、探究点2
由d与r大小判定 【探究点2】由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系判定 如图，设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d，观察圆与直线的位置关系。 追问1：在不同位置关系中，d 与 r 有怎样的大小关系？ ①直线与圆相交（2个交点）时，dr；②直线与圆相切（1个交点）时，dr；③直线与圆相离（0个交点）时，dr。 追问2：反过来，由 d 与 r 的大小关系能确定位置关系吗？ 能：当 dr 时直线与圆相交；当 dr 时直线与圆相切；当 dr 时直线与圆相离。 位置关系与距离、交点个数的对应（三幅图形依次为相交、相切、相离）： 归纳：直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系 公共点个数。 （设计意图：从图形直观到数量关系，建立“位置关系—d 与 r 的大小—公共点个数”三者的对应，突出重点。） 填表归纳相交 dr（2交点）、相切 dr（1交点）、相离 dr（0交点），并能由 d 与 r 反向判定。 由形到数建立“位置—d 与 r—交点个数”的对应，渗透数形结合、分类讨论思想。
五、典型例题
例2、例3 【典型例题】例2（平移直线相切） 例2　如图，⊙O 的半径为 4cm，点 O 到直线 l 的距离 OP 为 6cm，把直线 l 向上平移________cm，才能使直线 l 与⊙O 相切。 【分析】直线与圆相切须使圆心到直线的距离等于半径：让 OP 变为 4cm 即可，向上平移使距离减小或增大到 4。 【详解】向上平移后须满足 d=r=4。因平移前后圆心 O 到直线的距离由 6 变为 4，故平移 6-4=（cm）；若继续上移使直线移到圆心另一侧，则平移 6+4=（cm）时距离又为 4（相切）。 答：向上平移 2cm 或 10cm 才能使直线 l 与⊙O 相切。 （设计意图：通过平移直线，直观感受“距离等于半径时相切”，强化 d 与 r 的等量关系。） 【典型例题】例3（正方形中判定位置关系） 例3　正方形 ABCD 的边长为 2，AC、BD 相交于点 O，过 O 作 EF∥AB，交 BC 于 E、交 AD 于 F，以点 B 为圆心、BO 为半径的圆与直线 AC、EF 的位置关系分别是什么？ 【分析】比较圆心 B 到两直线的距离与半径 BO 的大小即可：点 B 到 AC 的距离即 BO；点 B 到 EF 的距离为正方形的边长的一半。 【详解】对角线 BD=，半径 BO=BD=。∵ BO⊥AC，点 B 到 AC 的距离 BD==r，　∴ 直线 AC 与⊙B 相切；∵ EF∥AB 且距 AB 为 1，点 B 到 EF 的距离为 1r，　∴ 直线 EF 与⊙B 相交。 答：直线 AC 与⊙B 相切，直线 EF 与⊙B 相交。 （设计意图：把判定位置关系与正方形性质结合，训练“求点到直线的距离并与半径比较”的规范步骤。） 例2用相切d=r求平移6-4=2或6+4=10；例3求BO=√2，比较B到AC的距离√2（相切）、B到EF的距离1六、课本练习
当堂巩固 【课本练习】当堂巩固 练习　圆的直径是13cm，如果圆心与直线的距离分别是： （1）4.5cm；（2）6.5cm；（3）8cm。 那么直线和圆分别是什么位置关系？各有几个公共点？ 【详解】半径 r=（cm）。 （1）d=4.5r=6.5，直线与圆相交，有 2 个公共点； （2）d=6.5r=6.5，直线与圆相切，有 1 个公共点； （3）d=8r=6.5，直线与圆相离，有 0 个公共点。 （设计意图：学完新知识后及时巩固，由 d 与 r 的大小判断位置关系与公共点个数，反馈学情、查漏补缺。） 先计算半径r=6.5，再逐一比较d与r判定：相交2点、相切1点、相离0点。 通过基础练习即时巩固“d与r比较”判定位置关系，当堂反馈、查漏补缺。
七、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（综合题·曲柄连杆）发动机的曲柄连杆把直线运动转化为圆周运动（如图）。点 A 在直线 l 上往复运动，点 B 绕圆心 O 做圆周运动。对此类“动态直线与圆”问题，如何判定直线与圆的位置关系？ 【思路点拨】①点 B 到圆心 O 的距离恒等于圆的半径；②当直线 AB 与⊙O 相切时，圆心 O 到 AB 的距离等于半径；③把动点问题转化为“圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较”，用勾股定理建立等式，由 d 与 r 的大小确定位置关系。 2．（2025·武汉期末）如图，直线与半径为 r 的⊙O 相交，且点 O 到直线的距离为 7，则 r 的值可以是（　　） A．3　B．4　C．7　D．10 【详解】直线与⊙O 相交，须 rd=7，故可取 r=10，选 D。 3．（2025·陕西渭南·期中）已知直线与⊙O 相交，圆心 O 到直线的距离为 5cm，则 ⊙O 的半径可能为多少 cm？（只写一个） 【详解】相交须 rd=5，故半径可能为 6cm（答案不唯一）。 4．已知⊙O 的半径 r=7cm，直线 l，l′，且 l 与⊙O 相切，圆心 O 到 l′ 的距离为 9cm，求 l 与 l′ 的距离。 【详解】（1）l 与 l′ 在圆的同一侧：距离为 9-7=（cm）； （2）l 与 l′ 分别在圆的两侧：距离为 9＋7=（cm）。 答：l 与 l′ 的距离为 2cm 或 16cm。 （设计意图：加入生活情境与中考真题，明确考试方向，熟悉由 d 与 r 判定位置关系的题型，提升应考能力。） 第1题归纳“d与r比较”的思路；第2题相交须r>7选D；第3题相交半径可取6；第4题分同侧、两侧求9-7=2、9+7=16。 以生活实例与中考题为载体，综合运用d与r的大小判定位置关系，提升分析与应考能力。
八、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1．直线和圆的位置关系（按公共点个数）： （1）相交：两个公共点，直线叫圆的割线； （2）相切：一个公共点，直线叫圆的切线，公共点叫切点； （3）相离：没有公共点。 2．直线和圆的位置关系与 d、r 及交点个数的对应： 相交 dr 2 个交点　;　相切 dr 1 个交点　;　相离 dr 0 个交点。 3．方法：比较圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小（d与r比较定位置），先求点到直线的距离、再用 d 与 r 的大小作出判断；渗透数形结合、分类讨论思想。 （设计意图：系统梳理位置关系、距离关系与交点个数的对应，帮助学生构建直线与圆位置关系的知识结构。） 回顾三种位置关系及对应 d 与 r、交点个数，总结“先求 d、再与 r 比较”的判定方法。 结构化梳理“位置—d与r—交点个数”的知识网络，落实数形结合、分类讨论思想。
九、布置作业 【布置作业】分层作业 必做题： 1．已知⊙O 的半径为 10，直线 l 与⊙O 相切于点 P，则 PO＝（　　） A．1　B．5　C．8　D．10 【详解】直线与⊙O 相切于点 P，则 OP 为过切点的半径，OP=10，选 D。 2．已知圆的半径为 6cm，设直线和圆心的距离为 d： （1）若 d=4cm，则直线与圆________，直线与圆有________个公共点； （2）若 d=6cm，则直线与圆________，直线与圆有________个公共点； （3）若 d=8cm，则直线与圆________，直线与圆有________个公共点。 【详解】（1）d=46 相交，2 个公共点；（2）d=66 相切，1 个公共点；（3）d=86 相离，0 个公共点。 3．课本习题24.2第4题。 探究性作业： 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以 C 为圆心、r 为半径作圆，那么： （1）当直线 AB 与⊙C 相离时，r 的取值范围是什么？ （2）当直线 AB 与⊙C 相切时，r 的取值范围是什么？ （3）当直线 AB 与⊙C 相交时，r 的取值范围是什么？ 【详解】点 C 到直线 AB 的距离即 CD=cm。 （1）相离：dr，即 0r；（2）相切：dr，即 r=；（3）相交：dr，即 r。 （设计意图：对位置关系判定进行分层巩固，必做题夯实基础，探究性作业延展“直线与圆位置关系”在直线条件下的应用。） 独立完成必做题与探究性作业，记录答案并课后交流。 以分层作业巩固d与r判定位置关系的方法，检测掌握情况、及时纠错。
板书设计
30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 一、定义（按公共点个数） 相交：2个公共点 → 割线 相切：1个公共点 → 切线、切点 相离：0个公共点 二、判定（d 与 r 比较） 相交 dr 2交点 相切 dr 1交点 相离 dr 0交点 三、方法：先求 d、再与 r 比较 例1、例2、例3、真题板演 学生板演区
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